人教新課標質點在平面內的運動精講精練 名師獲獎

2質點在平面內的運動【思維激活】飛機現已廣泛應用于突發(fā)性災難的救援工作。圖6-2-1中顯示了交通部上海海上救助飛行隊將一名在海上身受重傷、生命垂危的漁民接到岸上的情景。為了達到最快速的救援效果，飛機常常一邊勻速收攏纜繩提升傷員，將傷員接進機艙，一邊沿著水平方向勻速飛向岸邊。圖6-2-1（1）從運動合成的觀點來看，在此情景中傷員同時參與了哪兩個運動？（2）傷員的哪個運動是合運動，哪個運動是分運動？（3）如果已知飛機勻速飛行的速度為v1，收攏纜繩的速度保持為v2，那么傷員的運動軌跡是怎樣的？提示：如果飛機在水平方向上勻速飛行，但不收攏纜繩，傷員將在水平方向上勻速運動；如果飛機靜止在空中同時勻速收攏纜繩，傷員將豎直向上勻速運動，當飛機在水平方向上勻速運動，同時收攏纜繩時，傷員參與了兩個分運動：一個是豎直向上的勻速運動，另一個是水平方向上的勻速運動。傷員斜向上的運動是他的合運動（實際運動），因為傷員的兩個分運動是互相垂直的，所以傷員的實際速度是v＝，大小一定，傷員做勻速直線運動?！咀灾髡怼?．對燭塊運動研究思路的理解在研究紅燭塊的運動時，我們遵循以下的思路：建立平面直角坐標系，然后先研究蠟塊的位置，確定其位置坐標隨時間變化的關系，再依次研究蠟塊的運動軌跡和蠟塊的位移，最后再研究蠟塊的運動速度。這對于其它一些較復雜的運動，也是常見的且較合理的研究思路。2在直角坐標系中研究蠟塊的運動（1）建立直角坐標系運動開始時蠟塊的位置為原點，水平向右的方向和豎直向上的方向分別為x軸和y軸的方向。（2）蠟塊的位置圖6－2－3如圖6－2－3所示，蠟塊沿玻璃管勻速上升的速度設為vy，玻璃管向右移動的速度設為vx。從蠟塊開始運動的時刻計時，于是，在時刻t，蠟塊的位置P可以用它的x、y兩個坐標表示x=vxty=vyt用坐標來描繪物體位置的變化，是最準確的做法，是研究問題的一種切實可行的方法。（3）蠟塊的運動軌跡由以上兩式可得：y=x因為vy、vx都是常量，故y=x代表的是一條過原點的直線。蠟塊的實際運動可以看成是水平的勻速運動和豎直的勻速運動的合運動。【高手筆記】1．合運動與分運動的概念如果一個具體的運動可以看成是由兩個簡單運動的合成，那么這個運動就稱為另外兩個運動的合運動，而另外兩個運動稱為合運動的分運動。合運動就是物體的實際運動。物體的實際運動的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分運動的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。上例中蠟塊同時參與了豎直方向沿玻璃管勻速上升及水平方向隨玻璃管勻速向右的兩個分運動。蠟塊的實際運動就是合運動。2.運動的合成與分解包括位移、速度、加速度的合成與分解，它們與力的合成與分解一樣都遵守平行四邊形定則：由已知的分運動求跟它們等效的合運動叫做運動的合成，已知合運動求跟它等效的分運動叫做運動的分解。兩個直線運動的合運動可以是曲線運動。反之，一個曲線運動也可以分解為兩個方向上的直線運動，分別研究這兩個方向上物體的受力情況與運動情況，弄清作為分運動的直線運動的規(guī)律后，通過運動的合成就可以知道作為合運動的曲線運動的規(guī)律。這也是運用運動合成與分解的方法來處理復雜的曲線運動的基本思路。3.合運動和分運動的關系（1）等時性：合運動與分運動經歷的時間相等。（2）獨立性：一個物體同時參與幾個運動，其中的任一個運動并不因為有其他運動而有所改變，合運動是這些相互獨立的運動的疊加，這就是運動的獨立性原理，或叫做運動的疊加原理。各分運動獨立進行，各自產生效果（v分、s分）互不干擾。（3）等效性：合運動是由各分運動共同產生的總運動效果，合運動與各分運動總的運動效果可以相互替代，即等效性。也就是說，合運動的位移s合、速度v合和加速度a合分別等于對應各分運動位移s分、速度v分、加速度a分的矢量和。4.