必修一(8)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)

■■1.、2xIE例1：已知f(x)■■■，求使f(x)■1的x的取值范圍.指對函數(shù)及冪函數(shù)指對函數(shù)及冪函數(shù)三個基本函數(shù)的考查一直是高考必考重點，對于指對函數(shù)考查主要集中在圖像性質(如定點、定義域、運算性質、單調性、復合函數(shù)單調性以及比較大小等熱點考點)，對冪函數(shù)主要考查五中基本類型的的冪函數(shù)，另該知識點也常和不等式、解三角形、導數(shù)、三角函數(shù)等知識點結合在一起考查，故在高一階段應該打好基礎，學好三種基本函數(shù)的基本性質及其運用.一、基礎知識回顧(1)含零的指數(shù)冪運算：Qao■1(a■0)?0x■1(x■0)(2)根式與分數(shù)指數(shù)冪的轉化運算：Qna■(當n,a■0)Qa?■—(a■0)Qam■man(a■0,n■1)Qa哼■—(a■0)annam(3)指數(shù)冪的運算性質Qaman■amm(a■0,m,n■R)Q2(am)n■amn(a■0,m,n■R)Q(ab)n■anbn(a■0,b■0,n■R)練習1求下列函數(shù)的定義域：3(1)f(x)■(x2■2xB3)0(2)f(x)■0xXx招(3)f(x)■<x2H3xH4(4)f(x)■(x2■x■2)4練習2求下列式子的值：731■8?12424(2)*■(3)2IE(4)162二、指數(shù)函數(shù)定義：一般形如J■ax(a■0且a■1,x■R)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x自變量是，a是底數(shù)?:a:1■、單調遞減工均過定點(0,1),值域為(0-)定義域為■■1■單調遞增■重要性質：，匕較大小的方法：化成同底數(shù)或同指數(shù)勖程思想：形如ma2x■nax■k■0解方程可以將設看■ax將其轉化為一元二次方程限合函數(shù)性質綜合：af(x)(單調性：同增異減)題型1：考查圖像解析：此題考查指數(shù)函數(shù)基本性質，因為f(%)的圖像必過(0,1)且為減函數(shù)，故只需解了2■2x■3■0解：X2■2%113■0■%-唯1■練習1求下列各式滿足條件的%的解集：(1)f(x)■22%■1(2)f(x)■3%氏■9(3)f(x)■0.5%&x招■1題型2：比較大小-2.32例2：已知a■軀；，b■軀.，c■軀；，比較a，b,c的大小解析：可以發(fā)現(xiàn)a與b同底且結合f(%)■￡H為單調遞減，故有a■b，又a與c同指數(shù)，可以由草圖得知a■c解：b■a■c練習1已知有m■《［，n；，試在下列條件下比較m，n的大小(1)a■b(2)a■0,b■0(3)a■0,b■0(4)a■0,b■0(5)a■0,b■0題型3：判斷單調性求值域例3：函數(shù)f(%)■2%2跳-2，求函數(shù)f(%)在唾■的值域.解析：f(%)■2g(%)，根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”得到f(%)在區(qū)間噬1上為增函數(shù)，故f(%)值域為■f(1),f(2).解：由題意f(%)■f(1)■22■4,f(%)■f⑵?25■32，故f(%)在區(qū)間唾■的值域為?32?minmax練習1■1■練習1■1■2%,E函數(shù)f(%)■甑I,求函數(shù)f(%)在噬11的最大值.練習2函數(shù)f(%)■2%2-2%理，求函數(shù)f(%)在?，?■的最大值.題型4：綜合方程考查例4：已知關于％的方程f(%)■3,U%■2,5(%■0)，求f(%)的最值.解析：此類形式可先將方程進行轉化，令tB||H(0■t■1)，原方程轉化為f(t)■3t2■2t■5,由于已知t的取值范圍，故進一步可求f(X)的最值.解：令t?1|(0■t■1)，原方程轉化為f(t)■3t2■21B514當t■3，即x■1時，方程f(x)取得最小值，f(1)■3；當t■1，即x■0時，方程f(x)取得最大值，f(0)■6.練習1已知關于x的方程f(x)■4x■2x??8(x■0)，求f(x)的最值三、對數(shù)函數(shù)定義：一般若有ax■N(a■0a■1)，則x叫做以為a底N的對數(shù)，記作x■logN，其中稱a為底，N為真a數(shù).!0:aI:、單調遞減)均過定點(助，值域為定義域為(0■)a■1■單調遞增■［自然對數(shù)：以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)將logN記作lnN常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)，將10gl°記作lgNe重要性質：J常用性質：log1■0,loga■1(a■0且'■1)aa運算性質：log(MN)■logM■logN;log—IlogMMogN;logMb■blogMaaaaNaaaaI!恒等式：alogaN■N;換底公式：logN■logaNMlogM

a題型1：考查對數(shù)函數(shù)定義域例1已知函數(shù)f(x)■log(x2■3xH4)，求函數(shù)的定義域2解析：此題復合函數(shù)考查定有類型，u(x)■x2■3x■4■0解集即為函數(shù)f(x)的定義域解：令u(x)■x2■3x■4■0解得x■■或x■1，故f(x)的定義域為■■?電(1?■)練習1已知函數(shù)f(x)■log(x2B3x?4)，求函數(shù)的定義域.2練習2已知函數(shù)f(x)■lg(lx2■2x■3)，求f(2x)■f(x■1)的定義域.題型2：考查單調區(qū)間且求最值例2求函數(shù)f(x)■ln(3x■5)的單調區(qū)間

