版北師大九年級上數(shù)學(xué)教案講解

特殊的平行四邊形§1,1菱形的性質(zhì)及判定一、教學(xué)目標(biāo)：．1、菱形的性質(zhì)定理的運(yùn)用．2．菱形的判定定理的運(yùn)用．二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：掌握菱形的性質(zhì)推導(dǎo)及面積計算方法的推導(dǎo)，運(yùn)用綜合法解決菱形的相關(guān)題型。三、概念：菱形性質(zhì)：1．兩條對角線互相垂直平分；2．四條邊都相等；3．每條對角線平分一組對角；4．菱形是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形。菱形的判定定理：1、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（定義）2、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．（根據(jù)對角線）3、四條邊都相等的四邊形是菱形．（根據(jù)四條邊）4、每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形．（對角線和角的關(guān)系）四、講課過程：例題、例1.（2006?大連）已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，E是BD延長線上一點(diǎn)，F(xiàn)是DB延長線上一點(diǎn)，且DE=BF．請你以F為一個端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只須證明一組線段相等即可）．（1）連接AF；（2）猜想：AF=AE；（3）證明：（說明：寫出證明過程的重要依據(jù)）考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定及性質(zhì)。專題：幾何綜合題。分析：觀察圖形應(yīng)該是連接AF，可通過證△AFB和△ADE全等來實現(xiàn)AF=AE．解答：解：（1）如圖，連接AF；（2）AF=AE；（3）證明：四邊形ABCD是菱形．∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABF=∠ADE，在△ABF和△ADE中∴△ABF≌△ADE，∴AF=AE．點(diǎn)評：此題考查簡單的線段相等，可以通過全等三角形來證明．例2、（2009?貴陽）如圖，在菱形ABCD中，P是AB上的一個動點(diǎn)（不及A、B重合），連接DP交對角線AC于E連接BE．（1）證明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，試問P點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，△ADP的面積等于菱形ABCD面積的，為什么？考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定及性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題；動點(diǎn)型。分析：（1）可先證△BCE≌△DCE得到∠EBC=∠EDC，再根據(jù)AB∥DC即可得到結(jié)論．（2）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到AB邊的中點(diǎn)時，S△ADP=S菱形ABCD，證明S△ADP=×AB?DP=S菱形ABCD即可．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形∴BC=CD，AC平分∠BCD（2分）∵CE=CE∴△BCE≌△DCE（4分）∴∠EBC=∠EDC又∵AB∥DC∴∠APD=∠CDP（5分）∴∠EBC=∠APD（6分）（2）解：當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到AB邊的中點(diǎn)時，S△ADP=S菱形ABCD．（8分）理由：連接DB∵∠DAB=60°，AD=AB∴△ABD等邊三角形（9分）∵P是AB邊的中點(diǎn)∴DP⊥AB（10分）∴S△ADP=AP?DP，S菱形ABCD=AB?DP（11分）∵AP=AB∴S△ADP=×AB?DP=S菱形ABCD即△ADP的面積等于菱形ABCD面積的．（12分）點(diǎn)評：此題主要考查菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，判斷當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到AB邊的中點(diǎn)時，S△ADP=S菱形ABCD是難點(diǎn)．例3、（2010?寧洱縣）如圖，四邊形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分別為E、F．（1）求證：BE=BF；（2）當(dāng)菱形ABCD的對角線AC=8，BD=6時，求BE的長．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定及性質(zhì)。分析：（1）根據(jù)菱形的鄰邊相等，對角相等，證明△ABE及△CBF全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明；（2）先根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，求出菱形的邊長，再根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半和底邊乘以高兩種求法即可求出．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CB，∠A=∠C，∵BE⊥AD、BF⊥CD，∴∠AEB=∠CFB=90°，在△ABE和△CBF中，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BE=BF．（2）解：如圖，∵對角線AC=8，BD=6，∴對角線的一半分別為4、3，∴菱形的邊長為=5，菱形的面積=5BE=×8×6，解得BE=．點(diǎn)評：本題主要考查菱形的性質(zhì)和三角形全等的證明，同時還考查了菱形面積的兩種求法．例3、（2011?廣安）如圖所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延長線于點(diǎn)E．求證：DE=BE．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：由四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，易得BD⊥AC，∠DBC=30°，又由DE∥AC，即可證得DE⊥BD，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得DE=BE．解答：證明：法一：如右圖，連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∠DBC=30°，∵DE∥AC，∴DE⊥BD，即∠BDE=90°，∴DE=BE．法二：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AD∥BC，AC=AD，∵AC∥DE，∴四邊形ACED是菱形，∴DE=CE=AC=AD，又四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∴BC=EC=DE，即C為BE中點(diǎn)，∴DE=BC=BE．點(diǎn)評：此題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識．此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．例4.（2010?益陽）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O為對角線BD的中點(diǎn)，過O點(diǎn)作OE⊥AB，垂足為E．（1）求∠ABD的度數(shù)；（2）求線段BE的長．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。分析：（1）根據(jù)菱形的四條邊都相等，又∠A=60°，得到△ABD是等邊三角形，∠ABD是60°；（2）先求出OB的長和∠BOE的度數(shù)，再根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出．解答：解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD為等邊三角形，∴∠ABD=60°；（4分）（2）由（1）可知BD=AB=4，又∵O為BD的中點(diǎn)，∴OB=2（6分），又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°，∴∠BOE=30°，∴BE=1．（8分）點(diǎn)評：本題利用等邊三角形的判定和直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求解，需要熟練掌握．鞏固練習(xí)1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是__________.2.菱形的兩條對角線長分別是8cm和10cm,則菱形的面積是__________.3.菱形的兩鄰角之比為1：2，邊長為2，則菱形的面積為__________.4.菱形的面積等于（）（20分）5.下列條件中，可以判定一個四邊形是菱形的是（）（20分）6.菱形的兩條對角線把菱形分成全等的直角三角形的個數(shù)是（）．（20分）A1個B2個C3個D4個ABCDO7.