數字信號處理CH10 DFT應用-信號譜分析

CH10DFT應用—信號譜分析10.1頻譜儀工作原理10.2雙音頻信號的頻譜觀察10.3依時傅里葉變換10.4依時傅里葉變換的應用110.1頻譜儀工作原理頻譜儀用DFT完成模擬信號頻譜分析過程抗混疊低通濾波：非理想低通引入誤差信號采樣離散化：量化和混迭引入誤差序列加窗有限長：時域加窗頻域卷積畸變DFT得離散頻譜：頻譜采樣引起檢測失誤2信號頻譜分析過程信號頻譜非帶限非理想低通抗混疊引入誤差離散量化引入混疊有限長引入窗頻譜卷積卷積“模糊化”頻譜離散偏差3頻譜分析注重點要用V[k]作為Sc(jΩ)的有效估計，重點關心單頻信號中心頻點的檢測誤差可分辨相鄰多頻信號的最小頻率間隔單頻信號頻譜幅度的檢測誤差多頻信號頻譜幅度的檢測誤差由于V[k]獲取過程中引入了多種偏差，必須了解如何減少誤差，保證檢測精度4頻譜分析中的一些基本關系采樣率fs與低通截止頻率fc：fs≥2fcDFT點數N與窗長點數L：N≥L頻率f，角頻率Ω，歸一化角頻率ω之間關系：ω=ΩT=2πfTΩ=2πf

=ω/Tf=Ω/2π=ω/2πT采樣頻率ωs=2πΩs=2π/Tfs=1/T譜線頻率間距Δω=2π/NΔΩ=Ωs/NΔf=

fs/N譜線對應頻率ωk=kΔωΩk=kΔΩfk=kΔf5例：信號譜估計(習題10.6)xc(t)為帶限5kHz的實信號，用10kHz采樣后取1000點作DFT得X[k]。已知X[900]=1，X[420]=5，對盡可能多的Ω值求Xc(jΩ)。解：∵

N=1000，T=1/fs=1/10000∴k=420，Ωk=2πk/NT=2π(4200) k=900，Ωk=Ωk-1000=2π(-1000) 上式用到DFT周期性，下式用對稱性∴Xc(j2π(4200))=Xc(-j2π(4200))=X[420]T=5x10-4 Xc(j2π(1000))=Xc(-j2π(1000))=X[900]T=10-4610.2雙余弦信號的頻譜觀察工程上大量存在雙頻信號的實例，如積化和差2cos(α)cos(β)=cos(α+β)+cos(α-β) 當α>>β就表征了通信調幅或載波調制， 當α+β>>|α-β|時代表了樂器調音的“差拍”兩個頻率為ω0、ω1單頻信號的合成信號，其傅里葉變換為δ(ω±ω0)+δ(ω±ω1)，頻譜為±ω0、±ω1處單一頻線滿足采樣定理離散化，頻譜單周期(-π,π)內相同不變7加窗對頻譜分析的影響序列在時域通過加窗實現(xiàn)有限長，等效序列頻譜與窗頻譜在頻域的卷積“模糊化”，單頻時：V(ejω)=Aδ(ω-ω0)*W(ejω)=AW(ej(ω-ω0))單一頻線與窗頻譜卷積的結果，使單一頻線改變?yōu)榇邦l譜的形狀可以選擇窗頻譜W(ejω)幅度為1并偶對稱單頻譜峰值對應的頻率、幅度仍精確的表征了原單一頻線的頻率、幅度！8雙余弦序列加窗后頻譜頻線相距較遠相互影響很小L=64的矩形窗頻譜3/8δ(ω±2π/3)1/2δ(ω±2π/6)9雙頻線靠攏后的效果條件同前，但ω0不變，ω1減小逐漸向ω0靠近頻譜峰值的幅度偏離原頻線的幅度頻譜峰值對應的頻率也偏離原頻線的頻率甚至雙頻線混淆不再可分辨都是加窗惹的禍！ω0=4π/28ω1=4π/15ω0=4π/28ω1=4π/24ω0=4π/28ω1=4π/2510泄露—窗頻譜旁瓣的影響窗函數的選擇與設計與FIR濾波器加窗法相同注意窗長：L=M+1，M為FIR濾波器階數加窗引入的譜旁瓣對相鄰譜峰的幅度、中心都會產生誤差這種影響是相互的稱為泄漏關心頻譜幅度測量、弱頻譜分量檢測時泄漏影響很大減小泄漏的方法是選擇窗類型、減小旁瓣11頻線分辨—窗頻譜主瓣的影響加窗引入的譜主瓣對相鄰譜峰的區(qū)分帶來混淆瑞利分辨率：二譜峰間峰谷幅度小于85%時的最小頻線間隔Δω窗譜主瓣Δωw越寬，分辨率越低簡化時，可取頻率分辨率=ΔωwΔωw與窗類型有關，旁瓣越低的窗Δωw的相對寬度越大Δωw與窗長L成反比Δω185%Δωw12例：頻譜分析時的加窗設計50Hz工頻電諧波測量，要求能確認比基波小50dB的諧波，測量精度達0.2%解：一般周期梯形波，諧波10倍頻程衰減40dB，故可取抗混疊低通1.6kHz，帶外諧波小于60dB，采樣頻率3.2kHz。測量精度0.2%，并考慮量化及FFT誤差，取16位ADC。0.2%對應-54dB，查7.1表旁瓣幅度僅Blackman滿足，其主瓣寬度Δωw=12π/MΔf=6*3.2k/M，取Δf=50Hz時求出窗長L=M+1=38513譜采樣對頻譜分析的影響對有限長序列v[n]進行DFT得到的是對V(ejω)連續(xù)頻譜采樣后的離散頻譜序列V[k]序列加長度L點窗后單頻線被展寬，矩形窗主瓣最窄為Δωw=4π/LN點DFT譜線頻率間距Δω=2π/N由于DFT點數N≥L，故必有：Δω≤ΔωwL/2N不幸之中大幸，頻譜離散采樣不會丟失任何頻線被展寬后的譜峰14雙余弦序列頻譜采樣加矩形窗長度L=64DFT點數N=L=64當實際峰值在樣點之間時發(fā)生誤差最大幅度減小在矩形窗且N=L時可達40%最大頻率誤差為1/2樣點頻率間距π/N原始數據加矩形窗序列雙余弦加窗序列頻譜對加窗頻譜離散采樣15雙余弦序列頻譜采樣特例矩形窗長度L=64同上例ω0=2π/16=4(2π/64)ω1=2π/8=8(2π/64)N=L=64，余弦信號頻線與DFT采樣譜線一致，幅度與頻點都“逼真”無加窗影響連續(xù)頻譜—誤導!序列補零加長作N=128點的DFT，細化頻譜采樣DFT：N=L=64DFT：N=2L=128加窗序列連續(xù)頻譜16改用Kaiser窗的效果旁瓣幅度Asl=-40dB，圖中已看不出。頻線間隔=0.39L=N=64Δωw=0.4雙頻可分L=N=32Δωw=0.8雙頻混淆幅度失真減小加Kaiser窗序列加Kaiser窗序列17窗長L=32不變，

