人教新課標(biāo)生活中的圓周運(yùn)動(dòng)精講精練 省賽獲獎(jiǎng)

庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、鐵路的彎道1.火車車輪的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)火車的車輪有凸出的輪緣，且火車在軌道上運(yùn)行時(shí)，有凸出輪緣的一邊在兩軌道內(nèi)側(cè)，這種結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，主要是有助于固定火車運(yùn)動(dòng)的軌跡.2.火車轉(zhuǎn)彎時(shí)，如果轉(zhuǎn)彎處內(nèi)外軌一樣高，外側(cè)車輪的輪緣擠壓外軌，使外軌發(fā)生彈性形變，外軌對(duì)輪緣的彈力就是火車轉(zhuǎn)彎的向心力.但火車質(zhì)量太大，靠這種辦法得到向心力，輪緣與外軌間的相互作用力太大，鐵軌和車輪極易受損.誤區(qū)警示從這個(gè)例子我們?cè)僖淮慰闯?，向心力是按效果命名的力，任何一個(gè)力或幾個(gè)力的合力，只要它的作用效果是使物體產(chǎn)生向心加速度，它就是物體所受的向心力.如果認(rèn)為做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體除了受到另外物體的作用，還要再受一個(gè)向心力，那就不對(duì)了.3.火車轉(zhuǎn)彎時(shí)，如果在轉(zhuǎn)彎處使外軌略高于內(nèi)軌，火車轉(zhuǎn)彎時(shí)鐵軌對(duì)火車的支持力FN的方向不再是豎直的，而是斜向彎道的內(nèi)側(cè)，它與重力G的合力指向圓心，為火車轉(zhuǎn)彎提供了一部分向心力.這就減輕了輪緣與外軌的擠壓.在修筑鐵路時(shí)，要根據(jù)彎道的半徑和規(guī)定的行駛速度，適當(dāng)選擇內(nèi)外軌的高度差，使轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力幾乎完全由重力G和支持力FN的合力來(lái)提供（圖6-8-1）.圖6深化升華通過(guò)分析火車的受力情況，由牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解火車的轉(zhuǎn)彎速度時(shí)，一定要正確確定圓心及半徑.要明確圓心在火車重心所在的水平面上，而不是在斜面上.設(shè)內(nèi)外軌間的距離為L(zhǎng)，內(nèi)外軌的高度差為h，火車轉(zhuǎn)彎的半徑為R，火車轉(zhuǎn)彎的規(guī)定速度為v0.由圖6-8-1所示力的合成得向心力為F合=mgtanα≈mgsinα=由牛頓第二定律得：F合=所以=即火車轉(zhuǎn)彎的規(guī)定速度v0=.通過(guò)關(guān)系式v0=可知，要想使重力與支持力的合力恰好提供火車轉(zhuǎn)彎所需的向心力，而防止對(duì)內(nèi)外軌產(chǎn)生擠壓造成設(shè)施損壞.那么g、h、R、L、v0各量間必然存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.深化升華我國(guó)鐵路轉(zhuǎn)彎速率一般規(guī)定為v0=54km/h,即15m/s，軌距L=1435mm，則v0=可知，h\,R為一定值，而鐵路彎曲的曲率半徑R是由地形條件決定的，所以轉(zhuǎn)彎處內(nèi)外軌的高度差h也就是一個(gè)確定的值.4.對(duì)火車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度與向心力的討論當(dāng)火車以規(guī)定速度v0轉(zhuǎn)彎時(shí)，合力F等于向心力，這時(shí)輪緣與內(nèi)外軌均無(wú)側(cè)壓力.當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎速度v＞v0時(shí)，該合力F小于向心力，外軌向內(nèi)擠壓輪緣，提供側(cè)壓力，與F共同充當(dāng)向心力.當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎速度v＜v0時(shí)，該合力F大于向心力，內(nèi)軌向外側(cè)擠壓輪緣，產(chǎn)生的側(cè)壓力與該合力F共同充當(dāng)向心力.記憶要訣（1）當(dāng)火車行駛速率v＞v0時(shí)，外軌道對(duì)輪緣有側(cè)壓力.