運動的合成與分解的運算法則運動的合成與分解是指描述運動的各物理量，即位移、速度、加速度的合成與分解，由于它們都是矢量，所以都遵循平行四邊形定則。（1）兩分運動在同一直線上時，同向相加，反向相減。例如，豎直拋體運動看成是豎直方向的勻速運動（v0t）和自由落體運動（gt2）的合成，下拋時，vt=v0+gt，x=v0t+gt2.上拋時，vt=v0－gt;x=v0t－gt2.（2）不在同一直線上時，按照平行四邊形定則進行合成，如圖6－2－4所示：圖6－2－4平行四邊形定則是一切矢量合成都必須遵循的法則。（3）兩分運動垂直或正交分解后的合成a合=，v合=，x合=這幾個方程僅適用于兩個分運動互相垂直的情況。5．對運動的合成與分解方法及其意義的再認識運動的合成實際上就是描述運動的位移、速度、加速度等物理量的合成。由前面分析可知，合運動的位移（或速度、加速度）矢量可用分運動位移（或速度、加速度）矢量為鄰邊所構成的平行四邊形的對角線表示。所以，與力的合成一樣，運動的合成也遵循平行四邊形定則。還應注意，將各物理量合成時，各物理量必須是相對于同一參考系的。與運動的合成一樣，運動的分解實際上就是位移、速度和加速度的分解。由于這些物理量是矢量，所以運動的分解同樣遵循矢量的運算法則――平行四邊形定則。運動的分解是運動合成的逆運算。運動的分解如同力的分解一樣，如果沒有其他任何約束條件的話，一個運動可以分解為無數組分運動，但是在具體分解運動時，通常按運動的實際效果先確定分運動的方向再進行分解。兩個直線運動的合運動可以是曲線運動，反之，一個曲線運動通常也可以分解為兩個方向上的直線運動，分別研究這兩個方向上物體的受力情況和運動情況，弄清這兩個分運動的規(guī)律，就可以知道作為合運動的曲線運動的規(guī)律。即可以把一個較為復雜的實際運動看成是幾個基本的、較簡單的運動合成的，通過對簡單分運動的處理，而達到研究復雜運動的目的?！久麕熃饣蟆?．在研究物體運動時如何選取坐標系？剖析：選取、建立坐標系是研究問題的需要。確立了坐標系后，物體運動過程中各時刻所處的位置便能以坐標表示，當然，也就可以進一步討論物體運動的軌跡方程、定量表示物體在某一段時間內發(fā)生的位移大小和方向等。對于直線運動，最簡單的處理方法就是建立一個一維直線坐標系。而對于曲線運動，研究時就必須建立一個二維或者三維的坐標系，否則就無法完整地描繪其運動情況，并對其定量研究。xyxyO圖6-2-5xyO圖6-2-6綜上所述，如果物體的運動形式不清楚，研究時通?？尚械氖沁x擇三維直角坐標系，而如果能確定物體沿某條直線運動或在某個平面內運動，則分別選擇一維直線坐標系或平面直角坐標系即可，處理也較為簡便。2.如何進行運動的分解?剖析：運動的分解是運動合成的逆過程，運動的分解如同力的分解一樣，如果沒有其他條件約束的話，一個運動可以分解為無數組分運動，因此，在具體問題中，除去遵循平行四邊形定則外，還應該依據物體運動的實際效果來進行分解。進行運動分解的步聚：①確定合運動方向（實際運動方向）。②分析合運動的運動效果。③依據合運動效果確定兩分運動方向。④依據平行四邊形定則作出分解矢量圖。運動合成與分解的具體方法:=1\*GB3①作圖法：選好標度，用一定長度的有向線段表示分運動或合運動的有關物理量，嚴格按照平行四邊形定則畫出平四邊形求解。②計算法：先畫出運動合成或分解的示意圖，然后應用直角三角形等數學知識求解。3.如何判斷兩個直線運動合運動的性質和軌跡？剖析：合加速度決定合運動的運動性質是勻速還是變速，是勻變速還是非勻變速，合初速度與合加速度方向是否在同一直線上，決定了合運動的軌跡是直線還是曲線。對于某方向上分運動的性質和軌跡，其判斷方法與合運動性質和軌跡判斷方法類似，只不過分運動的性質與軌跡取決于以及與之間的方向關系。合運動性質由分運動性質決定。應該根據平行四邊形定則求出合運動的初速度和加速度，而后依據與間的關系進行判斷：（1）若（分運動的加速度都為零），物體沿合初速度的方向做勻速直線運動。（2）若且與的方向在同一直線上，物體就做直線運動；與同向時做加速直線運動；與反向時做減速運動。