概率論-ch8.6分布擬合檢驗(yàn)

第六節(jié)

分布擬合檢驗(yàn)一、

2擬合檢驗(yàn)法二、偏度、峰度檢驗(yàn)三、小結(jié)

2一、

擬合檢驗(yàn)法

2檢驗(yàn)法的定義這是在總體的分布未知的情況下,根據(jù)樣本X1

,X2

,L

,Xn

來檢驗(yàn)關(guān)于總體分布的假設(shè)H0

:總體X

的分布函數(shù)為F

(x),H1

:總體X

的分布函數(shù)不是F

(x),的

法.說明在這里備擇假設(shè)H1可以不必寫出.(2)若總體

X

為離散型則上述假設(shè)相當(dāng)于:H0

:

總體

X

的分布律為P{X

ti

}

pi

,

i

1,2,L.若總體

X

為連續(xù)型:

則上述假設(shè)相當(dāng)于H0

:總體X

的概率密度為f

(x).在使用

2檢驗(yàn)法檢驗(yàn)假設(shè)

H

時(shí),

若

F

(

x)的0形式已知,但其參數(shù)值未知,需要先用最大似然估計(jì)法估計(jì)參數(shù),然后作檢驗(yàn).但一般來說,若H0

為真,且試驗(yàn)次數(shù)又多時(shí),這種差異不應(yīng)很大.nf中,事件A

出現(xiàn)的頻率i

i與

p

(或

p? )

往往有差異,iik將隨機(jī)試驗(yàn)可能結(jié)果的全體

分為k

個(gè)互不相容的事件

A1,

A2

,

L

,

An

(

Ai

,

Ai

Aj

,

i

j,i

1i,

j

1,

2,

L

,

k

).

于是在假設(shè)

H0

下,

可以計(jì)算pi

P(

Ai

)

(或

p?i

P?

(

Ai

)),

i

1,2,

L

,

k.

在n次試驗(yàn)2.

2檢驗(yàn)法的基本思想3.kikin

nnpfi

2pi

n

fii

12

2

i

1

p2或

定理設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H0

的統(tǒng)計(jì)量為定理若

n

充分大(

50),

則當(dāng)

H0

為真時(shí)(不論H0中的分布屬什么分布),

上統(tǒng)計(jì)量總是近似地服從自由度為k

r

1的

2

分布,其中,r是被估計(jì)的參數(shù)的個(gè)數(shù).于是,如果在假設(shè)H0

下,i

1npi(

fi

npi

)2

2(k

r

1),k

2

H0

,否則就接受H0

.則在顯著性水平

下注意在使用

2檢驗(yàn)法時(shí),

n要足夠大,

np

不i

太小.根據(jù)實(shí)踐,

一般

n

50,

每一個(gè)npi

5.例1把一顆出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)試檢驗(yàn)這顆重復(fù)拋擲300

次,結(jié)果如下:1

2

3

4

5

640

70

48

60

52

30的六個(gè)面是否勻稱?(取

0.05)解

根據(jù)題意需要檢驗(yàn)假設(shè)H0:

這顆

的六個(gè)面是勻稱的.60(或

H

:

P{

X

i}

1(i

1,2,L,6))一次所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(可能其中

X表示拋擲這值只有6

個(gè)),取i

{

i

}, (

i

1,2,

L

,6

)互不相容事件.(i

1,2,L,6)為則事件

Ai

X

i

{X

i}6(i

1,2,L,6)npi在

H0

為真的前提下,

pi

P(

Ai

)

1

,i

1k

2

(

fi

npi

)26300

16(40

300

1)26300

16(70

300

1)26300

16(48

300

1)2300

16

2

20.16,6(60

300

1)2300

16度為6

1

5,6(52

300

1)2,66300

1(30

300

1)220.052查

(5)表得

11.07,

2

20.16

11.07,所以

H0,認(rèn)為這顆的六個(gè)面不是勻稱的.在一試驗(yàn)中,每隔一定時(shí)間觀察一次由某種鈾所放射的到達(dá)計(jì)數(shù)器上的

粒子數(shù),

共觀察了100次,得結(jié)果如下表:i0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12fi9

2

1

2

1

0AiA0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12,

i

0,1,2,L,i!

ie

i考慮

X

應(yīng)服從泊松分布

P

X其中fi

是觀察到有i

個(gè)

粒子的次數(shù).從理論上是否符合實(shí)際?(

0.05)i!問PX

iei例2解

所求問題為:

在水平

0.05

下檢驗(yàn)假設(shè)H0

:總體

X

服從泊松分布,

i

0,1,2,

L

,i!PX

iei由于在H0

中參數(shù)

未具體給出,故先估計(jì).由最大似然估計(jì)法得根據(jù)題目中已知表格,

x

4.2,P{X

i}有估計(jì)如

p?0

P?X

0

e4.2

0.015,3!e4.2

4.23

0.185,3p?