（2）當(dāng)火車行駛速率v＜v0時(shí)，內(nèi)軌道對(duì)輪緣有側(cè)壓力.二、拱形橋1.汽車過(guò)拱橋時(shí)，車對(duì)橋的壓力小于其重力汽車在橋上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，汽車所受重力G及橋?qū)ζ渲С至N提供向心力.如圖6-8-2所示.圖6G－FN=所以FN=G－汽車對(duì)橋的壓力與橋?qū)ζ嚨闹С至κ且粚?duì)作用力與反作用力，故汽車對(duì)橋的壓力小于其重力.聯(lián)想發(fā)散汽車通過(guò)凸形路面頂端時(shí)，處于失重狀態(tài)，汽車行駛的速度v越大，汽車對(duì)凸形路面的壓力FN越??；當(dāng)汽車的速度等于（當(dāng)FN=0時(shí)，由G=可得v=）時(shí)，對(duì)凸形路面壓力FN為零，處于完全失重狀態(tài)，此時(shí)vm=是汽車保持在凸形路面頂端運(yùn)動(dòng)的最大速度（臨界速度），若超過(guò)這個(gè)速度，這時(shí)汽車將“飛”凸形路面.我們看摩托車越野賽時(shí)，常有摩托車飛起來(lái)的現(xiàn)象，就是這個(gè)原因.2.汽車過(guò)凹橋時(shí)，車對(duì)橋的壓力大于其重力圖6如圖6-8-3，汽車經(jīng)過(guò)凹橋最低點(diǎn)時(shí)，受豎直向下的重力和豎直向上的支持力，其合力充當(dāng)向心力.則有：Fn－G=，所以FN=G+由牛頓第三定律知，車對(duì)橋的壓力FN′=G+，大于車的重力.而且還可以看出，v越大，車對(duì)橋的壓力越大.三、航天器中的失重現(xiàn)象飛船環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)飛船距地面高度為一二百千米時(shí)，它的軌道半徑近似等于地球半徑R，航天員受到的地球引力近似等于他在地面測(cè)得的體重mg.除了地球引力外，航天員還可能受到飛船座艙對(duì)他的支持力FN.引力與支持力的合力為他提供了繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力F=，即mg－FN=也就是Fn=m（g－）由此可以解出，當(dāng)v=時(shí)，座艙對(duì)航天員的支持力FN=0，航天員處于完全失重狀態(tài).深化升華這樣的飛行器中都是一個(gè)完全失重的環(huán)境，其內(nèi)任何物體除受重力外，均不受任何其他力的作用，即處于完全失重狀態(tài).四、離心運(yùn)動(dòng)1.定義：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受合力突然消失或者不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力情況下，就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)叫做離心運(yùn)動(dòng).2.本質(zhì)：離心現(xiàn)象是物體慣性的表現(xiàn).3.如圖6-8-4所示：圖6（1）向心力的作用效果是改變物體的運(yùn)動(dòng)方向，如果它們受到的合外力恰好等于物體所需的向心力，物體就做勻速圓周運(yùn)動(dòng).此時(shí)，F(xiàn)=mrω2.（2）如果向心力突然消失（例如小球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)繩子突然斷裂），則物體的速度方向不再變化，由于慣性，物體將沿此時(shí)的速度方向（即切線方向）按此時(shí)的速度大小飛出，這時(shí)F=0.（3）如果提供的外力小于物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，雖然物體的速度方向還要變化，但速度方向變化較慢，因此物體偏離原來(lái)的圓周做離心運(yùn)動(dòng).其軌跡為圓周和切線間的某條線，如圖6-8-4所示.這時(shí)，F(xiàn)＜mrω2.深化升華物體做離心運(yùn)動(dòng)并不是受到“離心力”的作用（沒(méi)有施力物體），而是提供的向心力太小或者突然消失造成的，是慣性的一種表現(xiàn).離心運(yùn)動(dòng)并非沿半徑方向飛出的運(yùn)動(dòng)，而是運(yùn)動(dòng)半徑越來(lái)越大的運(yùn)動(dòng)或沿切線方向飛出的運(yùn)動(dòng).