解析：由題可求出函數(shù)f(X)的定義域為抬解析：由題可求出函數(shù)f(X)的定義域為抬，■■；令t■3x■5,為增函數(shù)，且f(t)■lnt在?,■■■上為增函數(shù)，“同增異減”，故f(x)在普，■■(上單調遞增解：f(x)的單調增區(qū)間為練習1求函數(shù)f(x)■log(x2■x■6)的單調減區(qū)間3題型3：考查對數(shù)運算例3求lg25■lg4的值解析：可以發(fā)現(xiàn)直接求值是行不通的，可以將原式運用對數(shù)運算性質進行化簡解：lg25■lg4■lg(25■4)■lg100■2練習1計算下列各式的值(1)log24■log3(2)log161log8(3)log912log32281644題型4：考查奇偶性例4已知函數(shù)f(x)■log營(a■1)，試判斷函數(shù)f■x■奇偶性a1■x解析：判斷函數(shù)的奇偶性首先要判斷定義域是否關于原點對稱，再運用其奇偶性判斷方法構造f■.比較f.■與f■鼎關系1■x—解：由■0得?■x■1(關于原點對稱)1■x1■x一■x―1■x又f(ix)■log■log■■??og■町■x■a1■xa■■x■a1■x所以f■x1是奇函數(shù)x■2練習1已知函數(shù)f(x)■log，試判斷函數(shù)f■1的奇偶性，若f(x)■log3a恒成立，求實數(shù)a的值x■212題型5：比較大小例5：設a，b，cd均為非負數(shù)，且有腿.■log2a，2b?log1b，腿.-log,c，2d■log2d，試比較例5：設a，b，cd的大小四、冪函數(shù)定義：一般形如J■X”?！鯮）的函數(shù)稱為冪函數(shù)，X為自變量，a為常數(shù)■判斷：1、指數(shù)為常數(shù)；2、底數(shù)為自變量；3、冪系數(shù)為1■■比較大?。号c指數(shù)函數(shù)一樣化為同底或同指數(shù)重要性質：［奇偶性：當。為奇數(shù)時，冪函數(shù)奇函數(shù)；當a為偶函數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)!單調性：熟記y■X，y■x2，y■x3，y■x■，y■x叫y■x2，y■x3圖像題型：冪函數(shù)判斷i-例1若（m2■3）XmH2■n■3是冪函數(shù)，求m■n的值i-解析：因為（m2B4）Xm0■nB3為冪函數(shù)，則必須符合冪函數(shù)的幾個判斷條件，由判斷條件解出m，n的值，則可以求出m■n的值■m2■3■1TOC\o"1-5"\h\z.一」■m解：由題意■m■2■0■■■m■n■1■■3〉■3■0■練習1判斷下列函數(shù)是否為冪函數(shù)：（1）y■x2（2）y■3■x3（3）y■x相（4）y■x■1（5）y■x（6）y■3x■1X（7）y■2x（8）y■x2（9）y■23練習2若f（x）■（m■2）x31m為冪函數(shù)，求f（4）的值.題型2：性質結合圖像綜合運用規(guī)律：對于y■Xa（a■R）由圖像先判斷a的正負，圖像過原點且在第一象限為增函數(shù)則a■0，若圖像不過原點且在第一象限為減函數(shù)則a■0；其次判斷奇偶性，若圖像關于y軸對稱，則a為偶數(shù)且冪函數(shù)為偶數(shù)，若圖像關于原點對稱，則a為奇數(shù)且冪函數(shù)為奇函數(shù)；當a■1時，圖像曲線在第一象限下凹，當0■a■1時，圖像曲線在第一象限上凸，當a■0時，圖像曲線在第一象限下凹.經(jīng)典鞏固練習(2006福建)已知f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0■x■1時，f(x)■lgx.設a■f(5),b()A.a■b■cB.b■a■cC.c■b■aD.c■a■bTOC\o"1-5"\h\z一.—2■x-x2.(2006湖北)設f(x)■lg，則f(-)■f(-)的定義域為()2■x2x4)A.(—4,0)U(0,4)B.(—4,—1)U(1,4)C.(-2,-1)U(1,2)D.(-4,-2)U(2,4)(2006湖南)函數(shù)>■v.1log2x的定義域是()A.(0,1]B.(0,)C.(1,)D.[1,)(2006湖南)函數(shù)y■v'log_x■2的定義域是A.(3,)B.[3,)C.(4,,)D.[4,)(2006天津)設P■log3,Q■log2,R■log(log2)，則()2323A．R■Q■PB．P■R■QC．Q■R■PD．R■P■Q(2006浙江)已知10glm■log^n■0,則()22A.n<m<1B,m<n<1C,1<m<nD,1<n<m(2006全國)若a■ln2,b■In3,c■電5，則()235A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c1(2005上海)若函數(shù)f(x)2x.1，則該函數(shù)在■■■?上是()A.單調遞減無最小值B.單調遞減有最小值C.單調遞增無最大值D.單調遞增有最大值(2005北京)函數(shù)y■log2x的圖象是()13.(2005)函數(shù)f(13.(2005)函數(shù)f(x)■1log(lx2■4x■3)2的定義域為(A.(1,2)U(2,3)B.(■?1)■(3,BB)C.(1,3)D.[1,引X■3.—.._.—(2009北京)為了得到函數(shù)y■lg^0-的圖像，只需把函數(shù)y■lgX的圖像上所有的點()A.向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度B.向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度C.向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度D.向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度(2009全國)設a■lge,b■(lge)2c■lgJe則()A.a■b■cB.a■c■bC.c■a■bD.c■b■a(2010廣東)若函數(shù)f(x)■3x■3?r與g(x)■3xH3-X的定義域