補零提高N的效果原理上，N=L時DFT便完全表征了有限長序列序列補零加長作更多點的DFT，等效頻域對連續(xù)頻譜更細密的采樣，能更好的反映連續(xù)頻譜的輪廓、檢測頻譜幅度及頻點加大N僅改善觀測分辨率，但無法解決頻率混淆N=32N=64N=128N=102418N>>L不變，提高L的效果頻線間隔=0.39L加大，滿足主瓣寬度接近或小于所要求的頻線間隔，提高了頻率分辨率注意：令N=L同時提高，不改善每個主瓣的幅度檢測，有時得不償失L=32，N=1024L=42，N=1024L=54，N=1024L=64，N=1024Δωw=0.4Δωw=0.81910.3依時傅里葉變換非平穩(wěn)信號：雷達、聲納、語音、數字通信等，特性隨時間變化例：線性調頻信號x[n]=cos(ω0n2)時變頻率：dθ/dn=2ω0n20線性調頻信號的三維譜圖圖示了任意時刻信號有哪些頻率分量及其幅度時間或序列樣本n歸一化角頻率λ灰度的深淺代表頻譜分量的幅度21依時傅里葉變換定義X[n,λ)=x[n+m]w[m]e-jλm，w[m]為窗函數窗不動，信號隨n改變滑動，用窗截取后的離散時間傅里葉變換譜圖理解一：不同時刻n的信號頻譜分布，在時間軸上的合成(垂直切片)n=3200時刻n=6400時刻X[n,λ)X[n,λ)λ/2πλ/2π∑m=-∞∞22譜圖的單頻濾波解釋X[n,λ)=x[k]w[-(n-k)]ejλ(n-k)=x[n]*hλ[n]式中：hλ[n]=w[-n]ejλnHλ(ejω)=W(ej(λ-ω))譜圖理解二：窗函數頻譜構成單頻λ濾波器，不同單頻λ濾波器輸出的時間函數，在頻率軸上的合成(水平切片)譜圖單斜線變粗的分析：時間窗較長時，持續(xù)時間內的頻率分量較多；減短時間窗，窗主瓣擴展或單頻λ濾波器帶寬變大∑k=-∞∞23依時傅里葉變換中窗的影響時間分辨率：窗持續(xù)時間內信號譜特性應可近似為平穩(wěn)，故信號特性變化越快，窗應取的越短，時間分辨率越高頻率分辨率：窗越短，頻率分辨率越低時間與頻率分辨率的要求結論矛盾，只能根據應用折衷窗持續(xù)時間不變，用提高采樣率增加窗樣點數，頻率分辨率與信號頻譜密度同比例增加，無法改善性能！24用DFT實現(xiàn)依時傅里葉變換窗長L點并且都不為零頻率采樣離散化，且N≥L：λ=2πk/NX[n,k]=X[n,2πk/N)=x[n+m]w[m]WNkm0≤k≤N-1X[n,k]為加窗序列x[n+m]w[m]的N點DFTx[n+m]=IDFT{X[n,k]}/w[m]雖經加窗，仍可由IDFT恢復L點信號樣本序列∑m=0L-125對譜圖的時間采樣由于加L點窗得到的X[n,k]可恢復原始的L點信號序列，故為表征整個原始序列，X[n,k]相對n只要L中取一便可信號序列x[n]分組(時間采樣)：間隔R點取L點只要R≤L，由X[rR,k]便可恢復原信號序列一般要求：N≥L≥RL決定時間與頻率分辨率提高N改善譜圖頻率觀測性能減小R改善譜圖時間觀測性能26經時間和頻率采樣的離散譜圖N=10頻率采樣R=3時間采樣2710.4依時傅里葉變換的應用例：非平穩(wěn)信號的塊卷積窗函數w[m]用矩形窗，等效信號簡單分組，CH.8