2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題專題復(fù)習(xí)-平行四邊形練習(xí)題

戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題專題復(fù)習(xí)-平行四邊形練習(xí)題一、平四邊形1．在圖中正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，腰直角三角形FAE的邊＝，且邊和AE在同一直線上．操作示例當(dāng)2b＜時(shí)，如圖1，上取點(diǎn)，BG＝，結(jié)FG和，裁eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)并分別拼接eq\o\ac(△,)和CHD的置構(gòu)成四邊形．思考發(fā)現(xiàn)小明在操作后發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先eq\o\ac(△,)FAG繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°eq\o\ac(△,)的置，易知EH與AD在一直線上．連結(jié)，剪方法可得DH=BG，eq\o\ac(△,)CHDCGB，而又可eq\o\ac(△,)CGB繞C順針旋轉(zhuǎn)eq\o\ac(△,)的置．這樣，對(duì)于剪拼得到四邊形FGCH（如圖1），過點(diǎn)F作AE于M（圖略），利用SAS公可判eq\o\ac(△,)HFMCHD，易得，．進(jìn)而根據(jù)正方形的判定方法，可以判斷出四邊形FGCH是正方形．實(shí)踐探究正方形的積是；用含ab的子表示類比圖1的拼方法，請(qǐng)你就圖圖的三種情形分別畫出剪拼成一個(gè)新正方形的示意圖．聯(lián)想拓展小明通過探究后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)b≤a時(shí)此類圖形都能剪拼成正方形，且所選取的點(diǎn)的置在方向上隨著b的大不斷上移．當(dāng)b＞時(shí)（如圖5），能否剪成一個(gè)正方形？若能，請(qǐng)你在圖5中畫出剪拼成的正方形的示意圖；若不，簡(jiǎn)要說明理由．【答案】（）+b；（）見解析；聯(lián)想拓展：能剪拼成正方.見析．【解析】分析：實(shí)踐探究：根據(jù)正方形FGCH的積BG+BC2

進(jìn)而得出答案；應(yīng)采用類比的方法，注意無論等腰直角三角形的大小如何變化永等于等腰直角三角形斜邊的一半．注意當(dāng)b=a時(shí)也可直接沿正方形的對(duì)角線分割．詳解：實(shí)踐探究：正方形的面積是BG+BC剪拼方法如圖2-；

=a+b

；聯(lián)想拓展：能，剪拼方法如圖5（中BG=DH=b）．．點(diǎn)睛：本題考查了幾何變換綜合，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力和動(dòng)手操作能力；運(yùn)用類比方法作圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)范例抓住作圖的關(guān)鍵：作的線段的長(zhǎng)度與某條線段的比值永遠(yuǎn)相等，旋轉(zhuǎn)的三角形，連接的點(diǎn)都應(yīng)是相同的．2．如圖eq\o\ac(△,)是等邊三角形，，為中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)、在AB上時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿D→A以1cm/s速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)沿D→B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)停．以PQ為在上方作等邊三角形．eq\o\ac(△,)繞QN的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得eq\o\ac(△,)．設(shè)四邊形eq\o\ac(△,)ABC重部分圖形的面積為Scm）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（）0＜）．當(dāng)點(diǎn)落邊BC上時(shí)，求的值．當(dāng)點(diǎn)到A、的距離相等時(shí)，求的．當(dāng)點(diǎn)沿D→B運(yùn)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式．設(shè)四邊形PQMN的MNMQ與BC的交點(diǎn)分別是E、，接寫出四邊形PEMF與四邊形PQMN的積比為：時(shí)t的．菱PQMN形=菱PQMN形=【答案】（）（2）2（3）S=S=2S

△

；（）t=1或【解析】試題分析：1）題意知：當(dāng)點(diǎn)N落邊BC上時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重，此時(shí)DQ=3（）點(diǎn)到點(diǎn)A、的離相等時(shí)，點(diǎn)N在的線，此時(shí)PD=DQ；（）0≤t≤時(shí)四邊形PQMNeq\o\ac(△,)重部分圖形為四邊形；≤t≤時(shí)四邊形PQMNeq\o\ac(△,)重部分圖形為五邊形PQFEN．（）、與BC的有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)＜＜

