指數(shù)與對數(shù)的運算

-.z.指數(shù)與對數(shù)的運算【課標(biāo)要求】〔1〕通過具體實例〔如細胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等〕，了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景；〔2〕理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算?！?〕理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用；【命題走向】指數(shù)與對數(shù)的性質(zhì)和運算，在歷年的高考中一般不單獨命題。大多以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等根本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運算推理，能運用它們的性質(zhì)解決具體問題。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對數(shù)運算法則，明確算理，能對常見的指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)進展變形處理?！疽c精講】1、整數(shù)指數(shù)冪的概念?！?〕概念：n個a(2)運算性質(zhì)：兩點解釋：①可看作∴==②可看作∴==2、根式：〔1〕定義：假設(shè)則*叫做a的n次方根?！?〕求法：當(dāng)n為奇數(shù)時：正數(shù)的n次方根為正數(shù)，負數(shù)的n次方根為負數(shù)記作：當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個〔互為相反數(shù)〕記作：負數(shù)沒有偶次方根0的任何次方根為0名稱：叫做根式n叫做根指數(shù)a叫做被開方數(shù)〔3〕公式：；當(dāng)n為奇數(shù)時；當(dāng)n為偶數(shù)時3、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪〔1〕有關(guān)規(guī)定：事實上，假設(shè)設(shè)a>0,，由n次根式定義,次方根，即：〔2〕同樣規(guī)定：；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義?！?〕指數(shù)冪的性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)推廣到有理指數(shù)冪?！沧ⅰ成鲜鲂再|(zhì)對r、R均適用。4、對數(shù)的概念〔1〕定義：如果的b次冪等于N，就是，則數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)。=1\*GB3①以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，記作；=2\*GB3②以無理數(shù)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，，記作；〔2〕根本性質(zhì)：=1\*GB3①真數(shù)N為正數(shù)〔負數(shù)和零無對數(shù)〕；2〕；=3\*GB3③；4〕對數(shù)恒等式：?！?〕運算性質(zhì)：如果則=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③R〕?！?〕換底公式：兩個非常有用的結(jié)論=1\*GB3①；=2\*GB3②?！咀ⅰ恐笖?shù)方程和對數(shù)方程主要有以下幾種類型：af(*)=bf(*)=logab,logaf(*)=bf(*)=ab;〔定義法〕af(*)=ag(*)f(*)=g(*),logaf(*)=logag(*)f(*)=g(*)>0〔轉(zhuǎn)化法〕af(*)=bg(*)f(*)logma=g(*)logmb(取對數(shù)法)logaf(*)=logbg(*)logaf(*)=logag(*)/logab(換底法)【典例解析】題型1：指數(shù)運算例1．〔1〕計算：；〔2〕化簡〔3〕化簡：?！?〕化簡：例2．，求的值。題型2：對數(shù)運算例3．計算〔1〕；〔2〕；〔3〕。例4．設(shè)、、為正數(shù)，且滿足〔1〕求證：；〔2〕假設(shè)，，求、、的值。例5?！?〕log189=a,18b=5,求log3645〔用a,b表示〕〔2〕設(shè)求證：題型4：指數(shù)、對數(shù)方程例6：解方程〔1〕〔2〕例7．設(shè)關(guān)于的方程R〕，〔1〕假設(shè)方程有實數(shù)解，**數(shù)b的取值范圍；〔2〕當(dāng)方程有實數(shù)解時，討論方程實根的個數(shù)，并求出方程的解。.【穩(wěn)固練習(xí)】1..假設(shè)，則的值為A．50B．58C．89D．111〔〕2.假設(shè)，則=；3.的值域為[1，7]，則的取值范圍是〔〕A.［２，４］B.C.D.4假設(shè)則(a>0)，則.6.〔1〕；〔2〕.7.假設(shè)，求的值．8.解以下指數(shù)方程：(1)(2)(3)(4)9.解以下對數(shù)方程(1)(2)(3)(4)10.如果函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的最大值是14，求的值。11.設(shè)假設(shè)時有意義，**數(shù)的范圍?！舅季S總結(jié)】1．〔其中〕是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進展它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進展運算.在運算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比擬方便，而對數(shù)式一般應(yīng)化為同應(yīng)化為同底；2．要熟練運用初中學(xué)習(xí)的多項式各種乘法公式；進展數(shù)式運算的難點是運用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化〔分子或分母〕、拆項、添項、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過各種題型的訓(xùn)練逐漸積累經(jīng)歷；3．解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問題，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)運算法則及運算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比擬高的知識；【課后作業(yè)】1.計算。1〕；〔2〕2.化簡以下各式〔結(jié)果用有理數(shù)指數(shù)冪表示〕：〔1〕；〔2〕；3.化簡以下各式〔結(jié)果用有理數(shù)指數(shù)冪表示〕：〔1〕；〔2〕4.，求以下各式的值：〔1〕；〔2〕；〔3〕；5.計算：〔1〕；〔2〕；〔3〕6.〔1〕，，用表示；〔2〕設(shè)，用表示；設(shè)，，且，求的最小值?！?〕，求的值。答案詳解題型1：指數(shù)運算例1．解：〔1〕原式=；〔2〕原式==〔注意復(fù)習(xí)，根式開平方〕〔3〕原式=?！?〕原式＝點評：根式的化簡求值問題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解，對化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保存；一般的進展指數(shù)冪運算時，化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運算，同時兼顧運算的順序。例2．解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴。點評：此題直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡變形，創(chuàng)造條件簡化運算。題型2：對數(shù)運算例3解：〔1〕原式；〔2〕原式；〔3〕分子=；分母=；原式=。點評：這是一組很根本的對數(shù)運算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數(shù)式運算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本功，通過這樣的運算練習(xí)熟練掌握運算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧。例4．證明：〔1〕左邊；解：〔2〕由得，∴……………①由得………②由①②得……③由①得，代入得，∵，∴………………④由③、④解得，，從而。點評：對于含對數(shù)因式的證明和求值問題，還是以對數(shù)運算法則為主，將代數(shù)式化簡到最見形式再來處理即可。題型3：指對數(shù)式的簡單應(yīng)用例5〔1〕解：∵log189=a∴∴l(xiāng)og182=1a∵18b=5∴l(xiāng)og185=b∴〔2〕證：∵∴∴題型4：指數(shù)、對數(shù)方程例6：解〔1〕但必須：∴舍去〔2〕,∴,例7．解：〔1〕原方程為，，時方程有實數(shù)解；〔2〕①當(dāng)時，，∴方程有唯一解；②當(dāng)時，.的解為；令的解為；綜合①、②，得1〕當(dāng)時原方程有兩解：；2〕當(dāng)時，原方程有唯一解；3〕當(dāng)時，原方程無解。點評：具有一些綜合性的指數(shù)、對數(shù)問題，問題的解答涉及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)、參數(shù)討論、方程討論等各種根本能力，這也是指數(shù)、對數(shù)問題的特點，題型非常廣泛，應(yīng)通過解題學(xué)習(xí)不斷積累經(jīng)歷?！痉€(wěn)固練習(xí)】1.答案:C易得；2、-23、答案