北京市東城區(qū)屆高三上學(xué)期期末考試理科數(shù)學(xué)

北京市東城區(qū)2022-2022學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)（理科）學(xué)校_____________班級_______________姓名______________考號___________本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁，共150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，，則（A）（B）（C）（D）（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于(A)第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）下列命題中正確的是（A）如果兩條直線都平行于同一個平面，那么這兩條直線互相平行（B）過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直（C）如果一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，那么這條直線平行于這個平面（D）如果兩條直線都垂直于同一平面，那么這兩條直線共面（4）一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖中△ABC是邊長為2的正三角形，俯視圖的邊界為正六邊形，那么該幾何體的側(cè)(左)視圖的面積為（A）（B）（C）（D） （5）在平面直角坐標系內(nèi)，若曲線：上所有的點均在第二象限內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為（A） （B）（C）（D）（6）如圖所示，點是函數(shù)的圖象的最高點，，是該圖象與軸的交點，若，則的值為（A） （B） （C） （D）（7）對于函數(shù)，有如下三個命題：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；③在區(qū)間上是增函數(shù)．其中正確命題的序號是（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③（8）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則在平面直角坐標系內(nèi)，點的運動軌跡與兩坐標軸圍成的圖形的面積為（A）（B）（C）（D）

第Ⅱ卷（共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。（9）已知，那么的值為．（10）若非零向量，滿足，則與的夾角為．（11）已知函數(shù)那么的值為．yxAFOB（12）在等差數(shù)列中，若，，則數(shù)列的公差等于yxAFOB其前項和的最大值為．（13）如圖，已知橢圓的左頂點為，左焦點為，上頂點為，若，則該橢圓的離心率是.(14)已知不等式≤，若對任意且，該不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（15）（本小題共13分）已知△中，角，，的對邊分別為，，，且，．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求△的面積．（16）（本小題共13分）在等差數(shù)列中，，其前項和為，等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，公比為，且，．（Ⅰ）求與；（Ⅱ）證明：≤．（17）（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）點在線段上，，試確定的值，使平面；（Ⅲ）若平面，平面平面，求二面角的大?。?8）（本小題共13分）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）求證：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；（Ⅱ）若函數(shù)在處取得最大值，求的取值范圍．（19）（本小題共13分）已知橢圓的右焦點為，為橢圓的上頂點，為坐標原點，且△是等腰直角三角形．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在直線交橢圓于，兩點，且使點為△的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．（20）(本小題共14分)已知是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對任意，①方程有實數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足．（Ⅰ）判斷函數(shù)是否是集合中的元素，并說明理由；（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域為，則對于任意，都存在，使得等式成立．試用這一性質(zhì)證明：方程有且只有一個實數(shù)根；（Ⅲ）對任意，且，求證：對于定義域中任意的，，，當，且時，.東城區(qū)2022-2022學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測高三數(shù)學(xué)參考答案及評分標準（理科）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）（1）B（2）A（3）D（4）C（5）D（6）B（7）A（8）C二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）（9）（10）（11）（12）57（13）（14）≥注：兩個空的填空題第一個空填對得3分，第二個空填對得2分．三、解答題（本大題共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由已知，整理得．………………2分因為，所以.故，解得.……………4分由，且，得.由，即，解得.………………7分（Ⅱ）因為，又，所以，解得.………………10分由此得，故△為直角三角形，，．其面積．………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）設(shè)的公差為，因為所以解得或（舍），． 故，．……………6分（Ⅱ）因為，所以．………9分 故．………11分因為≥，所以≤，于是≤， 所以≤． 即≤．……………13分（17）（共14分）證明：（Ⅰ）連接．因為四邊形為菱形，，所以△為正三角形．又為中點，所以．因為,為的中點，所以．又，所以平面．………………4分（Ⅱ）當時，∥平面．下面證明：連接交于，連接．因為∥，所以．因為∥平面，平面，平面平面，所以∥.所以．所以，即．因為，所以．所以，所以∥.又平面，平面，所以∥平面．…………9分（Ⅲ）因為，又平面平面，交線為，所以平面．以為坐標原點，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．由===2，則有，，．設(shè)平面的法向量為=，由，且，，可得令得．所以=為平面的一個法向量．取平面的法向量=，則，故二面角的大小為60°．…………14分（18）（共13分）證明：（Ⅰ）．因為且，所以．所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．…………6分（Ⅱ）由題意.則.…………8分令，即.①由于，可設(shè)方程①的兩個根為，，由①得，由于所以，不妨設(shè)，． 當時，為極小值，所以在區(qū)間上，在或處取得最大值； 當≥時，由于在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，綜上，函數(shù)只能在或處取得最大值．…………10分又已知在處取得最大值，所以≥，即≥，解得≤，又因為，所以（］．………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，故橢圓方程為．…………5分（Ⅱ）假設(shè)存在直線交橢圓于，兩點，且為△的垂心，設(shè)，因為，，故．…………7分于是設(shè)直線的方程為，由得．由，得，且,．……9分由題意應(yīng)有，又，故，得．即．整理得．解得或．…………12分經(jīng)檢驗，當時，△不存在，故舍去．當時，所求直線存在，且直線的方程為．…………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因為①當時，，所以方程有實數(shù)根0；②，所以，滿足條件；由①②，函數(shù)是集合中的元素.…………5分（Ⅱ）假