其中，若同時恒定，物體做的是勻變速直線運動。（3）若與的方向不在同一直線上，則合運動是曲線運動。其中，若恒定時，則合運動是勻變速曲線運動?！局v練互動】【例題1】關于互成角度的兩個初速度不為零的勻變速直線運動的合運動，下列說法正確的是（）A.一定是直線運動B.一定是曲線運動C.可能是直線運動，也可能是曲線運動D.以上都不對【解析】兩個運動的初速度合成、加速度的合成如圖6－2－7所示，當a和v重合時，物體做直線運動;當a和v不重合時，物體做曲線運動.由于題目沒有給出兩個運動的加速度和初速度的具體數值，所以以上兩種情況都有可能，故正確答案為C.圖6－2－7【答案】C【綠色通道】兩直線運動的合運動的性質和軌跡由各分運動的性質及合初速度與合加速度的方向和大小關系決定，判斷物體是否做曲線運動，主要是判斷合速度和合加速度是否在同一直線上，所以首先要判斷出合加速度和合初速度方向.【變式訓練1】關于運動的合成與分解，以下說法正確的是（）A.一個勻加速直線運動可以分解為兩個勻加速直線運動B.一個勻減速運動可以分解為方向相反的勻速運動和初速度為零的勻加速直線運動C.一個在三維空間中運動的物體，它的運動可以分解為在一個平面內的運動和在某一方向上的直線運動D.一個靜止的物體，它的運動可以分解為兩個方向相反的勻速直線運動【解析】本題旨在考查對分運動與合運動關系的理解，針對實際問題如何將一個合運動分解為兩個分運動，如何判斷兩個分運動與合運動的等效性。對于A選項.如圖6-2-8所示，人站在勻加速直線運動的扶梯上以加速度a斜向上運動，人的運動可以分解為水平方向以ax=acosθ做勻加速運動；豎直方向以ay=asinθ做勻加速運動，任一時刻的速度vx=vcosθ，vy=vsinθ.顯然這樣的兩個分運動合成起來一定是人的實際運動，A正確。圖6-2-8對于B選項.勻速運動v不變，s=vt;初速度為零的勻加速運動vt=at,s=at2.當一個物體同時參與方向相反的兩個運動時，任一時刻速度vt=v0－at,s=v0t－at2,顯然這是一個勻減速直線運動，B正確。對于C選項.雜技演員在一個可以升降的平臺上騎獨輪車做圓周運動，這個雜技演員的運動可以看成在水平面上的曲線運動和在豎直方向的直線運動的合成，C正確。對于D選項.只要兩個相反方向的直線運動的速度大小總相等，物體一定保持靜止狀態(tài)，D正確?！敬鸢浮緼BCD【例題2】如圖6－2－9所示，汽車以v0的速度勻速用繩索通過滑輪牽引船前進，試求船的速度為多大?圖6－2－9【解析】本題運用運動的分解規(guī)律，關鍵在于如何進行分解.對于合速度和分速度的判斷是一種能力的要求.船的運動可以看作兩個運動的合運動，即沿繩子方向的運動，速度為v0，和垂直于繩子方向的運動（該運動是以定滑輪為圓心的擺動，它對運動的貢獻表現在θ角的改變，而對繩子的伸縮沒有關系）.根據矢量分解法則可以得到:v=.【綠色通道】隨著θ角的增大，v逐漸增大，可見汽車做勻速運動，而船卻做加速運動.在運動的合成與分解中，一般來說物體的實際運動是合運動.【變式訓練2】圖6－2－10如圖6－2－10所示，在水平地面上做勻速直線運動的汽車，通過定滑輪用繩子吊起一個物體.若汽車和被吊物體在同一時刻的速度分別為v1和v2，則下面的說法正確的是（）A.物體做勻速運動，且v2=v1B.物體做加速運動，且v2＞v1C.物體做加速運動，且v2＜v1D.物體做減速運動，且v2＜v1解析:汽車向左運動，這是汽車的實際運動，故為汽車的合運動.汽車的運動導致兩個效果:一是滑輪到汽車的繩變長了，二是滑輪到汽車的繩與豎直方向的夾角變大了，顯然汽車的運動是由沿繩的直線運動和垂直于繩的圓周運動合成的，故應分解車的速度，且沿繩方向上的速度相等.按圖6－2－11所示，將車速分解，由于沿繩方向上速度相等，則有:v2=v1sinθ.圖6－2－11由于v1是恒量，而θ逐漸增大，所以v2逐漸增大，故被吊物體做加速運動，且v2＜v1.答案:C【例題3】無風時氣球勻速豎直上升的速度是4m/s，現自西向東的風速大小為3m/s，則⑴

