小學(xué)升初中奧數(shù)專題講解

乘法中的巧算(一)學(xué)習(xí)指導(dǎo)首先認(rèn)識(shí)乘法交換律：axb=bxa乘法結(jié)合律：ax/?xc=(ax&)xc=ax3xc)如：5x6=6x55x6x7=(5x6)x7或=5x(6x7)利用這些定律，可以使式題簡便，同時(shí)可以推廣到多個(gè)數(shù)相乘，我們可以選擇兩個(gè)因數(shù)相乘，得出較簡單的(整十、整百、整千……)積，再將這個(gè)積與其它因數(shù)相乘，有時(shí)也可以把某個(gè)因數(shù)再分解成兩個(gè)因數(shù)，使其中一個(gè)因數(shù)與其它的乘數(shù)的積成為較簡單的數(shù)，然后再與其它的因數(shù)相乘，這樣就可以進(jìn)行巧算。例1.用簡便方法計(jì)算。16x4x25 (3)125x28125x(17x8) (4)25x32x125分析：(1)可以將4和25結(jié)合起來先乘。這樣：原式=16x(4x25)=16x100=1600(2)可以將125和8相結(jié)合起來乘，這樣：原式=(125x8)x17=1000x17=17000(3)可以把28變成4X7,再將125和4結(jié)合起來先乘：原式=(125x4)x7=500x7=3500(4)我們先把32變?yōu)?X8,再把25和4,125和8結(jié)合起來乘：原式=25x4x8x125=(25x4)x(8x125)=100x1000=100000利用乘法分配律，可以使一些題簡便：(a+b)xc=axc+bxc,這個(gè)定律可以推廣，一般的有(a-b)xc=axc-bxc,如(9-5)x3=9x3-5x3,當(dāng)兩個(gè)數(shù)相乘時(shí)，有時(shí)可以把一個(gè)因數(shù)變?yōu)閮蓚€(gè)數(shù)的和與另一個(gè)因數(shù)相乘，也可以把一個(gè)因數(shù)變?yōu)閮蓚€(gè)數(shù)的差與另一個(gè)因數(shù)相乘，這樣計(jì)算簡便。例2.用簡便方法計(jì)算下面各題。(1)125x(10+8) (3)4004x25(2)(20-4)x25 (4)125x798分析：(1)、(2)題可以直接用乘法分配律去計(jì)算。

(1)125x(10+8(1)125x(10+8)=125x10+125x8(2)(20-4)x25=20x25-4x25=1250+1000=500-100=400==400(3)題可以先把4004變?yōu)?4000+4),然后再用分配律計(jì)算。4004x25=(4000+4)x25=4000x25+4x25=100000+100=100100(4)小題可以先把798變?yōu)?800-2),再運(yùn)用分配律計(jì)算。125x798=125x(800-2)=125x800-125x2=100000-250=99750例3.巧算一個(gè)數(shù)乘以10,100,1000 分析：一個(gè)數(shù)乘以10,就是在這個(gè)數(shù)后添0,如：43x10=430520x10=5200當(dāng)一個(gè)數(shù)乘以100時(shí)，就是在這個(gè)數(shù)后添00,如：43x100=4300520x100=52000當(dāng)一個(gè)數(shù)乘以1000時(shí)，就是在這個(gè)數(shù)后添000,如43x1000=43000520x1000=520000例4.巧算一個(gè)數(shù)與99相乘。分析：先填空，再觀察一個(gè)數(shù)與99相乘的規(guī)律。99x1=99=(100-1)99x2=198=(200-2)99x5=495=500-()99x8=792=()-899x13=()=1300-13觀察發(fā)現(xiàn)：“一個(gè)數(shù)與99相乘，先在這個(gè)數(shù)后添00,再減去此數(shù)”即可。如果是一個(gè)數(shù)與999相乘，是否也具有這樣的規(guī)律呢？請你先填空，再總結(jié)規(guī)律。999x1=999=1000-1999x2=1998=2000-2999x3=()=3000-()999x4=()=()-4999x5=()=()-()由此得到：幾與999相乘，就用幾千減去幾？例5.巧算兩位數(shù)與11相乘。分析：12x11=13234x11=37453x11=58349x11=539觀察上面一組數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩位數(shù)與11相乘，只要把這個(gè)兩位數(shù)打開，個(gè)位數(shù)字做積的個(gè)位，十位數(shù)字做積的百位，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字相加做積的十位，如果滿十，就向百位進(jìn)1。如：12x11=1322.2 X11/'/'豎式：「二13249x11=5399\/39方法是：兩邊一拉，中間相加，滿卜進(jìn)1。例5.巧算三位數(shù)與11相乘。432x11=4752TOC\o"1-5"\h\z4 3 2/\4 7 5 2867x11=95378,6,7/\9 5 3 7308x11=33883,0 83 3 8 8分析：三位數(shù)與11相乘的速算方法同樣可以概括為“兩邊拉，中間加”。注意中間是相鄰位相加。練一練：134x11=529x11=2345x11=68x11=例6.巧算兩位數(shù)與101相乘。101x43 101x89豎式:

101X430304343101X899098088989觀察發(fā)現(xiàn)“4343、練一練:36x101=8989”，兩位數(shù)與101相乘，積是把這個(gè)兩位數(shù)連續(xù)寫兩遍。101x58=101x39=42x101=例7.巧算三位數(shù)與1001相乘。1001x1321001x436豎式：1001X13200200310011321321001X 4 3 66 0 0 60 0 30 0 43 6 4 3 6發(fā)現(xiàn)：三位數(shù)與1001相乘，積是把這個(gè)三位數(shù)連續(xù)寫兩遍。練一練：456x1001=1001x782=例8.根據(jù)37x3=111,簡算下面各題。37X637X937X637X937X1237X1537X3037X2437X3337X27分析：我們根據(jù)37x3=111,計(jì)算下面各題。想37X6中的因數(shù)6可以分解為2X3。所以（I）37X6=37X3X2=111X2=222以此類推：37X9=37X3X3=111X3=33337X12=37X3X4=111X4=44437X15=37X3X5=111X5=555除法中的巧算(一)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)我們利用“商不變的性質(zhì)”進(jìn)行除法中的巧算，因?yàn)椤吧滩蛔冃再|(zhì)”，是被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)(零除外)，它們的商不變。一般有這樣的公式：a=(ax〃)十?x〃)或=(a-e--s-n) .0)如：12+3=(12x2”(3x2)=24+6=4或12+6=(12+2”(6+2)=6+3=2例1.用簡便方法計(jì)算下列各題。825+25 (2)47700+900分析：(1)(2)可以利用“商不變的性質(zhì)”去計(jì)算。825+25=(825x4)+(25x4)=3300+100=33想辦法使其中一個(gè)數(shù)擴(kuò)大、或縮小后成為整十、整百、整千，如25擴(kuò)大4倍得100。47700+900=(47700+100)+(900+100)=477+9=53看到被除數(shù)，與除數(shù)末尾都有00,這樣讓它們同時(shí)縮小100倍。在除法運(yùn)算中，還有兩個(gè)數(shù)的和，(或差)除以一個(gè)數(shù)，可以用這個(gè)數(shù)分別去除這兩個(gè)數(shù)(在都能整除的情況下)，再求兩個(gè)商的和或差。一般公式：(a+b)+c=a+c+8+c(a—b)+c=a+c—b+c如：(12+6)+2=12+2+6+2=6+3=9(12-6)+2=12+2-6+2=6-3=3這個(gè)性質(zhì)可以推廣到多個(gè)數(shù)的和除以一個(gè)數(shù)的情況。例2.用簡便方法計(jì)算。(1)(250+165)+5(2)(702-213-414)^-3分析：這兩題都可以運(yùn)用以上性質(zhì)去解答，就是“兩個(gè)數(shù)的和(差)除以一個(gè)數(shù)”的除法運(yùn)算性質(zhì)。(1)(250+165)+5 (2)(702-213-414)+3

=250+5+165+5 =702+3-213+3—414+3=50+33 =234-71-138=83 =25除了以上性質(zhì)外，使計(jì)算題筒便，同時(shí)還有利用乘、除同級運(yùn)算帶著符號(hào)“搬家”的性質(zhì)：(1)兩個(gè)數(shù)的商除以一個(gè)數(shù)，等于商中的被除數(shù)先除以這個(gè)數(shù)，再除以原來商中的除數(shù)。般有：a+b+c=a+c+b如：12+3+2=12+2+3(2)兩個(gè)數(shù)的根除以一個(gè)數(shù)，等于用除數(shù)先去除積的任意一個(gè)因數(shù)，再與另一個(gè)因數(shù)相乘。一般有：axb+c=a+cxb或=b+cxa如：12x6+2=12+2x6=36或：12x6+2=6+2x12=36例3.計(jì)算下面各題.525+7+5128x5+8分析：這兩題可以運(yùn)用乘除混合運(yùn)算帶著符號(hào)“搬家”的性質(zhì)。(1)525+7+(1)525+7+5=525+5+7105+7=15=128+8x5