P?X

311p?12

P?X

12

1

p?i

0.002,i

1具體計(jì)算結(jié)果見下頁表8.3,i!e4.2

4.2ii?X

i

,

i

0,1,2,

L

,p?

P

表8.3Aifip?inp?

if

2

/

np?i

iA0A10.015

0.0780.0631.56.34.615A2A3A40.1320.1850.19413.218.519.419.39415.62234.845A5A690.1630.11416.311.47.4237.105A790.0696.911.739A820.0363.6A9A1012

60.0170.007

0.0651.70.75.538A11

A12100.0030.0020.30.2

=106.281例2的

2

擬合檢驗(yàn)計(jì)算表(6)

12.592

6.2815,0.056,

2

(k

r

1)

2故接受H0,認(rèn)為樣本來自泊松分布總體.其中有些np?i

5的組予以合并,使得每組均有npi

5,如表中第四列化括號所示.并組后k

8,故

2

的度為8

1

1

自

至世界記錄到里氏震級4級和4級以上計(jì)如下:共2231天中,全共162次,統(tǒng)(

0.05)(X

表示相繼兩次

間隔天數(shù),Y

表示出現(xiàn)的頻數(shù))X0

45

910

1415

1920

2425

2930

3435

39

40Y50312617108668試檢驗(yàn)相繼兩次

間隔天數(shù)

X

服從指數(shù)分布.解

所求問題為:

在水平0.05下檢驗(yàn)假設(shè)例30H

:

X

的概率密度0,1f

(

x)

xe

,

x

0,x

0.由于在H0

中參數(shù)

未具體給出,故先估計(jì)

.162由最大似然估計(jì)法得?

x

2231

13.77,的子區(qū)間[ai

,ai1

),i

1,2,L,9.X

為連續(xù)型隨

量,將X

可能取值區(qū)間[0,

)分為k

9

個(gè)互不(見下頁表)Aifip?inp?

if

2

/

np?i

iA1

:

0

x

4.55031261710866

80.27880.21960.15270.10620.07390.05140.03580.0248

0.056845.165635.575224.737417.204411.97188.32685.79964.0176

13.21929.201655.3519A2

:

4.5

x

9.527.0132A3

:

9.5

x

14.527.3270A4

:14.5

x

19.516.7980A5

:19.5

x

24.58.3530A6

:

24.5

x

29.57.6860A7

:

29.5

x

34.56.2073A8

:

34.5

x

39.5A9

:

39.5

x

14.8269

=163.5633表8.4例3的

2

擬合檢驗(yàn)計(jì)算表在H0

為真的前提下,0,x

0,x

0.X

的分布函數(shù)的估計(jì)為F?

(x)

1

ex13.77

,概率pi

P(Ai

)有估計(jì)p?i

P?

(

Ai

)

P?{ai

X

ai

1

}

F?

(ai1

)

F?

(ai),如

p?2

P?

(

A2

)

P?{4.5

X

9.5}

F?

(9.5)

F?

(4.5)

0.2196,8p?9

F?

(

A9

)

1

F?

(

Ai

)

0.0568,i

1(6)

12.592

1.5633,

2

(k

r

1)

20.05故在水平0.05

下接受H0

,認(rèn)為樣本服從指數(shù)分布.

2

163.5633

162

1.5633,k

8,

r

1,下面列出了84個(gè)依特拉

人男子的頭顱的最大寬度(mm),試驗(yàn)證這些數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)總體?(

0.1)141148132138154142150146155

158150140147148144150149145149

158143141144144126140144142141

140145135147146141136140146142

137148154137139143140131143141

149148135148152143144141143147

146150132142142143153149146149

138142149142137134144146147140

142140137152145例4解所求問題為檢驗(yàn)假設(shè)0e ,

x

.H

:

X

的概率密度f

(x)(

x

)22

212π由于在

H0

中參數(shù)

,

2

未具體給出,故先估計(jì),

2

.?2

6.02

,由最大似然估計(jì)法得?

143.8,將X

可能取值區(qū)間(,)分為7

個(gè)小區(qū)間,(見下頁表)在H0

為真的前提下,X

的概率密度的估計(jì)為Aifip?inp?

if

2

/

n

p?i

iA1

:

x

129.5A2

:129.5

x

134.51

41033249

30.0087

0.05190.17520.31200.28110.1336

0.03750.73

5.094.3614.7226.2123.6111.22

14.373.154.91A3

:134.5

x

139.56.79A4

:139.5

x

144.541.55A5

:144.5

x

149.524.40A6

:149.5

x

154.510.02A7

:154.5

x

=87.67表8.5例4的

2

擬合檢驗(yàn)計(jì)算表12π

6262e ,

x

.f?

