專題4第講空間幾何體

專題四

幾何第1講空間幾何體感悟高考明確考向(2010·遼寧)如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是

1，在其上用粗線畫(huà)出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長(zhǎng)的一條棱的長(zhǎng)為

2

3

．解析

由正視圖和俯視圖可知幾何體是正方體切割后的一部分(四棱錐

C1－ABCD)，還原在正方體中， ．多面體最長(zhǎng)的一條棱即為正方體的體對(duì)角線，由正方體棱長(zhǎng)

AB＝2

知最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為

2

3.考題分析本小題主要考查了考生對(duì)三視圖的理解和掌握情況，考查考生對(duì)幾何體中線段長(zhǎng)的求解運(yùn)算，考查了考生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力．本小題以四棱錐的三視圖為背景，突出考查了由平面圖形到空間幾何體的轉(zhuǎn)化過(guò)程．關(guān)于三視圖的問(wèn)題是新課標(biāo)高考的一個(gè)熱點(diǎn)．易錯(cuò)提醒(1)不能將三視圖轉(zhuǎn)化為空間幾何體的直觀圖，是導(dǎo)致錯(cuò)誤的主要原因．(2)不能準(zhǔn)確確定多面體中最長(zhǎng)的一條棱，故計(jì)算易出錯(cuò)．主干知識(shí)梳理1．棱柱、棱錐、棱臺(tái)

(1)棱柱的性質(zhì)側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等且側(cè)面與對(duì)角面是矩形．(2)正棱錐的性質(zhì)側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影構(gòu)成一個(gè)直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也構(gòu)成一個(gè)直角三角形；某側(cè)面的斜高、側(cè)棱及底面邊長(zhǎng)的一半也構(gòu)成一個(gè)直角三角形；側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面內(nèi)的射影及底面邊長(zhǎng)的一半也構(gòu)成一個(gè)直角三角形．(3)正棱臺(tái)的性質(zhì)側(cè)面是全等的等腰梯形；斜高相等；棱臺(tái)的高、斜高和兩底面的邊心距組成一個(gè)直角梯形；棱臺(tái)的高、側(cè)棱和兩底面外接圓的半徑組成一個(gè)直角梯形；棱臺(tái)的斜高、側(cè)棱和兩底面邊長(zhǎng)的一半也組成一個(gè)直角梯形圓柱、圓錐、圓臺(tái)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的概念分別以矩形的一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的性質(zhì)軸截面分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形；平行于底面的截面都是圓．球球面與球的概念半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做球面．以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱球．半圓的圓心叫做球的球心．球的截面性質(zhì)球心和截面圓心的連線垂直于截面；球心到截面的距離d

與球的半徑R

及截面圓的半徑r

的關(guān)系為d＝

R2－r2.4．空間幾何體的三視圖三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影形成的平面圖形，反映了一個(gè)幾何體各個(gè)側(cè)面的特點(diǎn)．任意一個(gè)物體的長(zhǎng)、寬、高一般指的是物體占有空間的左右、前后、上下的最大距離．5．直S

直棱柱側(cè)＝Ch，S(其中C、C′為底面圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)S

圓柱側(cè)＝2πrl，S

圓錐側(cè)＝πrl，S

圓臺(tái)側(cè)(其中r、r′為底面半徑，l

為母線長(zhǎng))柱或臺(tái)的表面積等于側(cè)面積與兩個(gè)底面積的體的表面積是側(cè)面積與一個(gè)底面積的和．球的表面積與體積半徑為R

的球的表面積公式為S

球＝4πR2.球433(2)半徑為

R

的球的體積公式為

V

＝

πR

.熱點(diǎn)分類突破題型一空間幾何體的三視圖例

1

下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，側(cè)(左)視圖是一個(gè)等邊三角形，根據(jù)圖中尺寸(單位：cm)，可知這個(gè)幾何體的表面積是

(

)B.221

3

cm2A.(18＋

3)

cm2C．(18＋2 3)

cm2D．(6＋2 3)

cm2思維啟迪

根據(jù)三視圖確定原幾何體及其有關(guān)數(shù)據(jù)，然后由公式求其表面積．解析

由三視圖可得幾何體是一個(gè)正三棱柱．正三棱柱的高為

3，底面邊長(zhǎng)為

2.表4∴S

＝2×3×3＋

3

22×2＝18＋2

3(cm2)×故選C.答案

C探究提高(1)解答此類問(wèn)題，首先由三視圖想象出幾何體的形狀，并由相關(guān)數(shù)據(jù)得出幾何體中的量，進(jìn)而求得表面積或體積．(2)掌握三視圖是正確解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，同時(shí)也體現(xiàn)了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，是高考的新．變式訓(xùn)練