=16x5

=80在運(yùn)算中經(jīng)常出現(xiàn)乘除混合運(yùn)算及括號(hào)等，怎么辦，仍有一些性質(zhì):1.一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的積，等于這個(gè)數(shù)依次除以積的兩個(gè)因數(shù)。-一般公式：a+ = +c例5.簡便計(jì)算下面各題。756+(7x9)1260+7+9分析：利用以上公式計(jì)算,(1)756+(7x9)=756例5.簡便計(jì)算下面各題。756+(7x9)1260+7+9分析：利用以上公式計(jì)算,(1)756+(7x9)=756+7+9108t9=12發(fā)現(xiàn)(1)被除數(shù)?兩個(gè)數(shù)的積，可以用下面公式計(jì)算:1260+7+9=12604-(7x9)=12604-63=20一個(gè)數(shù)乘以兩個(gè)數(shù)的商，等于這個(gè)數(shù)乘以商中的被除數(shù)，再除以商中的除數(shù)。一般的有：ax(0+c)=axb+c如：12x(6h-2)=12x64-2例6.簡便計(jì)算。720x12t4125x(8+2)分析：以上兩題可以利用乘除混合運(yùn)算“去括號(hào)”，或“添括號(hào)”的性質(zhì)進(jìn)行巧算。(1)720x12+4 (2)125x(8+2)=720x(12+4) =125x8+2=720x3 =1000-5-2=2160 =500一個(gè)數(shù)除以兩個(gè)數(shù)的商，等于這個(gè)數(shù)除以商中的被除數(shù)，再乘以商中的除數(shù)。一般有：a++=如：1246+2)=12+6x2=4例7.簡便計(jì)算下面各題。216+24x6875000+(1000+8)分析：這兩題即根據(jù)?、坌再|(zhì)去做，可“添括號(hào)”。216+24x6 (2)875000+(1000+8)=216+(24+6) =875000+1000x8=216+4 =875x8=54 =7000以上6題都是利用乘除混合運(yùn)算去括號(hào)，或添括號(hào)的性質(zhì)解決的。但要注意：我們在使用以上全部除法的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，必須具備的條件是商不能有余數(shù)。如果商有余數(shù)，在使用這些運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，余數(shù)是會(huì)發(fā)生變化的。如：324+(9x7) 324+(9x7)=324+63 =324+9+7=59 =36+7=5 1例8.巧算下面各題。1326+39 (3)248x68-17x248+248x48520x125 (4)999x99x9分析：以上4題，有些算式表面看起來不能進(jìn)行簡便運(yùn)算時(shí)，可把已知數(shù)適當(dāng)分解或轉(zhuǎn)化，從而使計(jì)算簡便。另外，在計(jì)算時(shí)無論題目是否要求簡算，都應(yīng)盡量地使用簡便方法，有時(shí)可反復(fù)使用有關(guān)的定律和性質(zhì)。1326+39=1326+(13x3)=1326+13+3=102+3=34這題我們將39分解為39=13x3,然后按性質(zhì)去做。520x125=520x(10004-8)=520x1000-5-8=5204-8x1000=65x1000=65000此題將125轉(zhuǎn)化為1000+8=125248x68-17x248+248x48=248x(68-17+48)=248x99 這一步將99轉(zhuǎn)化為(100-1)=248x(100-1)=248x100-248=24552此題直接利用乘法分配律計(jì)算就可以。999x99x9=(1000-1)x99x9=(99000-99)x9 再次轉(zhuǎn)化為(10-1)=98901x(10-1)=989010-98901=890109對接近100的兩位數(shù)相乘的速算。接近100的兩位數(shù)，用被乘數(shù)減去，100減乘數(shù)的差，所得的結(jié)果作積的前兩位；再用100減去被乘數(shù)的差與100減乘數(shù)的差相乘，所得的結(jié)果作積的后兩位。或用乘數(shù)減去，100減被乘數(shù)的差，所得的結(jié)果作積的前兩位，再用100減去被乘數(shù)的差與100減去乘數(shù)的差相乘，所得的結(jié)果作積的后兩位。我們用這種方法計(jì)算。例9.計(jì)算：98x91分析:因?yàn)?00-98=2 <1>差對98而言100-91=9……<2>差對91而言所以98-9=89 或91一2=892x9=18 2x9=18所以98x91=8918 98x91=8918用這種方法，有兩種特例需要注意：特例1.用100分別減去兩個(gè)因數(shù)所得的差相乘之積不足10時(shí),要在這個(gè)一位數(shù)前添0,否則積變成三位數(shù)就錯(cuò)了。如：96x98速算為：100-96=4 <1> 差100-98=2 <2> 差96-2=944x2=896x98=9408(注意8前添0)發(fā)現(xiàn)：差<1>、差<2>,用第一個(gè)因數(shù)一差<2>,再用差<2>X差<1>,最后結(jié)果是第一個(gè)因數(shù)X差<2>的結(jié)果做為前兩位數(shù)，差<2>x差<1>的結(jié)果做為后兩位數(shù)。如果結(jié)果為一位數(shù)，前面要添0。特例2.用100分別減去兩個(gè)因數(shù)所得的差相乘之積大于10時(shí)，要將百位作為向前進(jìn)位的數(shù)，否則積變成五位數(shù)就錯(cuò)了。如：93x84速算為：100-93=7……<1>差100-84=16……<2>差93-16=7716x7=11293x84=7812（注意百位上的1要向前進(jìn)位）【試題答案】97x96100-97=3……<1>差100-96=4……<2>差97-4=933x4=1297x96=931295x93100-95=5……<1>差100-93=7……<2>差95-7=885x7=3595x93=883598x97100-98=2……<1>差100-97=3……<2>差98-3=952x3=698x97=950699x92100-99=1……<1>差100-92=8……<2>差99-8=911x8=899x92=9108(5)88x89100-88=12……<1>差100-89=11……<2>差88-11=77llx12=13288x89=7832(6)95x85100-95=5……<1>差100-85=15……<2>差95-15=8015x5=7598x85=8075和倍問題(一)學(xué)習(xí)指導(dǎo)例1.秦奮和媽媽的年齡加在一起是40歲，媽媽的年齡是秦奮年齡的4倍，問秦奮和媽媽各是多少歲？分析：我們把秦奮的年齡作為1倍，“媽媽的年齡是秦奮的4倍”，這樣秦奮和媽媽年齡的和就相當(dāng)于秦奮年齡的5倍是40歲，也就是(4+1)倍，也可以理解為5份是40歲，那么求1倍是多少，接著再求4倍是多少？TOC\o"1-5"\h\z，倍 、秦奮?% ,40歲媽媽〔II? 〕V 9? J解：(1)秦奮和媽媽年齡倍數(shù)和是：4+1=5(倍)(2)秦奮的年齡：404-5=8歲(3)媽媽的年齡：8X4=32歲綜合：404-(4+1)=8歲8X4=32歲為了保證此題的正確，驗(yàn)證8+32=40歲 (2)32+8=4(倍)計(jì)算結(jié)果符合條件，所以解題正確。例2.甲乙兩架飛機(jī)同時(shí)從機(jī)場向相反方向飛行，3小時(shí)共飛行3600千米，甲的速度是乙的2倍，求它們的速度各是多少？分析：看圖：1、乙中速度？ ;3600千米2倍甲1個(gè)7||||已知兩架飛機(jī)3小時(shí)共飛行3600千米，就可以求出兩架飛機(jī)每小時(shí)飛行的航程，也就是兩架飛機(jī)的速度和?？磮D可知，這個(gè)速度和相當(dāng)于乙￡機(jī)速度的3倍，這樣就可以求*乙飛機(jī)的速度，再根據(jù)乙飛機(jī)的速度求出甲飛機(jī)的速度。(1)甲乙兩架飛機(jī)每小時(shí)的航程(速度和)是36004-3=1200(千米)(2)乙飛機(jī)的速度是：12004-(2+1)=400(千米)(3)甲飛機(jī)的速度是：400x2=800(千米)答：甲乙飛機(jī)的速度分別每小時(shí)行800千米、400千米。例3.弟弟有課外書20本，哥哥有課外書25本，哥哥給弟弟多少本后，弟弟的課外書是哥哥的2倍？分析：思考：(1)哥哥在給弟弟課外書前后，題目中不變的數(shù)量是什么？(2)要想求哥哥給弟弟多少本課外書，需要知道什么條件？(3)如果把哥哥剩F的課外書看作1倍，那么這時(shí)(哥哥給弟弟課外書后)弟弟的課外書可看作是哥哥剩下的課外書的幾倍？思考以上幾個(gè)問題的基礎(chǔ)上，再求哥哥應(yīng)該給弟弟多少本課外書。根據(jù)條件需要先求出哥哥剩下多少本課外書。