氣球相對地面運動的速度大小為，方向。⑵

若風速增大，則氣球在某一時間內上升的高度與風速增大前相比將。（填“增大”、“減小”、“保持不變”）【解析】速度的合成可采用平行四邊形定則，注意運動的獨立性原理。⑴

在地面上的人看來，氣球的運動同時參與了兩個運動，即豎直向上的運動和自西向東的水平運動。如圖6-2-12所示，根據平行四邊形定則，其合速度大小為圖6-2-12Ov1v2圖6-2-12Ov1v2vθ設合速度方向與水平方向夾角為θ，則

tan

θ＝，θ＝＝53°，即合速度的方向為向東偏上53°。⑵

如果一個物體同時參與兩個運動，這兩個分運動是“相互獨立、同時進行”的，各自遵守各自的規(guī)律。由風引起的水平方向的分運動不會影響氣球豎直方向的分運動，氣球上升的高度與風速無關，在任一段時間內上升的高度不變?！敬鸢浮浚?）5m/s；向東偏上53°。（2）保持不變【綠色通道】從本例不難看出，要正確解答有關運動的合成與分解的問題，首先要認清合運動和分運動，實際發(fā)生的運動就是合運動，參與而實際并沒發(fā)生的運動就是分運動；二要正確理解運動的獨立性原理；三要掌握運動的合成與分解的法則，靈活運用平行四邊形定則?！咀兪接柧?】在一無風的雨天，雨滴豎直下落至地表的速度v1=8m/s，一輛汽車以v2=6m/s的速度勻速行駛.求車上的人看到雨滴的速度大小與方向.【解析】如圖6－2－13所示，當觀察者處于汽車上時，觀察到雨滴同時參與兩個分運動，一是豎直下落運動，二是朝向汽車的運動.此運動的速度v2′與v2大小相等、方向相反，所以雨滴相對汽車的速度v為v1、v2的合速度.圖6－2－13v==m/s=10m/s設v與豎直方向的夾角為α.則tanα==，所以α≈37°.答案：10m/s與豎直方向夾角為37°偏向后【例題4】設一條河寬L，水流速度為v1，船在靜水中的速度為v2.那么：（1）怎樣渡河時間最短？最短時間是多少？（2）若v1＜v2，怎樣渡河航程最短？（3）若v1＞v2，怎樣渡河船漂下的距離最短？【解析】圖6－2－14（1）如圖6－2－14甲所示，設船頭斜向上游與河岸成θ角，這時船速在y方向的速度分量為v2y=v2sinθ，渡河所需時間為：t=.可以看出：在L與v2一定時，t隨sinθ的增大而減?。划敠?90°時，sinθ=1（最大），所以，船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，且為.（2）如圖6－2－7乙所示，為了使船渡河的航程最短，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直，這時船頭指向上游，并與河岸成一定的角度θ，則有：cosθ=，所以θ=arccos（）因為0≤cosθ≤1，所以只有在v1＜v2時，船才有可能垂直河岸渡河.（3）當v1＞v2，則不論船向如何，總被水流沖向下游.如圖6－2－7丙所示，設船頭（v2）與河岸成θ角，合速度v與河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂下的距離x越短.那么，在什么條件下α角最大呢？以v1的箭尾為圓心，以v2的大小為半徑畫圓，當v與圓相切時，α角最大.根據cosθ=得船頭與河岸的夾角應為：θ=arccos（）船漂的最短距離由==得xmin=·L.【答案】（1）船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，且為.（2）當船頭指向上游且與河岸成夾角θ=arccos（）時，船垂直河岸渡河.（3）當船頭與河岸成夾角θ=arccos（）時，船漂的距離最短xmin=·L.【綠色通道】由于運動的獨立性原理，水流方向沿河岸，與過河時間無關，過河時間只與船的實際速度沿垂直河岸方向的分量有關.因此要船最短時間過河，船頭應垂直指向對岸，但船的航線并不垂直指向對岸.對于船過河這類問題，一般記住兩個結論：①要使過河時間最短，則垂直河岸方向的分速度須最大；②要能垂直到達對岸，則合速度須垂直河岸.【變式訓練4】已知某船在靜水中的速率為v1＝4m/s，現讓船渡過某條河，假設這條河的兩岸是理想的平行線，河寬為d＝100m，河水的流動速度為v2＝3m/s，方向與河岸平行。試分析：⑴

