科學(xué)院202高等代數(shù)試題答案

中國(guó)2012高等代數(shù)試題答（hfg1964解答，參考證法 用反證法，若多項(xiàng)式f(x)有重根，則f(x)有重因式，以下證fx1(n設(shè)f(x),f'(xd(x，由f'(x11x11(n

xn1d(x)[f(x)f'(x)]，即得d(x)xn，故d(x)只可能為1,x, ,xn之一者，如d(x)1xd(x

f(x)，得x1，證法 若有重根c，則f(c)f'(c)0f(c)f'(c)0，即1cn0得c0，即f(0)0，分析：f(x)r(x)g1(xp(x)證明由p(xg1(x1，得p(x)u(xg1(x)v(x1，f(x)p(x)u(x)f(x)g1(x)v(x)f(x)v(x)f(x)p(x)v(x)f(x)p(x)q(x)r(x)，這里r(x)0或degr(x)degp(x)，故得f(x)p(x)u(x)f(x)g1(x)[p(x)q(x)r(x)g1(x)p(x)于是f(x)g(x)

r(x)pk

1pk1(x)g1 解根據(jù)公式det(IABnmdet(IBAA為nm B為mn

an1an1A

I a1 a1

an1an1det(IA)det[(1)I

a1 a1

(1)n2det[(

an 2a 2a (1)n2det1 (1)n2(2n)(n) 1n 故所有特征值為12 n21，n1n2，nn。其余略4．證 Kn，由(A)A，其中AV，AV1KnVVKnVVVVVVV

0 或者利用冪等矩陣的性質(zhì)rankArank(IA)ndimVdimVndim(Kndim(VV 分析：用分塊初等變

0

1 1 1TA1T 1 T I1T 1TA1 1TA1 T

0A1T 1TA1 1

T1T

1TA1

1T

1TA1 0證明（1）由

1

T1T

1TA1

1 A 0（2）

1

1 A 0證明（方法一

1

1，由（1） A 0 AT可逆，仿照（1） 1

A

0 A

T 0

1

1A 1故 (A

1TA1 （方法二 仿照(IBA)1IB(IAB)1A的證明方法，把A ATA(IA1T)，得到(AT)1(IA1T)1A1[IA1(1TA1)1TA

A1T1T

證 由于IA與IA'具有完全相同的行列式因子，得證解 設(shè)X x2，注意到XW(X,A)0,(X,B)0，得 x 4線性方程組可求出基礎(chǔ)解系，得W的一組基X1,X2，用正交化方法X1,X2化為標(biāo)準(zhǔn)正交基即得。證明先證明若T1,T2為非零線性變換，則存在向量V，使得T2(10T1(20，則結(jié)論成立。以下設(shè)T2(10且T1(20，取，12，則T1()T1(12)T1(1T1(2)T1(1)0，同理T2()0。以下用數(shù)學(xué)歸納法證明，為說(shuō)明這種方法，也為了書寫簡(jiǎn)單計(jì)僅把結(jié)，論推廣到三個(gè)線性變換T1,T2,T3（不難用同樣的方法寫出一般證明，略根據(jù)上面證明，找到了向量V，使T1()0，T2()0，如果T3()0，結(jié)論得證。故不妨設(shè)T1()0T2(0，而T3()0，又設(shè)有向量V，使得T3(0kT1(kkT1(T1(T1(與T1(為固定向量，而T1(0，故使T1(kkT1(T1(0的k至多只有一個(gè)，同理使T2(k0的k至多也只有一個(gè)，即對(duì)無(wú)窮多個(gè)k，使T1(k0，T2(k0，而T3(kkT