，列出四邊形與邊形的面積表達(dá)式后，即可求出的．試題解析：1）與ABC都是等邊三角形當(dāng)落在邊BC上，點(diǎn)Q與點(diǎn)重．．t=；（）當(dāng)?shù)紸、的離相等時(shí)，點(diǎn)N在AB的線上，PD=DQ，當(dāng)0＜＜時(shí)，此時(shí)，，t=2tt=0（不合題意，舍去），當(dāng)＜時(shí)此時(shí)，，DQ=6﹣2tt=6﹣，解得t=2；綜上所述，當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)、的離相等時(shí)，t=2；==（）題意知此時(shí)PD=t，當(dāng)點(diǎn)在BC邊上時(shí)，MN=BQ，﹣﹣解t=如圖，0≤t時(shí)eq\o\ac(△,)

=PQ=；S=S

菱

=2S

△

，如圖，≤t時(shí)設(shè)MN、MQ與BC的點(diǎn)分別是、，，﹣，﹣NE=PQBQ=5t﹣，EMF是等邊三角形，

eq\o\ac(△,)EMF

=ME=

（﹣）．；（）、與BC的交點(diǎn)分別是E、，此時(shí)＜＜t=1或

，．考點(diǎn)：幾何變換綜合題3．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為形，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（，）（，），動(dòng)點(diǎn)MN分從，同出發(fā)．以每秒1個(gè)位的速度運(yùn)動(dòng)．其中，點(diǎn)M沿OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)M作MP，AC于，接NP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒．P點(diǎn)的坐標(biāo)為多少（用含x的代數(shù)式表示）；試eq\o\ac(△,)NPC面S的達(dá)式，并求出面積的最大值及相應(yīng)的值當(dāng)為何值時(shí)eq\o\ac(△,)NPC是一個(gè)等腰三角形？簡(jiǎn)要說明理由．【答案】（）點(diǎn)坐標(biāo)為，

x）．（）的大值為

，此時(shí)．（）

，或x=

，或x=

．【解析】試題分析：1）P點(diǎn)坐標(biāo)，也就是求和PM的，已知了OM的為，關(guān)鍵是求出PM的，方法不唯一，可過PMOC得的對(duì)應(yīng)成比例線段來求；②也延長(zhǎng)MP交BC于Q，先在角三角形CPQ中根據(jù)CQ的和ACB的切值求出的，然后根據(jù)﹣PQ來出PM的．得出和PM的長(zhǎng)，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．可按（）中的方法經(jīng)求出的，而CN的可根據(jù)﹣來求得，因此根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可得出S，的數(shù)關(guān)系式．本題要分類討論：當(dāng)時(shí)可在直角三角形中，用CQ的即和ABC的弦值求出CP的表達(dá)式，然后聯(lián)立CN的達(dá)式即可求出x的值；當(dāng)CP=PN時(shí)那么，在直角三角形CPQ中出CQ的，然后根據(jù)QN=CNCQ求QN的表達(dá)式，根據(jù)題設(shè)的等量條件即可得出x的．當(dāng)CN=PN時(shí)先求出QP和的，然后在直角三角形PNQ中用勾股定理出的長(zhǎng)，聯(lián)立的達(dá)式即可求x的．試題解析：1）點(diǎn)作PQ于點(diǎn)Q，有題意可得AB，△，∴∴解得QP=∴PM=3﹣

