九年級《三角函數(shù)》知識點、經(jīng)典例題

九年級《三角函數(shù)》知識點、例題、中考真題定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)(倒數(shù))余切(∠A為銳角)對邊鄰邊斜邊A對邊鄰邊斜邊ACB4、5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值(重要)三角函數(shù)0°30°45°60°90°011001--106、正弦、余弦的增減性：當(dāng)0°≤≤90°時，隨的增大而增大，隨的增大而減小。7、正切、余切的增減性：當(dāng)0°<<90°時，隨的增大而增大，隨的增大而減小。8、解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個，其中必有一邊）→所有未知的邊和角。依據(jù)：①邊的關(guān)系：；②角的關(guān)系：90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義。(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)9、應(yīng)用舉例：(1)仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。(2)坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般寫成的形式，如等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。10、從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3，、、、的方向角分別是：45°、135°、225°。11、指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4、、、的方向角分別是：北偏東30°（東北方向），南偏東45°（東南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。12、解斜三角形所根據(jù)的定理(在△中)正弦定理：=2R.(R是△外接圓半徑).②余弦定理：c222－2；b222－2；a222－2.③互補的兩個角的三角函數(shù)的關(guān)系：(180－A)=，(180－A)=－，(180－A)=－，(180－A)=－.④S△＝.三角函數(shù)中考試題分類例題解說圖1一、三角函數(shù)的定義圖1例1：（濱州市）如圖1，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為，關(guān)于的三角函數(shù)值與梯子的傾斜程度之間，敘述正確的是（）A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡C．的值越小，梯子越陡 D．陡緩程度與的函數(shù)值無關(guān)分析：由銳角的正切、正弦和余弦的定義可知：銳角的正切、正弦值越大，梯子越陡，余弦值越小，梯子越陡。因此選A。二、利用特殊角的三角函數(shù)值計算例4：（遼寧省十二市）計算：解：圖3圖3點評：熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決此類問題的關(guān)鍵。三、求線段的長度例5：（云南?。┮阎喝鐖D3，在中，∠B=45°，∠C=60°，=6。求的長（結(jié)果保留根號）．圖5分析：解決此類問題需要根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中加以研究。如圖4，過點A作⊥于點D。在中，∠B=45°，則=。不妨設(shè)=x，又=6，所以有x2＋x2=62，解得x=，即==。在中，由∠=60°得∠=圖5圖430°而30°=，即，解得=。因此=+。圖4下面也是2007年關(guān)于銳角三角函數(shù)的中考題，請自己完成。1、（江西?。┤鐖D5，在中，，分別是的對邊，若，則．2、（大連市）在△中，∠C＝90°，＝10，＝，則的長為。3、（麗水市）如圖6，一架梯子斜靠在墻上，若梯子到墻的距離=3米，，則梯子的長度為米。圖6ABC圖6ABCA. B. C. D.15、（連云港市）計算：6、（岳陽市）計算：＋|2-3|＋245°圖7ACB7、（眉山市）計算：450＋300·600圖7ACB8、（中山市）如圖7，△的斜邊＝5，＝。(1)用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線l(保留作圖痕跡，不要求寫作法、證明)；(2)若直線l與、分別相交于D、E兩點，求的長。答案：1、。2、8。3、4。4、A。5、2。6、\f(1,2)。7、-\f(1,2)。8、2。一、選擇題1.（2009·漳州中考）三角形在方格紙中的位置如圖所示，則的值是（）A．B．C． D．2.（2008·威海中考）在△中，∠C＝90°，＝，則＝（）A．B．C．D．3.（2009·湖州中考）如圖，在中，，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．ACBACBD3題4題5題4.（2008·溫州中考）如圖，在中，是斜邊上的中線，已知，，則的值是（）A．B．C． D．5（2007·泰安中考）如圖，在中，，于，若，，則的值為（）（A）（B）（C）（D）二、填空題6.（2009·梧州中考）在△中，∠C＝90°，＝6，，則的長是．7.（2009·孝感中考）如圖，角的頂點為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊上有一點P（3，4），則．7題8題8.（2009·慶陽中考）如圖，菱形的邊長為10，⊥，，則這個菱形的面積=2．三、解答題9.（2008·寧夏中考）如圖，在△中，∠=90°，，=15，求△的周長和的值．10.（2007·蕪湖中考）如圖，在△中，是上的高，，(1)求證：；(2)若，12，求的長．一、選擇題2.（2009·長春中考）．菱形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，，則點的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．3.(2009·定西中考)某人想沿著梯子爬上高4米的房頂，梯子的傾斜角（梯子與地面的夾角）不能大于60°，否則就有危險，那么梯子的長至少為（）A．8米 B．米 C．米 D．米4.（2008·宿遷中考）已知為銳角，且，則等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5.（2008·畢節(jié)中考）A（60°，－30°）關(guān)于原點對稱的點A1的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．6.（2007·襄樊中考）計算：等于（）（A）（B）（C）（D）二、填空題7.（2009·荊門中考）．8.（2009·百色中考）如圖，在一次數(shù)學(xué)課外活動中，測得電線桿底部B與鋼纜固定點C的距離為4米，鋼纜與地面的夾角為60o，則這條鋼纜在電線桿上的固定點A到地面的距離是米．（結(jié)果保留根號）．10.（2007·濟寧中考）計算的值是。三、解答題11.（2009·黃石中考）計算：3－1+(2π－1)0－30°－45°12.（2009·崇左中考）計算：．要點三、解直角三角形在實際問題中的運用一、選擇題1.（2009·白銀中考）某人想沿著梯子爬上高4米的房頂，梯子的傾斜角（梯子與地面的夾角）不能大于60°，否則就有危險，那么梯子的長至少為（）A．8米B．米C．米 D．米2.（2009·衢州中考）為測量如圖所示上山坡道的傾斜度，小明測得圖中所示的數(shù)據(jù)(單位：米)，則該坡道傾斜角α的正切值是（）A．B．4C．D．3.（2009·益陽中考）如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離為（）A.B.C.D.α5米Aα5米AB1題2題3題4.（2009·蘭州中考）如圖，在平地上種植樹木時，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為4m．如果在坡度為0.75的山坡上種樹，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹間的坡面距離為（）A．5mB．6mC．7mD．8m4題5題5.(2009·濰坊中考)如圖，小明要測量河內(nèi)小島B到河邊公路l的距離，在A點測得，在C點測得，又測得米，則小島B到公路l的距離為（）米．A．25 B．C． D．二、填空題6.（2009·沈陽中考）如圖，市政府準(zhǔn)備修建一座高＝6m的過街天橋，已知天橋的坡面與地面的夾角∠的正弦值為\F(3,5)，則坡面的長度為m．7.（2009·南寧中考）如圖，一艘海輪位于燈塔的東北方向，距離燈塔海里的處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔的南偏東方向上的處，則海輪行駛的路程為海里（結(jié)果保留根號）．6題7題8題9題8.(2008·慶陽中考)如圖，一架梯子斜靠在墻上，若梯子底端到墻的距離=3米，，則梯子長=米.9.（2007·湖州中考）小明發(fā)現(xiàn)在教學(xué)樓走廊上有一拖把以15°的傾斜角斜靠在欄桿上，嚴(yán)重影響了同學(xué)們的行走安全。他自覺地將拖把挪動位置，