當(dāng)向心力突然消失時(shí)，物體沿速度方向做遠(yuǎn)離圓心的直線運(yùn)動(dòng)（沿切線方向飛出），而不是沿半徑方向運(yùn)動(dòng)，“遠(yuǎn)離”不能理解為“背離”.4.離心運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用和危害（1）利用離心運(yùn)動(dòng)制成離心機(jī)械.例如離心干燥器、洗衣機(jī)的脫水筒和離心轉(zhuǎn)速計(jì)等等.（2）在水平公路上行駛的汽車，轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力是由車輪與路面間的靜摩擦力提供的.如果轉(zhuǎn)彎時(shí)速度過(guò)大，所需向心力F很大，大于最大靜摩擦力Fmax，汽車將做離心運(yùn)動(dòng)而造成交通事故.如圖6-8-5所示.因此，在轉(zhuǎn)彎處，為防止離心運(yùn)動(dòng)造成危害：一是限定車輛的轉(zhuǎn)彎速度；二是把路面筑成外高內(nèi)低的斜坡以增大向心力.圖6聯(lián)想發(fā)散汽車拐彎時(shí)為什么不能超速行駛?提示：當(dāng)汽車超速行駛時(shí)，需要的向心力增大，大于提供的向心力，也就是說(shuō)提供的向心力不足以維持汽車做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，汽車將做離心運(yùn)動(dòng)而造成交通事故.問(wèn)題·探究問(wèn)題1試探究自行車轉(zhuǎn)彎問(wèn)題.探究:自行車或摩托車在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)彎時(shí)，車速和車身的傾斜角度都受到地面動(dòng)摩擦因數(shù)μ的限制，如圖6-8-6所示，車受三個(gè)力：重力mg、支持力FN和靜摩擦力Ff.圖6轉(zhuǎn)彎時(shí)自行車有向外側(cè)打滑的趨勢(shì)，故受到指向內(nèi)側(cè)圓心的靜摩擦力的作用來(lái)提供向心力.①自行車轉(zhuǎn)彎時(shí)的最大速度vm受到哪些因素的制約？為了不使自行車向外打滑甩出，必須滿足：F向≤Ffm當(dāng)Ffm=，最大速度為：vm=，即vm=.當(dāng)轉(zhuǎn)彎半徑r一定時(shí)，轉(zhuǎn)彎時(shí)最大速度受到最大靜摩擦力（最大靜摩擦因數(shù)μ）的制約.②自行車轉(zhuǎn)彎時(shí)的最大內(nèi)傾角θm由哪些因素決定？為了不使自行車翻倒，重力mg、地面支持力FN和靜摩擦力Ff對(duì)于重心的合力矩必須為零.因此，自行車不翻倒的臨界條件為FN與Ff的合力作用線通過(guò)重心，所以車身必須內(nèi)傾，且與豎直方向的臨界角為：θm=acrtan=arctan=arctanμ=arctan.當(dāng)轉(zhuǎn)彎半徑一定時(shí)，自行車轉(zhuǎn)彎時(shí)的內(nèi)傾角隨轉(zhuǎn)彎速度增大而增大，但其最大角度還要受最大靜摩擦力（最大靜摩擦因數(shù)）的制約.問(wèn)題2試探究過(guò)山車實(shí)例.探究:我們可以分別從實(shí)驗(yàn)與理論兩個(gè)方面加以探究.不妨用兩根鐵絲彎成如圖6-8-7所示的形狀來(lái)模擬過(guò)山車的軌道，用小球模型代替過(guò)山車來(lái)模擬過(guò)山車的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)定性的研究；同時(shí)，依據(jù)牛頓第二定律與圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)從理論上加以分析推理.圖6-8-7圖6如圖6-8-8，當(dāng)你在游樂(lè)場(chǎng)乘過(guò)山車正以時(shí)速近一百公里奔馳之際，你會(huì)否想起：乘坐過(guò)山車時(shí)，為什么我們倒轉(zhuǎn)了卻不會(huì)掉下來(lái)呢？（1）實(shí)驗(yàn)探究步驟：現(xiàn)將小球從斜面的某一高度釋放然后逐步改變小球的釋放點(diǎn).現(xiàn)象：釋放點(diǎn)較低時(shí)，小球不能越過(guò)球形軌道的頂端而掉下來(lái)；當(dāng)釋放點(diǎn)達(dá)到某一高度時(shí)，小球恰好越過(guò)環(huán)形軌道頂端，并繼續(xù)沿軌道運(yùn)行而不掉下來(lái).