高一數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性教案

高一數(shù)學(xué)函數(shù)單一性教學(xué)設(shè)計(jì)高一數(shù)學(xué)函數(shù)單一性教學(xué)設(shè)計(jì)7/7高一數(shù)學(xué)函數(shù)單一性教學(xué)設(shè)計(jì)函數(shù)的單一性講課目的1．使學(xué)生理解函數(shù)單一性的見解，并能判斷一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單一性．2．經(jīng)過函數(shù)單一性見解的講課，培育學(xué)生分析問題、認(rèn)識(shí)問題的能力．經(jīng)過例題培育學(xué)生利用定義進(jìn)行推理的邏輯思想能力．3．經(jīng)過本節(jié)課的講課，浸透數(shù)形聯(lián)合的數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯心主義的教育．講課要點(diǎn)與難點(diǎn)講課要點(diǎn)：函數(shù)單一性的見解．講課難點(diǎn)：函數(shù)單一性的判斷．講課過程設(shè)計(jì)一、引入新課師：請(qǐng)同學(xué)們察看下邊兩組在相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)，此后指出這兩組函數(shù)之間在性質(zhì)上的主要差別是什么？（用投影幻燈給出兩組函數(shù)的圖象．）第一組：第二組：生：第一組函數(shù)，函數(shù)值

y隨

x的增大而增大；第二組函數(shù)，函數(shù)值

y隨

x的增大而減?。畮煟海ㄊ謭?zhí)投影棒使之沿曲線挪動(dòng)）對(duì)．他（她）答得很好，這正是兩組函數(shù)的主要區(qū)別．當(dāng)x變大時(shí)，第一組函數(shù)的函數(shù)值都變大，而第二組函數(shù)的函數(shù)值都變?。倘辉诿恳唤M函數(shù)中，函數(shù)值變大或變小的方式其實(shí)不同樣，但每一組函數(shù)卻擁有一種共同的性質(zhì)．我們?cè)趯W(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比率函數(shù)以及冪函數(shù)時(shí)，就以前依據(jù)函數(shù)的圖象研究過函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的變大而變大或變小的性質(zhì)．而這些研究結(jié)論是直觀地由圖象獲得的．在函數(shù)的會(huì)合中，有好多函數(shù)擁有種性，因此我有必需函數(shù)種性作更一步的一般性的和研究，就是我今日一的內(nèi)容．（點(diǎn)明本的內(nèi)容，既是曾有所的，又是新的知，惹起學(xué)生的注意．）二、見解的分析（板：函數(shù)的性）：同學(xué)翻開本第51，××同學(xué)把增函數(shù)、減函數(shù)、區(qū)的定朗一遍．（學(xué)生朗．）：好，坐．通才增函數(shù)和減函數(shù)的定，同學(xué)思慮一個(gè)：種定方法和我才所的函數(shù)y隨自量x的增大而增大或減小能否一致？假如一致，定中是怎描繪的？生：我是一致的．定中的“當(dāng)

，都有

”描繪了

y隨

x的增大而增大；“當(dāng)

，都有

”描繪了

y隨

x的增大而減少．：得特別正確．定頂用了兩個(gè)的不等關(guān)系“

”和“

或”，它刻劃了函數(shù)的增或減的性．就是數(shù)學(xué)的魅力?。ㄍń痰母星槿緦W(xué)生，激學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的趣．）：在同學(xué)和我一同來看才的兩中的第一個(gè)函數(shù)

和

的象，意會(huì)種魅力．（指明．）：中

于區(qū)

[a

，b]上的隨意

，，當(dāng)

，都有

，因此

在區(qū)[a，b]

上是增的，區(qū)

[a，b]是函數(shù)

的增區(qū)；而中

于區(qū)

[a，b]上的隨意

，，當(dāng)

