熱平衡態(tài)統(tǒng)計分布律

熱平衡態(tài)的統(tǒng)計分布律概率(幾率)事件：

必然事件2s

1

gt

2偶然事件

拋硬幣，炒

...可能性有多大？定義：在某一條件下，重復做大量的實驗，某個事件發(fā)生的頻率，即為某個事件發(fā)生的概率。記號：某個事件發(fā)生頻率AP

A事件發(fā)生次數(shù)N

A實驗次數(shù)

NN

某個事件的概率

P(A)概率的特性1、0

P(A)

1P(

A)

0P(

A)

1不可能事件必然事件2、所有事件的概率和=1歸一化拋硬幣P(正)

P(反)

1

1

12

23、乘法法則：兩個獨立事件同時發(fā)生的概率為單獨發(fā)生概率的積P(

AB

)

P(

A)P(B)兩枚硬幣都是正面的概率：

1

1

12

2

4平均值拋硬幣值

G正1反-1G

G

(正)P(正)

G

(反)P(反)

1

1

1

1

02

2nG

Gi

Pii

1伽

板xihi小球落入第i

個小槽的概率：i

iN

h

xhi

xiiNi

：落入第

i

個小槽的小球數(shù)N

：下落的總小球數(shù)滿足歸一化：iP

N

i

ii

P

1ih(

x)dx

h(

x)dxN當小槽細化，即x

dx

：

dP

dN

連續(xù)隨

量的概率令：f

(x)h(

x)

h(

x)dx概率分布函數(shù)，概率密度在x

處單位區(qū)間內(nèi)的概率dP

f

(

x)dxf

(

x)

dP

1

dN

dx

N

dx滿足歸一化：

f

(x)dx

1平均值：G

G(

x)

f

(

x)dx在(x,x+dx)區(qū)間內(nèi)的概率速率分布函數(shù)dP

f

(

x)dxf

(

x)

dP

1

dNdx

N

dx滿足歸一化：dP

F

(v)dvF

(v)

dP

1

dNdv

N

dv

f

(

x)dx

1

F

(v)dv

1平均值：G

G(

x)

f

(

x)dxG

G(v)

F

(v)dv，例：N個假想的氣體分子的速率分布求：（1）由N

和v0

確定N0；v2v0v0N

0NF

(v)解：速率分布函數(shù)：F

(v)

0,

當v

2v00000

v

2vNF

(v)

N

0

,當vNvF

(v)

N

0v,當0

v

v滿足歸一化：vdv

0Nv0N

02

v0v00vNN

0

dv

12

Nv1

N

000v

20N

N

0

v

1003v

2

NN求：（2）速率在1.5v0

到2v0

之間的分子數(shù)；解：F

(v)

1

dNN

dvdN

NF

(v)dvN

3v0F

(v)

N

0

2N

2

dv

N3v0

3NF

(v)dv

002

v1.5v02

v1.5v0N

求：（3）分子的平均速率。0v0N9v2v0N11v

0

dv

v00解：

v

vF

(v)dv

vN

v

0

Nv0dv

vF

(v)dNm32kT

v

2

d

v

mv

2

2N

2πkT

4π

e速率分布函數(shù)T

熱力學溫度m

單個分子的質(zhì)量k常量32kT

v

2

mv

2

e

2

2πkT

mF

(v)

4πdN

F

(v)

d

vNdN

速率在(v,v

dv)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)N

總分子數(shù)vF

(v)dv1v

v2NvN2v1F(v)

d

v

速率在(v1,v2)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或分子速率位于(v1,v2

)區(qū)間內(nèi)的幾率。NF(v)dvdN速率在(v,v

dv)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或分子速率位于(v,v

dv)區(qū)間內(nèi)的幾率。V,

n

NN

dvdNQ

F

(v

)

nF

(v)dv

d

N

V表示單位體積內(nèi)分布在速率區(qū)間

v

v

dv

內(nèi)的分子數(shù)。F

(v

)為速率分布函數(shù)，n

為分子數(shù)密度，說明下式的物理意義：(1)

nF

(v)dv(2)

NF

(v)dvQ

F

(v)

dN

Ndv

NF

(v

)d

v

d

N表示分布在速率區(qū)間v

vdv

內(nèi)的分子數(shù)。2v1F

(v

)dv(3)nvQ

F

(v)

dN

,

n

NNdv

VF

(v)dv

N

N

NV

N

V

nv2v1表示分布在單位體積內(nèi)，速率區(qū)間v1

v2內(nèi)的分子數(shù)。2v12v1F

(v)dvvF

(v)dv(4)vvNNNvdNNN12表示速率在區(qū)間(v1，v

2

)內(nèi)的分子的平均速率。QF(v)

dN

NdvNvdNN2N1vOT3T21TT1

T2

T3溫度越高，速率大的分子數(shù)越多同一氣體不同溫度下速率分布比較F

(v)F

(v)vOm3m1

m2

m3同一溫度下不同種氣體速率分布比較分子質(zhì)量越小，速率大的分子數(shù)越多。m2m1速率分布函數(shù)F

(v)中的極大值對應(yīng)的分子速率

vp

。0dvdF(v)極值條件最概然速率2kT

1.41

kTm

mpv

3m2kT

v

2

mv

2

2

2πkT

F

(v)

