數(shù)概-第一章7習(xí)題課

第一章

概率論的基本概念習(xí)

題

課一、重點(diǎn)與難點(diǎn)二、主要內(nèi)容三、典型例題一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)隨機(jī)事件之間的關(guān)系和運(yùn)算概率的性質(zhì)古典概型的概率計(jì)算方法

條件概率和乘法公式的應(yīng)用全概率公式和 公式的應(yīng)用難點(diǎn)古典概型的概率計(jì)算 全概率公式的應(yīng)用二、主要內(nèi)容隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)試驗(yàn)事件的獨(dú)立性隨機(jī)事件概率古典概型幾何概率乘法定理事件的關(guān)系和運(yùn)算全概率公式與公式性質(zhì)定義條件概率復(fù)合事件基

必

不*

然

可事

事

能事件

件

件對(duì)立事件可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;3o

進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).在概率論中，把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).隨機(jī)試驗(yàn)1o2o樣本空間的元素,即試驗(yàn)E

的每一個(gè)結(jié)果,稱為基本事件.隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為樣本空間,記為S.隨機(jī)試驗(yàn)E

的樣本空間S

的子集稱為E的隨機(jī)事件,簡稱事件.隨機(jī)事件1o2o3o基本事件

由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.必然事件

隨機(jī)試驗(yàn)中必然會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果.

不可能事件

隨機(jī)試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的結(jié)果.必然事件的對(duì)立面是不可能事件,不可能事件的對(duì)立面是必然事件,它們互稱為對(duì)立事件.重要的隨機(jī)事件事件的關(guān)系和運(yùn)算設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,而A,B,Ak

(k

1,2,)是S

的子集.(1)包含關(guān)系若事件A

出現(xiàn)，必然導(dǎo)致事件B

出現(xiàn)，則稱事件B

包含事件A，記作B

A

或A

B.圖示

B

包含

A

.SBAA等于B若事件A

包含事件B

,而且事件B

包含事件A,則稱事件A

與事件B

相等,記作A=B.事件A與B的并(和事件)事件A

B

{xx

A或x

B}稱為事件A與事件B的和事件.圖示事件

A與

B的并.SBA(5)

事件A與B互不相容(互斥)若事件A

的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件B

不出現(xiàn),B出現(xiàn)也必然導(dǎo)致A

不出現(xiàn),則稱事件A

與B互不相容,即A

B

AB

.圖示A

與B

互不相容（互斥）

.SAB(6)

事件A與B的差由事件A出現(xiàn)而事件B不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件A與B的差.記作A-B.圖示A

與B

的差.SBAA

BSBA

BB

AB

A設(shè)A表示“事件A出現(xiàn)”,則“事件A不出現(xiàn)”稱為事件A的對(duì)立事件或逆事件.記A.作圖示

A

與

B的對(duì)立

.B

AS若A

與B互逆,則有A

B

S

且AB

.A(7)事件A的對(duì)立事件說明

對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別A，B

互斥

A，B

對(duì)立SAB

AB

A

SA

B

S

且AB

.對(duì)立AB

互斥事件運(yùn)算的性質(zhì)A

B

B

A,

AB

BA.(

A

B)

C

A

(B

C

),(

AB)C

A(BC

).1o

交換律2o

結(jié)合律3o

分配律(

A

B)

C

(

A

C

)

(B

C

)

AC

BC

,(

A

B)

C

(

A

C

)

(B

C

)

(

A

C

)(B

C

).4o

德

律:

A

B

A

B,

A

B

A

B.設(shè)

A,

B,

C

為事件,

則有設(shè)

E

是隨機(jī)試驗(yàn),

S

是它的樣本空間.對(duì)于E的每一事件

A

賦予一個(gè)實(shí)數(shù),

記為

P(

A),

稱為事件

A的概率,

如果集合函數(shù)

P()

滿足下列條件

:概率的定義對(duì)于每一個(gè)事件

A,

有

P(

A)

0;對(duì)于必然事件S,有P(S

)

1;10

非負(fù)性:20

規(guī)范性:30

可列可加性

:

設(shè)

A

,

A

,是兩兩胡不相容的1

2事件,即對(duì)于i

j,

Ai

Aj

,

i,

j

1,2,,則有P(

A1

A2

)

P(

A1

)

P(

A2

)

概率的可列可加性P()

0.1020

若A

,

A

,,

A

是兩兩互不相容的事件,則有1

2

nP(

A1

A2

An

)

P(

A1

)

P(

A2

)

P(

An

).概率的有限可加性30

設(shè)A,B

為兩個(gè)事件,且A

B,則P(

A)

P(B),

P(B

A)

P(B)

P(

A).40

對(duì)于任一事件

A,

P(

A)

1.概率的性質(zhì)0

設(shè)

A

是

A

的對(duì)立事件,

則

P(

A)

1

P(

A).0

(加法公式)

對(duì)于任意兩事件

A,

B

有P(

A

B)

P(

A)

P(B)

P(

AB).n

個(gè)事件和的情況nP(

A1

A2

An

)

P(

Ai

)

i

11

2

ni

j

kP(

A

A

A

).