，都有

，因此

在區(qū)[a，b]上是減的，區(qū)[a，b]是函數(shù)的減區(qū)．（教指明分析定，使學(xué)生把函數(shù)性的定與直象合起來，使新舊知融一體，加深見解的理解．浸透數(shù)形合分析的數(shù)學(xué)思想方法．）：因此我能夠，增函數(shù)就其本而言是在相區(qū)上大的自量??（不把完，指一名學(xué)生接著完，學(xué)生的思始隨著老．）生：大的函數(shù)的函數(shù)．：那么減函數(shù)呢？生：減函數(shù)就其本而言是在相區(qū)上大的自量小的函數(shù)的函數(shù)．（學(xué)生可能回答得不圓滿，教指他圓滿．）師：好．我們剛剛以增函數(shù)和減函數(shù)的定義作了初步的分析，經(jīng)過閱讀和分析你認(rèn)為在定義中我們應(yīng)當(dāng)抓住哪些要點(diǎn)詞語，才能更透辟地認(rèn)識(shí)定義？（學(xué)生考慮．）學(xué)生在高中階段以致在此后的學(xué)習(xí)中常常會(huì)碰到一些見解（或定義），能否抓住定義中的要點(diǎn)詞語，是能否正確地、深入地理解和掌握見解的重要條件，更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其余各學(xué)科的重要一環(huán)．因此教師應(yīng)當(dāng)教會(huì)學(xué)生如何深入理解一個(gè)見解，以培育學(xué)生分析問題，認(rèn)識(shí)問題的能力．（教師在學(xué)生考慮過程中，再一次有感情地朗誦定義，并注意在要點(diǎn)詞語處適合加重語氣．在學(xué)生感覺無從下手時(shí)，賞賜適合的提示．）生：我認(rèn)為在定義中，有一個(gè)詞“給定區(qū)間”是定義中的要點(diǎn)詞語．師：很好，我們?cè)趯W(xué)習(xí)任何一個(gè)見解的時(shí)候，都要擅長抓住定義中的要點(diǎn)詞語，在學(xué)習(xí)幾個(gè)周邊的見解時(shí)還要注意差別它們之間的不同樣．增函數(shù)和減函數(shù)都是對(duì)相應(yīng)的區(qū)間而言的，走開了相應(yīng)的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性．請(qǐng)大家思慮一個(gè)問題，我們能否說一個(gè)函數(shù)在x=5時(shí)是遞加或遞減的？為何？生：不可以夠．因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)值是一個(gè)數(shù)．師：對(duì)．函數(shù)在某一點(diǎn)，因?yàn)樗暮瘮?shù)值是獨(dú)一確立的常數(shù)（注意這四個(gè)字“獨(dú)一確定”），因此沒有增減的變化．那么，我們能不可以夠走開區(qū)間平常談?wù)撃骋粋€(gè)函數(shù)是增函數(shù)或是減函數(shù)呢？你能否舉一個(gè)我們學(xué)過的例子？生：不可以夠．比方二次函數(shù)，在y軸左邊它是減函數(shù)，在y軸右邊它是增函數(shù)．因而我們不可以夠說是增函數(shù)或是減函數(shù)．（在學(xué)生回答以下問題時(shí)，教師板演函數(shù)的圖像，從“形”上感知．）師：好．他（她）舉了一個(gè)例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區(qū)間”．這說明函數(shù)的單一性是函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，但這不排擠有些函數(shù)在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)或減函數(shù)．因此，此后我們?cè)谡務(wù)摵瘮?shù)的增減性時(shí)必然指明相應(yīng)的區(qū)間．師：還有沒有其余的要點(diǎn)詞語？生：還有定義中的“屬于這個(gè)區(qū)間的隨意兩個(gè)”和“都有”也是要點(diǎn)詞語．師：你答的很對(duì)．能解說一下為何嗎？（學(xué)生不用然能答全，教師應(yīng)賞賜必需的提示．）師：“屬于”是什么意思？生：就是說兩個(gè)自變量，必然取自給定的區(qū)間，不可以夠從其余區(qū)間上?。畮煟杭偃缡情]區(qū)間的話，能否取自區(qū)間端點(diǎn)？生：能夠．師：那么“隨意”和“都有”又如何理解？生：“隨意”就是指不可以夠取特定的值來判斷函數(shù)的增減性，而“都有”則是說只需，就必然都小于，或都大于．師：能不可以夠結(jié)構(gòu)一個(gè)反例來說明“隨意”呢？（讓學(xué)生思慮片晌．）生：能夠結(jié)構(gòu)一個(gè)反例．察看函數(shù)

，在區(qū)間

[-2

，2]上，假如取兩個(gè)特定的值，

，明顯

，而

，

，有

，若由此判定是[-2，2]上的減函數(shù)，那就錯(cuò)了．師：那么如何來說明“都有”呢？生：

在[-2

，2]上，當(dāng)

，

時(shí)，有

；當(dāng)

