幾何與代數(shù)-斐波那契數(shù)列5-3

一.實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)§5.3實(shí)對稱矩陣的相似對角化二.實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化通常，實(shí)矩陣的特征值不一定是實(shí)數(shù)。比如：實(shí)對稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù)。1.復(fù)矩陣的共軛矩陣設(shè)A=(aij)mn,aijC，

A的共軛矩陣。

則稱A=(aij)mn為共軛運(yùn)算的性質(zhì)：

(1)kA=kA;(2)AT=;(3)AB=AB;

實(shí)對稱矩陣

一.實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)§5.3實(shí)對稱矩陣的相似對角化2.性質(zhì)5.1.實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。證明:=(a1,…,an)TCn，

()T=0

TAT=T==TAT=(A)T=T=(A)TT=a1a1+…+anan>0

=0則存在非零復(fù)向量

設(shè)復(fù)數(shù)為實(shí)對稱陣A的特征值，滿足A

=。說明1.實(shí)特征值對應(yīng)的特征向量可以是實(shí)向量。此外,1TA2=1TAT2=(A1)T2

=11T2

,

于是(1–2)1T2=0,從而1TA2

=1T(22)

=2

1T2證明:設(shè)12，1,

2

，滿足A1=11，A2=22但是12,故1T2=0，實(shí)對稱矩陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量???3.性質(zhì)5.2.實(shí)對稱矩陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量相互正交。即<1,2>=0。Th5.4.

A對應(yīng)于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。1.定理5.7.對于任意n階實(shí)對稱矩陣A，存在正交矩陣Q，使得Q–1AQ=QTAQ=

=diag(1,2,…,n)。其中1,2,…,n為A的全部特征值，Q=(q1,q2,…,qn)的列向量組是A的分別對應(yīng)于

1,2,…,n的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組。二.實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化2.推論.

n階實(shí)對稱矩陣A的ni重特征值有ni個(gè)線性無關(guān)（進(jìn)而正交）的特征向量。（用數(shù)學(xué)歸納法證明，略）3.計(jì)算步驟：求|E–A|=0的根，得到所有特征值1,2,…,s注1.矩陣Q中特征向量與特征值的順序相對應(yīng)。實(shí)對稱陣正交相似對角化對每個(gè)i，求(iE–A)x=0的基礎(chǔ)解系i1,i2,,it用施密特正交化方法將i1,i2,,it正交化、單位化，得到標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量i1,i2,,it則Q–1AQ=QTAQ=令Q=(11,12,,1t,…,s1,s2,,st)=diag(1,…,1,…,s,…,s)例1.將正交相似對角化。解:由|E–A|=(+2)(–4)2，取2=2，將2,3正交化，(4E–A)x=0的基礎(chǔ)解系2=(1,1,0)T，3=(2,0,1)T

得1=–2，2,3=4；1=–2時(shí)，2=4時(shí)，

(–2E–A)x=0的基礎(chǔ)解系1=(–1,1,2)T得2=2、3=(1,-1,1)T

將2,3正交化，再單位化，即得正交矩陣：注2.正交矩陣Q不唯一，如選2=3，可構(gòu)造不同Q。

注3.重根時(shí)可以直接用觀察法求正交特征向量。例2.設(shè)3階實(shí)對稱陣A的特征多項(xiàng)式為(–1)2(–10)，且3=(1,2,2)T是對應(yīng)=10的特征向量，求A。解:

令1,2為對應(yīng)于=1兩個(gè)正交的特征向量解法1.將正交向量組1,2,3單位化得正交矩陣因?yàn)?,2都與3正交，可取為3Tx=0的基礎(chǔ)解系1=(0,1,1)T，2=(4,1,1)TQ=設(shè)

=由QTAQ=Q1AQ=可得A=QQT=對稱正交相似對角化令P=

=由P1AP=得A=PP1=A=相似對角化例2.設(shè)3階實(shí)對稱陣A的特征多項(xiàng)式為(–1)2(–10)，且3=(1,2,2)T是對應(yīng)=10的特征向量，求A。解:

令1,2為對應(yīng)于=1兩個(gè)正交的特征向量因?yàn)?,2都與3正交，可取為3Tx=0的基礎(chǔ)解系1=(0,1,1)T，2=(4,1,1)T解法2.說明.變換矩陣P或Q均不唯一，但A唯一。

將正交向量組1,2,3單位化得正交矩陣1=(2,1,2)T,2=(2,2,1)TQ=設(shè)