如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=6cm，則ABCDO5、在矩形ABCD中，O是對角線AC的中點(diǎn)，EF是線段AC的中垂線，交AD、BC于E、F.求證：四邊形AECF是菱形（20分）6、如圖，在菱形ABCD中，AB=BD=5，求：（1）∠BAC的度數(shù)；（2）求AC的長。OOABCD7、四邊形ABCD是矩形，四邊形AECF是菱形，若AB=2cm，BC=4cm，求四邊形AECF的面積。8、在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CE=CF，過點(diǎn)C做CG∥EA交FA于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度數(shù)。3、作業(yè)：一、選擇題。1、已知菱形兩個鄰角的比是1:5，高是8cm，則菱形的周長是（）。A.16cmB.32cmC.64cmD.128cm2、已知菱形的周長為40cm，兩對角線長的比是3:4，則兩對角線的長分別是（）。A.6cm、8cmB.3cm、4cmC.12cm、16cmD.24cm、32cm3、如圖：在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，那么∠EAF等于（）。A.75°B.60°C.45°D.30°4、棱形的周長為8.4cm，相鄰兩角之比為5：1，那么菱形一組對邊之間的距離為（）5、菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是()A．對角相等 B．四邊相等C．對角線互相平分D．四角相等6、ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件中，不能判定ABCD是菱形的是（）。A.AB=ADB.AC⊥BDC.∠A=∠DD.CA平分∠BCD7、下列命題中，真命題是（）。A.對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形。B.有一條對角線平分一組對角的四邊形是平行四邊形。C.對角線互相垂直的矩形是菱形。D.菱形的對角線相等。8、菱形是軸對稱圖形，對稱軸有（）。A．1條B．2條C．3條D．4條9、已知菱形的兩條對角線長為10cm和24cm,那么這個菱形的周長為_______,面積為______.10、將兩張長10cm寬3cm的長方形紙條疊放在一起,使之成60度角,那么重疊部分的面積的最大值為________________.11、一個菱形面積為80,周長為40,那么兩條對角線長度之和為__________.12、如圖所示，已知菱形ABCD中，E、F分別在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF的度數(shù)。13、已知：如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CE=CF。過點(diǎn)C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度數(shù)。14、如圖所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE，∠BAE=∠EAD，AE交BD于M，試說明BE=AM。15、如圖，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分別是BC、AC、AB上的中點(diǎn)，（1）求證四邊形BDEF是菱形。（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周長？16、已知：如圖，△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC，EF∥BC交AD于點(diǎn)F，求證：四邊形CDEF是菱形。17.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線及AD、BC、AC分別交于點(diǎn)E、F、O，求證：四邊形AFCE是菱形。18、已知：如圖，C是線段BD上一點(diǎn)，△ABC和△ECD都是等邊三角形，R、F、G、H分別是四邊形ABDE各邊的中點(diǎn)，求證：四邊形RFGH是菱形。19、如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠B，∠C的平分線BD、CE相交于點(diǎn)M，DF∥CE，EG∥BD，DF及EG交于N，求證：四邊形MDNE是菱形?！?,2矩形的性質(zhì)及判定教學(xué)目標(biāo)：1、能用綜合法來證明矩形的性質(zhì)定理和判定定理以及相關(guān)結(jié)論．

2、能運(yùn)用矩形的性質(zhì)進(jìn)行簡單的證明及計算．教學(xué)重難點(diǎn)：矩形的性質(zhì)的證明以及它及平行四邊形的從屬關(guān)系．三、概念：1．矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（矩形是特殊的平行四邊形）。2．矩形的性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)。（1）角：四個角都是直角。（2）對角線：互相平分且相等。3．矩形的判定:（1）有一個角是直角的平行四邊形。（2）對角線相等的平行四邊形。（3）有三個角是直角的四邊形。4.矩形的對稱性：矩形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)是它的對稱中心；矩形是軸對稱圖形，對稱軸有2條，是經(jīng)過對角線的交點(diǎn)且垂直于矩形一邊的直線。5.矩形的周長和面積：矩形的周長=矩形的面積=長寬=（為矩形的長及寬）★注意:（1）矩形被兩條對角線分成的四個小三角形都是等腰三角形且面積相等。（2）矩形是軸對稱圖形，兩組對邊的中垂線是它的對稱軸。四、講課過程：【經(jīng)典例題:】例1：已知：O是矩形ABCD對角線的交點(diǎn)，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD上的點(diǎn)，AE=BF=CG=DH，求證：四邊形EFGH為矩形.分析：利用對角線互相平分且相等的四邊形是矩形可以證明證明：∵ABCD為矩形∴AC=BD∴AC、BD互相平分于O∴AO=BO=CO=DO∵AE=BF=CG=DH∴EO=FO=GO=HO又HF=EG∴EFGH為矩形例2：判斷（1）兩條對角線相等四邊形是矩形（）（2）兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形（）（3）有一個角是直角的四邊形是矩形（）（4）在矩形內(nèi)部沒有和四個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)（）分析及解答：（1）如圖四邊形ABCD中，AC=BD，但ABCD不為矩形，∴×（2）對角線互相平分的四邊形即平行四邊形，∴對角線相等的平行四邊形為矩形∴√（3）如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，但ABCD不為矩形∴×（4）矩形對角線的交點(diǎn)O到四個頂點(diǎn)距離相等∴×，如圖，【課堂練習(xí)題:】1．判斷一個四邊形是矩形，下列條件正確的是（）A．對角線相等B．對角線垂直C．對角線互相平分且相等D．對角線互相垂直且相等。2．矩形的兩邊長分別為10cm和15cm，其中一個內(nèi)角平分線分長邊為兩部分，這兩部分分別為（）A．6cm和9cmB．5cm和10cmC．4cm和11cmD．7cm和8cm3.在下列圖形性質(zhì)中，矩形不一定具有的是（）A．對角線互相平分且相等B．四個角相等C．是軸對稱圖形D．對角線互相垂直平分4在矩形ABCD中,對角線交于O點(diǎn)，AB=0.6,BC=0.8,那么△AOB的面積為;周長為.5一個矩形周長是12cm,對角線長是5cm,那么它的面積為.6.若一個直角三角形的兩條直角邊分別為5和12，則斜邊上的中線等于.°，一條對角線及矩形短邊的和為15，那么矩形對角線的長為，短邊長為.8.矩形的兩鄰邊分別為4㎝和3㎝，則其對角線為㎝，矩形面積為cm2.°，則兩條對角線相交所成的銳角是.10．矩形的對角線相交所成的鈍角為120°，矩形的短邊長為5cm，則對角線之長為cm。11．矩形ABCD的兩對角線AC及BD相交于O點(diǎn)，∠AOB=2∠BOC，若對角線AC的長為18cm，則AD=cm。ABECABECD求證：AD=2AB．【課后練習(xí)題:】1.矩形具有而一般的平行四邊形不一定具有的特征是（）。A．對角相等B.對邊相等C．對角線相等D.對角線互相平分BCBCDEA題2 題43．已知，矩形的一條邊上的中點(diǎn)及對邊的兩個端點(diǎn)的連線互相垂直，且該矩形的周長為24cm，則矩形的面積為cm2。4．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一點(diǎn)E，使AE=AB，則∠EBC=。ABCDEMF5．如圖，已知ABCDEMF求證：DE+DF=BM。6.如圖，ABCD是矩形紙片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上。設(shè)F、H分別是B、D落在AC上的兩點(diǎn)，E、G分別是折痕CE、AG及AB、CD的交點(diǎn)。（1）求證：四邊形AECG是平行四邊形；（2）若AB＝4cm，BC＝3cm，求線段EF的長。7、已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E，求證：四邊形ADCE為矩形。8、如圖,在矩形ABCD中,AP=DC,PH=PC,求證:PB平分CBH.9、如圖，矩形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD的周長為16，且CE=EF，求AE的長．10、已知：如圖，平行四邊形ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，求證：四邊形EFGH是矩形。