1

一個(gè)幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m)則該幾何體的體積為()7

93

379B.2m

C.2m

D.4m3

3A.3m解析

三視圖所表示的幾何體的直觀圖如圖．∴幾何體的體積V＝3×13131

7＋2×

＝2，故選C.C題型二

幾何體的體積例2

如圖，四邊形

ABCD

是邊長(zhǎng)為

2

的正方形，直線

l

與平面

ABCD

平行，E

和F是

l

上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且

EA＝ED，F(xiàn)B＝FC.E′和F′是平面ABCD

內(nèi)的兩點(diǎn)，EE′和FF′都與平面ABCD

垂直．證明：直線E′F′垂直且平分線段AD；若∠EAD＝∠EAB＝60°，EF＝2，求多面體ABCDEF

的體積．思維啟迪(1)AE＝DE?AE′＝DE′?E′在AD

的垂直平分線上．(2)分割幾何體ABCDEF

為棱錐E－ABCD

和E－BCF.(1)

證明

∵EA＝ED

且

EE′⊥平面

ABCD，∴E′D＝E′A，∴點(diǎn)E′同理，點(diǎn)F′又四邊形ABCD

是正方形，∴線段

BC

的垂直平分線也就是線段

AD

的垂直平分線，即點(diǎn)E′、F′都∴直線E′F′垂直且平分線段AD.(2)解如圖，連接EB、EC，由題意知多面體ABCDEF可分割成正四棱錐E－ABCD

和正四面體E－BCF

兩部分．設(shè)AD

的中點(diǎn)為M，在Rt△MEE′中，由于ME′＝1，ME＝

3，∴EE′＝

2.∴V—E

ABCD13＝

·S正方形ABCD13·EE′＝

×24

22

×

2＝

3

.又VE－BCF＝V1C－BEF＝VC－BEA＝VE－ABC＝3S△ABC·EE′＝1

122

23×2×2

×

2＝

3

，∴多面體

ABCDEF

的體積為

VE－ABCD＋VE－BCF＝2

2.探究提高(1)求幾何體的體積問(wèn)題，可以多角度、多方位地考慮問(wèn)題，對(duì)三棱錐，等體積轉(zhuǎn)化法是常用的方法，轉(zhuǎn)換底面的原則是使其求，常把底面放在已知幾何體的某一面上．(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體變化為規(guī)則幾何體，易于求解．變式訓(xùn)練

2

下圖是一幾何體的直觀圖、正視圖、俯視圖、側(cè)視圖．若F

為PD

的中點(diǎn)，求證：AF⊥面PCD；求幾何體BEC－APD

的體積．(1)證明

由幾何體的三視圖可知，底面

ABCD

是邊長(zhǎng)為

4

的正方形，PA⊥平面

ABCD，PA∥＝4.∵PA＝AD，F(xiàn)為PD

的中點(diǎn)，∴PD⊥AF.又∵CD⊥DA，CD⊥PA，∴CD⊥AF.∴AF⊥平面

PCD.(2)

解

VBEC

－

APD＝

VC

－

APEB＋

V—P

ACD1

13

2＝

×

×(4

＋1

12)×4×4＋3×2×804×4×4＝

3

.題型三多面體與球例3

一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為3，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為

．思維啟迪先根據(jù)已知條件及球與正六棱柱的關(guān)系求出球的半徑，再利用球的體積公式易求結(jié)果．解析

∵底面是正六邊形且周長(zhǎng)為

31，∴邊長(zhǎng)為2.3＋1＝2，∴AD＝1.AD1

為球的直徑，其長(zhǎng)度為∴R＝1.34

4π∴V＝3πR

＝

3

.答案34

π探究提高

(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系．(2)若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，則4R2＝a2＋b2＋c2，把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體(或其他圖形)，從而顯示出球的數(shù)量特征，這種方法是一種常用的好方法．變式訓(xùn)練

3

(2010·

Ⅰ)已知在半徑為

2

的球面上有

A、B、C、D

四點(diǎn)，若

AB＝CD＝2，則四面體

ABCD的體積的最大值為 (

)A.2

3

B.4

33

3C．2

3

8

3D.

