數(shù)概-第一章7習題課

第一章

概率論的基本概念習

題

課一、重點與難點二、主要內(nèi)容三、典型例題一、重點與難點重點隨機事件之間的關系和運算概率的性質(zhì)古典概型的概率計算方法

條件概率和乘法公式的應用全概率公式和 公式的應用難點古典概型的概率計算 全概率公式的應用二、主要內(nèi)容隨機現(xiàn)象隨機試驗事件的獨立性隨機事件概率古典概型幾何概率乘法定理事件的關系和運算全概率公式與公式性質(zhì)定義條件概率復合事件基

必

不*

然

可事

事

能事件

件

件對立事件可以在相同的條件下重復地進行;每次試驗的可能結果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結果;3o

進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn).在概率論中，把具有以下三個特征的試驗稱為隨機試驗.隨機試驗1o2o樣本空間的元素,即試驗E

的每一個結果,稱為基本事件.隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為樣本空間,記為S.隨機試驗E

的樣本空間S

的子集稱為E的隨機事件,簡稱事件.隨機事件1o2o3o基本事件

由一個樣本點組成的單點集.必然事件

隨機試驗中必然會出現(xiàn)的結果.

不可能事件

隨機試驗中不可能出現(xiàn)的結果.必然事件的對立面是不可能事件,不可能事件的對立面是必然事件,它們互稱為對立事件.重要的隨機事件事件的關系和運算設試驗E的樣本空間為S,而A,B,Ak

(k

1,2,)是S

的子集.(1)包含關系若事件A

出現(xiàn)，必然導致事件B

出現(xiàn)，則稱事件B

包含事件A，記作B

A

或A

B.圖示

B

包含

A

.SBAA等于B若事件A

包含事件B

,而且事件B

包含事件A,則稱事件A

與事件B

相等,記作A=B.事件A與B的并(和事件)事件A

B

{xx

A或x

B}稱為事件A與事件B的和事件.圖示事件

A與

B的并.SBA(5)

事件A與B互不相容(互斥)若事件A

的出現(xiàn)必然導致事件B

不出現(xiàn),B出現(xiàn)也必然導致A

不出現(xiàn),則稱事件A

與B互不相容,即A

B

AB

.圖示A

與B

互不相容（互斥）

.SAB(6)

事件A與B的差由事件A出現(xiàn)而事件B不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件A與B的差.記作A-B.圖示A

與B

的差.SBAA

BSBA

BB

AB

A設A表示“事件A出現(xiàn)”,則“事件A不出現(xiàn)”稱為事件A的對立事件或逆事件.記A.作圖示

A

與

B的對立

.B

AS若A

與B互逆,則有A

B

S

且AB

.A(7)事件A的對立事件說明

對立事件與互斥事件的區(qū)別A，B

互斥

A，B

對立SAB

AB

A

SA

B

S

且AB

.對立AB

互斥事件運算的性質(zhì)A

B

B

A,

AB

BA.(

A

B)

C

A

(B

C

),(

AB)C

A(BC

).1o

交換律2o

結合律3o

分配律(

A

B)

C

(

A

C

)

(B

C

)

AC

BC

,(

A

B)

C

(

A

C

)

(B

C

)

(

A

C

)(B

C

).4o

德

律:

A

B

A

B,

A

B

A

B.設

A,

B,

C

為事件,

則有設

E

是隨機試驗,

S

是它的樣本空間.對于E的每一事件

A

賦予一個實數(shù),

記為

P(

A),

稱為事件

A的概率,

如果集合函數(shù)

P()

滿足下列條件

:概率的定義對于每一個事件

A,

有

P(

A)

0;對于必然事件S,有P(S

)

1;10

非負性:20

規(guī)范性:30

可列可加性

:

設

A

,

A

,是兩兩胡不相容的1

2事件,即對于i

j,

Ai

Aj

,

i,

j

1,2,,則有P(

A1

A2

)

P(

A1

)

P(

A2

)

概率的可列可加性P()

0.1020

若A

,

A

,,

A

是兩兩互不相容的事件,則有1

2

nP(

A1

A2

An

)

P(

A1

)

P(

A2

)

P(

An

).概率的有限可加性30

設A,B

為兩個事件,且A

B,則P(

A)

P(B),

P(B

A)

P(B)

P(

A).40

對于任一事件

A,

P(

A)

1.概率的性質(zhì)0

設

A

是

A

的對立事件,

則

P(

A)

1

P(

A).0

(加法公式)

對于任意兩事件

A,

B

有P(

A

B)

P(

A)

P(B)

P(

AB).n

個事件和的情況nP(

A1

A2

An

)

P(

Ai

)

i

11

2

ni

j

kP(

A

A

A

).