由題意可知C（0，3），M，0）（4，3）P點(diǎn)為﹣）（2）NPC的為在△中，，NC邊高為

，其中0≤x∴S=

（4）×x=

（2

=﹣

﹣2）2

+

．的大值為

，此時(shí)．（3）長(zhǎng)MP交CBQ，PQ①，，∴NQ=CQ=x∴x=．②CP=CN，則，CP=∴x=③CN=NP，NQ=4﹣2x，

，4，∵eq\o\ac(△,Rt)PNQ中PN

2

=NQ

2+PQ

2，∴（4）

2

=（42

+

2

，∴x=綜上所述，

，或x=

，或x=

．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．4．操作：如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD點(diǎn)P在線上，eq\o\ac(△,)沿向右翻折，得eq\o\ac(△,)，DE所直線與AP所直線交于點(diǎn)．探究：1）圖1，點(diǎn)P在段BC上①若，求的數(shù)；若點(diǎn)E恰為線段DF的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)通過運(yùn)算說明點(diǎn)會(huì)線段BC的什么位置？并求出此AFD的度數(shù)．歸納：2）點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)（不與B，重）AFD的數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？試證明你的結(jié)論；猜想：3）圖2，點(diǎn)P在BC邊延長(zhǎng)線上時(shí)的數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？試在圖中畫出圖形，并直接寫出結(jié)論．【答案】（）；②BC的點(diǎn)45°；（）不會(huì)發(fā)生變化，證明參見解析；3）會(huì)發(fā)生變化，作圖參見解.【解析】試題分析：1）點(diǎn)在線段BC上時(shí)，由疊得到一對(duì)角相等，再利用正方形性求出度數(shù)，在三角形AFD中，利用內(nèi)角和定理求出所求角度數(shù)即可由E為DF中點(diǎn)，得到P為BC中點(diǎn)，如圖，連接BE交AF于O作，EGBC，得到AF垂直平分BE，而得到三角形BOP與角形EOG全，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BP=EG=1，到為BC中點(diǎn)，進(jìn)而求出所求角度數(shù)即可；2）點(diǎn)P是線段BC上意一點(diǎn)時(shí)（不與B，重），AFD的數(shù)不會(huì)發(fā)生化，作AGDF于點(diǎn)G，圖1（）所示，利用折疊的性質(zhì)及三線合一性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)求1+的數(shù)，即為度數(shù)，即可求出F度數(shù)；3）作出相應(yīng)圖形，如圖2所，若點(diǎn)P在BC邊延長(zhǎng)線上時(shí)，AFD的數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，理為：作DE于G，得，EAG=，據(jù)為BAE一半求出所求角度數(shù)即可．試題解析：1）當(dāng)P在線段BC上，EAP=BAP=30°，﹣，eq\o\ac(△,)ADE中，，DAE=30°，ADE=AED=（﹣），中FAD=30°+30°=60°，ADF=75°，AFE=180°﹣﹣②點(diǎn)E為DF的中點(diǎn)時(shí)，也為BC的點(diǎn)，理由如下：如圖，連接BE交于點(diǎn)O，EGAD，得EGBCAD，DE=EF，，，點(diǎn)A在線段BE的直平分線上，同理可得點(diǎn)P在段BE的直平分線上AF垂直平分線段BE，OB=OEGEBP，，OPB=，，BP=EG=1，即為BC的中點(diǎn)DAF=90°﹣BAF，ADF=45°+BAF，AFD=180°﹣DAF﹣ADF=45°；2）AFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，作AGDF于G，如圖1（）示，eq\o\ac(△,)中，，，平分，即2=，且1=，1+×90°=45°，，AFD=90°﹣；）圖所示，AFE的小不會(huì)發(fā)生變化AFE=45°，作DE于G，，設(shè)EAG=，BAE=90°+2，F(xiàn)AE=BAE=45°+，﹣EAG=45°，eq\o\ac(△,)AFG中，AFE=90°﹣．考點(diǎn)：正方形性質(zhì)；2.疊性質(zhì)；全三角形的判定與性.5．在ABC中，，是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)，，重）．過點(diǎn)A，C作直線BP的線，垂足分別為點(diǎn)E和F，接，．如圖1，請(qǐng)直接寫出線段OE與的量關(guān)系；如圖2，當(dāng)ABC=90°時(shí)請(qǐng)判斷線段與之的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由若CFAE|=2，EF=2，當(dāng)POF為腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段OP的長(zhǎng)．【答案】（）=OE；2）EK，，理由見解析；（）OP的長(zhǎng)為62或3

.【解析】【分析】（）圖1中，延長(zhǎng)交CF于K，證eq\o\ac(△,)AOECOK，而可得，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得OF=OE；（）圖2中延長(zhǎng)EO交于K，已知證eq\o\ac(△,)BCFeq\o\ac(△,)AOECOK，繼而可證eq\o\ac(△,)EFK是腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得OFEK；（）點(diǎn)P在AO上CO上兩種情況分別畫圖進(jìn)行解答即可.【詳解】（）圖1中，延長(zhǎng)交CF于K，BE，BE，，KCO，，，AOECOK，OE=OKEFK是角三角形OF=