如果我們把哥哥剩下的課外書看作1倍，那么這時(shí)弟弟的課外書可看作是哥哥剩卜一的課外書的2倍，也就是兄弟倆共有的倍數(shù)相當(dāng)于哥哥剩下的課外書的3倍，而兄弟倆人課外書的總數(shù)始終是不變的數(shù)量。(1)兄弟倆共有課外書的數(shù)量是20+25=45。(2)哥哥給弟弟若干本課外書后，兄弟倆共有的倍數(shù)是2+1=3。(3)哥哥剩下的課外書的本數(shù)是45+3=15。(4)哥哥給弟弟課外書的本數(shù)是25—15=10。試著列出綜合算式：答：哥哥給弟弟10本課外書。例4.甲乙兩個(gè)糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運(yùn)出30噸，給乙?guī)爝\(yùn)進(jìn)10噸，這時(shí)甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍，兩個(gè)糧庫原來各存糧多少噸?_ 2承運(yùn)用30噸1人倍?乙運(yùn)進(jìn)1。噸分析：根據(jù)甲乙兩個(gè)糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運(yùn)出30噸，給乙?guī)爝\(yùn)進(jìn)10噸，可求出這時(shí)甲、乙兩庫共存糧多少噸。根據(jù)“這時(shí)甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍”，如果這時(shí)把乙?guī)齑婕Z作為1倍，那么甲、乙?guī)焖婕Z就相當(dāng)于乙存糧的3倍。于是求出這時(shí)乙?guī)齑婕Z多少噸，進(jìn)而可求出乙?guī)煸瓉泶婕Z多少噸。最后就可求出甲庫原來存糧多少噸。(1)甲庫運(yùn)出30噸，這時(shí)甲乙兩庫共存糧噸數(shù)是170-30=140噸(2)給乙?guī)爝\(yùn)進(jìn)10噸，這時(shí)甲、乙兩個(gè)庫共存糧噸數(shù)是140+10=150(噸)(3)這時(shí)甲乙兩個(gè)糧庫共存糧相當(dāng)于乙?guī)齑婕Z的倍數(shù)是2+1=3倍(4)這時(shí)乙糧庫存糧噸數(shù)是150+3=50噸(5)乙糧庫原存糧噸數(shù)是50-10=40噸(6)甲糧庫原存糧噸數(shù)是170-40=130噸列綜合算式：答：甲庫原存糧130噸，乙?guī)煸婕Z40噸。驗(yàn)算：130+40=170噸(130-30)+(40+10)=2倍想一想，如果不用上面的方法求甲糧庫原來存糧多少噸，還可以怎樣求?你能根據(jù)下面的算式講一講理由嗎？(170-30+10)4-(2+1)x2+30例5.少先隊(duì)員種柳樹和楊樹共125棵，楊樹的棵數(shù)比柳樹的棵數(shù)的3倍多5棵，兩種樹各種多少棵？分析：TOC\o"1-5"\h\zlAfp 、柳樹?多5棵卜125棵楊樹［ 1 ~?v ? J如果楊樹少5棵，楊樹和柳樹的總棵數(shù)是125-5棵，這時(shí)楊樹的棵數(shù)恰好是柳樹的3倍，所以柳樹的棵數(shù)是：（125-5）+（3+1）=30棵，楊樹棵數(shù)是125-30=95棵。解：（125-5）+（3+1）=30棵125-30=95棵答：種柳樹30棵，楊樹95棵。例6.花園里的菊花、月季花、杜鵑花共1200棵，其中月季花是菊花的2倍，杜鵑花是菊花的3倍，求三種花各多少棵？分析：看圖：述月季花（ 1 ）1200棵v?演杜鵑花-I人I1、 V '>9我們把菊花看作1份，總棵數(shù)是菊花的（2+3+1）份，所以菊花的棵數(shù)是1200+（2+3+1）=200棵，月季花的棵數(shù)是200x2=400棵，杜鵑花的棵數(shù)是200x3=600棵。解：1200+（2+3+1）=200（棵）200x2=400（棵）200x3=600（棵）和倍問題的課題要點(diǎn)：和+（倍數(shù)+1）=小數(shù)（即1倍數(shù)）小數(shù)x倍數(shù)=大數(shù)奇數(shù)與偶數(shù)（二）閱讀思考：其實(shí)，在日常生活中同學(xué)們就已經(jīng)接觸了很多的奇數(shù)、偶數(shù)。凡是能被2整除的數(shù)叫偶數(shù),大于零的偶數(shù)又叫雙數(shù)；凡是不能被2整除的數(shù)叫奇數(shù),大于零的奇數(shù)又叫單數(shù)。因?yàn)榕紨?shù)是2的倍數(shù)，所以通常用2k這個(gè)式子來表示偶數(shù)（這里k是整數(shù)）。因?yàn)槿魏纹鏀?shù)除以2其余數(shù)都是1,所以通常用式子2k+1來表示奇數(shù)（這里k是整數(shù)）。奇數(shù)和偶數(shù)有許多性質(zhì)，常用的有：性質(zhì)1兩個(gè)偶數(shù)的和或者差仍然是偶數(shù)。例如：8+4=12,84=4等。兩個(gè)奇數(shù)的和或差也是偶數(shù)。例如:9+3=12,9-3=6等。奇數(shù)與偶數(shù)的和或差是奇數(shù)。例如：9+4=13,94=5等。單數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇，雙數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)，幾個(gè)偶數(shù)的和仍是偶數(shù)。性質(zhì)2奇數(shù)與奇數(shù)的積是奇數(shù)。例如：9x11=99等偶數(shù)與整數(shù)的積是偶數(shù)。例如：2x5=10,2x8=16等。性質(zhì)3任何一個(gè)奇數(shù)一定不等于任何一個(gè)偶數(shù)。例1.有5張撲克牌，畫面向上。小明每次翻轉(zhuǎn)其中的4張，那么，他能在翻動(dòng)若干次后，使5張牌的畫面都向下嗎？分析與解答：同學(xué)們可以試驗(yàn)一下，只有將一張牌翻動(dòng)奇數(shù)次，才能使它的畫面由向上變?yōu)橄蛳隆Ｒ胧?張牌的畫面都向下，那么每張牌都要翻動(dòng)奇數(shù)次。5個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)，所以翻動(dòng)的總張數(shù)為奇數(shù)時(shí)才能使5張牌的牌面都向下。而小明每次翻動(dòng)4張，不管翻多少次，翻動(dòng)的總張數(shù)都是偶數(shù)。所以無論他翻動(dòng)多少次，都不能使5張牌畫面都向下。例2.甲盒中放有180個(gè)白色圍棋子和181個(gè)黑色圍棋子，乙盒中放有181個(gè)白色圍棋子,李平每次任意從甲盒中摸出兩個(gè)棋子，如果兩個(gè)棋子同色，他就從乙盒中拿出一個(gè)白子放入甲盒；如果兩個(gè)棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一個(gè)棋子，這個(gè)棋子是什么顏色的？分析與解答：不論李平從甲盒中拿出兩個(gè)什么樣的棋子，他總會(huì)把一個(gè)棋子放入甲盒。所以他每拿一次，甲盒子中的棋子數(shù)就減少一個(gè)，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一個(gè)棋子。如果他拿出的是兩個(gè)黑子，那么甲盒中的黑子數(shù)就減少兩個(gè)。否則甲盒子中的黑子數(shù)不變。也就是說，李平每次從甲盒子拿出的黑子數(shù)都是偶數(shù)。由于181是奇數(shù)，奇數(shù)減偶數(shù)等于奇數(shù)。所以，甲盒中剩下的黑子數(shù)應(yīng)是奇數(shù)，而不大于1的奇數(shù)只有1,所以甲盒里剩下的一個(gè)棋子應(yīng)該是黑子。例3.如圖（1-1）是一張8x8的正方形紙片。將它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干個(gè)1x2的長方形紙片？分析與解答：如圖1-2,我們在方格內(nèi)順序地填上奇、偶兩字。這時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，要從上面剪下一個(gè)1x2的長方形紙片，不論怎樣剪，都會(huì)包含一個(gè)奇，一個(gè)偶。我們再數(shù)一下奇字和偶字的個(gè)數(shù)，奇字有30個(gè)，偶字有32個(gè)。所以這張紙不能剪成若干個(gè)1x2的長方形紙片。2.一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是：前兩個(gè)數(shù)都是1,從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，也就是：1,1,2,3,5, 那么這串?dāng)?shù)的第100個(gè)是奇數(shù)還是偶數(shù)？分析與解答：這道題的規(guī)律是兩奇一偶，第100個(gè)為奇數(shù)。列方程組解應(yīng)用題(一)列一元一次方程解應(yīng)用題，同學(xué)們已經(jīng)在課本上學(xué)習(xí)了。今天我們主要和同學(xué)們共同研究如何列方程組解應(yīng)用題。較好地掌握這?解題思路是提高解答較難應(yīng)用題的重要方法，這個(gè)內(nèi)容共安排兩講，這一講研究學(xué)習(xí)如何解方程組。(-)思路指導(dǎo)：例1.