11、已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個全等的正三角形ABD和BCD組成的，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)．求證：四邊形BMDN是矩形．12、如圖，已知在四邊形中，交于，、、、分別是四邊的中點(diǎn)，求證：四邊形是矩形．§1,3正方形的性質(zhì)及判定一、教學(xué)目標(biāo)：了解正方形的有關(guān)概念，理解并掌握正方形的性質(zhì)和判定方法。二、教學(xué)重難點(diǎn)：探索正方形的性質(zhì)及判定。掌握正方形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用方法三、概念：正方形的性質(zhì)：1、正方形的四個角都是直角,四條邊都相等.2、正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角。正方形的判定:有一個角是直角的菱形是正方形.有一組鄰邊相等的矩形是正方形。兩組對邊平行的菱形是正方形。對角線相等的菱形是正方形。對角線互相垂直的矩形是正方形。兩組對邊平行的矩形是正方形四邊相等，有一個角是直角的四邊形是正方形。一組鄰邊相等，對角線互相垂直的平行四邊形是正方形。一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。每個角都是90度的平行四邊形是正方形。一組鄰邊相等，對角線平分的四邊形是正方形。12、四個均為直角，每條對角線平分一組對角的四邊形是正方形四、講課過程1、例題例1：如圖:△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分別為E、F求證:四邊形CFDE是正方形.分析：要證明四邊形CFDE是正方形,可以先證四邊形CFDE是矩形,然后再證明有一組鄰邊相等;也可以先證四邊形CFDE是菱形,然后再證有一個角是直角.解∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC∴DE=DF(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）∴∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°,∴四邊形CFDE是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形），又∵DE=DF（已證）∴四邊形CFDE是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）．例2：已知：如圖點(diǎn)A'、B'、C'、D'分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，并且AA'=BB'=CC'=DD'求證：四邊形A'B'C'D'是正方形分析：法一：①先證明四邊形A′B′C′D′是菱形②再證明四邊形A′B′C′D′有一個角是直角法二：①先證明四邊形A′B′C′D′是矩形②再證明四邊形A′B′C′D′有一組鄰邊相等。證明：∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA又∵A`A=B`B=C`C=D`D∴D`A=A`B=B`C=C`D∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`AD`=AB`=BC`=CD`∴四邊形A`B`C`D`是菱形又∵∠AD`A`=∠BA`B`，∠AA`D`+∠AD`A`=90°∴∠AA`D`+∠BA`B`=90°∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90°∴四邊形A`B`C`D`是正方形例3：如圖：EG、FH過正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)O,EG⊥FH,求證四邊形EFGH為正方形解答：∵正方形ABCDEG⊥FH∴∠OAH＝∠OBE＝45o，DB=ACOA＝OB,∠AOH＝90o－∠AOE＝∠BOE,∴⊿AOH≌⊿BOE﹙ASA﹚.∴OH＝OE.同理OE＝OF＝OG＝OH,∴四邊形EFGH是平行四邊形∴FH=EG∵EG⊥FH

∴四邊形EFGH為正方形。鞏固練習(xí)１、如圖，分別延長等腰直角△OAB的兩條直角邊AO和BO，使AO=OC，BO=OD求證：四邊形ABCD是正方形２、矩形ABCD中，四個內(nèi)角的平分線組成四邊形EMFN，判斷四邊形EMFN的形狀,并說明原因:3、判斷下列命題哪些是真命題、哪些是假命題？對角線相等的菱形是正方形。（）②、對角線互相垂直的矩形是正方形。（）③、對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形。（）④、四條邊都相等的四邊形是正方形。（）⑤、四個角都相等的四邊形是正方形。（）⑥、四邊相等，有一個角是直角的四邊形是正方形。（）⑦、正方形一定是矩形。（）⑧、正方形一定是菱形。（）⑨、菱形一定是正方形。（）⑩、矩形一定是正方形。（）4、D=_______=_______∠B.在正方形ABCD中，AB=12cm，對角線AC、BD相交于O，則△ABO的周長是（）A.12+12B.12+6C.12+D.24+6作業(yè)1、在正方形ABCD的邊BC的延長線上取一點(diǎn)E，使CE=CA,連接AE交CD于F，求的度數(shù)。變式：1、已知如下圖，正方形ABCD中，E是CD邊上的一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長線上一點(diǎn)，CE=CF.(1)求證：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度數(shù).2：如圖，E為正方形ABCD的BC邊上的一點(diǎn)，CG平分∠DCF，連結(jié)AE，并在CG上取一點(diǎn)G，使EG=AE.求證：AE⊥EG.3、P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度數(shù).4、（海南省）如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點(diǎn)（P及A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）設(shè)AP=x,△PBE的面積為y.求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；AABCPDE5、如圖，四邊形ABCD為正方形，以AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE，CE及DB相交于點(diǎn)F，則=。6、（哈爾濱）若正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點(diǎn)，BE=3，M為線段AE上一點(diǎn)，射線BM交正方形的一邊于點(diǎn)F，且BF=AE，則BM的長為。7、.正方形的面積是，則其對角線長是________.8、E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且△EBC是等邊三角形，求∠EAD的度數(shù).9、如圖，正方形ABCD及正方形OMNP的邊長均為10，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，證明：無論正方形OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置，這兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值，并求這個定值．10、E是正方形ABCD對角線AC上一點(diǎn)，垂足分別為F、G，求證：BE=FG。11、已知中，，CD平分,交AB于D，DF//BC,DE//AC，求證：四邊形DECF為正方形。第二章一元二次方程§2,1認(rèn)識一元二次方程一．教學(xué)目標(biāo)：1、經(jīng)歷方程解的探索過程，增進(jìn)對方程解的認(rèn)識，發(fā)展估算意識和能力。2、滲透“夾逼”思想二．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：用“夾逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。三．概念：（一）、一元二次方程定義含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。（二）、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。講課過程一、復(fù)習(xí)：1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2+bx+c-0(a≠0)2、指出下列方程的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項。（1）2x2―x+1=0 (2)―x2+1=0 (3)x2―x=0 (4)―EQEQ\R(,3)x2=0二、新授：1、估算地毯花邊的寬。地毯花邊的寬x(m)，滿足方程(8―2x)(5―2x)=18也就是：2x2―13x+11=0你能求出x嗎？（1）x可能小于0嗎？說說你的理由；x不可能小于0，因為x表示地毯的寬度。（2）x可能大于4嗎？可能大于2.5嗎？為什么？x不可能大于4，也不可能大于2.5,x>4時，5―2x<0,x>2.5時，5―2x<0.（3）完成下表x0122x2―13x+11從左至右分別11，4.75，0，―4，―7，―9（4）你知道地毯花邊的寬x(m)是多少嗎？還有其他求解方法嗎？及同伴交流。地毯花邊1米，另，因8―2x比5―2x多3，將18分解為6×3，8―2x=6，x=12、例題講析：例：梯子底端滑動的距離x（m）滿足(x+6)2+72=102也就是x2+12x―15=0（1）你能猜出滑動距離x(m)的大致范圍嗎？