EK=OE；（）圖2中延長(zhǎng)EO交于K，ABC=AEB=，ABE+，ABE+，CBF，AB=BC，，BE=CF，，AOE，AE=CKOE=OK，F(xiàn)K=EF，EFK是腰直角三角形OF，（）圖3中點(diǎn)P在段AO上延長(zhǎng)EO交CF于K作OF于H，|CF﹣AE|=2，，F(xiàn)K=2，在eq\o\ac(△,)EFK中，tanFEK=

，F(xiàn)EK=30°，EKF=60°，EK=2FK=4，

EK=2，OPF是等腰三角形，觀察圖形可知，只有，在eq\o\ac(△,)PHF中，PH=

PF=1HF=3，﹣3，OP=

122

62.如圖中點(diǎn)P在段OC上，當(dāng)PO=PF時(shí)，PFO=30°，，2OP=OE=，3綜上所述：的長(zhǎng)為6或

3

.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等，綜合性較強(qiáng)，正確添加輔助線是解題的關(guān).6．已知：在菱形中，E，F(xiàn)是BD上兩點(diǎn)，且AE．求證：四邊形AECF是形．【答案】見解析【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)可得ABCD，＝，＝，SAS可eq\o\ac(△,)，得AF＝，eq\o\ac(△,)CDF可得＝，平行四邊形的判定和菱形的判定可得四邊形AECF是形．【詳解】證明：四形是形ABCD＝，ADF＝CDFAB＝，＝CDF，＝ADFCDF（）AF＝，ABCDCFABE＝CDF，AEFCFEAEB＝CFD，＝CDF，＝ABE（）AECF，AECF四形AECF是行四邊形又AF＝，四形AECF是形【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的判定定理，首先要判定其為平行四邊形，這是菱形判定的基本判7．如圖，是方形，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)DE于E，，交AG于F．求證：AF=BF+EF．【答案】詳見解.【解析】【分析】由四邊形為正方形，可得BAD為90°，，而得到與EAD互，又DE垂直于，到與ADE互余，根據(jù)同角的余角相等可得ADE=BAF利用AAS可eq\o\ac(△,)；用全等三角的對(duì)應(yīng)邊相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF等量代換可得證【詳解】ABCD是方形，AD=ABBAD=90°DEAG，AED=90°ADE+DAE=90°又BAF+DAE=，ADE=．BFDE，．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)中AED

，

ADABABFDAE（）BF=AE．，AF=BF+EF點(diǎn)睛：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8．如圖，正方形的長(zhǎng)為，為BC上定點(diǎn)，6，為AB上動(dòng)點(diǎn)，把BEF沿EF折，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，eq\o\ac(△,)AFB恰好為直角三角形時(shí)D的為？【答案】

或2【解析】【分析】分兩種情況分析：如圖，當(dāng)AB′F=90°，此時(shí)A、′、三共線，過點(diǎn)B作AB，，由三角形的面積法則可求得，由勾股定理可求得B，在eq\o\ac(△,)CB′N中由勾股定理得，′D=

2

+DN

2

=

2

5.6

2；如圖2，當(dāng)AFB′=90°時(shí)，由題意可知此時(shí)四邊形EBFB是正方形，AF=2，點(diǎn)B作B′N，四形AFB′N為矩形，在eq\o\ac(△,)′N中由勾股定理得′D=+DN2=22；【詳解】如圖，AB′F=90°，此時(shí)AB、三共線，，AE=

2

2

=82

2，，AB′=4，，，在eq\o\ac(△,)′F中，AB′F=90°由勾股定理得，=FB+AB

，AF=5，，過點(diǎn)作ABB由三角形的面積法則可求得B，由勾股定理可求得′N=3.2，AN=B，DN=AD-AN=8-2.4=5.6，在eq\o\ac(△,)CB′N中由勾股定理得，′D=+DN2=22