結(jié)論：小球欲通過(guò)環(huán)形軌道頂端時(shí)，必須超過(guò)一定的臨界速度，否則將無(wú)法通過(guò)頂端而掉下來(lái).（2）理論探究圖6①如圖6-8-9所示，當(dāng)小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，向心力F=mg+N，根據(jù)向心力公式可得mg+N=.只要小球?qū)壍理敹说膲毫Σ粸榱?，小球即可通過(guò)軌道.當(dāng)N=0時(shí)，小球所需的向心力完全由重力提供，小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度為v=，是小球通過(guò)最高點(diǎn)的臨界速度.可以看出小球能通過(guò)最高點(diǎn)的條件是在最高點(diǎn)的速度大小v≥.②如圖6-8-10所示，當(dāng)小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，向心力F=N-mg，根據(jù)向心力公式可得N-mg=.在此,無(wú)論v取何值，總有N＞mg，即小球與軌道總存在擠壓，小球不會(huì)脫離軌道.故小球通過(guò)最低點(diǎn)的條件：v＞0（即速度不為零），且對(duì)于軌道壓力總大于本身重力.圖6問(wèn)題3如何理解輕繩模型與輕桿模型？探究:在具體的題目中，要分清繩與桿的區(qū)別，對(duì)于輕繩來(lái)說(shuō)，在最高點(diǎn)可以提供拉力，不可能提供支持力.而桿對(duì)球既可能提供拉力，也可能提供支持力.繩對(duì)球的拉力的方向只能沿繩指向圓心，而桿對(duì)球的力的方向可以沿桿也可以不沿桿.圖6（1）輕繩模型：如果小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)繩子拉力為零,并且小球剛好能夠通過(guò)最高點(diǎn)并完成圓周運(yùn)動(dòng),那么小球在最高點(diǎn)僅受重力作用,即重力提供向心力,如圖6-8-11所示,mg=,v=如果小球在最高點(diǎn)的速度v≥,那么小球可以順利通過(guò)最高點(diǎn),此時(shí)輕繩對(duì)小球存在拉力(當(dāng)v=,拉力為零)如果小球在最高點(diǎn)的速度v=,那么小球在到達(dá)最高點(diǎn)前就脫離圓軌道而做斜拋運(yùn)動(dòng)了.（2）輕桿模型圖6假設(shè)小球和輕桿是相連的,小球在最高點(diǎn)的臨界速度是零.如圖6-8-12所示,此時(shí)輕桿對(duì)小球有支持力的作用,并且支持力FN=mg.如果小球速度v=,和輕繩一樣,桿對(duì)小球沒(méi)有力的作用,FN=0，如果小球速度0≤v＜,輕桿對(duì)小球有支持力作用,FN≠0.如果小球速度v＞,輕桿對(duì)小球有拉力作用,T≠0.典題·熱題例1汽車與公路面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=，公路某轉(zhuǎn)彎處的圓弧半徑為R=4m.（1）若路面水平，要使汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)不發(fā)生側(cè)滑，汽車速度不能超過(guò)多少？（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取g=10m/s2）（2）若將公路轉(zhuǎn)彎處設(shè)計(jì)成外側(cè)高，內(nèi)側(cè)低，使路面與水平面有一傾角θ=°，則當(dāng)汽車以多大速度轉(zhuǎn)彎時(shí)，可使車與路面無(wú)摩擦力？解析：汽車在路面水平轉(zhuǎn)彎時(shí)，靜摩擦力提供向心力，靜摩擦力有最大值，則轉(zhuǎn)彎速度必須受到限制，由此可以運(yùn)用牛頓第二定律列式求取速度范圍，在向內(nèi)側(cè)傾斜的路面無(wú)摩擦轉(zhuǎn)彎時(shí)，支持力與重力的合力必須恰好提供向心力，由此切入運(yùn)用牛頓第二定律列式求取速度即可.（1）汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎不發(fā)生側(cè)滑時(shí)，沿圓弧運(yùn)動(dòng)所需向心力由靜摩擦力提供.