（2）x的整數(shù)部分是幾？十分位是幾？x012x2+12x―15-15-213進(jìn)一步計算xx2+12x―15因此x的整數(shù)部分是1,十分位是1注意：（1）估算的精度不適過高。（2）計算時提倡使用計算器。鞏固練習(xí)：1、判斷下列方程是否為一元二次方程，如果是說明二次項及二次項系數(shù)、一次項及一次項系數(shù)和常數(shù)項：（1）2x2+3x+5（2）（x+5）（x+2）=x2+3x+1（3）（2x-1）（3x+5）=-5（4）（3x+1）（x-2）=-5x2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。3、關(guān)于x的方程（k-3）x2+2x-1=0，當(dāng)k時，是一元二次方程。4、試找出五個連續(xù)整數(shù)，使前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和：；如果設(shè)五個連續(xù)整數(shù)中的第一個數(shù)為x，那么后面四個數(shù)依次可表示為、、、，根據(jù)題意可得方程：5、判斷下列方程哪些是一元二次方程（1）4x2－5x－1=x(2)9x4－5=0(3)+x－5=3(4)ax2+(b－1)x+c=0(a≠0)(5)5(x－1)2=5x2(6)6、判斷關(guān)于x的方程x2－nx(x－n－1)=5x是不是一元二次方程，如果是，指出其二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項。7、如果關(guān)于x的一元二次方程：x2－2(a+1)x+a2=0有兩個整數(shù)根，a為整數(shù)，且12＜a＜60，求這個方程的兩個根。四、小結(jié)：估計方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高。五、作業(yè)：1、五個連續(xù)整數(shù)，前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和，你能求出這五個連續(xù)整數(shù)嗎？2、一個面積為120平方米的矩形苗圃，它的長比寬多2米，求苗圃的周長？2,那么他最多有多長時間完成規(guī)定的動作？4、已知兩個數(shù)的和為10，積為9，求這兩個數(shù)。5、把方程2x(x-3)=(x+1)(x-2)+3化成ax2+bx+c=0的形式后,a,b,c的值分別是（）、7、、-5、、-5、、-7、-1方程①x2-1=x;②2x2-y-1=0;③3x2-+1=0;④中.其中是一元二次方程的是（）A.①④B.①③④C.①D.①②7、方程x2=x的解是（）或或08、在一幅長80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形圖。如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么滿足的方程是（）22+65x-350=022-65x-350=09、一元二次方程的一般形式是，二次項是，一次項系數(shù)是。方程3(x2-1)=x的二次項系數(shù)是，一次項是，常數(shù)項是。11、根據(jù)題意，列出方程：（1）有一面積為54平方米的長方形，將它的一邊剪短5米，另一邊剪短2米，恰好變成一個正方形，這個正方形的邊長是多少？三個連續(xù)的整數(shù)兩兩相乘，再求和，結(jié)果為242，這三個數(shù)分別是多少？12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=013、關(guān)于x的方程（k2-1）x2+2（k-1）x+2k+2=0當(dāng)k時是一元二次方程；當(dāng)k時是一元一次方程。14、關(guān)于x的方程（k-）x2+(m-3)x-1=0，是一元二次方程。則k和m的取值范圍分別為什么？把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次項、一次項、常數(shù)項：（1）9x2－4x=5(2)(x－7)(4x+3)=(x－1)2§2、2用配方法求解方程一．教學(xué)目標(biāo)：1、會用開平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；2、理解配方法，會用配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；3、體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，用配方法解一元二次方程的過程。二．教學(xué)重難點(diǎn)：理解并掌握配方法，能夠靈活運(yùn)用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程。如何利用等式的性質(zhì)進(jìn)行配方？三．概念：1.配方法：通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，這種解一元二閃方程的方法稱為配方法2.配方法一般步驟：方程兩邊同時除以a,將二次項系數(shù)化為1.將所得方程的常數(shù)項移到方程的右邊。所得方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配方，化成（5）開方。當(dāng)時，；當(dāng)b<0時，方程沒有實數(shù)根。四．教學(xué)程序：一、復(fù)習(xí)：1、解下列方程：（1）x2=9 （2）(x+2)2=162、什么是完全平方式？利用公式計算：（1）(x+6)2 （2）(x－EQ\F(1,2))2注意：它們的常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方。3、解方程：（梯子滑動問題）x2+12x－15=0二、新授：1、引入：像上面第3題，我們解方程會有困難，是否將方程轉(zhuǎn)化為第1題的方程的形式呢？2、解方程的基本思路（配方法）如：x2+12x－15=0 轉(zhuǎn)化為(x+6)2=51兩邊開平方，得x+6=±EQ\R(,51)∴x1=EQ\R(,51)―6 x2=―EQ\R(,51)―6(不合實際)因此，解一元二次方程的基本思路是將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n的形式，它的一邊是一個完全平方式，另一邊是一個常數(shù)，當(dāng)n≥0時，兩邊開平方便可求出它的根。3、講解例題：例1：解方程：x2+8x―9=0分析：先把它變成(x+m)2=n（n≥0）的形式再用直接開平方法求解。解：移項，得：x2+8x=9配方，得：x2+8x+42=9+42 （兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方）即：(x+4)2=25開平方，得：x+4=±5即：x+4=5 ，或x+4=―5所以：x1=1，x2=―9鞏固練習(xí)：1、解下列方程：（1）（2-x）2=3（2）（x-）2=64（3）2（x+1）2=（4）x2-8x+9=0（5）x2-x=22、配方：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：（1）x2+12x+=(x+6)2（2）x2―12x+=(x―)2（3）x2+8x+=(x+)23、若x2=4，則x=.若(x+1)2=4，則x=.若x2+2x+1=4，則x=.若x2+2x=3，則x=.4、填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：x2+12x+=(x+6)2;x2-4x+=(x-)2;x2+8x+=(x+)2.5、利用配方法快速解下列兩個方程：x2+2x-35=05x2-15x-10=06、方程y2-4=2y配方，得（）A.(y+2)2=6B.(y-1)2=5C.(y-1)2=3D.(y+1)2=-3.四、小結(jié)：（1）什么叫配方法？（2）配方法的基本思路是什么？（3）怎樣配方？26m35m26m35m（第1題）1、如圖，在一塊長35m、寬26m的矩形地面上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路，剩余部分種花草，要使剩余部分面積為850m2，道路的寬應(yīng)為多少？2、解下列方程：(1)x2+12x+25=0(2)x2+4x=10(3)x2-6x=11x2-2x-4=0（5）x2-4x-12=0（6）x2-10x+25=7（7）x2+6x=1（8）x2-6x-40=0（9）x2-6x+7=0（10）x2+4x+3=04、當(dāng)x取何值時，代數(shù)式10-6x+x2有最小值，是幾？5、配方法證明y2-12y+42的值恒大于0。6、（1）x2-4x+=（x-）2；（2）x2-x+=（x-）27、方程x2-12x=9964經(jīng)配方后得（x-）2=8、方程（x+m）2=n的根是9、當(dāng)x=-1滿足方程x2-2（a+1）2x-9=0時，a=10、已知：方程（m+1）x2m+1+（m-3）x-1=0，試問：（1）m取何值時，方程是關(guān)于x的一元二次方程，求出此時方程的解；（2）m取何值時，方程是關(guān)于x的一元一次方程11、關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+3x+a2-3a-4=0的一個根為0，則a的值為（）A、-1B、4C、-1或4D、112、不論x、y為什么實數(shù)，代數(shù)式x2+y2+2x-4y+7的值（）A、總不小于2B、總不小于7C、可為任何實數(shù)D、可能為負(fù)數(shù)§2、2用公式法求解一元二次方程一．教學(xué)目標(biāo)：1、能夠熟練地、靈活的應(yīng)用配方法解一元二次方程。2、進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法來解決實際問題。