P(

Ai

Aj

)1i

jnn11i

jkn

P(

A

A

A

)

(1)定義試驗的樣本空間只包含有限個元素;試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同.具有以上兩個特點的試驗稱為等可能概型或古典概型.等可能概型(古典概型)設試驗E

的樣本空間由n

個樣本點構成,A為E

的任意一個事件,且包含m

個樣本點,則事件A出現(xiàn)的概率記為:古典概型中事件概率的計算公式.P(A)

m

A

所包含樣本點的個數(shù)n

樣本點總數(shù)稱此為概率的古典定義.P(

A)

SA

.S(其中

S

是樣本空間的度量,

SA

是構成事件

A的子區(qū)域的度量).

這樣借助于幾何上的度量來合理規(guī)定的概率稱為幾何概型.幾何概型當隨機試驗的樣本空間是某個區(qū)域,并且任意一點落在度量(長度,面積,體積)相同的子區(qū)域是等可能的,則事件A的概率可定義為條件概率P(B)同理可得

P(

AB)

P(

AB)

,為在事件B

發(fā)生的條件下事件A

發(fā)生的條件概率.為在事件

A

發(fā)生的條件下事件

B

發(fā)生的條件概率.P(

A)P(B

A)

P(

AB)(1)條件概率的定義設A,B

是兩個事件,且P(A)

0,稱P(

A

B)40則有50

可加可列性

:

設

B

,

B

,是兩兩不相容的事件,1

2

i

1

i

1

P

Bi

A

P(Bi

A).10

非負性:

P(B

A)

0;20

規(guī)范性:

P(S

B)

1,

P(

B)

0;30

P(

A

A

B)

P(

A

B)

P(

A

B)

P(

A

A

B);1

2

1

2

1

2(2)條件概率的性質(zhì)設

P(

A)

0,

則有

P(

AB)

P(B

A)P(

A).設

A,

B,C

為事件,且

P(

AB)

0,

則有P(

ABC

)

P(

A)P(B

A)P(C

AB).推廣

設

A1

,

A2

,,

An

為n

個事件,

n

2,且P(A1

A2

An1

)

0,則有P(

A1

A2

An

)

P(

An

A1

A2

An1

)

P(

An1

A1

A2

An2

)

P(

A2

A1

)P(

A1

).乘法定理1020為E

的一組事件,若BBn

B為樣本空間S

的一個劃分.21,,,,

BBn則稱定義

設 為試驗ES的樣本空間ij

,1,,2,,;

iBnjB

21

n

SB.

BB21,,,樣本空間的劃分全概率公式與公式B2

B1B3Bn1nB稱為全概率公式.定理設試驗E的樣本空間為S

,A為E

的事件,B1

,B2

,,Bn為S的一個劃分,且P(Bi

)

0(i

1,

2,,n),則P(

A)

P(

A

B1

)P(B1

)

P(

A

B2

)P(B2

)

P(

A

Bn

)P(Bn

)全概率公式AB12BB3n1

BBn說明全概率公式的主要用處在于它可以將一個復雜事件的概率計算問題分解為若干個簡單事件的概率計算問題,最后應用概率的可加性求出最終結果.B1B2B3nBA

Bn1公式稱此為,

i

1,2,,

n.定理

設試驗

E

的樣本空間為

S

.

A為E

的事件,

B1

,B2

,,

Bn

為

S

的一個劃分,且

P(

A)

0,

P(Bi

)

0

(i

1,2,,

n),

則nP(

A

Bi

)P(Bi

)

P(

A

Bj

)P(Bj

)j1公式.iP(B A)

(1)兩事件相互獨立設A,B

是兩事件,如果滿足等式P(

AB)

P(

A)

P(B).則稱事件A,B

相互獨立,簡稱A,B

獨立.說明事件A

與B

相互獨立是指事件A

的概率與事件B是否出現(xiàn)無關.事件的相互獨立性(2)三事件兩兩獨立設A,B,C

是三個事件,如果滿足等式

P(

AB)

P(

A)P(B),

P(BC

)

P(B)P(C

),

P(

AC

)

P(

A)P(C

),則稱事件A,B,C

兩兩獨立.P(

ABC

)

P(

A)P(B)P(C

),則稱事件

A,

B,C

相互獨立

.注意三個事件相互獨立 三個事件兩兩獨立(3)三事件相互獨立P(

AC

)

P(

A)P(C

),設A,B,C

是三個事件,如果滿足等式P(

AB)

P(

A)P(B),P(BC

)

P(B)P(C

),kii

i

P(

A

),)

