相似三角形與反比例函數(shù)的聯(lián)姻

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鮑愛(ài)珍

相像三角形與反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，將二者進(jìn)行“聯(lián)姻〞是中考命題的一個(gè)熱點(diǎn).下面以2021年中考題為例，與同學(xué)們一起摸索這類問(wèn)題的特點(diǎn)與解法.

一、頂點(diǎn)在雙曲線上的平行線型相像三角形

例1（2021·江蘇·揚(yáng)州）如圖1，點(diǎn)P是函數(shù)y=[k1x]（k10，x0）的圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)A，B，交函數(shù)y=[k2x]（k20，x0）的圖象于點(diǎn)C，D，連接OC，OD，CD，AB，其中k1k2.以下結(jié)論①CD[?]AB，②S△OCD=[k1-k22]，③S△DCP=[（k1-k2）22k1]，其中正確的是（）.

A.①②B.①③C.②③D.①

分析：要證明CD[?]AB，聯(lián)想到“A〞字型相像三角形，只要證明△PDC∽△PBA即可，再由三角形的面積公式和三角形面積之間的關(guān)系來(lái)判定②③的正確性.

解：設(shè)P[m，k1m]，則C[m，k2m]，A（m，0），B[0，k1m].令[k1m=k2x]，則[x=k2mk1]，即D[k2mk1，k1m]，∴PC=[k1m-k2m=k1-k2m]，PD=[m-k2mk1=m（k1-k2）k1].∵[PDPB=m（k1-k2）k1m=k1-k2k1]，[PCPA=k1-k2mk1m=k1-k2k1]，即[PDPB=PCPA]，又∵∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBA，∴CD[?]AB，故①正確.∵S△PDC=[12×PD×PC=（k1-k2）22k1]，故③正確.S△OCD=S四邊形OAPB-S△OCA-S△BOD-S△DPC=[k1-12k2-12k2-（k1-k2）22k1=k21-k222k1]，故②錯(cuò)誤.應(yīng)選B.

點(diǎn)評(píng)：平行線型相像三角形是初中數(shù)學(xué)中一類重要的基礎(chǔ)模型，同學(xué)們要熟練把握.

二、頂點(diǎn)在雙曲線上的相交線型相像三角形

例2（2021·湖北·荊門(mén)）如圖2，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸上，B（-2，1），將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落在y軸上的點(diǎn)D處，得到△OED，OE交BC于點(diǎn)G，若反比例函數(shù)y=[kx]（x0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，則k的值為

.

分析：根據(jù)題意證明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，利用相像三角形的性質(zhì)求出CG的長(zhǎng)度，即可求解.

解：∵B（-2，1），∴AB=1，OA=2.∵△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B落在y軸上的點(diǎn)D處，得到△OED，∴DE=AB=1，OE=OA=2，∠OED=∠OAB=90°.∵∠COG=∠EOD，∠OCG=∠OED，∴△OCG∽△OED，∴[CGDE=OCOE]，即[CG1=12]，解得CG=[12]，∴G[-12，1].把G[-12，1]代入y=[kx]得k=-[12].

故填[-12].

點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是找出相交線型相像三角形，利用相像三角形的性質(zhì)求出OG的長(zhǎng)度.

三、頂點(diǎn)在雙曲線上的“一線三等角〞型相像三角形

例3（2021·湖南·常德）如圖3，在Rt△AOB中，AO⊥BO，AB⊥y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（n，[3]），反比例函數(shù)y1=[k1x]的圖象的一支過(guò)A點(diǎn)，反比例函數(shù)y2=[k2x]的圖象的一支過(guò)B點(diǎn)，過(guò)A作AH⊥x軸于H，若△AOH的面積為[32].

（1）求n的值;

（2）求反比例函數(shù)y2的解析式.

分析：（1）由AH⊥x軸于H，A（n，[3]），可知AH=[3]，再由△AOH的面積為[32]即可求得OH的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到n的值;（2）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，結(jié)合AO⊥BO，AH⊥x軸于H，則出現(xiàn)“一線三等角〞模型，結(jié)合AB⊥y軸，運(yùn)用相像三角形的知識(shí)即可求得y2的解析式.

解：（1）由AH⊥x軸于H，A（n，[3]），可知AH=[3].

∵△AOH的面積為[32]，∴[12]OH·[3]=[32]，∴OH=1，即n=1.

（2）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，∵AB⊥y軸，AH⊥x軸于H，∴四邊形ABCH是矩形，∴BC=AH=[3].∵AO⊥BO，∴∠AOB=∠BCO=∠AHO=90°，∴∠CBO+∠BOC=90°，∠AOH+∠BOC=90°，∴∠CBO=∠AOH，∴△BOC∽△OAH，∴[BCOH=COAH]，即[31=CO3]，∴CO=