用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個(gè)，或制盒底43個(gè)，一個(gè)盒身和兩個(gè)盒底配成一個(gè)罐頭盒，現(xiàn)有150張鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，才能使盒身與盒底正好配套？分析與解答：依據(jù)題意可知這個(gè)題有兩個(gè)未知量，一個(gè)是制盒身的鐵皮張數(shù)，一個(gè)是制盒底的鐵皮張數(shù)，這樣就可以用兩個(gè)未知數(shù)表示，要求出這兩個(gè)未知數(shù)，就要從題目中找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出兩個(gè)方程，組在一起，就是方程組。兩個(gè)等量關(guān)系是：A做盒身張數(shù)+做盒底的張數(shù)=鐵皮總張數(shù)B制出的盒身數(shù)X2=制出的盒底數(shù)解：設(shè)用x張鐵皮制盒身，y張鐵皮制盒底。x+y=150 (1)<16xx2=43y (2)像上面這組方程，我們叫它二元一次方程組。你知道什么是方程組了嗎？又怎樣求出這兩個(gè)未知數(shù)呢？這里我們主要介紹兩種方法：[第一種方法：代入法]由(1)式得x=\50-y……(3)把(3)代入(2)得16x(150-y)x2=43y4800-32y=43y43y+32y=480075y=4800y=64把y=64代入方程(3)得x=150-64=86Jx=86[y=64答：用86張白鐵皮做盒身，64張白鐵皮做盒底。你知道怎樣用代入法解方程組了嗎？請有條理地說一說.試一試，看誰學(xué)會(huì)了。fx-y=6 f3x+2y=34TOC\o"1-5"\h\z(1)\ ' (2)\[8x+3y=125 [13x-6y=74(1)題是劉莉和王穎合作完成的。(2)題是吳可非完成的，請你認(rèn)真閱讀她們的解題過程，判斷是否正確？\x-y=6 ①(1)一[8x+3y=125 ②解：由①得x=6+y ③把③代入方程②得：8(6+y)+3y=12548+8y+3y=125llj=125-48lly=77y=7把y=7代入③得x=6+7=13a=13所以《 是方程組的解.[y=7TOC\o"1-5"\h\zJ3x+2y=34 ①[13x-6y=74 ②解；由①得x=敢言……③把③代入方程②得13*[34；2+6),二7413x34—13x2》, ? _6y=743442—26y-l8y=22244y=220〉=574-7x5把y=5代入③得工="；屋8x=8所以＜ ，是該方程的解。經(jīng)檢查他們做得完全正確，你判斷對了嗎？[第二種方法：消去法]TOC\o"1-5"\h\zf3x+2y=34 ①例2.\13x-6y=74 ②解：根據(jù)題意可先做如下變化：用①x3得9x+6y=34x3 (3)用②+③得+13x-6y=74 ②22x =176x=176+22x=8把x=8代入方程①得3x8+2)，=34y=5x=8所以《 是方程組的解。[y=5‘3x+2y=25 ①5x-3y=0.5 ②

一.確定；二.變化：三.求解解：①x3得9x+6y=75 ③②x2得10x-6y=1 (4)④+③得19x=76x=4把x=4代入①得3x4+2y=252y=25-12

y=6.5x=4所以《 ，「是方程組的解。y=65請你說一說如何用“消去法”解方程組。練習(xí)題［答題時(shí)間：30分鐘］根據(jù)題目特點(diǎn)選擇方法解下面方程組。卜+卜+y=912尤+3y=23.2J3x+10y=45.5'[5x+4y=35.3J5x+5y=135

[2x+3y=6.6x+3y=15lOy-2x=18J2x-3y=2'[35x+6y=48.5第1講數(shù)論的方法技巧(上)數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它歷史悠久，而且有著強(qiáng)大的生命力。數(shù)論問題敘述簡明，“很多數(shù)論問題可以從經(jīng)驗(yàn)中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個(gè)行外人解釋清楚，但要證明它卻遠(yuǎn)非易事”。因而有人說：“用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數(shù)學(xué)中再也沒有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生，如能把當(dāng)今任何…本數(shù)論教材中的習(xí)題做出，就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵(lì)，并勸他將來從事數(shù)學(xué)方面的工作。”所以在國內(nèi)外各級各類的數(shù)學(xué)競賽中，數(shù)論問題總是占有相當(dāng)大的比重。小學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)論問題，常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的結(jié)論有:.帶余除法：若a,b是兩個(gè)整數(shù)，b>0,則存在兩個(gè)整數(shù)q,r,使得a=bq+r(OWrVb),且q,r是唯一的。特別地，如果r=0,那么a=bq。這時(shí)，a被b整除，記作b|a,也稱b是a的約數(shù)，a是b的倍數(shù)。.若a|c,b|c,且a,b互質(zhì)，則able。.唯一分解定理：每一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即其中piVp2V…Vpk為質(zhì)數(shù)，ai,a2,…，ak為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的。(1)式稱為n的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解。.約數(shù)個(gè)數(shù)定理：設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為(1),則它的正約數(shù)個(gè)數(shù)為:d(n)=(ai+1)(az+l) (ak+1)。.整數(shù)集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數(shù)。因此，不等式x<y與x〈y-l是等價(jià)的。下面，我們將按解數(shù)論題的方法技巧來分類講解。一、利用整數(shù)的各種表示法對于某些研究整數(shù)本身的特性的問題，若能合理地選擇整數(shù)的表示形式，則常常有助于問題的解決。這些常用的形式有：.十進(jìn)制表示形式：n=anlOn+an-llOn-l+,,,+ao；.帶余形式：a=bq+r；.標(biāo)準(zhǔn)分解式：玲宣…P；'；2的乘方與奇數(shù)之積式：n=2mt,其中t為奇數(shù)。例1紅、黃、白和藍(lán)色卡片各1張，每張上寫有1個(gè)數(shù)字，小明將這4張卡片如下圖放置，使它們構(gòu)成1個(gè)四位數(shù)，并計(jì)算這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差。結(jié)果小明發(fā)現(xiàn)，無論白色卡片上是什么數(shù)字，計(jì)算結(jié)果都是1998。問：紅、黃、藍(lán)3張卡片上各是什么數(shù)字？回國畫圖解：設(shè)紅、黃、白、藍(lán)色卡片上的數(shù)字分別是a3,a2,al,a0,則這個(gè)四位數(shù)可以寫成1000a3+100a2+1Oai+ao,它的各位數(shù)字之和的10倍是10(m+a2+ai+ao)=10a3+10a2+10ai+10ao,這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和的10倍的差是990a3+90a2-9a0=1998,110a3+10a2_aO=222o比較上式等號(hào)兩邊個(gè)位、十位和百位，可得3,0=89EL2=1933=2o所以紅色卡片上是2,黃色卡片上是1,藍(lán)色卡片上是8。例2在一種室內(nèi)游戲中，魔術(shù)師要求某參賽者想好一個(gè)三位數(shù)荻，然后，魔術(shù)師再要求他記下5個(gè)數(shù)部，由，辰，猛，并把這5個(gè)數(shù)加起來求出和N。只要參賽者講出N的大小，魔術(shù)師就能說出原數(shù)友是什么。如果N=3194,那么忘是多少？解：依題意，得acb+bac+bca+cab+cba=3194。等號(hào)兩邊同時(shí)加上痂，得222(a+b+c)=3194+abc,222(a+b+c)=222X14+86+abc0由此推知荻+86是222的倍數(shù)，且a+b+c>14。設(shè)友+86=222n,考慮到忘是三位數(shù)，依次取n=l,2,3,4,分別得出忘的可能值為136,358,580,802,再結(jié)合a+b+c>14,可知原三位數(shù)荻=358。說明：求解本題所用的基本知識(shí)是，正整數(shù)的十進(jìn)制表示法和最簡單的不定方程。例3從自然數(shù)1,2,3,…，1000中，最多可取出多少個(gè)數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和能被18整除？