，時(shí)，有，這時(shí)就不可以夠說，在[-2，2]上是增函數(shù)或減函數(shù)．師：好極了！經(jīng)過分析定義和舉反例，我們知道要判斷函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù)，不可以夠由特定的兩個(gè)點(diǎn)的狀況來判斷，而必然嚴(yán)格依據(jù)定義在給定區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)自變量，，依據(jù)它們的函數(shù)值和的大小來判斷函數(shù)的增減性．（教師經(jīng)過一系列的設(shè)問，使學(xué)生處于踴躍的思想狀態(tài)，從抽象到詳細(xì)，并經(jīng)過反例的反襯，使學(xué)生加深對(duì)定義的理解．在見解講課中，反例常常幫助學(xué)生更深刻地理解見解，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思想能力．）師：反過來，假如我們已知f（x）在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么，我們就能夠經(jīng)過自變量的大小去判斷函數(shù)值的大小，也能夠由函數(shù)值的大小去判斷自變量的大?。匆话憬t特別建立，反之，特別建立，一般不用然建立．這正是辯證法中一般和特殊的關(guān)系．（用辯證法的原理來解說數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)用數(shù)學(xué)知識(shí)去理解辯證法的原理，這樣的分析，有助于深入地理解和掌握見解，分清見解的內(nèi)涵和外延，培育學(xué)生學(xué)習(xí)的能力．）三、見解的應(yīng)用例1圖4所示的是定義在閉區(qū)間[-5的單一區(qū)間，并回答：在每一個(gè)單一區(qū)間上，

，5]上的函數(shù)f（x）的圖象，依據(jù)圖象說出f（x）是增函數(shù)仍是減函數(shù)？

f（x）（用投影幻燈給出圖象．）生甲：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-5，-2]，[1，3]上是減函數(shù)，因此[-5，-2]，[1，3]是函數(shù)y=f（x）的單一減區(qū)間；在區(qū)間[-2，1]，[3，5]上是增函數(shù)，因此[-2，1]，[3，5]是函數(shù)y=f（x）的單一增區(qū)間．生乙：我有一個(gè)問題，[-5，-2]是函數(shù)f（x）的單一減區(qū)間，那么，能否能夠?yàn)椋?5，-2）也是f（x）的單一減區(qū)間呢？師：問得好．這說明你想的很認(rèn)真，思慮問題很謹(jǐn)慎．簡單證明：若f（x）在[a，b]上單一（增或減），則f（x）在（a，b）上單一（增或減）．反之否則，你能舉出反例嗎？一般來說．若

f（x）在[a，b]上單一（增或減），且

[

，

]

[a，b]，則

f（x）在[

，]（增或減）．反之否則．2證明函數(shù)f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．師：從函數(shù)圖象上察看函數(shù)的單一性固然形象，但在理論上不夠嚴(yán)格，特別是有些函數(shù)不易畫出圖象，因此必然學(xué)會(huì)依據(jù)分析式和定義從數(shù)目上分析鑒別，這才是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本門路．（指出用定義證明的必需性．）師：如何用定義證明呢？請(qǐng)同學(xué)們思慮后在筆錄本上寫出證明過程．（教師巡視，并指定一名中等水平的學(xué)生在黑板上板演．

學(xué)生可能會(huì)對(duì)如何比較和

的大小關(guān)系感覺無從下手，教師應(yīng)賞賜啟迪．）師：關(guān)于a＞b，那么它們的差

和a-b

我們?nèi)绾伪容^它們的大小呢？我們知道對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，假如就大于零；假如a=b，那么它們的差a—b就等于零；假如a＜b，那么它們的差a-b就小于零，反之也建立．因此我們可由差的符號(hào)來決定兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系．生：（板演）設(shè)

，是（-∞，+∞）上隨意兩個(gè)自變量，當(dāng)

時(shí)，，因此

f（x）是增函數(shù)．師：他的證明思路是清楚的．一開始設(shè)

，是（-∞，+∞）內(nèi)隨意兩個(gè)自變量，并設(shè)（邊說邊用彩色粉筆在相應(yīng)的語句下劃線，并注明“①→設(shè)”），此后看，這一步是證明的要點(diǎn)，再對(duì)式子進(jìn)行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，這一步可歸納為“作差，變形”（同上，劃線并注明”②→作差，變形”）．但美中不足的是他沒能說明為何＜0，沒合用到開始的假定“要認(rèn)為其不言而喻，在這里必然要對(duì)變形后的式子說明其符號(hào)．應(yīng)寫明“因?yàn)?/p>

