《復(fù)變函數(shù)與積分變換》習(xí)題冊

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》習(xí)題冊合肥工業(yè)大學(xué)《復(fù)變函數(shù)與積分變換》校定平臺課程建設(shè)項目資助20189《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第一章習(xí)題:PAGEPAGE3112i 2i

3（1） 34i

； （2） .2 2:（1）1 ； .1i:4422i

1031 1 1 1 4.z310.1 z1

2cos（z0,是z的輻角，求證：z

z

2cosn.z.（1）arg(zi)；4（2）zzazazb0，其中ab.（選做）1i與1..(1) z1,Rez

1；(2) 0Rez1；2函數(shù)w

1把下列z平面上的曲線映射成w平面上怎么樣的曲線？z（1）x2y24； （2）yx； （3）x1.limRez不存在.z0 z《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第二章習(xí)題f(z)Rez的導(dǎo)數(shù).下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，何處不可導(dǎo)？何處解析，何處不解析？1（1）f(z)

； （）f(z)x33xy2i3x2yy；zf(zxy2ix2yf(zu(xyiv(xy中的u(x,y和v(x,yf(z)uiv一定可導(dǎo)嗎？設(shè)f(z)my3nx2yi(x3lxy為解析函數(shù)，試確定l,,n的值.f(zDD內(nèi)下列條件是彼此等價的：（1）f(z)常數(shù)； （2）Ref(z)常數(shù)； （3）f(z)解析.試解下列方程：（1）ez1 ； （2）cosz0； sinzcosz0.求下列各式的值：（1）Ln(34i)； （2）33-i； e2i.等式3Lnz33Lnz.《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第三章習(xí)題復(fù)積分的概念與基本計算公式計算積分(xyix2)dz，其中C1+i.C計算積分 zdz的值，其中C為z2zC當(dāng)積分路徑是自i沿虛軸到iii

(x2iy2)dz2柯西古薩基本定理計算積分1dz,Cz2zC計算積分

(zez

sinz)dz,其中C為za.C基本定理的推廣計算積分C

ezdzz

,其中C

z2

與負向圓周

z

所組成。計算積分C

2z1dz,其中C為包含圓周z2z

z

在內(nèi)的任何正向簡單閉曲線。原函數(shù)與不定積分 zsinz2dz01izezdz1柯西積分公式計算下列積分（1） 3z1 dz，其中C:z4，正向；Cz22z3 zCz4

dz，其中C:z2，正向； eizCz21

dz,C:z2i3，正向2計算積分 ez dz其中為, Cz21Czi1(2) zi1 z2已知f(z) R

e3ez

d(R求f(i),f(i)高階導(dǎo)公式計算下列積分(1) coszC(z 2

dz，其中C:z2，正向(2)C

ez dz,其中C:z1，正向z100(3)

ln(z2dz,其中C:z1a1C(z-a)3已知f(z)

3271

fi),f(4)3

z2 d，解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系已知u(xy)ax3xy2是某一解析函數(shù)的虛部，求af(z)uiv為解析函數(shù)，已知ux22xyy2f(0)i.f(z的表達式；求f(z)已知調(diào)和函數(shù)v并滿足f(1)2

y (x0)，求調(diào)和函數(shù)uf(zuiv成為解析函數(shù)，x設(shè)vepxsinyp0p的值使得vfzviux證明：u(x,y)x2y2,v(x,y) 都是調(diào)和函數(shù)，但f(z)u(x,y)iv(x,y)不是xx2y2解析函數(shù).f(zu(x,yiv(x,y是解析函數(shù)，則vxy是uxy的共軛調(diào)和函數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第四章習(xí)題

}是否收斂？如果收斂，則求出它們的極限：n（1）n

1 n[1(1ne 21 nn n

(35i) 7n２．下列級數(shù)是否收斂？若收斂，則判別是絕對收斂還是條件收斂．（1）

ln

（） (i)n（3） (1 ．iin n2 1) e2n2n25nn2３．冪級數(shù)n1

a(z1)nz2z2處發(fā)散？n冪級數(shù)級數(shù)n0

cznR0zRzn

處級數(shù)n0

czn絕對收n斂，證明級數(shù)n0

cznzR上絕對收斂．n下列冪級數(shù)的收斂半徑：（１）

nn(n!)2

zn（２）

2

zn；n1 n1（３）n1

(nan)zn，其中a為正實數(shù)泰勒級數(shù)

sin1 zz21

1ez

c(z1i)n，問級數(shù)n

c(z1i)n的收斂半徑是多n少？并說明理由．

n0 n0z的冪級數(shù)，并指出展開式成立的范圍：（１）

1(1z2)2

（２）ezcosz．求下列函數(shù)在指定點z0處的泰勒級數(shù)展開式，并指出它們的收斂半徑：（１）sinz,z0

（２） 1 ,z4 z24z3

1．洛朗級數(shù)函數(shù)tan1能否在圓環(huán)域0zR(0R內(nèi)展開為洛朗級數(shù)？為什么？z把下列函數(shù)在指定的圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)：（１）

1 ,1z2；(z21)(z2)（２） 1 ，分別在圓環(huán)域0zi1及1zi內(nèi)展開；z2(zi)1（３）zez1,0z1．11利用洛朗級數(shù)展開式求積分zezdz的值，其中Cz2．1CC孤立奇點

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第五章習(xí)題１．下列函數(shù)有些什么奇點？如果是極點，指出它的級數(shù)：1 1cosz z（１ （２ （３）

1 1（４ez1（５） ．2(z21)2(z2)3

(z1)z5

(1z2)(1ez)

sinz２．設(shè)函數(shù)(z(z)za為mn級極點，那么下列三個函數(shù)（１）(z(z)（２）(z)（３）(z)(z)．(z)在za處各有什么性質(zhì)？留數(shù)f(z在各有限奇點處的留數(shù)：1z4 1e2z 1（１） （２） （３）z3cos；(z21)2 z3 z２．計算下列各積分，C為正向圓周：（1）C

2z1(z1)(z

dz,C:z2；

sinz dz,C:z1；Cz(z)2tanzdz,C:zC1cosz,C:z1，其中mzm

5．C*３．利用無窮遠點的留數(shù)計算下列積分：CCz31edz,C:1z

z15(1) z2正向（２）C

dz,C:z3正向．(z21)2(z42)3１．計算下列積分：（１）2 d (a1)（２） x2

dx（３）xsinaxdx(a0,b0)．0 acos

(x21)2

0 x2b2《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第六章習(xí)題1,|t,1、求矩形脈沖函數(shù)f(t)0,|t的傅氏變換，并驗證

sinxdx。0 x 22、求函數(shù)f(t)et|(0)的傅氏變換，并證明

cost

d

et|成立。0 22 23f(tsint的傅氏變換。04、求正弦函數(shù)f(t)sin3t的傅氏變換。5、利用傅氏變換的性質(zhì)求函數(shù)f(2t5)的傅氏變換。6

0,t0,(t)

0, t(t)

的卷積。1 t0 2 et,t0《復(fù)變函數(shù)與積分變換》第七章習(xí)題1、求f(t)cos2t的拉普拉斯變換。sint,0t,2、求f(t)0,t0或t的拉普拉斯變換。3e4tcos4t的拉普拉斯變換。4te3tsin2t的拉普拉斯變換。5、求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換：；（1）F(s) 1；s2a2（2）F(s) 1 。(s21)s36、利用拉普拉斯變換求微分方程的解：y3y