欲使船以最短時間渡過河去，航向怎樣？最短時間是多少？到達對岸的位置怎樣？船發(fā)生的位移是多大？⑵

欲使船渡河過程中的航行距離最短，船的航向又應怎樣？渡河所用時間是多少？【解析】船同時參與了這樣兩個運動：一是船相對于水的運動，其速度就是船在靜水中的速度v1＝4m/s，方向與船頭的指向相同；二是船隨水漂流的運動，其速度等于河水流速v2＝3m/s，方向平行于河岸，與水流動方向相同，指向下游。船在河水中實際發(fā)生的運動（站在岸邊觀察者看到的運動）即是由上述兩個運動合成的。根據運動的獨立性和等時性，渡河時間取決于垂直河岸速度的大小，與水流速度無關，但渡河時船的運動軌跡取決于合速度的方向，顯然與水流速度有關系。圖6-2-15vv1αv2⑴

根據運動的獨立性和等時性，當船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大時，渡河所用時間最短，設船頭指向上游且與上游河岸夾角為α，其合速度v與分運動速度v1、v2的矢量關系如圖6-2-15所示。河水流速v2平行于河岸，不影響渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sin圖6-2-15vv1αv2圖6-2-16vv1v2A顯然，當sin

α＝1即α＝90°時，圖6-2-16vv1v2A渡河的最短時間t

min＝＝EQ\F(100,4)s＝25s。船的位移為

s＝v

t＝t

min＝×25m＝125m。船渡過河時已在正對岸的下游A處，其順水漂流的位移為x＝v2tmin＝＝EQ\F(3×100,4)m＝75m。圖6-2-17v合v1θv2⑵

由于v1＞v2圖6-2-17v合v1θv2cos

θ＝＝EQ\F(3,4)，θ＝41°24′。船的實際速度為

v合＝＝EQ\r(,42－32)m/s＝EQ\r(,7)m/s。故渡河時間t′＝EQ\F(d,v合)＝EQ\F(100,\r(,7))s＝EQ\F(100\r(,7),7)s≈38s?！締栴}探究】問題1．小船渡河過程中，如何渡河所需時間最短？如何渡河經歷位移最短？思路：在具體討論運動的合成與分解的實際問題時，先要明確哪個是合運動，哪