3、培養(yǎng)觀察能力運(yùn)用所學(xué)舊知識解決新問題。二．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：能夠熟練的應(yīng)用配方法解一元二次方程和兩種方法的選用。用求根公式解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。對求根公式的推導(dǎo)過程的理解三．概念：1.公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。元二次方程的求根公式：四．教學(xué)程序：一、復(fù)習(xí)：上節(jié)課我們學(xué)過的解一元二次方程的基本思路是什么？其關(guān)鍵是什么？二、新授：1、例題講析：例1利用公式法解方程x2-7x-18=0分析：此方程中哪些數(shù)字相當(dāng)于ax2+bx+c=0（a≠0）中的a、b、c？試寫出解方程的完整過程。例2對于問題：k取何值時,kx2+3x+4=0有兩個不相等的實數(shù)根，下面的解法是否正確？若不正確，請給出正確解法。解：∵Δ=32-4·k·4=9-16k令9-16k>0，則k<即當(dāng)k<時，方程kx2+3x+4=0有兩個不相等的實數(shù)根。用公式法解一元二次方程的步驟：把方程化為（一般形式）寫出一元二次方程的各項（系數(shù)）計算（判別式b^2-4ac）的值，并判斷出及（0）的大小關(guān)系在一元二次方程有（b^2-4ac>=0）的前提下，用公式（x=（-b+(-)√△）/2a）求出x的值（5）具體寫出x1=（（-b+√△）/2a）x2=（（-b-√△）/2a）3、利用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式若給出一個一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）你覺得應(yīng)如何利用配方法求解？ax2+bx+c=0（a≠0）方程的兩邊同時除以a可得到：。把上式中的常數(shù)項移項可得：如果對上式進(jìn)行配方，方程兩邊應(yīng)加上什么式子，這個式子是怎樣得到的？。配方后可得：。思考：對于上式能不能直接利用直接開平方，為什么？結(jié)論：對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當(dāng)時，它的根是：x=。式子稱為求根公式，用解一元二次方程的方法稱為公式法。三、作業(yè)：1、用公式法解下列方程：（1）2x2-4x-1=0;（2）5x+2=3x2;（3）(x-2)(3x-5)=1x2-2x-4=0（5）5x2=4-2x（6）(x-2)(3x-5)=1x2-+8=0（8）x2+2x-35=0（9）5x2-15x-10=0（10)9x2+6x+1=0(11)16x2+8x=32、一個直角三角形三邊的長為三個連續(xù)的偶數(shù)，求這個三角形的三條邊長。3、方程(m+1)x|m|+1+(m-3)x-1=0.（1）m取何值時，方程是一元一次方程m取何值時，方程是一元二次方程，并求出此方程的解。4、x=-2是方程2x2+mx-4=0的一個根，則m的值是。5、兩個連續(xù)奇數(shù)的積是483，則這兩個奇數(shù)分別是、。6、若一個等腰三角形三邊長均滿足方程x2-6x+8=0，則此三角形的周長為。7、已知一元二次方程有一個根是2，那么這個方程可以是（填上你認(rèn)為正確的一個方程即可）。8、填空：（1）方程x2+2x+1=0的根為x1=，x2=，則x1+x2=;x1?x2=.（2）方程x2-3x-1=0的根為x1=，x2=，則x1+x2=;x1?x2=.（3）方程3x2+4x-7=0的根為x1=，x2=，則x1+x2=;x1?x2=.§2、2用分解因式法求解一元二次方程一、教學(xué)目標(biāo)：1、了解分解因式法的概念；2、會用因式分解法解某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。3、體驗解決問題的方法的多樣性，靈活選擇方程的解法。4、在學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：會用因式分解法解某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。會用因式分解法解某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。三、概念：因式分解法：一元二次方程的一邊另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時使用此方法。四、教學(xué)程序：一、復(fù)習(xí)：1、有兩個數(shù)a、b，如果它們之間滿足a?b=0，則a，b的值會是怎樣的情況？2、對下列各式分解因式：（1）5x2-4x(2)x-2-x2+2x二、新授：1、例題例1：如圖所示：（1）設(shè)花園四周小路的寬度均為xm，可列怎樣的一元二次方程？(16-2x)(12-2x)=EQ\F(1,2)×16×12（2）一元二次方程的解是什么？ x1=2x2=12（3）這兩個解都合要求嗎？為什么？ x1=2合要求，x2=12不合要求，因荒地的寬為12m，小路的寬不可能為12m，它必須小于荒地寬的一半。例2、設(shè)花園四角的扇形半徑均為xm，可列怎樣的一元二次方程？x2π=EQ\F(1,2)×12×16（2）一元二次方程的解是什么？X1=EQ\R(,\F(96,π))≈X2≈（3）合符條件的解是多少？X13、你還有其他設(shè)計方案嗎？請設(shè)計出來及同伴交流。（1）花園為菱形？ （2）花園為圓形（3）花園為三角形？ （4）花園為梯形鞏固練習(xí)1、利用分解因式法解方程（1）5x2=4x(2)x-2=x(x-2)你能用分解因式法解方程x2-4=0,(x+1)2-25=0嗎？及同學(xué)交流一下。四、小結(jié)：1、本節(jié)內(nèi)容的設(shè)計方案不只一種，只要合符條件即可。2、設(shè)計方案時，關(guān)鍵是列一元二次方程。3、一元二次方程的解一般有兩個，要根據(jù)實際情況舍去不合題意的解。五、作業(yè)：1、用分解因式法解方程（1）x2-6x=0（2）3（x-5）2=2（5-x）（3）2（x-3）2=x2-9（4）4x2-4x+1=0（5）4（x-2）2=9（x+3）2（6）4x（2x+1）=3（2x+1）（7）（2x+3）2=4（2x+3）（8）3x（x-1）=2-2x（9）（x-2）2=（2x+3）2（10）（x-2）（x-3）=12（11）x2-5x+8=0（12）2（x-3）2=x2-9（13）5（x2-x）=3（x2+x）解方程2x（x-1）=x-1時，有的同學(xué)在方程的兩邊同時除以（x-1），得2x=1，解方程得x=0.5,這種做法對嗎?如果不對,請你寫出正確的答案并及同學(xué)交流.3、方程y2-4=2y配方，得（）A.(y+2)2=6B.(y-1)2=5C.(y-1)2=3D.(y+1)2=-3.4、已知m2-13m+12=0,則m的取值為（）5、如果關(guān)于x的一元二次方程：x2－2(a+1)x+a2=0有兩個整數(shù)根，a為整數(shù)，且12＜a＜60，求這個方程的兩個根。§2、5一元二次方程根及系數(shù)的關(guān)系一、教學(xué)目標(biāo)：提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。二、教學(xué)重難點(diǎn)：尋找等量關(guān)系，建立方程模型。三、概念：一元二次方程根及系數(shù)的關(guān)系:如果方程的兩個實數(shù)根是，那么，。教學(xué)程序：1、例題精講例1：已知關(guān)于的方程（1）有兩個不相等的實數(shù)根，且關(guān)于的方程（2）沒有實數(shù)根，問取什么整數(shù)時，方程（1）有整數(shù)解？分析：在同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數(shù)值。解：∵方程（1）有兩個不相等的實數(shù)根，∴解得；∵方程（2）沒有實數(shù)根，∴解得；于是，同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是其中，的整數(shù)值有或當(dāng)時，方程（1）為，無整數(shù)根；當(dāng)時，方程（1）為，有整數(shù)根。解得：所以，使方程（1）有整數(shù)根的的整數(shù)值是。例2：不解方程，判別方程兩根的符號。分析：對于來說，往往二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式△，但△只能用于判定根的存在及否，若判定根的正負(fù)，則需要確定或的正負(fù)情況。因此解答此題的關(guān)鍵是：既要求出判別式的值，又要確定或的正負(fù)情況。解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有兩個不相等的實數(shù)根。設(shè)方程的兩個根為，∵＜0∴原方程有兩個異號的實數(shù)根。說明：判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根及系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來進(jìn)行確定，另外由于本題中＜0，所以可判定方程的根為一正一負(fù)；倘若＞0，仍需考慮的正負(fù)，方可判別方程是兩個正根還是兩個負(fù)根。作業(yè)填空題：1、如果關(guān)于的方程的兩根之差為2，那么。2、已知關(guān)于的一元二次方程兩根互為倒數(shù)，則。3、已知關(guān)于的方程的兩根為，且，則。4、已知是方程的兩個根，那么：；；。5、已知關(guān)于的一元二次方程的兩根為和，且，則；。6、如果關(guān)于的一元二次方程的一個根是，那么另一個根是，的值為。7、已知是的一根，則另一根為，的值為。8、一個一元二次方程的兩個根是和，那么這個一元二次方程為：。