；如圖，AFB′=90°時(shí)，由題意可知此時(shí)四形是方形，AF=2，過點(diǎn)作，則四邊形AFB′N為形AN=B，，在eq\o\ac(△,Rt)′N中由勾股定理得′D=

+DN

2

=

2；綜上，可得B的長(zhǎng)為

或2.【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)與判定，矩形有性質(zhì)判定、勾股定理、折疊的性質(zhì)等，能正確地畫出圖形并能分類討論是解題的關(guān).9．如圖，在正方形中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且CF，連接DE，，.FH平交BD于.求證：；求證：DHDF：過點(diǎn)作⊥于，用等式表示線段，HM與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【答案】（）見解析；2詳見解析；（）HM，證明詳見解析【解析】【分析】（）據(jù)正方性質(zhì)，CFAE得DEDF.（）

△CFD

，得DE.由

，BD平

ABC

，得

45

.因FH平EFB所以EFH.由EFH所以DH.

,（）點(diǎn)H作

HN

于點(diǎn)

，由正方形

ABCD

性質(zhì)，得BD

AB2AB

.由平

，EF,HN

，得.因?yàn)镠BN

，所以

BH

HNsin

2HM

.由

EF

DFcos45

DF2DH

，得EF.【詳解】（）明四邊形是方形，AD，EAD

.

EADFCD

.CFAE。

CFD

.

ADE

.

CDFADE

..（）明DF.

eq\o\ac(△,≌)CFD

，

，

DEFDFE

.

，平，

45

.FH平分，BFH.22

DBFBFH

,EFH

,DHFDFH

.DHDF

.（）EFAB.證明：過點(diǎn)H作

HNBC

于點(diǎn)

，如圖，正形

ABCD

中，AD，BAD90

BD

AB

2AB

.FH平分

EFBHMEF,

HN

，.

，

BH

HNsin

HNHM

.

2AB2.

EF

DFcos45

DF

DH

，HM.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)，題目難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、三角函.10．有一張矩形紙片ABCD（如圖），其中AB＝cm，＝cm，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．將紙片沿直線AE折，點(diǎn)落四邊形AECD內(nèi)記為點(diǎn)′過作垂BC，B于．求、的置關(guān)系；求線段′的長(zhǎng)，并eq\o\ac(△,求)的積．【答案】（）解析；2）S

＝△

10825

．【解析】【分析】由折線法及點(diǎn)是的點(diǎn)，可證eq\o\ac(△,)B'EC是等腰三角形，再有條件證AEF=90°即可得到AE；連接BB，通過折疊，可知EBBEB，是BC的點(diǎn)，可得EB，ECB，而可eq\o\ac(△,)′C為角三角形，在eq\o\ac(△,)和eq\o\ac(△,)BOE中，可將OB，′的長(zhǎng)求出，在eq\o\ac(△,)BB′C中根據(jù)勾股定可將B′C的值求出.【詳解】（）折線法點(diǎn)是BC的點(diǎn)，EBEB＝，＝AEB′，是腰三角形，又B′CEF為B'EC的平分線，即′＝，AEF＝﹣（AEB）＝90°即AEF＝，即AEEF（）接BB交AE于O，折線法及點(diǎn)是BC的點(diǎn)，EBEB＝，EBB＝EB，＝C；又BB'三內(nèi)角之和為180°，BB＝90°；點(diǎn)B是點(diǎn)B關(guān)于直線AE的稱點(diǎn)，AE垂直平分BB′；在eq\o\ac(△,)和eq\o\ac(△,)BOE中，2＝將AB＝cm，BE＝，AE＝，

