極值點偏移終稿答案解析

..極值點偏移問題的處理策略及探究---答案例1.〔2010天津理已知函數(shù),如果,且,證明：[解析]法一：,易得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,時,,,時,,函數(shù)在處取得極大值,且,如圖所示.由,不妨設,則必有,構(gòu)造函數(shù),則,所以在上單調(diào)遞增,,也即對恒成立.由,則,所以,即,又因為,且在上單調(diào)遞減,所以,即證法二：欲證,即證,由法一知,故,又因為在上單調(diào)遞減,故只需證,又因為,故也即證,構(gòu)造函數(shù),則等價于證明對恒成立.由,則在上單調(diào)遞增,所以,即已證明對恒成立,故原不等式亦成立.法三：由,得,化簡得…,不妨設,由法一知,.令,則,代入式,得,反解出,則,故要證：,即證：,又因為,等價于證明：…,構(gòu)造函數(shù),則,故在上單調(diào)遞增,,從而也在上單調(diào)遞增,,即證式成立,也即原不等式成立.法四：由法三中式,兩邊同時取以為底的對數(shù),得,也即,從而,令,則欲證：,等價于證明：…,構(gòu)造,則,又令,則,由于對恒成立,故,在上單調(diào)遞增,所以,從而,故在上單調(diào)遞增,由洛比塔法則知：,即證,即證式成立,也即原不等式成立.[點評]以上四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式,方法一、二利用構(gòu)造新的函數(shù)來達到消元的目的,方法三、四則是利用構(gòu)造新的變元,將兩個舊的變元都換成新變元來表示,從而達到消元的目的.例2.已知函數(shù)有兩個不同的零點,求證：.[解析]思路1：函數(shù)的兩個零點,等價于方程的兩個實根,從而這一問題與例1完全等價,例1的四種方法全都可以用；思路2：也可以利用參數(shù)這個媒介去構(gòu)造出新的函數(shù).解答如下：因為函數(shù)有兩個零點,所以,由得：,要證明,只要證明,由得：,即,即證：,不妨設,記,則,因此只要證明：,再次換元令,即證構(gòu)造新函數(shù),求導,得在遞增,所以,因此原不等式獲證.[點評]含參數(shù)的極值點偏移問題,在原有的兩個變元的基礎(chǔ)上,又多了一個參數(shù),故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數(shù),從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介,構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù)。例3.已知函數(shù),為常數(shù),若函數(shù)有兩個零點,試證明：[解析]法一：消參轉(zhuǎn)化成無參數(shù)問題：,是方程的兩根,也是方程的兩根,則是,設,,則,從而,此問題等價轉(zhuǎn)化成為例1,下略.法二：利用參數(shù)作為媒介,換元后構(gòu)造新函數(shù)：不妨設,∵,∴,∴,欲證明,即證.∵,∴即證,∴原命題等價于證明,即證：,令,構(gòu)造,此問題等價轉(zhuǎn)化成為例2中思路二的解答,下略.法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：設,則,反解出：,故,轉(zhuǎn)化成法二,下同,略.例4.設函數(shù),其圖像與軸交于兩點,且.證明：.[解析]由,易知：的取值范圍為,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.法一：利用通法構(gòu)造新函數(shù),略；法二：將舊變元轉(zhuǎn)換成新變元：∵兩式相減得：,記,則,設,則,所以在上單調(diào)遞減,故,而,所以,又∵是上的遞增函數(shù),且,∴.容易想到,但卻是錯解的過程：欲證：,即要證：,亦要證,也即證：,很自然會想到：對兩式相乘得：,即證：.考慮用基本不等式,也即只要證：.由于.當取將得到,從而.而二元一次不等式對任意不恒成立,故此法錯誤.[迷惑]此題為什么兩式相減能奏效,而變式相乘卻失?。績墒较鄿p的思想基礎(chǔ)是什么？其他題是否也可以效仿這兩式相減的思路?[解決]此題及很多類似的問題,都有著深刻的高等數(shù)學背景.拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導,則在內(nèi)至少存在一點,使得.當時,即得到羅爾中值定理.上述問題即對應于羅爾中值定理,設函數(shù)圖像與軸交于兩點,因此,∴,……由于,顯然與,與已知不是充要關(guān)系,轉(zhuǎn)化的過程中范圍發(fā)生了改變.例5.〔11年,XX理已知函數(shù)〔I討論的單調(diào)性；〔II設,證明：當時,；〔III若函數(shù)的圖像與軸交于兩點,線段中點的橫坐標為,證明：.[解析]〔I易得：當時,在上單調(diào)遞增；當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.〔II法一：構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性證明,方法上同,略；法二：構(gòu)造以為主元的函數(shù),設函數(shù),則,,由,解得,當時,,而,所以,故當時,.〔III由〔I知,只有當時,且的最大值,函數(shù)才會有兩個零點,不妨設,則,故,由〔II得：,又由在上單調(diào)遞減,所以,于是,由〔I知,.[問題的進一步探究]對數(shù)平均不等式的介紹與證明例1.〔2010天津理已知函數(shù),如果,且,證明：[解析]法五：由前述方法四,可得,利用對數(shù)平均不等式得：,即證：,秒證.說明：由于例2,例3最終可等價轉(zhuǎn)化成例1的形式,故此處對數(shù)平均不等式的方法省略.例4.設函數(shù),其圖像與軸交于兩點,且.證明：.[解析]法三：由前述方法可得：,等式兩邊取以為底的對數(shù),得,化簡得：,由對數(shù)平均不等式知：,即,故要證∵∴,而∴顯然成立,故原問題得證.例5.〔11年,XX理已知函數(shù)〔III若函數(shù)的圖像與軸交于兩點,線段中點的橫坐標為,證明：.[解析]〔I〔II略,〔III由故要證.根據(jù)對數(shù)平均不等,此不等式顯然成立,故原不等式得證.練習1：〔2015XX四模題已知函數(shù)有兩個零點,則下列說法錯誤的是A.B.C.D.有極小值點,且[答案]C[解析]函數(shù)導函數(shù)：有極值點,而極值,,A正確.有兩個零點：,,即：=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①-=2\*GB3②得：根據(jù)對數(shù)平均值不等式：,而,B正確,C錯誤而=1\*GB3①+=2\*GB3②得：,即D成立.練習2：〔2016年新課標I卷理數(shù)壓軸21題已知函數(shù)有兩個零點.證明：.[解析]由,得,可知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.要使函數(shù)有兩個零點,則必須.法一：構(gòu)造部分對稱函數(shù)不妨設,由單調(diào)性知,所以,又∵在單調(diào)遞減,故要證：,等價于證明：,又∵,且∴,構(gòu)造函數(shù),由單調(diào)性可證,此處略.法二：參變分離再構(gòu)造差量函數(shù)由已知得：,不難發(fā)現(xiàn),,故可整理得：設,則那么,當時,,單調(diào)遞減；當時,,單調(diào)遞增．設,構(gòu)造代數(shù)式：設,則,故單調(diào)遞增,有．因此,對于任意的,．由可知、不可能在的同一個單調(diào)區(qū)間上,不妨設,則必有令,則有而,,在上單調(diào)遞增,因此：整理得：．法三：參變分離再構(gòu)造對稱函數(shù)由法二,得,構(gòu)造,利用單調(diào)性可證,此處略.法四：構(gòu)造加強函數(shù)[分析說明]由于原函數(shù)的不對稱,故希望構(gòu)造一個關(guān)于直線對稱的函數(shù),使得當時,,當時,,結(jié)合圖像,易證原不等式成立.[解答]由,,故希望構(gòu)造一個函數(shù),使得,從而在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,從而構(gòu)造出〔為任意常數(shù),又因為我們希望,而,故取,從而達到目的.故,設的兩個零點為,結(jié)合圖像可知：,所以,即原不等式得證.法五：利用"對數(shù)平均"不等式,,由對數(shù)平均不等式得：,,從而等價于：由,故,證畢.練習3：已知函數(shù)與直線交于兩點.求證：[解析]由,,可得：=1\*GB3①,=2\*GB3