P(

A)P(

A

)

P(

Ai

Ai

Ai1

2

k

1

2則稱A1

,A2

,,An

為相互獨立的事件.n

個事件相互獨立

n個事件兩兩獨立推廣

設意有等式

i具21

,,,n

是nA個A事A

件,如果對于任21

knkk任意1)1,(

重要定理及結論定理一設A,B

是兩事件,且P(A)

0.若A,B相互獨立,則P(B

A)

P(B).反之亦然.定理二若A,B是相互獨立的兩個事件,則下列各對事件,A

與B,A

與B

,A

與B

也相互獨立.兩個結論若事件A1

,A2

,,An

(n

2)相互獨立,則其中任意k

(2

k

n)個事件也是相互獨立.若n

個事件

A1

,A2

,,An

(n

2)相互獨立,則將A1

,A2

,,An中任意多個事件換成它們的對立事件,所得的

n

個事件仍相互獨立.三、典型例題一個工人生產(chǎn)了3個零件,以事件Ai

表示他例1生產(chǎn)的第

i

個零件是合格品

(i

1,2,3)

,

試用

Ai(i

1,2,3)表示下列事件:只有第一個零件是合格品(B1

);B1

A1

A2

A3

;三個零件中只有一個零件是合格品(B2

);(2)

B2

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

;B3

A1

(

A2

A3

);三個零件中最多只有兩個合格品(B4

);B4

A1

A2

A3

,或

B4

A1

A2

A3

;三個零件都是次品

(B5

).(5)

B5

A1

A2

A3

,

或

B5

A1

A2

A3

.說明

一個事件往往有多個等價的表達方式.(3)第一個是合格品,但后兩個零件中至少有一個次品(B3

);例2

設隨機事件

A,

B,C

滿足

C

AB,

C

AB.證明:AC

CB

AB.證明由于

C

AB,

故

C

A

B,從而

C

B

(A

B)B

AB,CAB

CB

AB

CB,ACB

C

AB

AB,故

AC

AC

(B

B)

ACB

AC

B

CB

AB.射擊命中目標的概率為0.6,試求兩次獨立射擊至少有一次命中目標的概率.假設目標出現(xiàn)在射程之內(nèi)的概率為0.7,這時[思路]引進事件A

{目標進Bi

{第i次射擊命中目標},i

1,2.故所求概率為事件B

B1

B2

的概率,由于目標不在射程之內(nèi)是不可能命中目標的,因此,可利用全概率公式來求解.例3解由題意知(

i

1,

2

)P(

A)

0.7,

P(Bi

A)

0.6,因此由全概率公式,有P(B)

P(

AB)

P(

AB)

P(

AB)

P(

A)P(B

A)

P(

A)P(B1

B2

A),由題意知

B1

與

B2

相互獨立,從而

P(B1

B2

A)

P(B1

A)P(B2

A)

0.6

0.6

0.36.由加法公式得P(B1

B2

A)

P(B1

A)

P(B2

A)

P(B1

B2

A)

0.6

0.6

0.36

0.84.故

P(B)

P(

A)

P(B1

B2

A)

0.7

0.84

0.588.生的報名表,其中 的報名表分別份為、73份和份,5隨機地取一個地區(qū)的報名表,從中先后抽出兩份.求先抽到的一份是 表的概率

p;已知后抽到的一份表是男生表,求先抽到的一份是[思路]

由于抽到的表與來自哪個地區(qū)有關,故此題要用全概率公式來

.名、名和25名15考10例4

設有來自三個地區(qū)的各解記

Hi

{抽到i地區(qū)考生的報名表},

i

1,

2,

3;Aj

{第

j

次抽到報名表是男生的},

j

1,

2,3

10i

1

1則有

P(H

)

1

(i

1,2,3);

P(

A

H

)

7

;15

251

31

2P(

A

H

)

20

.P(

A

H

)

8

;3i

1(1)由全概率公式知p

P(

A1

)

P(

Hi

)P(

A1

Hi

)15 25

3

10

1

3

7

5

.9029,(2)

q

P(

A1

A2

)

21

2P(

A

)P(

A

A

)由全概率公式得3i

1P(

Hi

)P(

A1

A2

Hi

)1

2P(

A

A

)

P(

A1

A2

Hi

),133i

110

9

301

2

1又因為

P(

A

A

H

)

3

7

7

,15

14

301

2

2P(

A

A

H

)

7

8

8

,25

24

301

2

3P(

A

A

H

)

5

20

5

.

81

23

30

30

5

2

,30

9所以

P(

A

A

)

1

73i

1而

P(

A2

)

P(

Hi

)P(

A