﹣2＝

﹣﹣）＝

cm，BO＝

2＝

，′＝BO＝

cm，在eq\o\ac(△,)BB中，B＝

BC2

BB＝

cm，由題意可知四邊形OEFB是形，＝′＝

，S′＝

1812108C*EF

．【點(diǎn)睛】考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理勾股定理的和矩形的性質(zhì)綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是要理解折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．11．圖，已知矩形ABCD中E是上點(diǎn)，是AB上一點(diǎn)，EC，且＝．（）證eq\o\ac(△,)．（）DE＝，矩形的長(zhǎng)為32cm，求AE的長(zhǎng)．【答案】（）明見解析；2）【解析】分析：1）據(jù)EFCE，求證．利用AAS即求eq\o\ac(△,)AEFDCE．（）用全等角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊相等，再根據(jù)矩形的長(zhǎng)為32cm，即可求得AE的長(zhǎng)詳解：1）明EFCE，F(xiàn)EC=90°，，ECD+DEC=90°，．在eq\o\ac(△,)AEF和eq\o\ac(△,)DEC中，，．．（）：AEFDCEAE=CD．AD=AE+4．矩的長(zhǎng)為32cm，（）．解得，）．答：AE的為6cm．點(diǎn)睛：此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，難易程度適中，是一道很典型的題目．12．題情境在四邊形中，＝，，過點(diǎn)作DEAB交BC的長(zhǎng)線于點(diǎn)，是的點(diǎn)，連接，ME.特例探究如圖1，當(dāng)＝時(shí)寫出線段MB與ME的量關(guān)系，位置關(guān)系；如圖2，當(dāng)＝時(shí)試探究段與的量關(guān)系，并證明的結(jié)論；拓展延伸如圖3，當(dāng)＝時(shí)，請(qǐng)直接用含α的子表示線段MB與ME之的數(shù)量系．【答案】(1)MB＝，ME；＝MB證明見解析＝tan【解析】【分析】如圖1中連接．只要證eq\o\ac(△,)MBE是腰直角三角形即可；結(jié)論：3MB．只要證eq\o\ac(△,)EBM是角三角形，MEB=30°即可；

.（）論：EM=BM?tan

．證明方法類似；【詳解】(1)如1中連接CM．ACD=90°，AM=MD，MC=MA=MD，，BM垂平分AC，，

，ACB=，ABDE，ABE+DEC=180°，DEC=90°，DCE=，EC=ED，EM垂直平分線段CD，平分DEC，MEC=45°BME等腰直角三角形，，EM故答案為，EM(2)ME＝MB．證明如下：連接，如解圖所示．DCAC，是AD的點(diǎn)，MC＝＝MD．BA＝，BM垂平分AC＝，＝，MBE＝＝，BAC＝＝，DCE＝60°.ABDE，＋DEC＝，DEC＝，＝DEC＝，CDE是邊三角形，＝．MC＝，EM垂直平分CD，平分DEC，＝

DEC＝30°，MBE＋MEB＝，BME＝在eq\o\ac(△,Rt)BME中，30°，＝．(3)如3中結(jié)論：EM=BM?tan

．理由：同法可證，平分ABC，所以EM=BM?tan

．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．13．圖AB為O的直徑，點(diǎn)E在O上，過點(diǎn)E的線與AB的長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)O作BE的平行線，交O于點(diǎn)F交切線于點(diǎn)，接AC求證：O的線；連接EF，當(dāng)°時(shí)四邊形FOBE是菱形．【答案】（）解析；2）30.【解析】【分析】（）等角的換證明出

，根據(jù)圓的位置關(guān)系證得AC是的線（）據(jù)四邊FOBE是形，得到OF=OB=BF=EF，證為邊三角形，而得出60

，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出答.【詳解】（）明與相切于點(diǎn)E，OE，CEO

，又OC，

OEB

，OBE=，

OEB

，

，又，，

CAOCEO90

，又ABO的直徑，AC為O的切線；（）：四形FOBE是形，，，OBE為邊三角形，

60

，而，

D30

．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查與圓有關(guān)的位置關(guān)系和圓中的計(jì)算問題，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是本題的解題關(guān)鍵14．圖，點(diǎn)E是正方形的AB上點(diǎn)，連結(jié)，頂點(diǎn)C作CE交延長(zhǎng)線于F．證BE=DF.【答案】證明見解析【解析】分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，證出BC=CDCDF，，再由垂直的性質(zhì)得到BCE=，后根據(jù)ASAeq\o\ac(△,)BCEBCE即得到BE=DF詳解：證明CFCE，ECF=90°，又，ECDDCF+ECDDCF，eq\o\ac(△,)BCE與DCF中DCF，BC=CD，，BCE（，BE=DF.點(diǎn)睛：本題考查的是正方形的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．15．圖1，菱形中ABC=60°，點(diǎn)在AB的