當(dāng)車速增大時(shí)，靜摩擦力也隨著增大，當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值μmg時(shí)，其對(duì)應(yīng)的車速即為不發(fā)生側(cè)滑的最大行駛速度.由牛頓第二定律得μmg=求得車速的最大值為vmax=m/s=2m/s.圖6（2）轉(zhuǎn)彎處路面設(shè)計(jì)成傾斜的，汽車所受路面的支持力FN垂直于路面，不再與重力mg在一條直線上，當(dāng)重力和支持力的合力F合恰等于汽車轉(zhuǎn)彎所需向心力時(shí)，車與路面就無(wú)摩擦力，如圖6-8-13所示（將汽車看成質(zhì)點(diǎn)）.由牛頓第二定律得F合=mgtanθ=，故轉(zhuǎn)彎的理想速度為：v0=m/s=2m/s即當(dāng)汽車以2m/s速度轉(zhuǎn)彎時(shí)，可使車與路面無(wú)摩擦力.方法歸納當(dāng)在水平路面上轉(zhuǎn)彎時(shí)，只有靜摩擦力提供向心力，據(jù)μmg=可得v的范圍.當(dāng)在傾斜路面上轉(zhuǎn)彎，支持力與重力的合力提供向心力時(shí)，靜摩擦力恰好為零.挖掘靜摩擦力為零的隱含條件（FN與mg的合力恰好提供所需的向心力）是解題的關(guān)鍵.當(dāng)實(shí)際車速v＞v0時(shí)受到指向內(nèi)側(cè)的靜摩擦力（充當(dāng)部分向心力），v＜v0時(shí)，汽車受到指向外側(cè)的靜摩擦力.例2如圖6-8-14所示，汽車質(zhì)量為×104kg，以不變的速率先后駛過(guò)凹形橋面和凸形橋面，橋面圓弧半徑為15m，如果橋面承受的最大壓力不得超過(guò)×105N，汽車允許的最大速率是多少?汽車以此速率駛過(guò)橋面的最小壓力是多少?（g取10m/s圖6解析：首先要確定汽車在何位置時(shí)對(duì)橋面的壓力最大.汽車經(jīng)過(guò)凹形橋面時(shí)，向心加速度方向向上，汽車處于超重狀態(tài);經(jīng)過(guò)凸形橋面時(shí)，向心加速度方向向下，汽車處于失重狀態(tài)，所以當(dāng)汽車經(jīng)過(guò)凹形橋面的最低點(diǎn)時(shí)如圖6-8-15甲所示，汽車對(duì)橋面的壓力最大.圖6當(dāng)汽車經(jīng)過(guò)凹形橋面最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)橋面支持力為FN1，由牛頓第二定律有FN1－mg=要求FN1≤×105N解得允許的最大速度vm=7.07m/s由上面的分析可知，汽車經(jīng)過(guò)凸形橋面頂點(diǎn)時(shí)對(duì)橋面的壓力最小，設(shè)為FN2.如圖6-8-15乙所示，mg－FN2=解得FN2=×105N.由牛頓第三定律知，F(xiàn)N2與FN2′等值反向.方法歸納公式F=是牛頓第二定律在圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用，向心力就是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的合外力.因此，牛頓定律及由牛頓定律導(dǎo)出的一些規(guī)律（如超重、失重等）在本章仍適用.例3繩系著裝有水的小木桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，水的質(zhì)量m=0.5kg,繩長(zhǎng)L=40cm.求:(1)桶在最高點(diǎn)而使水不流出的最小速率;(2)水在最高點(diǎn)速度v=3m/s時(shí),水對(duì)桶底的壓力.解析：雖然向心力公式是由勻速圓周運(yùn)動(dòng)推出來(lái)的，但它仍適用于非勻速圓周運(yùn)動(dòng).在最高點(diǎn)，水受桶的壓力，方向豎直向下，向心力由重力和壓力的合力提供.只要水受壓力不為零，則水就緊貼桶底給桶底壓力，水就不會(huì)流出，由此切入分析求解即可.(1)在最高點(diǎn),水受兩個(gè)力:一是重力;二是桶底對(duì)水的壓力(向下).二者均向下.所以F向=F＋G=mv2/L,v變大時(shí),F變大當(dāng)F為最小,即F=0時(shí)vmin==m/s=2m/s桶在最高點(diǎn)時(shí)而使水不流出的最小速率為2m/s.(2)當(dāng)v=3m/s時(shí),F=mv2/L－mg=×(-10)N=N根據(jù)牛頓第三定律可知,水對(duì)桶底的壓力為N,方向豎直向上.方法歸納選擇桶中水為研究對(duì)象，通過(guò)分析，找出最高點(diǎn)水不流出的臨界條件,即水與桶間壓力為零，也就是