P(

Ai

Aj

)1i

jnn11i

jkn

P(

A

A

A

)

(1)定義試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素;試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為等可能概型或古典概型.等可能概型(古典概型)設(shè)試驗(yàn)E

的樣本空間由n

個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成,A為E

的任意一個(gè)事件,且包含m

個(gè)樣本點(diǎn),則事件A出現(xiàn)的概率記為:古典概型中事件概率的計(jì)算公式.P(A)

m

A

所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)n

樣本點(diǎn)總數(shù)稱此為概率的古典定義.P(

A)

SA

.S(其中

S

是樣本空間的度量,

SA

是構(gòu)成事件

A的子區(qū)域的度量).

這樣借助于幾何上的度量來合理規(guī)定的概率稱為幾何概型.幾何概型當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任意一點(diǎn)落在度量(長度,面積,體積)相同的子區(qū)域是等可能的,則事件A的概率可定義為條件概率P(B)同理可得

P(

AB)

P(

AB)

,為在事件B

發(fā)生的條件下事件A

發(fā)生的條件概率.為在事件

A

發(fā)生的條件下事件

B

發(fā)生的條件概率.P(

A)P(B

A)

P(

AB)(1)條件概率的定義設(shè)A,B

是兩個(gè)事件,且P(A)

0,稱P(

A

B)40則有50

可加可列性

:

設(shè)

B

,

B

,是兩兩不相容的事件,1

2

i

1

i

1

P

Bi

A

P(Bi

A).10

非負(fù)性:

P(B

A)

0;20

規(guī)范性:

P(S

B)

1,

P(

B)

0;30

P(

A

A

B)

P(

A

B)

P(

A

B)

P(

A

A

B);1

2

1

2

1

2(2)條件概率的性質(zhì)設(shè)

P(

A)

0,

則有

P(

AB)

P(B

A)P(

A).設(shè)

A,

B,C

為事件,且

P(

AB)

0,

則有P(

ABC

)

P(

A)P(B

A)P(C

AB).推廣

設(shè)

A1

,

A2

,,

An

為n

個(gè)事件,

n

2,且P(A1

A2

An1

)

0,則有P(

A1

A2

An

)

P(

An

A1

A2

An1

)

P(

An1

A1

A2

An2

)

P(

A2

A1

)P(

A1

).乘法定理1020為E

的一組事件,若BBn

B為樣本空間S

的一個(gè)劃分.21,,,,

BBn則稱定義

設(shè) 為試驗(yàn)ES的樣本空間ij

,1,,2,,;

iBnjB

21

n

SB.

BB21,,,樣本空間的劃分全概率公式與公式B2

B1B3Bn1nB稱為全概率公式.定理設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S

,A為E

的事件,B1

,B2

,,Bn為S的一個(gè)劃分,且P(Bi

)

0(i

1,

2,,n),則P(

A)

P(

A

B1

)P(B1

)

P(

A

B2

)P(B2

)

P(

A

Bn

)P(Bn

)全概率公式AB12BB3n1

BBn說明全概率公式的主要用處在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題分解為若干個(gè)簡單事件的概率計(jì)算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.B1B2B3nBA

Bn1公式稱此為,

i

1,2,,

n.定理

設(shè)試驗(yàn)

E

的樣本空間為

S

.

A為E

的事件,

B1

,B2

,,

Bn

為

S

的一個(gè)劃分,且

P(

A)

0,

P(Bi

)

0

(i

1,2,,

n),

則nP(

A

Bi

)P(Bi

)

P(

A

Bj

)P(Bj

)j1公式.iP(B A)

(1)兩事件相互獨(dú)立設(shè)A,B

是兩事件,如果滿足等式P(

AB)

P(

A)

P(B).則稱事件A,B

相互獨(dú)立,簡稱A,B

獨(dú)立.說明事件A

與B

相互獨(dú)立是指事件A

的概率與事件B是否出現(xiàn)無關(guān).事件的相互獨(dú)立性(2)三事件兩兩獨(dú)立設(shè)A,B,C

是三個(gè)事件,如果滿足等式

P(

AB)

P(

A)P(B),

P(BC

)

P(B)P(C

),

P(

AC

)

P(

A)P(C

),則稱事件A,B,C

兩兩獨(dú)立.P(

ABC

)

P(

A)P(B)P(C

),則稱事件

A,

B,C

相互獨(dú)立

.注意三個(gè)事件相互獨(dú)立 三個(gè)事件兩兩獨(dú)立(3)三事件相互獨(dú)立P(

AC

)

P(

A)P(C

),設(shè)A,B,C

是三個(gè)事件,如果滿足等式P(

AB)

P(

A)P(B),P(BC

)

P(B)P(C

),kii

i

P(

A

),)

P(

A)P(

A

)