解：設(shè)a,b,c,d是所取出的數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，則a+b+c=18m,a+b+d=18n,其中ni,n是自然數(shù)。于是c-d=18(m-n)。上式說明所取出的數(shù)中任意2個(gè)數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個(gè)數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同。設(shè)這個(gè)余數(shù)為r,則a=18ai+r,b=18bi+r,c=18ci+r,其中ai,bi,ci是整數(shù)。于是a+b+c=18(ai+bi+ci)+3r。因?yàn)?8|(a+b+c),所以18|3r,即6/，推知r=0,6,12。因?yàn)?000=55X18+10,所以，從1,2,—,1000中可取6,24,42,—,996共56個(gè)數(shù)，它們中的任意3個(gè)數(shù)之和能被18整除。例4求自然數(shù)N,使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內(nèi)，它共有10個(gè)約數(shù)。解：把數(shù)N寫成質(zhì)因數(shù)乘積的形式N=2,X3*2X5%X X…P：由于N能被5和72=49整除，故a32l,a422,其余的指數(shù)ak為自然數(shù)或零。依題意，有(ai+1)(a2+l)…(an+1)=10o由于a3+122,a4+123,且10=2X5,故ai+l=a2+l=a5+l=*--=an+l=l,即ai=a2=a5=-an=0,N只能有2個(gè)不同的質(zhì)因數(shù)5和7,因?yàn)閍4+123>2,故由(as+l)(a4+l)=10知，a3+l=5,a4+l=2是不可能的。因而33+1=2,a4+l=5,即N=52'X7^,=5X7=12005。例5如果N是1,2,3, 1998,1999,2000的最小公倍數(shù)，那么N等于多少個(gè)2與1個(gè)奇數(shù)的積？解：因?yàn)?F1024,2"=2048>2000,每一個(gè)不大于2000的自然數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)相乘，其中2的個(gè)數(shù)不多于10個(gè)，而1024=2。所以，N等于10個(gè)2與某個(gè)奇數(shù)的積。說明：上述5例都是根據(jù)題目的自身特點(diǎn)，從選擇恰當(dāng)?shù)恼麛?shù)表示形式入手，使問題迎刃而解。二、枚舉法枚舉法（也稱為窮舉法）是把討論的對象分成若干種情況（分類），然后對各種情況逐一討論，最終解決整個(gè)問題。運(yùn)用枚舉法有時(shí)要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸悾诸惖脑瓌t是不重不漏。正確的分類有助于暴露問題的本質(zhì)，降低問題的難度。數(shù)論中最常用的分類方法有按模的余數(shù)分類，按奇偶性分類及按數(shù)值的大小分類等。例6求這樣的三位數(shù)，它除以11所得的余數(shù)等于它的三個(gè)數(shù)字的平方和。分析與解：三位數(shù)只有900個(gè)，可用枚舉法解決，枚舉時(shí)可先估計(jì)有關(guān)量的范圍，以縮小討論范圍，減少計(jì)算量。設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位的數(shù)字分別為x,y,zo由于任何數(shù)除以11所得余數(shù)都不大于10,所以X2+y2+Z2<10,從而l〈xW3,0<y<3,0<z<3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中：TOC\o"1-5"\h\z101, 102, 103, 110, 111, 112,121, 122, 130, 200, 201, 202,211,212, 220, 221, 300, 301, 310。不難驗(yàn)證只有100,101兩個(gè)數(shù)符合要求。例7將自然數(shù)N接寫在任意一個(gè)自然數(shù)的右面（例如，將2接寫在35的右面得352）,如果得到的新數(shù)都能被N整除，那么N稱為魔術(shù)數(shù)。問：小于2000的自然數(shù)中有多少個(gè)魔術(shù)數(shù)？解：設(shè)P為任意一個(gè)自然數(shù)，將魔術(shù)數(shù)N（N<2000）接后得函，下面對N為一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)分別討論。(1)當(dāng)N為一位數(shù)時(shí)，PN=10P+N,依題意N]函，則N]10P,由于需對任意數(shù)P成立，故N]10,所以N=l,2,5；(2)當(dāng)N為兩位數(shù)時(shí)，PN=100P+N,依題意N]函，則N]100P,故N|100,所以N=10,20,25,50；(3)當(dāng)N為三位數(shù)時(shí)，PN=1000P+N,依題意N]函，則NJ1000P,故N|1000,所以N=100,125,200,250,500；(4)當(dāng)N為四位數(shù)時(shí),同理可得N=1000,1250,2000,2500,5000.符合條件的有1000,1250?綜上所述，魔術(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)為14個(gè)。說明：(1)我們可以證明：k位魔術(shù)數(shù)一定是10k的約數(shù)，反之亦然。(2)這里將問題分成幾種情況去討論，對每一種情況都增加了一個(gè)前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。例8有3張撲克牌，牌面數(shù)字都在10以內(nèi)。把這3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光3人。每個(gè)人把自己牌的數(shù)字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數(shù)，這樣反復(fù)幾次后，3人各自記錄的數(shù)字的和順次為13,15,23。問：這3張牌的數(shù)字分別是多少？解：13+15+23=51,51=3X17o因?yàn)?7>13,摸17次是不可能的，所以摸了3次，3張撲克牌數(shù)字之和是17,可能的情況有下面15種：TOC\o"1-5"\h\z①1, 6, 10 ②1, 7, 9 ③1, 8, 8④2, 5, 10 ⑤2, 6, 9 ⑥2, 7, 8⑦3, 4, 10 ⑧3, 5, 9 (9)3, 6, 8⑩3,7,7 (11)4,4,9(12)4,5,8(13)4,6,7(14)5,5,7(15)5,6,6只有第⑧種情況可以滿足題目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。這3張牌的數(shù)字分別是3,5和9。例9寫出12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。分析一：在尋找質(zhì)數(shù)的過程中，我們可以看出100以內(nèi)最多可以寫出7個(gè)連續(xù)的合數(shù)：90,91,92,93,94,95,96。我們把篩選法繼續(xù)運(yùn)用下去，把考查的范圍擴(kuò)大一些就行了。解法L用篩選法可以求得在113與127之間共有12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：114,115,116,117,118,119,120,122,123,124,125,126。分析二：如果12個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，第1個(gè)是2的倍數(shù)，第2個(gè)是3的倍數(shù)，第3個(gè)是4的倍數(shù)……第12個(gè)是13的倍數(shù)，那么這12個(gè)數(shù)就都是合數(shù)。又m+2,m+3,…，m+13是12個(gè)連續(xù)整數(shù)，故只要m是2,3,?,13的公倍數(shù)，這12個(gè)連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù)。解法2：設(shè)m為2,3,4,…，13這12個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。m+2,m+3,m+4, m+13分別是2的倍數(shù),3的倍數(shù)，4的倍數(shù)……13的倍數(shù)，因此12個(gè)數(shù)都是合數(shù)。說明：我們還可以寫出13!+2,13!+3,…，13!+13(其中n!=1X2X3X-Xn)這12個(gè)連續(xù)合數(shù)來。同樣，(m+1)!+2,(m+1)!+3,???,(m+1)!+m+l是m個(gè)連續(xù)的合數(shù)。三、歸納法當(dāng)我們要解決一個(gè)問題的時(shí)候，可以先分析這個(gè)問題的幾種簡單的、特殊的情況，從中發(fā)現(xiàn)并歸納出??般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑。這種從特殊到一般的思維方法稱為歸納法。