線性代數(shù)c-為復(fù)矩陣

六、共軛軛矩矩陣當(dāng)A

(aij

)為復(fù)矩陣時(shí)，用aij

表示aij

的共軛復(fù)數(shù)，記A

(aij)，

A稱(chēng)為A

的共軛矩陣(conjugatematrix).運(yùn)算性質(zhì)A B

為行1

A

B

A

B;2

A

A;3

AB

AB

.§3

逆矩陣矩陣與復(fù)數(shù)相仿，有加、減、乘三種運(yùn)算.矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢？這就是本節(jié)所要

的問(wèn)題.這一節(jié)所

的矩陣，如不特別說(shuō)明，所指的都是

n

階方陣.對(duì)于n

階單位矩陣E

以及同階的方陣A，都有An

En

En

An

An從乘法的角度來(lái)看，n階單位矩陣E在同階方陣中的地位類(lèi)似于1在復(fù)數(shù)中的地位．一個(gè)復(fù)數(shù)a

≠0的倒數(shù)a－1可以用等式

a

a－1

=1來(lái)刻劃.類(lèi)似地，引入定義：n

階方陣A

稱(chēng)為可逆的，如果有n

階方陣B，使得AB

BA

E這里E

是n

階單位矩陣.根據(jù)矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式.對(duì)于任意的n

階方陣A，適合上述等式的矩陣B

是唯一的（如果有的話）.定義：如果矩陣B

滿足上述等式，那么B

就稱(chēng)為A

的逆矩陣，記作A－1

.下面要解決的問(wèn)題是：在什么條件下，方陣A

是可逆的？如果A

可逆，怎樣求A－1

？a11a12La1nA11A21LAn1A

a21La22LLLa2nLA*A12LA22LLLAn2Lan1an2LannA1nA2nLAnn，其中結(jié)論：AA*

A*

A

|

A

|

E定理：若|

A

|

0，則方陣A可逆，而且A*

.1|

A

|A1

.1|

A

|推論：若|

A

|

0，則|

A1

|元素aij

的代數(shù)余A子ij

式位于第j

行第i列的逆矩陣.a

bc

d例：求二階矩陣A

1d

bad

bc

c

aA1

的逆矩陣.2

2

1例：求3階方陣A

3

1

53

2

3M12

6,

M13

3,解：|A

|

= 1，

M11

7,M21

4,M31

9,M23

2,M33

4,則12M22

3,M32

7,A111|

A

|A21

A31A*

A*

A

A

A22

32A1

M21M22

M

23M11

M12M

13A13

A23

A33M31

7

4

9

M32

6

3

7M

33

3

2

4|

A

|

0

方陣A可逆此時(shí)，稱(chēng)矩陣

A為非奇異矩陣A*1|

A

|A1

定理：若方陣A可逆，則

|

A

|

0

．容易看出：對(duì)于n

階方陣A、B，如果AB

E,那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣.推論：

如果

n

階方陣A、B可逆，那么A1

、AT

、

A(

0)與AB也可逆，且(

A1

)1

A,(

AT

)1

(

A1

)T

,(

A)1

1

A1

,(

AB)1

B1

A1

.y2

a21

x1線性變換yn

an1

x1

an2x2y1

a11

x1

a12

x2

L

a1n

xn

,

a22

x2

L

a2n

xnL

L

ann

xny1的系數(shù)矩陣是一個(gè)n

階方陣A

，若記x1xy2X

,

Y

2MxynnM則上述線性變換可記作Y

=AX

.2

2

1例：設(shè)線性變換的系數(shù)矩陣是一個(gè)

3

階方陣A

3

1

53

2

3x1

y1X

x2

,

Y

y2

,x3

y3記則上述線性變換可記作Y

=AX

．求變量

y1,

y2,

y3

到變量

x1,

x2,

x3的線性變換相當(dāng)于求方陣A

的逆矩陣.749已知A1

637，于是X

A1Y，即324x1

7

y1

4

y2

9

y3

,x

2x3

6

y1

3

y2

7

y3

,3

y1

2

y2

4

y3

.§4

矩陣分塊法前言經(jīng)常會(huì)遇到大型文件無(wú)法上傳的情由于某些條件的限制，況，如何解決這個(gè)問(wèn)題呢?這時(shí)