(

x)

(

x143.8)2概率pi

P(Ai

)有估計(jì)如p?2

P?

(A2

)

P?129.5

x

134.5

6

6

134.5

143.8

129.5

143.8

(1.55)

(2.38)

0.0519

.

2

(k

r

1)

2

(5

2

1)

2

(2)

4.605

3.67,0.1

0.1故在水平0.1

下接受H0,認(rèn)為樣本服從正態(tài)分布.一農(nóng)場10年前在一魚塘里按如下比例20:15:40:25投放了四種魚:鮭魚、鱸魚、竹夾魚和鲇魚的魚苗.現(xiàn)在在魚塘里獲得一樣本如下:序號1234種類鮭魚鱸魚竹夾魚鲇魚數(shù)量(條)132100200168

600檢驗(yàn)各魚類數(shù)量的比例較10年前是否有顯著改變?(取

0.05)例5解

用

X

記魚種類的序號,根據(jù)題意需檢驗(yàn)假設(shè):432i0.20

0.15

0.40

0.25X

1H0

:X

的分布律為p所需計(jì)算列表如下(n

600)Aifipinpif

2

/

np?i

iA11320.20120145.20A21000.1590111.11A32000.40240166.67A41680.25150188.16=611.14表8.6例5

的

2

擬合檢驗(yàn)計(jì)算表

2

611.14

600

11.14,認(rèn)為各魚類數(shù)量之比較10

年前有顯著改變.k

4,

r

0,20.0520.05(k

r

1)

(3)

7.815

11.14,

故H0,二、偏度、峰度檢驗(yàn)1.問題的提出根據(jù)第五章關(guān)于中心極限定理的論述知道,正態(tài)分布隨

量較廣泛地存在于客觀世界,

因此,

當(dāng)研究一連續(xù)型總體時(shí),

人們往往先

它

是否服從正態(tài)分布.

上面介紹的

2

檢驗(yàn)法雖然

是檢驗(yàn)總體分布的較一般的方法,

但用它來檢驗(yàn)總體的正態(tài)性時(shí),

犯第II類錯(cuò)誤的概率往往較大.為此,在對檢驗(yàn)正態(tài)總體的種種方法進(jìn)行比較后,認(rèn)為“偏度、峰度檢驗(yàn)法”和“ －

克法”較為有效.(此處只介紹前一種)2.隨D(

X

)隨量的偏度和峰度的定義量X

的偏度和峰度指的是X

的標(biāo)準(zhǔn)化變量X

E(X

)的三階中心矩和四階中心矩:D(

X

)

X

E(

X

)

3

v1

E

,(

D(

X

))3

/

23E[(

X

E(

X

))

]

X

E(

X

)

4v2

E

D(

X

)

(

D(

X

))24E[(

X

E(

X

))

]

.

當(dāng)隨

量

X

服從正態(tài)分布時(shí),

v1

0

且v2

3.3.樣本偏度和樣本峰度的定義,21.G

~

N

3

6 24n(n

2)(n

3)n

1 (n

1)2

(n

3)(n

5)

(n

1)(n

3)

G

~

N

0,6(n

2)

,設(shè)X1

,X2

,L

,Xn

是來自總體X

的樣本,242分別稱為樣本偏度和樣本峰度.B2BG

,21B3

/

2B3則G

其中Bk

(k

2,3,4)是樣本k階中心矩.若總體

X

為正態(tài)變量,則當(dāng)n

充分大時(shí),近似地有4.偏度、峰度檢驗(yàn)法設(shè)

X1

,

X

2

,

L

,

Xn

是來自總體

X

的樣本,現(xiàn)在來檢驗(yàn)假設(shè)

H0

:

X

為正態(tài)總體.16(n

2)

(n

1)(n

3)記

,2,

24n(n

2)(n

3)(n

1)2

(n

3)(n

5),26n

1

3

11u

G1

,22u

G2

2

.當(dāng)

H0

為真且

n

充分大時(shí),

近似地有u1

~

N

(0,1),

u2

~

N

(0,1).由第六章第二節(jié)知樣本偏度G1

和樣本峰度G2

分別依概率收斂于總體偏度v1

和總體峰度v2

.因此當(dāng)

H0

為真且

n

充分大時(shí),

一般地G1

與v1

0的偏離不應(yīng)太大,G2

與v2

3的偏離不應(yīng)太大.故從直觀來看當(dāng)|

u1

|

或|

u2

|

過大時(shí),

就

H0

.取顯著性水平為,

H0的

域?yàn)閨

u1

|

k1

或|

u2

|

k2

,其中k1

和k2

由下兩式?jīng)Q定,2P

{|

u

|

k

}

;H0

1

12P

{|

u

|

k

}

.H0

2

2即k1

z

/4

,k2

z

/

4

,于是得

域u1

z

/

4或

u2

z

/

4