例10將100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)字串，依次完成以下5項(xiàng)工作叫做一次操作：(1)將左邊第一個(gè)數(shù)碼移到數(shù)字串的最右邊；(2)從左到右兩位一節(jié)組成若干個(gè)兩位數(shù)；(3)劃去這些兩位數(shù)中的合數(shù)；(4)所剩的兩位質(zhì)數(shù)中有相同者，保留左邊的一個(gè)，其余劃去；(5)所余的兩位質(zhì)數(shù)保持?jǐn)?shù)碼次序又組成一個(gè)新的數(shù)字串。問：經(jīng)過1999次操作，所得的數(shù)字串是什么？解：第1次操作得數(shù)字串711131131737；第2次操作得數(shù)字串11133173；第3次操作得數(shù)字串111731；第4次操作得數(shù)字串1173；第5次操作得數(shù)字串1731；第6次操作得數(shù)字串7311；第7次操作得數(shù)字串3117；第8次操作得數(shù)字串1173。不難看出，后面以4次為周期循環(huán)，1999=4X499+3,所以第1999次操作所得數(shù)字串與第7次相同，是3117。例11有100張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開始按如下的順序進(jìn)行操作：把最上面的第一張卡片舍去，把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面。再把原來的第三張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面。反復(fù)這樣做，直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第九張？分析與解：可以從簡單的不失題目性質(zhì)的問題入手，尋找規(guī)律。列表如下:卡片總數(shù)1234567891011121314151617???剩下第幾張122424682468101214162設(shè)這一摞卡片的張數(shù)為N,觀察上表可知:(1)當(dāng)N=2”(a=0,1,2,3,??)時(shí)，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的最后一張，即第2,張；(2)當(dāng)N=2、+m(m<2-)時(shí)，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第2m張。取N=100,因?yàn)?00=2葉36,2X36=72,所以剩下這張卡片是原來那一摞卡片的第72張。說明：此題實(shí)質(zhì)上是著名的約瑟夫斯問題：傳說古代有一批人被蠻族俘虜了，敵人命令他們排成圓圈，編上號(hào)碼1,2,3,…然后把1號(hào)殺了，把3號(hào)殺了，總之每隔一個(gè)人殺一個(gè)人，最后剩下一個(gè)人，這個(gè)人就是約瑟夫斯。如果這批俘虜有111人，那么約瑟夫斯的號(hào)碼是多少？例12要用天平稱出1克、2克、3克……40克這些不同的整數(shù)克重量，至少要用多少個(gè)祛碼？這些硅碼的重量分別是多少？分析與解：一般天平兩邊都可放祛碼，我們從最簡單的情形開始研究。(1)稱重1克，只能用一個(gè)1克的硅碼，故1克的一個(gè)硅碼是必須的。(2)稱重2克，有3種方案：①增加一個(gè)1克的祛碼；②用一個(gè)2克的硅碼；③用一個(gè)3克的祛碼，稱重時(shí)，把一個(gè)1克的祛碼放在稱重盤內(nèi)，把3克的硅碼放在硅碼盤內(nèi)。從數(shù)學(xué)角度看，就是利用3-1=2。(3)稱重3克，用上面的②③兩個(gè)方案，不用再增加祛碼，因此方案①淘汰。(4)稱重4克，用上面的方案③，不用再增加祛碼，因此方案②也被淘汰?？傊?，用1克、3克兩個(gè)祛碼就可以稱出(3+1)克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。(5)接著思索可以進(jìn)行一次飛躍，稱重5克時(shí)可以利用(3+1)=5,即用一個(gè)9克重的祛碼放在祛碼盤內(nèi)，1克、3克兩個(gè)祛碼放在稱重盤內(nèi)。這樣，可以依次稱到1+3+9=13(克)以內(nèi)的任意整數(shù)克重。而要稱14克時(shí)，按上述規(guī)律增加一個(gè)祛碼，其重為14+13=27（克），可以稱到1+3+9+27=40（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重?？傊畲a的重量為1，3,3,3,克時(shí)，所用祛碼最少，稱重最大，這也是本題的答案。這個(gè)結(jié)論顯然可以推廣，當(dāng)天平兩端都可放祛碼時(shí)，使用1,3,32,于“克硅碼可以稱出1,2,3,…，i（3觸】）克重的重量。這是使用硅碼最少、稱重最大的硅碼重量設(shè)計(jì)方案。練習(xí)1.已知某個(gè)四位數(shù)的十位數(shù)字減去1等于其個(gè)位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字加2等于百位數(shù)字，這個(gè)四位數(shù)的數(shù)字反著順序排列成的數(shù)與原數(shù)之和等于9878o試求這個(gè)四位數(shù)。.礪是四位數(shù)，a,b,c,d均代表1,2,3,4中的某個(gè)數(shù)字，但彼此不同，例如2,1,3,4。請寫出所有滿足關(guān)系a<b,b>c,cCd的四位數(shù)忘珠。.設(shè)n是滿足下列條件的最小自然數(shù)：它們是75的倍數(shù)且恰有75個(gè)自然數(shù)因數(shù)（包括1和本身），求而工.不能寫成兩個(gè)奇合數(shù)之和的最大偶數(shù)是多少？.把1,2,3,4, 999這999個(gè)數(shù)均勻排成一個(gè)大圓圈，從1開始數(shù)：隔過1劃掉2,3,隔過4,劃掉5,6……這樣每隔一個(gè)數(shù)劃掉兩個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)圈劃下去。問：最后剩下哪個(gè)數(shù)？為什么？.圓周上放有N枚棋子，如右圖所示，B點(diǎn)的一枚棋子緊鄰A點(diǎn)的棋子。小洪首先拿走B點(diǎn)處的1枚棋子，然后順時(shí)針每隔1枚拿走2枚棋子，連續(xù)轉(zhuǎn)了10周，9次越過A。當(dāng)將要第10次越過A處棋子取走其它棋子時(shí)，小洪發(fā)現(xiàn)圓周上余下20多枚棋子。若N是14的倍數(shù)，則圓周上還有多少枚棋子？.用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，每個(gè)四位數(shù)中均沒有重復(fù)數(shù)字(如1023,2341),求全體這樣的四位數(shù)之和。.有27個(gè)國家參加一次國際會(huì)議，每個(gè)國家有2名代表。求證：不可能將54位代表安排在一張圓桌的周圍就座，使得任一國的2位代表之間都夾有9個(gè)人。第2講數(shù)論的方法技巧(下)四、反證法反證法即首先對命題的結(jié)論作出相反的假設(shè)，并從此假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾的結(jié)果，這就否定了作為推理出發(fā)點(diǎn)的假設(shè)，從而肯定了原結(jié)論是正確的。反證法的過程可簡述為以下三個(gè)步驟：.反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，而其反而成立；.歸謬：由“反設(shè)”出發(fā)，通過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；.結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤，既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立。運(yùn)用反證法的關(guān)鍵在于導(dǎo)致矛盾。在數(shù)論中，不少問題是通過奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。例1是否存在三位數(shù)abc,使得abc=ab+bc+ac?解：如果存在這樣的三位數(shù)，那么就有100a+10b+c=(10a+b)+(10b+c)+(10a+c)。上式可化簡為80a=b+c,而這顯然是不可能的，因?yàn)閍2l,b<9,c<9。這表明所找的數(shù)是不存在的。說明：在證明不存在性的問題時(shí)，常用反證法：先假設(shè)存在，即至少有一個(gè)元素,它符合命題中所述的一切要求,然后從這個(gè)存在的元素出發(fā),進(jìn)行推理，直到產(chǎn)生矛盾。例2將某個(gè)17位數(shù)的數(shù)字的排列順序顛倒，再將得到的數(shù)與原來的數(shù)相加。試說明，得到的和中至少有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)。解：假設(shè)得到的和中沒有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)，即全是奇數(shù)。