求值題：1、已知是方程的兩個根，利用根及系數(shù)的關(guān)系，求的值。2、已知是方程的兩個根，利用根及系數(shù)的關(guān)系，求的值。3、已知是方程的兩個根，利用根及系數(shù)的關(guān)系，求的值。4、已知兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。5、已知關(guān)于x的方程的兩根滿足關(guān)系式，求的值及方程的兩個根。6、已知方程和有一個相同的根，求的值及這個相同的根。能力提升題：1、實數(shù)在什么范圍取值時，方程有正的實數(shù)根？2、已知關(guān)于的一元二次方程（1）求證：無論取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根。（2）若這個方程的兩個實數(shù)根、滿足，求的值。3、若，關(guān)于的方程有兩個相等的正的實數(shù)根，求的值。4、是否存在實數(shù)，使關(guān)于的方程的兩個實根，滿足，如果存在，試求出所有滿足條件的的值，如果不存在，請說明理由。5、已知關(guān)于的一元二次方程（）的兩實數(shù)根為，若，求的值。6、實數(shù)、分別滿足方程和，求代數(shù)式的值。答案及提示：填空題：1、提示：，，，∴，∴，解得：2、提示：，由韋達(dá)定理得：，，∴，解得：，代入檢驗，有意義，∴。3、提示：由于韋達(dá)定理得：，，∵，∴，∴，解得：。4、提示：由韋達(dá)定理得：，，；；由，可判定方程的兩根異號。有兩種情況：①設(shè)＞0，＜0，則；②設(shè)＜0，＞0，則。5、提示：由韋達(dá)定理得：，，∵，∴，，∴，∴。6、提示：設(shè)，由韋達(dá)定理得：，，∴，解得：，，即。7、提示：設(shè)，由韋達(dá)定理得：，，∴，∴，∴8、提示：設(shè)所求的一元二次方程為，那么，，∴，即；；∴設(shè)所求的一元二次方程為：求值題：提示：由韋達(dá)定理得：，，∴2、提示：由韋達(dá)定理得：，，∴3、提示：由韋達(dá)定理得：，，∴4、提示：設(shè)這兩個數(shù)為，于是有，，因此可看作方程的兩根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的兩個數(shù)分別是，。5、提示：由韋達(dá)定理得，，∵，∴，∴，∴，化簡得：；解得：，；以下分兩種情況：①當(dāng)時，，，組成方程組：；解這個方程組得：；②當(dāng)時，，，組成方程組：；解這個方程組得：6、提示：設(shè)和相同的根為，于是可得方程組：；①②得：，解這個方程得：；以下分兩種情況：（1）當(dāng)時，代入①得；（2）當(dāng)時，代入①得。所以和相同的根為，的值分別為，。能力提升題：1、提示：方程有正的實數(shù)根的條件必須同時具備：①判別式△≥0；②＞0，＞0；于是可得不等式組：解這個不等式組得：＞12、提示：（1）的判別式△＞0，所以無論取什么實數(shù)值，這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根。（2）利用韋達(dá)定理，并根據(jù)已知條件可得：解這個關(guān)于的方程組，可得到：，，由于，所以可得，解這個方程，可得：，；3、提示：可利用韋達(dá)定理得出①＞0，②＞0；于是得到不等式組：求得不等式組的解，且兼顧；即可得到＞，再由可得：，接下去即可根據(jù)，＞，得到，即：＝44、答案：存在。提示：因為，所以可設(shè)（）；由韋達(dá)定理得：；于是可得方程組：解這個方程組得：①當(dāng)時，；②當(dāng)時，；所以的值有兩個：；；5、提示：由韋達(dá)定理得：，，則，即，解得：6、提示：利用求根公式可分別表示出方程和的根：，，∴，∴，∴，又∵，變形得：，∴，∴§2、6應(yīng)用一元二次方程教學(xué)目標(biāo)：1、能分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并能解決現(xiàn)實情景中的實際問題。2、提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。3、認(rèn)識方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。二．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：列一元一次方程解應(yīng)用題，依題意列一元二次方程三．概念：黃金分割中的黃金比是多少？ [準(zhǔn)確數(shù)為EQ\F(\r(,5)―1,2)，近似數(shù)為0.618]四．教學(xué)程序：一、復(fù)習(xí)1、解方程：（1）x2+2x+1=0 (2)x2+x－1=02、哪些一元二次方程可用分解因式法來求解？（方程一邊為零，另一邊可分解為兩個一次因式）二、新授1、黃金比的來歷如圖，如果EQ\F(AC,AB)=EQ\F(CB,AC)，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)。由EQ\F(AC,AB)=EQ\F(CB,AC)，得AC2=AB·CB設(shè)AB=1，AC=x，則CB=1－x∴x2=1×(1－x)即：x2+x－1=0解這個方程，得x1=EQ\F(―1+\r(,5),2),x2=EQ\F(―1―\r(,5),2)（不合題意，舍去）所以：黃金比EQ\F(AC,AB)=EQ\F(―1+\r(,5),2)≈注意：黃金比的準(zhǔn)確數(shù)為EQ\F(\r(,5)―1,2)，近似數(shù)為0.618.上面我們應(yīng)用一元二次方程解決了求黃金比的問題，其實，很多實際問題都可以應(yīng)用一元二次方程來解決。2、例題講析：例1：如圖，某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C。小島D位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭；小島F位于BC上且恰好處于小島D的正南方向上。一首軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一首補(bǔ)給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦。（1）小島D和小島F相距多少海里？（2）已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中及補(bǔ)給船相遇于E處，那么相遇時補(bǔ)給船航行了多少海里（結(jié)果精確到0.1海里）分析：（1）提示：利用相似三角形的性質(zhì)（2）勾股定理→一元二次方程解：（1）連接DF，則DF⊥BC，∵AB⊥BC，AB=BC=200海里∴AC=EQ\R(,2)AB=200EQ\R(,2)海里，∠C=45°∴CD=EQ\F(1,2)AC=100EQ\R(,2)海里 DF=CF，EQ\R(,2)DF=CD∴DF=CF=EQ\F(\r(,2),2)CD=EQ\F(\r(,2),2)×100EQ\R(,2)=100海里所以，小島D和小島F相距100海里。（2）設(shè)相遇時補(bǔ)給船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里EF=AB+BC―（AB+BE）―CF=（300―2x）海里在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程：x2=1002+(300－2x)2整理得，3x2－1200x+100000=0解這個方程，得：x1=200－EQ\F(100\r(,6),3)≈x2=200+EQ\F(100\r(,6),3)(不合題意，舍去)所以，相遇時，補(bǔ)給船大約航行了118.4海里。例2、新華商場銷售某種冰箱，每臺進(jìn)貨價為2500元，市場調(diào)研表明，為銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺，而當(dāng)銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺，商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達(dá)到5000元，每臺冰箱的定價為多少元？分析：每天的銷售量（臺）每臺的利潤（元）總利潤（元）降價前84003200降價后8+4×EQ\F(x,50)400－x(8+EQ\F(4x,50))×(400－x)每臺冰箱的銷售利潤×平均每天銷售冰箱的數(shù)量=5000元如果設(shè)每臺冰箱降價為x