=由QTAQ=Q1AQ=可得A=QQT=例2.設(shè)3階實(shí)對稱陣A的特征多項(xiàng)式為(–1)2(–10)，且3=(1,2,2)T是對應(yīng)=10的特征向量，求A。解:

令1,2為對應(yīng)于=1兩個(gè)正交的特征向量因?yàn)?,2都與3正交，可取為3Tx=0的基礎(chǔ)解系此時(shí)A唯一若已知1=(2,1,2)T是對應(yīng)于=1的特征向量，能否唯一求出A呢？1,2可取為3垂面上任意兩個(gè)L.i.(垂直)的向量。2,3可取為1垂面上任意兩個(gè)L.i.(垂直)的向量，但無法確定2,3中哪個(gè)是對應(yīng)于=1的特征向量，哪個(gè)是對應(yīng)于=10的特征向量。否例2.設(shè)3階實(shí)對稱陣A的特征多項(xiàng)式為(–1)2(–10)，且3=(1,2,2)T是對應(yīng)=10的特征向量，求A。§5.3實(shí)對稱矩陣的相似對角化實(shí)對稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù)；實(shí)對稱陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交。Th5.7任意n階實(shí)對稱陣都可以正交相似對角化，即存在正交陣Q，使得Q–1AQ==diag(1,2,…,n)其中Q=(q1,q2,…,qn)的列向量組是A的對應(yīng)于特征值

1,2,…,n的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組。正交特征向量1.l.i.特征向量再由Schmidt正交化法正交2.由1個(gè)特量及正交方程組解其他正交特向?qū)崒ΨQ矩陣對角化的反問題：Q–1AQ=QTAQ=

A=QQT=QQ–1P–1AP=

A=PP–1無需正交標(biāo)準(zhǔn)化，但需求逆正交標(biāo)準(zhǔn)化，不需求逆f,f(A)

=Qf()QT關(guān)于相似對角化與正交相似對角化實(shí)對稱矩陣對角化的反問題：Q–1AQ=QTAQ=

A=QQT=QQ–1不是任一個(gè)方陣A都可以相似對角化，只有當(dāng)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量時(shí)才可相似對角化；實(shí)對稱矩陣必可正交相似對角化，也可以相似對角化；若實(shí)方陣A可以正交相似對角化，則A必是實(shí)對稱矩陣

AT=(QQT)T=QTQT=QQT=A一般方陣若能相似對角化，不一定能正交相似對角化；只有要求正交相似對角化時(shí)，才需正交化標(biāo)準(zhǔn)化。P–1AP=

A=PP–1無需正交標(biāo)準(zhǔn)化，但需求逆正交標(biāo)準(zhǔn)化，不需求逆f，f(A)

=Qf()QT例3.A=可相似對角化，不能正交相似對角化。

解:易知A的特征值為1=1，2=–1。A對應(yīng)于1=1的特征向量為1=k1(1,0)T(k10)

1101A對應(yīng)于2=–1的特征向量為2=k2(1,–2)T(k20)k1,

k20,<1,2>=k1k20若將1,

2正交化，得1=(1,0)T,2=(0,2)T。但這里的2=(0,2)T已經(jīng)不再是2=–1的特征向量。k1,

k20,1,

2都只是線性無關(guān)，而不會正交。解：

(2)若A、B是一般方陣，即使特征多項(xiàng)式相同，不一定相似，更別說正交相似。比如：

因?yàn)閷?shí)對稱矩陣A、B的特征多項(xiàng)式相同，所以它們的特征值相同，A、B都與=diag(1,…,

n)相似且正交相似事實(shí)上存在Q1,Q2正交,使得正交，所以A、B正交相似。例4.若A、B是實(shí)對稱陣，|EA|=|EB|，A、B是否相似？是否正交相似？也是等價(jià)關(guān)系若A、B是一般實(shí)方陣呢？等價(jià)關(guān)系定義矩陣定義等價(jià)類代表不變量

RnnRmn等價(jià)相似正交相似Rnn實(shí)對稱相抵標(biāo)準(zhǔn)形為初等陣i為特征值

①秩

②特征值,跡,行列式

①②

①秩

若A可相似對角化

解法3:所以A的全部特征值為0(n1重根)和

例5.設(shè)0，Rn，求A=T的特征值和特征向量。A可正交相似對角化。即存在正交陣Q和對角陣，0，使得

因?yàn)锳的全部特征值為0(n1重根)和

例5.

設(shè)0，Rn，求A=T的特征值和特征向量，并求|E

A3|。

是A的特征值

多項(xiàng)式f，f()是f(A)的特征值

所以E

A3的特征值為1(n1重根)和

解1:A與相似