在如下式所示的加法算式中，末一列數(shù)字的和d+a為奇數(shù)，從而第一列也是如此，因此第二列數(shù)字的和b+c49。將已知數(shù)的前兩位數(shù)字a,b與末兩位數(shù)字c,d去掉，所得的13位數(shù)仍具有“將它的數(shù)字顛倒，得到的數(shù)與它相加，和的數(shù)字都是奇數(shù)”這一性質(zhì)。照此進(jìn)行，每次去掉首末各兩位數(shù)字，最后得到一位數(shù)，它與自身相加是偶數(shù)，矛盾。故和的數(shù)字中必有偶數(shù)。ab…cd+de…ba說明：顯然結(jié)論對（4k+l）位數(shù)也成立。但對其他位數(shù)的數(shù)不一定成立。如12+21,506+605等。例3有一個(gè)魔術(shù)錢幣機(jī)，當(dāng)塞入1枚1分硬幣時(shí)，退出1枚1角和1枚5分的硬幣；當(dāng)塞入1枚5分硬幣時(shí)，退出4枚1角硬幣；當(dāng)塞入1枚1角硬幣時(shí)，退出3枚1分硬幣。小紅由1枚1分硬幣和1枚5分硬幣開始，反復(fù)將硬幣塞入機(jī)器，能否在某一時(shí)刻，小紅手中1分的硬幣剛好比1角的硬幣少10枚？解：開始只有1枚1分硬幣，沒有1角的，所以開始時(shí)1角的和1分的總枚數(shù)為0+1=1,這是奇數(shù)。每使用一次該機(jī)器，1分與1角的總枚數(shù)記為Q。下面考查Q的奇偶性。如果塞入1枚1分的硬幣，那么Q暫時(shí)減少1,但我們?nèi)』亓?枚1角的硬幣（和1枚5分的硬幣），所以總數(shù)Q沒有變化；如果再塞入1枚5分的硬幣（得到4枚1角硬幣），那么Q增加4,而其奇偶性不變；如果塞入1枚1角硬幣，那么Q增加2,其奇偶性也不變。所以每使用一次機(jī)器，Q的奇偶性不變，因?yàn)殚_始時(shí)Q為奇數(shù)，它將一直保持為奇數(shù)。這樣，我們就不可能得到1分硬幣的枚數(shù)剛好比1角硬幣數(shù)少10的情況，因?yàn)槿绻覀冇蠵枚1分硬幣和（P+10）枚1角硬幣，那么1分和1角硬幣的總枚數(shù)為（2P+10）,這是一個(gè)偶數(shù)。矛盾。例4在3X3的方格表中已如右圖填入了9個(gè)質(zhì)數(shù)。將表中同一行或同一列的3個(gè)數(shù)加上相同的自然數(shù)稱為一次操作。問：你能通過若干次操作使得表中9個(gè)數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)嗎？為什么？解：因?yàn)楸碇?個(gè)質(zhì)數(shù)之和恰為100,被3除余1,經(jīng)過每一次操作,總和增加3的倍數(shù)，所以表中9個(gè)數(shù)之和除以3總是余1。如果表中9個(gè)數(shù)變?yōu)橄嗟?，那?個(gè)數(shù)的總和應(yīng)能被3整除，這就得出矛盾！所以，無論經(jīng)過多少次操作，表中的數(shù)都不會(huì)變?yōu)?個(gè)相同的數(shù)。五、構(gòu)造法構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它靈活多樣，數(shù)論中的許多問題都可以通過構(gòu)造某些特殊結(jié)構(gòu)、特殊性質(zhì)的整數(shù)或整數(shù)的組合來解決。例599”和99!能否表示成為99個(gè)連續(xù)的奇自然數(shù)之和？解：99”能。因?yàn)?9M等于99個(gè)9少之和，所以可以直接構(gòu)造如下：9999=(99-98)+(99-96)+???+=(99--2)+99*,+(99"+2)+—+=(99*+96)+(99"+98)。99!不能。因?yàn)?9!為偶數(shù)，而99個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，所以99!不能表示為99個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和。說明：利用構(gòu)造法證明存在性問題，只要把滿足題設(shè)要求的數(shù)學(xué)對象構(gòu)造出來就行。例6從1,2,3, 999這999個(gè)數(shù)中，要求劃去盡量少的數(shù)，使得余下的數(shù)中每一個(gè)數(shù)都不等于另外兩個(gè)數(shù)的乘積。應(yīng)劃去哪些數(shù)？解：我們可劃去2,3, 30,31這30個(gè)數(shù)，因?yàn)閯澣チ松鲜鲞@30個(gè)數(shù)之后，余下的數(shù)中，除1以外的任何兩個(gè)數(shù)之積將大于32=1024>999o另一方面，可以通過構(gòu)造三元數(shù)組來證明30是最少的個(gè)數(shù)。(2,61,2X61),(3,60,3X60),(4,59,4X59),…，(30,33,30X33),(31,32,31X32)。上面寫出的這些數(shù)都是互不相同的，并且這些數(shù)中的最大數(shù)為31X32=992o如果劃去的數(shù)少于30個(gè)，那么上述三元數(shù)組至少剩下一個(gè)，這樣就不滿足題設(shè)條件。所以，30是最少的個(gè)數(shù)。六、配對法配對的形式是多樣的，有數(shù)字的湊整配對，也有集合間元素與元素的配對(可用于計(jì)數(shù))。傳說高斯8歲時(shí)求和(1+2+…+100)首創(chuàng)了配對。像高斯那樣，善于使用配對技巧，常常能使一些表面上看來很麻煩，甚至很棘手的問題迎刃而解。例7求1,2,3,…，9999998,9999999這9999999個(gè)數(shù)中所有數(shù)碼的和。解：在這些數(shù)前面添一個(gè)數(shù)0,并不影響所有數(shù)碼的和。將這1000萬個(gè)數(shù)兩兩配對，因?yàn)?與9999999,1與9999998,-,4999999與5000000各對的數(shù)碼和都是9X7=63。這里共有5000000對，故所有數(shù)碼的和是63X5000000=315000000c例8某商場向顧客發(fā)放9999張購物券，每張購物券上印有一個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼，從0001到9999號(hào)。若號(hào)碼的前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和，則稱這張購物券為“幸運(yùn)券”。例如號(hào)碼0734,因0+7=3+4,所以這個(gè)號(hào)碼的購物券是幸運(yùn)券。試說明，這個(gè)商場所發(fā)的購物券中，所有幸運(yùn)券的號(hào)碼之和能被101整除。解：顯然，號(hào)碼為9999的是幸運(yùn)券，除這張幸運(yùn)券外，如果某個(gè)號(hào)碼n是幸運(yùn)券，那么號(hào)碼為m=9999-n的購物券也是幸運(yùn)券。由于9999是奇數(shù)，所以mWn。由于m+n=9999,相加時(shí)不出現(xiàn)進(jìn)位，所以除去號(hào)碼是9999這張幸運(yùn)券之外，其余所有幸運(yùn)券可全部兩兩配對，而每一對兩個(gè)號(hào)碼之和均為9999,即所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和是9999的倍數(shù)。因?yàn)?999=99X101,所以所有幸運(yùn)券號(hào)碼之和能被101整除。例9己知最簡分?jǐn)?shù)巴可以表示成:n試說明分子m是質(zhì)數(shù)89的倍數(shù)。解法一：仿照高斯求和(1+2+3+…+n)的辦法，將和TOC\o"1-5"\h\z1111m G1+—+―++—=23 88n的各項(xiàng)順序倒過來再寫一遍，即—+—+—+???+1=—②888786 n①②兩式相加，得89~89 89 892m882X873X86 88 n從而2mX88!=89Xk（k是正整數(shù)）。因?yàn)?9為奇質(zhì)數(shù)，所以89不能整除88!,從而89|m。解法二：作配對處理=8信+/+~+?將括號(hào)內(nèi)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分，其公分母為1X88X2X87X3X86X???X44X45=88!,故 巴=89X2（q是正整數(shù)），n881從而mX88!=89Xk（k=nXq）。因?yàn)?9為奇質(zhì)數(shù)，所以89不能整除88!,從而89|m。七、估計(jì)法估計(jì)法是用不等式放大或縮小的方法來確定某個(gè)數(shù)或整個(gè)算式的取值范圍，以獲取有關(guān)量的本質(zhì)特征，達(dá)到解題的目的。在數(shù)論問題中，一個(gè)有限范圍內(nèi)的整數(shù)至多有有限個(gè)，過渡到整數(shù),就能夠?qū)赡艿那闆r逐一檢驗(yàn)，以確定問題的解。例10已知一個(gè)整數(shù)等于4個(gè)不同的形如」一（m是整數(shù)）的真分?jǐn)?shù)之和，m+1 求這個(gè)數(shù)，并求出滿足題意的5組不同的真分?jǐn)?shù)。解：因每一真分?jǐn)?shù)滿足2m+1而所求的數(shù)整S是四個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)之和，因此2VSV4,推知S=3。于是可得如下5組不同的真分?jǐn)?shù)：