4π

e0m

2v2kT2v

v

2

dF

(v)dv3

4π

e

2πkT

m

22kT

mv

2kT2v

m

v3

0氣體分子速率的算術(shù)平均值m8kTv

平均速率0v

vF(v)

d

vmkT

1.6032kT

v

2

mv

2

e

2

2πkT

mF

(v)

4π032kT

v3dv

mv

2

2πkT

m

2

4π

e02dx

1

22x

e3

x常見積分表1

2

02e dx

x

1

202xe dx

x01432x

2

exdx

3

x

2x

e dx

0221850

2

3x

4

ex

dx

03

2

1x5e

x

dx

0I22e dx

xI

dxex2yI

e

dy2e

dxdy

(

x

2

y

2

)I2I

2

2er

2rdr02I

0e

drr

2

2xy平面上的2重積分用極坐標改寫：1

2

dx

02ex積分的計算0Gn

2xn

exdx00d

G

dd

dn

2

2xn

(

x

2

)ex

dx

G

2xn

ex

dx

n201

2G

xex

dx

1311d

2

22

dG

d

G

d

1

ndG

d

Gn

2積分的遞推關(guān)系氣體分子速率平方的平均值的平方根。mkTm3kTv

2

1

.732v02v

F(v)dv

3kTm速率32kT

v

2

mv

2

e

2

2πkT

mF

(v)

4πm032kT

v

4dv

mv

2

e

2

2πkT

4π023

8

5dx

x

4

exv2vvpOv

2v

p

v

成反比，但三者有一個確定的比例關(guān)系;三種速率使用于不同的場合。m三種速率均與

T

,vF

(v)例：根據(jù)

速率分布率，求：速率倒數(shù)的平均值

1

。

v

解：

e

mv

22kT

v

23

2

2πkT

mF

(v)

4π0

230

e

1

1

2πkT

F

(v)dv

4πmv

v

2kT

vdv

mv

213030ee2kT

dv

2

mv

2

πkT

2m

22kT

2kT

mv

2

2

2π

2πkT

m

2

4π1

2πkT

2mm速度分布律平衡態(tài)氣體分子的速率及速度分布規(guī)律是Maxwell在1859年

的

《氣體動力理論的說明》中給出的。速度分布率表達式為N

d

vx

d

vy

d

vzf

(v

)

x

y

z2kT3dNv,v

,vm

mv

2

e

2

2πkT

速度分布律的推導(1)以dNv

表示速度分量

vx

在

vx+dvx

之間的粒子x數(shù)，用分布函數(shù)f

(vx)表示在單位vx

區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率，則同理有xx

f

(v

)

d

vNdNvxyydNvy

f

(v

)

d

vNzz

f

(v

)

d

vdNv

z

N(2)假設(shè)三個概率是彼此獨立的，則粒子同時出現(xiàn)在vx

~

vx+dvx

，vy

~

vy+dvy，vz

~

vz+dvz間的概率為:式中f

(v

)

f

(vx

)f

(vy

)f

(vz

)為速度分布律z

f

(vx

)

f

(vy

)

f

(vz

)

d

vx

d

vy

d

v

f

(v

)

d

vx

d

vy

d

vzdNv,v

,vx

y

zN(3)由于粒子在各方向運動的概率相等，所以速度分布與粒子的速度方向無關(guān)，即速度分布函數(shù)只是速度大小的函數(shù)速度分布率可以寫成f

(v

)

f

(v

)

f

(v

)

f

(v

2

)

f

(v

2

v

2

v

2

)x

y

z

x

y

zv

v

x2

v

2

v

2y

z的形式，x經(jīng)猜測，函數(shù)

f

(v

)

可具有2xCeAv22

222z33AvAvAvAvx

y

z2y2x

C

eA(

v

v

v

)f

(v

)

Ce

Ce

Ce

C

e分布函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件具有無限大速率的粒子的概率極小，故A

應(yīng)為負值。3x

y

z(

v

2

v

2

v

2

)

/

α

2令

A

1/

α2

f

(v

)

C

ezv2

/

α2e

dv

1yv

2

/

α2e

dvxv2

/

α2e

dvzyx3f

(v)dv

dv

dv

Cx

y

zx

e dvx

αv2

/

α201

2

2exdx

αC

12

2ev

/

α13

α

3f

(v

)