P(

Ai

Ai

Ai1

2

k

1

2則稱A1

,A2

,,An

為相互獨(dú)立的事件.n

個(gè)事件相互獨(dú)立

n個(gè)事件兩兩獨(dú)立推廣

設(shè)意有等式

i具21

,,,n

是nA個(gè)A事A

件,如果對(duì)于任21

knkk任意1)1,(

重要定理及結(jié)論定理一設(shè)A,B

是兩事件,且P(A)

0.若A,B相互獨(dú)立,則P(B

A)

P(B).反之亦然.定理二若A,B是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件,則下列各對(duì)事件,A

與B,A

與B

,A

與B

也相互獨(dú)立.兩個(gè)結(jié)論若事件A1

,A2

,,An

(n

2)相互獨(dú)立,則其中任意k

(2

k

n)個(gè)事件也是相互獨(dú)立.若n

個(gè)事件

A1

,A2

,,An

(n

2)相互獨(dú)立,則將A1

,A2

,,An中任意多個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件,所得的

n

個(gè)事件仍相互獨(dú)立.三、典型例題一個(gè)工人生產(chǎn)了3個(gè)零件,以事件Ai

表示他例1生產(chǎn)的第

i

個(gè)零件是合格品

(i

1,2,3)

,

試用

Ai(i

1,2,3)表示下列事件:只有第一個(gè)零件是合格品(B1

);B1

A1

A2

A3

;三個(gè)零件中只有一個(gè)零件是合格品(B2

);(2)

B2

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

;B3

A1

(

A2

A3

);三個(gè)零件中最多只有兩個(gè)合格品(B4

);B4

A1

A2

A3

,或

B4

A1

A2

A3

;三個(gè)零件都是次品

(B5

).(5)

B5

A1

A2

A3

,

或

B5

A1

A2

A3

.說明

一個(gè)事件往往有多個(gè)等價(jià)的表達(dá)方式.(3)第一個(gè)是合格品,但后兩個(gè)零件中至少有一個(gè)次品(B3

);例2

設(shè)隨機(jī)事件

A,

B,C

滿足

C

AB,

C

AB.證明:AC

CB

AB.證明由于

C

AB,

故

C

A

B,從而

C

B

(A

B)B

AB,CAB

CB

AB

CB,ACB

C

AB

AB,故

AC

AC

(B

B)

ACB

AC

B

CB

AB.射擊命中目標(biāo)的概率為0.6,試求兩次獨(dú)立射擊至少有一次命中目標(biāo)的概率.假設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)在射程之內(nèi)的概率為0.7,這時(shí)[思路]引進(jìn)事件A

{目標(biāo)進(jìn)Bi

{第i次射擊命中目標(biāo)},i

1,2.故所求概率為事件B

B1

B2

的概率,由于目標(biāo)不在射程之內(nèi)是不可能命中目標(biāo)的,因此,可利用全概率公式來求解.例3解由題意知(

i

1,

2

)P(

A)

0.7,

P(Bi

A)

0.6,因此由全概率公式,有P(B)

P(

AB)

P(

AB)

P(

AB)

P(

A)P(B

A)

P(

A)P(B1

B2

A),由題意知

B1

與

B2

相互獨(dú)立,從而

P(B1

B2

A)

P(B1

A)P(B2

A)

0.6

0.6

0.36.由加法公式得P(B1

B2

A)

P(B1

A)

P(B2

A)

P(B1

B2

A)

0.6

0.6

0.36

0.84.故

P(B)

P(

A)

P(B1

B2

A)

0.7

0.84

0.588.生的報(bào)名表,其中 的報(bào)名表分別份為、73份和份,5隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表,從中先后抽出兩份.求先抽到的一份是 表的概率

p;已知后抽到的一份表是男生表,求先抽到的一份是[思路]

由于抽到的表與來自哪個(gè)地區(qū)有關(guān),故此題要用全概率公式來

.名、名和25名15考10例4

設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各解記

Hi

{抽到i地區(qū)考生的報(bào)名表},

i

1,

2,

3;Aj

{第

j

次抽到報(bào)名表是男生的},

j

1,

2,3

10i

1

1則有

P(H

)

1

(i

1,2,3);

P(

A

H

)

7

;15

251

31

2P(

A

H

)

20

.P(

A

H

)

8

;3i

1(1)由全概率公式知p

P(

A1

)

P(

Hi

)P(

A1

Hi

)15 25

3

10

1

3

7

5

.9029,(2)

q

P(

A1

A2

)

21

2P(

A

)P(

A

A

)由全概率公式得3i

1P(

Hi

)P(

A1

A2

Hi

)1

2P(

A

A

)

P(

A1

A2

Hi

),133i

110

9

301

2

1又因?yàn)?/p>

P(

A

A

H

)

3

7

7

,15

14

301

2

2P(

A

A

H

)

7

8

8

,25

24

301

2

3P(

A

A

H

)

5

20

5

.

81

23

30

30

5

2

,30

9所以

P(

A

A

)

1

73i

1而

P(

A2

)

P(

Hi

)P(

A