”，不x1＜x2，因此，進(jìn)而＜0，即．”這一步可歸納為“定符號(hào)”

（在黑板上板演，并注明“③→定符號(hào)”）．最后，作為證明題必然要有結(jié)論，我們把它稱之為第四步“下結(jié)論”（在相應(yīng)地點(diǎn)注明“④→下結(jié)論”）．這就是我們用定義證明函數(shù)增減性的四個(gè)步驟，請(qǐng)同學(xué)們記著．需要指出的是第二步，假如函數(shù)y=f（x）在給定區(qū)間上恒大于零，也能夠?。▽?duì)學(xué)生的做法進(jìn)行分析，把證明過程步驟化，能夠形成思想的定勢．在學(xué)生剛剛接觸一個(gè)新的知識(shí)時(shí)，思想定勢對(duì)理解知識(shí)自己是有利的，同時(shí)對(duì)學(xué)生養(yǎng)成必然的思想習(xí)慣，形成必然的解題思路也是有幫助的．）調(diào)函數(shù)嗎？并用定義證明你的結(jié)論．師：你的結(jié)論是什么呢？上都是減函數(shù)，因此我感覺它在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數(shù)．生乙：我有不同樣的建議，我認(rèn)為這個(gè)函數(shù)不是整個(gè)定義域內(nèi)的減函數(shù)，因?yàn)樗环蠝p函數(shù)的定義．比方取

x1∈（-∞，0），取

x2∈（0，+∞），

明顯建立，而

，，明顯有

，而不是

，因此它不是定義域內(nèi)的減函數(shù)．生：也不可以夠這樣認(rèn)為，因?yàn)橛蓤D象可知，它分別在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數(shù)．域內(nèi)的增函數(shù)，也不是定義域內(nèi)的減函數(shù)，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一個(gè)單一區(qū)間內(nèi)都是減函數(shù)．因此在函數(shù)的幾個(gè)單一增（減）區(qū)間之間不要用符號(hào)“∪”連結(jié)．其余，x=0不是定義域中的元素，此時(shí)不要寫成閉區(qū)間．上是減函數(shù)．（教師巡視．對(duì)學(xué)生證明中出現(xiàn)的問題賞賜點(diǎn)拔．可依據(jù)學(xué)生的問題，給出下邊的提示：（1）分式問題化簡方法一般是通分．（2）要說明三個(gè)代數(shù)式的符號(hào)：k，，．要注意在不等式兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)的時(shí)候，不等號(hào)方向要改變．對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行簡單的分析小結(jié)，點(diǎn)出學(xué)生在證明過程中所出現(xiàn)的問題，惹起全體學(xué)生的重視．）四、講堂小結(jié)師：請(qǐng)同學(xué)小結(jié)一下這節(jié)課的主要內(nèi)容，有哪些是應(yīng)當(dāng)特別注意的？（請(qǐng)一個(gè)思路清楚，擅長表達(dá)的學(xué)生口述，教師可從中賞賜提示．）生：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)單一性的定義，要特別注意定義中“給定區(qū)間”、“屬于”、“隨意”、“都有”這幾個(gè)要點(diǎn)詞語；在寫單一區(qū)間時(shí)不要輕易用并集的符號(hào)連結(jié)；最后在用定義證明函數(shù)的單一性時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意證明的四個(gè)步驟．五、作業(yè)1．課本P53練習(xí)第1，2，3，4題．?dāng)?shù)．．（*）+b＞0．由此可知（*）式小于0，即．講堂講課方案說明函數(shù)的單一性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，是研究函數(shù)時(shí)常常要注意的一個(gè)性質(zhì)．并且在比較幾個(gè)數(shù)的大小、對(duì)函數(shù)作定性分析、以及與其余知識(shí)的綜合應(yīng)用上都有寬泛的應(yīng)用．對(duì)學(xué)生來說，函數(shù)的單一性早已有所知，但是沒有給出過定義，但是從直觀上接觸過這一性質(zhì)．學(xué)生對(duì)此有必然的感性認(rèn)識(shí)，對(duì)見解的理解有必然利處，但另一方面學(xué)生也會(huì)感覺是已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，感覺無聊．因此，在設(shè)計(jì)講課方案時(shí)，增強(qiáng)了對(duì)見解的分析，希望能夠使學(xué)生認(rèn)識(shí)到看似簡單的定義中有好多值得去商酌、去考慮的東西，此中甚至包括著辯證法的原理．其