速率分布律將速度分布律中體積元dvx

dvy

dvz

換成4v2dv

,得粒子在v

到v+dv

區(qū)間出現(xiàn)的概率vx

,

vy

,

vz1、速度空間在半徑為v，厚度為dv、體積為

4v2dv

的球殼內(nèi)，粒子的速率

v出現(xiàn)在同一速率區(qū)間dv內(nèi)的概率相同。O(vx

,vy

,vz

)vzvxyvyvv

zvx由上式可得速率平方的平均值2v2

3

2dv2

2v

/

αe

v

2

dv3

α

3F

(v)dv

42、確定常數(shù)速率平方的平均值2v

3

22v2

3kTm

2

2kTm32kT

v

2

mv

2

e

2

2πkT

mF

(v)

4πm2kT速度分布律及速率分布律表達式為：3

mv

2

e

2

2πkT

f

(v

)

壓強微觀公式

P

2

N

1

mv

23

V

2理想氣體狀態(tài)方程PV

RT例：氣體分子局限于一維運動，速率服從求：分子的最概然速率，平均速率。分布律解：2kTm3

mv

2

e

2

2πkT

f

(v

)

三維：f

(v

)

f

(vx

)

f

(vy

)

f

(vz

)各向同性：2kTmv

2mv2xmv2mmm1

z

1

y

1

e

2

2πkT

e

2

2πkT

e

2

2πkT

2kT

2kT

f

(v

)

x2kTmv

2m1

e2

2πkT

f

(vx

)

其中：一維速度分布律正反

稱：一維速率分布律x2kTmv21

e

πkT

2m

2F

(vx

)

2

f

(vx

)

dF(v

)最概然速率：

x

0dvx1emv

2

πkT

2m

22kTmv

0x2kT

2x

0vxpx平均速率：

v

0vx

F(vx

)

d

vxx2kTmv

21

e

πkT

2m

2F

(vx

)

xv

x2kT

dvxmv

210vx

e

πkT

2m

2m2kT例：氣體分子局限于二維運動，速率服從求：分子的最概然速率，平均速率。分布律解：二維：2kTmv

2mmmv

2x2kT1

y

f

(v

)

f

(vx

)

f

(vy

)1

e

2

2πkT

e

2

2πkT

f

(v

)

2kTmmx

y2kTm

(v2

v2

)2

mv

e

e

2πkT

2πkT

f

(v

)

二維速度分布律將二維速度分布律中面積元dvx

dvy

換成2vdv

,得粒子在v

到v+dv

區(qū)間出現(xiàn)的概率F

(v)

2vf

(v

)2kT

mv

2m2kT

mv2e

kT

mv

e

2πkT

2v二維速率分布律mkTpv

2mkTv

分子速率的實驗測定小孔充分小，改變，測

D

上的沉積厚度，就可測氣體速率分布給定l

t

v

v

l

小孔充分小，改變

或l

，可使不同速度的分子通過小孔。D蒸汽源檢測器l抽氣

抽氣重力場中微粒密度的等溫分布z

dzzzp

dpp粒子數(shù)密度n，面積dS(

p

dp)dS

nmg

dSdz

pdSdp

nmg

dz理想氣體：p

nkT等溫狀態(tài)：dp

kTdnkTdn

nmg

dzdn

mgn

kTdz

mgzkTn

n0

e

mgzkTp

p0

e重力場中微粒密度的等溫分布律

mgzkTdN

(

z)

n0

e

dzdSdN

(

z)

ndzdSdS

n

kT

dzdS

mgzkT0mgekT0

mgzN

dN

(

z)

n0

e

mgzkTf

(

z)

eNdz

kTdN

mgf

(

z)z密度按位置分布律kT

mgzkTU

(

r

)n

n0

en(r

)

n0

e

εpkTf

(r

)

f0

e-分布律m2kT3

mv

2

2

2πkT

f

(v

)

ekTm3

εk

2

2πkT

f

(v

)

ek

pkTm3ε

ε

e

2

2πkT

f

(v,

r

)

f0

熱力學第二定律的統(tǒng)計意義從統(tǒng)計觀點探討過程的不可逆性和熵的微觀意義，由此深入認識第二定律的本質(zhì)。不可逆過程的統(tǒng)計性質(zhì)

（以氣體

膨脹為例）初始狀態(tài)末狀態(tài)或不確定性增加一倍抽掉隔板分布（宏觀態(tài)）詳細分布（微觀態(tài)）14641微觀態(tài)數(shù)：2

4

16宏觀態(tài)與微觀態(tài)2104個粒子分布若所有的微觀狀態(tài)其出現(xiàn)的可能性是相同的?？偽⒂^狀態(tài)數(shù)16，左4右0

和左0右4，幾率各為1/16；左3右1和左1右3

，幾率各為1/4；左2右2，幾率為3/8。對應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)目多的宏觀狀態(tài)是均勻分布。3456左

4

右

0左

3

右

1左

2

右

2左

1

右

3左

0

右

4統(tǒng)計物理基本假定等幾