二元一次不等式表示的區(qū)域 省賽獲獎(jiǎng)

二元一次不等式表示的區(qū)域前面，我們研究了二元一次方程和直線的關(guān)系，用同樣的方法，也可以研究二元一次不等式和以它的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合(圖形)的關(guān)系．含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是一次的不等式叫做二元一次不等式．使不等式成立的未知數(shù)的值叫做它的解．我們研究不等式y(tǒng)＞2x＋1(1)的解，并把它在坐標(biāo)平面上表示出來．為了求(1)式的任何一個(gè)實(shí)數(shù)解，可任意選取x的一個(gè)實(shí)數(shù)值，例如x=1，把它看作一次方程，這個(gè)方程的圖形是平行于y軸的直線，它與直線l：y=2x＋1相交于點(diǎn)A(1，3)(圖1)．在直線x=1上，點(diǎn)A上方的所有點(diǎn)，如B(1，4)、C(1，5)、…的坐標(biāo)都滿足不等式(1)，它們都是(1)式的解．足不等式(1)，它們都不是(1)的解．可見，以不等式(1)的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)的集合P=｛M｜y＞2x＋1｝是直線l上方的半平面所有的點(diǎn)，也就是圖1－24中陰影所表示的平面部分，但不包括邊界直線．這種情況，直線l在圖中一般畫成虛線．以二元一次不等式的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)的集合表示一個(gè)平面圖形，我們把這個(gè)圖形叫做不等式表示的區(qū)域．由上例知道，y＞2x＋1表示的區(qū)域是直線l上方的半平面；同理，容易求得y＜2x＋1表示的區(qū)域是直線l下方的半平面；而y=2x＋1就是邊界直線l．一般地，y=kx＋b的直線把平面分成兩個(gè)半平面，y＞kx＋b表示的區(qū)域是直線上方的半平面；y＜kx＋b表示的區(qū)域是直線下方的半平面；直線y=kx＋b是兩個(gè)半平面的邊界線．例1畫出不等式y(tǒng)≤－2x＋3表示的區(qū)域．解不等式y(tǒng)≤2x＋3的解集是y=－2x＋3，(1)y＜－2x＋3(2)的解集的并集，所以它們表示的區(qū)域是由(1)、(2)的圖形合成的．因?yàn)?1)式的圖形是直線l；(2)式的圖形是直線l下方的半平面．所以已知不等式表示的區(qū)域是直線l和它下方的半平面，也就是圖2陰影部分并且包括直線．這種情況，直線l在圖中一般畫成實(shí)線．由上面的討論容易想到，一般二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示的區(qū)域，一定是在直線Ax＋By＋C=0的某一側(cè)．但要斷定究竟是在哪一側(cè)，并不需要將不等式化為y的函數(shù)式，可以取直線Ax＋By＋C=0一側(cè)的一點(diǎn)，將它的坐標(biāo)代入不等式，如果不等式成立，那么這一側(cè)就是不等式表示的區(qū)域；如果不等式不成立，那么直線的另一側(cè)是不等式表示的區(qū)域．除選點(diǎn)代入不等式的方法外，也可以用y的系數(shù)判斷不等式表示的區(qū)域．如果B＞0(或B＜0)，那么不等式Ax＋By＋C＞0所表示的區(qū)域是直線Ax＋By＋C=0的上(或下)方的半平面；如果不等式寫成Ax＋By＋C＜0的形式時(shí)，它表示的區(qū)域是直線下(或上)方的半平面．想一想，如果B=0時(shí)，原不等式表示什么樣的區(qū)域．例2求不等式x＋2y－10＜0(1)表示的區(qū)域，并畫出圖形．解先畫出直線l：x＋2y－10=0．用選點(diǎn)代入不等式(1)的方法，例如將原點(diǎn)(0，0)的坐標(biāo)代入(1)式，得－10＜0，(1)式成立．所以坐標(biāo)原點(diǎn)所在的半平面是不等式(1)表示的區(qū)域，即直線l下方的半平面，如圖3的陰影部分，但不包括直線l．例2也可以用如下解法：解用y的系數(shù)判斷不等式(1)表示的區(qū)域．∵B=2＞0，∴x＋2y－10＜0表示的區(qū)域是直線x＋2y－10=0下方的半平面，但不包括直線．例3某工廠有一批長(zhǎng)為米的條形鋼材，要截成60厘米和42厘米兩種規(guī)格的零件毛坯，找出最佳的下料方案并計(jì)算材料的利用率．解設(shè)每根鋼材可截成60厘米長(zhǎng)的毛坯x根和42厘米長(zhǎng)的毛坯y根．按題意得不等式＋≤．(1)在坐標(biāo)紙上畫出＋=(2)的直線．如圖4．因?yàn)橐氐玫膬煞N毛坯數(shù)的和必須是正整數(shù)，所以以(1)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)一定是第一象限內(nèi)的網(wǎng)格的交點(diǎn)．如果直線(2)上有網(wǎng)格的交點(diǎn)，那么按直線上網(wǎng)格交點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)的值作為下料方案，這時(shí)材料全被利用，因此這個(gè)方案就是最佳方案．但從圖4中可以看出，直線(2)不通過網(wǎng)格交點(diǎn)，在這種情況下，為了制訂最佳下料方案，應(yīng)該找靠近直線(2)的網(wǎng)格交點(diǎn)．當(dāng)然不能在直線(2)的上方半平面內(nèi)找網(wǎng)格交點(diǎn)．因?yàn)锽=＞0，上方半平面內(nèi)任何網(wǎng)格交點(diǎn)的坐標(biāo)都使＋＞，這時(shí)兩種零件毛坯長(zhǎng)度的和超過了原鋼材長(zhǎng)，這是不合理的．這樣，下料范圍只能限制在＋＜表示的區(qū)域內(nèi)．這個(gè)區(qū)域是直線(2)下方的半平面．在直線(2)的下方半平面上找到最靠近直線的網(wǎng)格交點(diǎn)，得點(diǎn)M