元，那么每臺冰箱的定價就是（2900－x）元，每臺冰箱的銷售利潤為(2900－x－2500)元。這樣就可以列出一個方程，進(jìn)而解決問題了。解：設(shè)每臺冰箱降價x元，根據(jù)題意，得：(2900－x－2500)（8+4×EQ\F(x,50)）=50002900－150=2750元所以，每臺冰箱應(yīng)定價為2750元。關(guān)鍵：找等量關(guān)系列方程。例3、某商場將進(jìn)貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個，調(diào)查表明這種臺燈的售價每上漲一元，某銷售量就減少10個，為了實現(xiàn)平均每月20000的銷售利潤，這種臺燈的售價應(yīng)定為多少？這時應(yīng)進(jìn)臺燈多少個？分析：每個臺燈的銷售利潤×平均每天臺燈的銷售量=10000元可設(shè)每個臺燈漲價x元。(40+x－30)×(600－10x)=10000答案為：x1=10,x2=4010+40=50,40+40=80600－10×10=500600－10×40=200鞏固練習(xí)：將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為4cm的小正方形，做成一個無蓋的盒子，已知盒子的容積是400cm3，求原鐵皮的邊長。2、一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯，它的長為8m，寬為5m。如果地毯中央長方形圖案的面積為18m2，那么花邊有多寬？3、在一幅長90cm、寬40cm的風(fēng)景畫的四周外圍鑲上一條寬度相同的金色紙邊，制成一幅掛圖，如果要求風(fēng)景畫的面積是整個掛圖面積的72%，那么金色紙邊的寬應(yīng)該是多少？4、某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻（墻長25m），另三邊用木欄圍成，木欄長40m。雞場的面積能達(dá)到180m2嗎？能達(dá)到200m2嗎？雞場的面積能達(dá)到250m2嗎？如果能，請你給出設(shè)計方案；如果不能，請說明理由。5、、從一塊正方形木塊上鋸掉2厘米寬的長方形木條，剩余部分的面積是48平方厘米，求這塊正方形木板原來的面積。四、小結(jié)：列方程解應(yīng)用題的三個重要環(huán)節(jié)：1、整體地，系統(tǒng)地審清問題；2、把握問題中的等量關(guān)系；3、正確求解方程并檢驗解的合理性。五、作業(yè)1、有一個兩位數(shù)等于其各位數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個位數(shù)字小2，求這個兩位數(shù)。2、某產(chǎn)品原來每件600元，由于連續(xù)兩次降價，現(xiàn)價384元，如果兩次降價的百分?jǐn)?shù)相同，求每次降價百分之幾？3、某商場一月份銷售額為70萬元，二月份下降10%，后改進(jìn)管理，月銷售額大幅度上升，四月份的銷售額達(dá)112萬元，求三月、四月平均每月增長的百分率4、某服裝店的老板用8000元購進(jìn)一種夏季襯衫若干件，以每件58元的價格出售，很快售完，又用17600元購進(jìn)同種襯衫，數(shù)量是第一次的2倍，每件進(jìn)價比第一次多了4元，服裝店按每件58元出售，全部售完。問該服裝店這筆生意兩次共盈利多少元？5、某服裝，平均每天可銷售20件，每件盈利44元。若每件降價1元，則每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件應(yīng)降價多少元？6、（2006年包頭市）某印刷廠1月份印刷了書籍60萬冊，第一季度共印刷了200萬冊，問2、3月份平均每月的增長率是多少？7、某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進(jìn)大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元。為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)降價措施。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張。商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價多少元？8、新華商場銷售某種冰箱，每臺進(jìn)貨價為2500元。市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售價為2900元時，平均每天能銷售8臺；而銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺。商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達(dá)到5000元，每臺冰箱定價應(yīng)為多少元？9、某商場將進(jìn)貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個。調(diào)查表明：這種臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就將減少10個。為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應(yīng)定為多少？這時應(yīng)進(jìn)臺燈多少個？10、某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結(jié)1000個桃子，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些桃樹以提高產(chǎn)量。試驗發(fā)現(xiàn)，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產(chǎn)量就會減少2個。如果要使產(chǎn)量增加15.2%，那么應(yīng)多種多少棵桃樹？第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識§3.1用樹狀圖或表格求概率一、教學(xué)目標(biāo)：1。經(jīng)歷試驗，統(tǒng)計等活動過程，在活動中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的意識和能力。2．通過試驗，理解當(dāng)試驗次數(shù)較大時試驗頻率穩(wěn)定于理論概率，并可據(jù)此估計一事件發(fā)生的概率。3．能運(yùn)用樹狀圖和列表法計算簡單事件發(fā)生的概率。二、教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用樹狀圖和列表法計算事件發(fā)生的概率。樹狀圖和列表法的運(yùn)用方法。三、概念:常用的兩種列舉法:1.列表法：當(dāng)事件中涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，用表格不重不漏地列出可能的結(jié)果，這種方法叫列表法.2.樹形圖法：當(dāng)事件中涉及的有兩個以上的因素時，用樹形圖的形式不重不漏地列出所有可能的結(jié)果的方法叫樹形圖法.決定性：在每次實驗中一定發(fā)生的現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象：在每次實驗中，有時發(fā)生，有時不發(fā)生的現(xiàn)象稱隨機(jī)現(xiàn)象。2.概率的概念在隨機(jī)現(xiàn)象中一個事件發(fā)生的可能性大小叫做這個事件的概率。特別說明（1）概率是一個不超過1的非負(fù)實數(shù)。（2）在隨機(jī)現(xiàn)象中，做了大量試驗后，一個事件發(fā)生的頻率可以作為這個事件的概率的近似值。（3）概率是在隨機(jī)現(xiàn)象中一個事件發(fā)生的可能性的大小。（4）決定性現(xiàn)象一定發(fā)生，隨機(jī)現(xiàn)象不一定發(fā)生。4.概率的含義表示一個事件發(fā)生的可能性大小的這個數(shù)，叫做該事件的概率。說明：概率的含義必須表示在大量的反復(fù)試驗中。5.要點(diǎn)詮釋：當(dāng)事件的發(fā)生只經(jīng)過兩個步驟時，一般用列表法就能將所有的可能結(jié)果列舉出來，當(dāng)經(jīng)過多個步驟時，表格就不夠清晰，而樹形圖法的適用面較廣，特別是對多個步驟時，層次清楚，一目了然.四、教學(xué)過程：問題引入：對于前面的摸牌游戲，在一次試驗中，如果摸得第一張牌面數(shù)字為1，那么摸第二張牌的數(shù)字為幾的可能性大？如果摸得第一張牌的牌面數(shù)字為2呢？（由此引入課題，然后要求學(xué)生做實驗來驗證他們的猜想）做一做：實驗1：對于上面的試驗進(jìn)行30次，分別統(tǒng)計第一張牌的牌面字為1時，第二張牌的牌面數(shù)字為1和2的次數(shù)。實驗的具體做法：每兩個人一個小組，一個負(fù)責(zé)抽紙張，另一個人負(fù)責(zé)記錄，如：1221---------(上面一行為第一次抽的)2121---------（下面一行為第二次抽的）議一議：小明的對自己的試驗記錄進(jìn)行了統(tǒng)計，結(jié)果如下：因此小明認(rèn)為，如果摸得第一張牌面數(shù)字為1，那么摸第二張牌時，摸得牌面數(shù)字為2的可能性比較大。你同意小明的看法嗎？讓學(xué)生去討論小明的看法是否正確，然后讓學(xué)生去說說自已的看法。想一想：對于前面的游戲，一次試驗中會出現(xiàn)哪些可能的結(jié)果？每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同嗎？會出現(xiàn)3種可能的結(jié)果：牌面數(shù)字和為2，牌面數(shù)字和3，牌面數(shù)字和4，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同小穎的看法：小亮的看法：實際上，摸第一張牌時，可能出現(xiàn)的的結(jié)果是：牌面數(shù)字為1或2，而且這兩種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同；摸第二張牌時，情況也是如此，因此，我們可以用下面的“樹狀圖”或表格來表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：開始第一張牌的面的數(shù)字：12第二張牌的牌面數(shù)字：1212可能出現(xiàn)的結(jié)果（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）第二張牌面的數(shù)字第一張牌面的數(shù)字121（1，1）（1，2）2（2，1）（2，2）從上面的樹狀圖或表格可以看出，一次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果共有4種：（1，1）（1，2）（2，1）（2，2），而且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，也就是說，每種結(jié)果出現(xiàn)的概率都是1/4。利用樹狀圖或表格，可以比較方便地求出某些事件發(fā)生的概率。例1：隨機(jī)擲一枚硬幣兩次，至少有一次正面朝上的概率是多少？