可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳.家具的拆卸與裝配問(wèn)題一：

矩陣分塊法？問(wèn)題二：為什么提出矩陣分塊法？問(wèn)題一：矩陣分塊法？定義：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個(gè)小塊，這種操作稱(chēng)為對(duì)矩陣進(jìn)行分塊；每一個(gè)小塊稱(chēng)為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱(chēng)為分塊矩陣.A

A11

A12A

A2122a11

a12a21

a22a13

a14a23

a24a31

a32a33

a34這是2階方陣嗎？思考題伴隨矩陣是分塊矩陣嗎？A11

A21

L

An1A

A

L

A12

22

n2L

L

L

LA

A

L

A1n

2n

nnA

式（一個(gè)數(shù)），而不答：不是．伴隨矩陣的元素是代數(shù)是矩陣．問(wèn)題二：為什么提出矩陣分塊法？答：對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A，運(yùn)算時(shí)采用分塊法，可以使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算，體現(xiàn)了化整為零的思想.A

,

B

A11A12A21A22B11B12B21B22分塊矩陣的加法A

B

A11

B11A12

B12A21

B21A22

B22若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即As1

L

Asr

Bs1

L

BsrA11

K

A1r

B11

K

B1rM

O

M

,

B

M

O

MA

則有A1rA11

B11MKO

Bs1

LB1rMBsrAs1AsrA

B

形式上看成是普通矩陣的加法！A

A11A12A21A22分塊矩陣的數(shù)乘

A

A11

A12

A21

A22若

是數(shù)，且A11

K

A1rA

M

O

MAs1

L

Asr則有

A11

K

A1r

A

M

O

M

As1

L

Asr形式上看成是普通的數(shù)乘運(yùn)算！分塊矩陣的乘法一般地，設(shè)A為ml

矩陣，B為l

n矩陣A1tA2tMAstA11

A12A

A21

22M

MA

As1

s

2LLm1

m2

L

ms

m,A

Lt,

ij

∑

ik

kjC

A

BC1rC2rMs

2k

1(i

1,

L

,

s;

j

1,

L

,

r

)C

AB

C11

C12C21

C22M

MCs1srLLC

L

C按行分塊以及按列分塊，j

mn

矩陣A

有m

行n

列a1

ja2

j,若將第j

列記作A

則a11a12La1na21a22La2nMMMam1am

2LamnMamj于是設(shè)A

為ms

矩陣，B

為s

n

矩陣，若把A

按行分塊，把B

按列塊，則C

(cij

)mn

ABscij

∑

aikbkj

.k

1分塊矩陣的轉(zhuǎn)置A11A1rAAs1srK若

A

M

O

ML111rATATATs1ATsrK，則AT

M

O

ML例如：A

aa

aaa11

a12

a13

a14a21

a22

a23

a243132333423TAT

T1

T4T分塊矩陣不僅形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)置，而且每一個(gè)子塊也進(jìn)行轉(zhuǎn)置．分塊對(duì)角矩陣定義：設(shè)A

是n

階矩陣，若A

的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊，其

塊都為零矩陣，對(duì)角線上的子塊都是方陣，那么稱(chēng)A

為分塊對(duì)角矩陣．A

例如：5000010000830052分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)A2A1A

AsO1|

A

|

=

|

A1

|

|

A2

|

…

|

As

|若|

As

|≠0，則|

A

|≠0，并且A

12AOA

1s1A1

解：5

0

00

3

10

2

15

0

0，求A－1

．例:設(shè)A

A

0

3

1

0

2

11OA

OA22A

1A1

1O

AO1A

(5),

A

1

1

1

153

12

1,

A

1

13A

122