3解析段把四面體ABCD

分成四個(gè)三棱錐，且三棱錐

B－ODC

與A－ODC

同底，三棱錐D－AOB

與

C－AOB

同底．在三棱錐

B－ODC和A－ODC32＝中，底面積為

4

·2 3，高分別為

B

到平面

ODC

的距離與A

到平面ODC

的距離，只有AB⊥平面ODC

時(shí)兩距離之和才能取得最大值

2，所以其體積和最大值為1×

3×2＝2

3.同理可得三棱錐

D－AOB

與

C－3

32 3

所以四面體ABCD

的體4

3AOB

的體積和的最大值為

3

.積的最大值為

3

.答案

B規(guī)律方法總結(jié)在理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念基礎(chǔ)上，掌握棱柱棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征：熟記特殊棱柱、棱錐、棱臺(tái)的有關(guān)性質(zhì)；能夠把棱柱、棱錐、棱臺(tái)的有關(guān)元素放在對(duì)角面、側(cè)面等平面圖形中去研究，突出化歸的數(shù)學(xué)思想方法．學(xué)習(xí)三視圖應(yīng)會(huì)選取投射面，正確放置三視圖中三個(gè)圖的位置，三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在主視圖的下面，長(zhǎng)度與主視圖一樣，左視圖放在主視圖的右面，高度與主視圖一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣；通常說(shuō)：“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”，或說(shuō)

“主左一樣高、主俯一樣長(zhǎng)、俯左一樣寬”．長(zhǎng)方體的外接球長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c

的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直徑，即a2＋b2＋c2＝2R；棱長(zhǎng)為a

的正方體的體對(duì)角線等于外接球的直徑，即3a＝2R.知能提升演練一、選擇題1．(2010·陜西)若某空間幾何體的三視圖該幾何體的體積是(

)2A.1

B.

C．1

D．22

3解析由三視圖可知，該空間幾何體是底面為直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為1

和2，三棱柱的高為2，所以該幾何體的1體積V＝2×1×2×2＝1.答案

C2．已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱錐高為3，A．16πC．24πB．20πD．32π體積為

6，則這個(gè)球的表面積是

(

A

)12解析

設(shè)正四棱錐高為

h，底面邊長(zhǎng)為

a，由

V＝3a

h＝a2＝6，∴a＝

6，可利用三角形相似計(jì)算出球的半徑r＝2，S

球＝4πr2＝16π，故選A.3．已知一個(gè)空間幾何體的三視圖A．4

cm3C．6

cm3B．5

cm3D．7

cm3標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是(

A

)解析

三視圖所表示的幾何體為四棱錐1

13V＝3×2×[2×(4＋2)×2]＝4(cm)．故選A.4．一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如下，則此多面體外接球的表面積是

(

C

)A．3π

B．4

3π

C．12π

D．48π解析

由三視圖知：∠DAE＝90°，AD＝AE＝AB＝2.則

2R＝

22＋22＋22＝2 3，∴R＝

3，∴S

球＝4πR2＝12π，故選C.解析

方法一

設(shè)三棱錐另一棱長(zhǎng)

BC＝x，，取

BC

的中點(diǎn)E，連結(jié)AE、DE，易證BC垂直于平面ADE，1

1故VA－BCD＝3S△ADE·BE＋3S△ADE·EC1

1

1＝3S△ADE·BC＝3·2·a·3a2－x22x＝

a12x當(dāng)且僅當(dāng)x2＝(3a

－方法二

如上圖，底

ABD

是然當(dāng)平面CAD⊥平面ABD

時(shí)高21

3

3a3max＝3·(

4

a

)·

2

a＝

8

.故選C.答案

C二、填空題6．(2010·10幾何體的體積為

3

．解析該幾何體是上面是底面邊長(zhǎng)為2

的正四棱錐，下面是底面邊長(zhǎng)為1、高為2的正四棱柱的組合體，其體積為V＝1×1×2＋3×22×1＝

31

10.等于

．7．一個(gè)幾何體的三視圖4π柱解析

V＝V

＋V球＝2×2×2＋43π·134π＝8＋

3

.8＋

3解析

據(jù)題意可知，如圖：球O

即棱長(zhǎng)為3的正方體外接球，其半徑r＝(

3)2＋(

3)2＋(

3)243＝2，34

9πV＝3πr

＝

2

.9π

2三、解答題9.，在長(zhǎng)方體

ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一個(gè)棱錐

C－A′DD′，求棱錐

C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比．解

設(shè)

AB＝a，AD＝b，AA′＝c，∴V

長(zhǎng)方體＝abc.1

1

1又VC－A′DD′＝3×a×2bc＝6abc，