解：隨機(jī)擲一枚均勻的硬幣兩次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：正正開始反正反正總共有4種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而至少有一次正面朝上的結(jié)果有3種：（正，正）（正，反）（反，正），因此至少有一次正面朝上的概率為3/4。第二種解法：列表法第二個硬幣的面第一個硬幣的面正反正（正，正）（正，反）反（反，正）（反，反）隨堂練習(xí)：從一定高度隨機(jī)擲一枚硬幣，落地后其朝上的一面可能出現(xiàn)正面和反面這樣兩種等可能的結(jié)果。小明正在做擲硬幣的試驗，他已經(jīng)擲了3次硬幣，不巧的是這3次都是正面朝上。那么你認(rèn)為小明第4次擲硬幣，出現(xiàn)正面的可能性大，還是出現(xiàn)反面的可能性大，是不是一樣大？說說你的理由，并及同伴進(jìn)行交流。解：第4次擲硬幣時，正面朝上的可能性及反面朝上的可能性一樣大。附加練習(xí)：將一個均勻的硬幣上拋兩次，結(jié)果為兩個正面的概率為______________.課堂小結(jié)：這節(jié)課學(xué)習(xí)了通過列表法或樹狀圖來求得事件的概率。課后作業(yè)：列表格、樹狀圖求概率一．選擇題（共17小題）1．（2012?玉林）一個盒子里有完全相同的三個小球，球上分別標(biāo)上數(shù)字﹣1、1、2．隨機(jī)摸出一個小球（不放回）其數(shù)字記為p，再隨機(jī)摸出另一個小球其數(shù)字記為q，則滿足關(guān)于x的方程x2+px+q=0有實數(shù)根的概率是（）2．（2012?義烏市）義烏國際小商品博覽會某志愿小組有五名翻譯，其中一名只會翻譯阿拉伯語，三名只會翻譯英語，還有一名兩種語言都會翻譯．若從中隨機(jī)挑選兩名組成一組，則該組能夠翻譯上述兩種語言的概率是（）3．（2012?泰安）一個不透明的布袋中有分別標(biāo)著數(shù)字1，2，3，4的四個乒乓球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸出兩個乒乓球，則這兩個乒乓球上的數(shù)字之和大于5的概率為（）4．（2012?山西）在一個不透明的袋子里裝有一個黑球和一個白球，它們除顏色外都相同，隨機(jī)從中摸出一個球，記下顏色后放回袋子中，充分搖勻后，在隨機(jī)摸出一個球，兩次都摸到黑球的概率是（）5．（2012?青島）用圖中兩個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲：分別旋轉(zhuǎn)兩個轉(zhuǎn)盤，若其中一個轉(zhuǎn)出紅色，另一個轉(zhuǎn)出藍(lán)色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（）6．（2012?嘉興）定義一種“十位上的數(shù)字比個位、百位上的數(shù)字都要小”的三位數(shù)叫做“V數(shù)”如“947”就是一個“V數(shù)”．若十位上的數(shù)字為2，則從1，3，4，5中任選兩數(shù)，能及2組成“V數(shù)”的概率是（）7．（2012?濟(jì)南）暑假即將來臨，小明和小亮每人要從甲、乙、丙三個社區(qū)中隨機(jī)選取一個社區(qū)參加綜合實踐活動，那么小明和小亮選到同一社區(qū)參加實踐活動的概率為（）8．（2012?海南）要從小強(qiáng)、小紅和小華三人中隨機(jī)選兩人作為旗手，則小強(qiáng)和小紅同時入選的概率是（）9．（2012?桂林）中考體育男生抽測項目規(guī)則是：從立定跳遠(yuǎn)、實心球、引體向上中隨機(jī)抽取一項；從50米、50×2米、100米中隨機(jī)抽取一項．恰好抽中實心球和50米的概率是（）10．（2012?東營）小英同時擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的小立方體（立方體的每個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6）．記甲立方體朝上一面上的數(shù)字為x、乙立方體朝上一面朝上的數(shù)字為y，這樣就確定點(diǎn)P的一個坐標(biāo)（x，y），那么點(diǎn)P落在雙曲線上的概率為（）11．（2012?畢節(jié)地區(qū)）小穎將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)擲了三次，你認(rèn)為三次都是正面朝上的概率是（）12．（2012?本溪）有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字﹣2，3，4的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外，其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上洗勻后，從中任取一張（不放回），再從剩余的卡片中任取一張，則兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積為正偶數(shù)的概率是（）13．（2009?安徽）某校決定從三名男生和兩名女生中選出兩名同學(xué)擔(dān)任校藝術(shù)節(jié)文藝演出專場的主持人，則選出的恰為一男一女的概率是（）14．（2008?天門）將分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的四張卡片洗勻后，背面朝上，放在桌面上，隨機(jī)抽取一張，1被抽取的概率是（）15．（2008?來賓）將一枚質(zhì)量分布均勻的硬幣拋擲3次，其中至少連續(xù)拋出2次相同一面朝上的概率是（）16．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加校田徑運(yùn)動會4×100米接力跑比賽，如果任意安排四位同學(xué)的跑步，2個同學(xué)在一組的概率是（）二．填空題（共13小題）18．（2012?自貢）盒子里有3張分別寫有整式x+1，x+2，3的卡片，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取兩張，把卡片的整式分別作為分子和分母，則能組成分式的概率是_____19．（2012?鐵嶺）從﹣2、1、這三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)相乘，積是無理數(shù)的概率是____20．（2012?紹興）箱子中裝有4個只有顏色不同的球，其中2個白球，2個紅球，4個人依次從箱子中任意摸出一個球，不放回，則第二個人摸出紅球且第三個人摸出白球的概率是_________．21．（2012?衢州）如圖，“石頭、剪刀、布”是民間廣為流傳的游戲，游戲時，雙方每次任意出“石頭”、“剪刀”、“布”這三種手勢中的一種，那么雙方出現(xiàn)相同手勢的概率P=．22．（2012?南平）某校舉行A、B兩項趣味比賽，甲、乙兩名學(xué)生各自隨即選擇其中的一項，則他們恰好參加同一項比賽的概率是_________．23．（2012?聊城）我市初中畢業(yè)男生體育測試項目有四項，其中“立定跳遠(yuǎn)”“1000米跑”“肺活量測試”為必測項目，另一項“引體向上”或“推鉛球”中選一項測試．小亮、小明和大剛從“引體向上”或“推鉛球”中選擇同一個測試項目的概率是_________．24．（2012?菏澤）口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)量和材質(zhì)都相同的紅色1號、紅色2號、黃色1號、黃色2號、黃色3號的5個小球，從中摸出兩球，這兩球都是紅色的概率是_________．25．（2012?河南）一個不透明的袋子中裝有三個小球，它們除分別標(biāo)有的數(shù)字1，3，5不同外，其它完全相同．任意從袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，則兩次摸出的球所標(biāo)數(shù)字之和為6的概率是_________．26．（2012?廣元）已知一次函數(shù)y=kx+b，k從1、﹣2中隨機(jī)取一個值，b從﹣1、2、3中隨機(jī)取一個值，則該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限的概率為_________．27．（2012?赤峰）投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，兩次的點(diǎn)數(shù)相同的概率是．28．（2008?防城港）在任意的三個整數(shù)中，有且只有一個偶數(shù)的概率是_________．29．從1到10這十個自然數(shù)中，任意取出兩個數(shù)，它們的積大于10的概率是_________．§3.2：用頻率估計概率一、教學(xué)目標(biāo)：1、經(jīng)歷試驗，統(tǒng)計等活動過程，在活動中進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的意識和能力。2、通過試驗，理解當(dāng)試驗次數(shù)較大時試驗頻率穩(wěn)定于理論概率，并可據(jù)此估計一事件發(fā)生的概率。二、教學(xué)重難點(diǎn)：通過實驗估計隨機(jī)事件發(fā)生的概率的方法。領(lǐng)會當(dāng)實驗次數(shù)很大時，可以用一個事件發(fā)生的頻率來估計這一事件發(fā)生的概率三、概念:1、不確定現(xiàn)象大量存在于自然界和人類社會中，概率正是研究這種現(xiàn)象、揭示其統(tǒng)計規(guī)律并幫助我們形成決策。數(shù)學(xué)工具.且隨著生產(chǎn)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)水平的提高，概率在現(xiàn)實生活和科學(xué)預(yù)測中的作用愈加廣泛和重要。