1 2 6 411 fl 2 7 23'2 3 7 42j [2 3 8 24j910All910All

12j334例11已知在乘積lX2X3X”?Xn的尾部恰好有106個(gè)連續(xù)的零,求自然數(shù)n的最大值。分析：若已知n的具體數(shù)值，求1X2X…Xn的尾部零的個(gè)數(shù)，則比較容易解決，現(xiàn)在反過來知道尾部零的個(gè)數(shù)，求n的值，不大好處理，我們可以先估計(jì)n大約是多少，然后再仔細(xì)確定n的值。解：當(dāng)n=400時(shí)，數(shù)1,2,3, 400中共有=80個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)，其中有等=16個(gè)數(shù)是5n的倍數(shù)，有［等］=3個(gè)數(shù)是53的倍數(shù)。因此，乘積1義2義3義…X400中含質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)為80+16+3=99（個(gè)）。又乘積中質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)多于5的個(gè)數(shù)，故n=400時(shí)，1X2X-Xn的尾部有99個(gè)零，還需7個(gè)零，注意到425中含有2個(gè)質(zhì)因數(shù)5,所以當(dāng)n=430時(shí)，1X2X…Xn的尾部有106個(gè)零；當(dāng)n=435時(shí)，1X2X…Xn的尾部有107個(gè)零。因此，n的最大值為434o練習(xí)練習(xí)21.將兩個(gè)自然數(shù)的差乘上它們的積，能否得到數(shù)45045?2.如下圖，給定兩張3X3方格紙，并且在每一方格內(nèi)填上“+”或號(hào)?，F(xiàn)在對方格紙中任何一行或一列進(jìn)行全部變號(hào)的操作。問：可否經(jīng)過若干次操作，使圖（1否經(jīng)過若干次操作，使圖（1）變成圖（2）?2).你能在3X3的方格表中每個(gè)格子里都填一個(gè)自然數(shù)，使得每行、每列及兩條對角線上的三數(shù)之和都等于1999嗎？若能，請?zhí)畛鲆焕蝗舨荒?，請說明理由。.判斷乙和黑能否表示為：+工的形式，其中1,m為自然數(shù)。若能表332 1999 1m示，求出表達(dá)式；若不能表示，請給出證明。.公共汽車票的號(hào)碼是一個(gè)六位數(shù)，若一張車票的號(hào)碼的前3個(gè)數(shù)字之和等于后3個(gè)數(shù)字之和，則稱這張車票是幸運(yùn)的。試說明，所有幸運(yùn)車票號(hào)碼的和能被13整除。.N是由5個(gè)不同的非零數(shù)字組成的五位數(shù)，且N等于這5個(gè)數(shù)字中取3個(gè)不同數(shù)字構(gòu)成的所有三位數(shù)的和，求出所有的這種五位數(shù)N?.證明：沒有最大的質(zhì)數(shù)。cm「199X1］r199X21 -199X961+c0、主一丁知—防.已知S=-97-+——+…+———求S（［x］表不不超過x的最大整數(shù)）。數(shù)論綜合例題.把一個(gè)兩位數(shù)質(zhì)數(shù)寫在另一個(gè)兩位數(shù)質(zhì)數(shù)右邊，得到一個(gè)四位數(shù)，它能被這兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和的一半整除，那么這樣的兩個(gè)質(zhì)數(shù)乘積最大是；.兩數(shù)乘積為2800,而且已知其中一數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)比另一數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)多1。那么這兩個(gè)數(shù)分別是、 ；.兩個(gè)不同的數(shù)，它們的最小公倍數(shù)是90,那么這樣的兩個(gè)數(shù)共有組；.有三條圓形跑道，甲、乙、丙三人分別在里圈、中圈、外圈沿相同方向跑步。里圈跑道長0.35千米，中圈長0.5千米，外圈長0.75千米。甲每小時(shí)跑6千米，乙每小時(shí)跑7.5千米,丙每小時(shí)跑10千米。他們同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，那么分鐘后三人第一次同時(shí)位于圖中水線上；.三角形的三邊長a、b、c均為整數(shù)，且a、b、c的最小公倍數(shù)為60,a、b的最大公約數(shù)

為4,b、c的最大公約數(shù)為3,那么@bc的最小值為；.用2、3、4、5、6,7這六個(gè)數(shù)碼組成兩個(gè)三位數(shù)A和B,那么A、B、540這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是;.已知三個(gè)兩位奇數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1,但是兩兩均不互質(zhì)，且三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)共有18個(gè)約數(shù)，那么這三個(gè)數(shù)可以為—、―、—；.一個(gè)自然數(shù)除以7、8、9后分別余3、5、7,而所得的三個(gè)商的和是758,這個(gè)數(shù)是；.甲、乙、丙三數(shù)分別為526、539、705?某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)所得余數(shù)與A除丙數(shù)所得余數(shù)的比是2:3,那么A是；.有一個(gè)自然數(shù)，它除以15、17、19所得到的商(>1)與余數(shù)(>0)之和都相等，這樣的數(shù)最小可能是:小升初數(shù)學(xué)：應(yīng)用題綜合訓(xùn)練1.甲、乙、丙三人在A、B兩塊地植樹，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分別能植樹24,30,32棵，甲在A地植樹，丙在B地植樹，乙先在A地植樹，然后轉(zhuǎn)到B地植樹.兩塊地同時(shí)開始同時(shí)結(jié)束，乙應(yīng)在開始后第幾天從A地轉(zhuǎn)到B地？總棵數(shù)是900+1250=2150棵，每天可以植樹24+30+32=86棵需要種的天數(shù)是21504-86=25天甲25天完成24X25=600棵那么乙就要完成900-600=300棵之后，才去幫丙即做了300即做了300+30=10天之后即第11天從A地轉(zhuǎn)到B地。.有三塊草地，面積分別是5,15,24畝.草地上的草一樣厚，而且長得一樣快.第一塊草地可供10頭牛吃30天，第二塊草地可供28頭牛吃45天，問第三塊地可供多少頭牛吃80天？這是一道牛吃草問題，是比較復(fù)雜的牛吃草問題。把每頭牛每天吃的草看作1份。因?yàn)榈谝粔K草地5畝面積原有草量+5畝面積30天長的草=10X30=300份所以每畝面積原有草量和每畝面積30天長的草是300+5=60份因?yàn)榈诙K草地15畝面積原有草量+15畝面積45天長的草=28X45=1260份所以每畝面積原有草量和每畝面積45天長的草是12604-15=84份所以45—30=15天，每畝面積長84—60=24份所以，每畝面積每天長24+15=1.6份所以，每畝原有草量60—30X1.6=12份第三塊地面積是24畝，所以每天要長1.6X24=38.4份，原有草就有24X12=288份新生長的每天就要用38.4頭牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要夠吃80天，因此288+80=3.6頭牛所以，一共需要38.4+3.6=42頭牛來吃。兩種解法:解法一：設(shè)每頭牛每天的吃草量為1,則每畝30天的總草量為：10*30/5=60；每畝45天的總草量為：28*45/15=84那么每畝每天的新生長草量為(84-60)/(45-30)=1.6每畝原有草量為60-1.6*30=12,那么24畝原有草量為12*24=288,24畝80天新長草量為24*1.6*80=3072,24畝80天共有草量3072+288=3360,所有3360/80=42(頭)解法二：10頭牛30天吃5畝可推出30頭牛30天吃15畝，根據(jù)28頭牛45天吃15木，可以推出15畝每天新長草量(28*45-30*30)/(45-30)=24；15畝原有草量：1260-24*45=180；15畝80天所需牛180/80+24(頭)24畝需牛：(180/80+24)*(24/15)=42頭.某工程，由甲、乙兩隊(duì)承包，2.4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙兩隊(duì)承包，3+3/4天可以完成，需支付1500元；由甲、丙兩隊(duì)承包，2+6/7天可以完成，需支付1600元.在保證一星期內(nèi)完成的前提下，選擇哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包費(fèi)用最少？甲乙合作一天完成1+2.4=5/12,支付1800+2.4=750元乙丙合作一天完成1+(3+3/4)=4/15,支付1500X4/15=400元甲丙合作一天完成1+(2+6/7)=7/20,支付1600X7/20=560元三人合作一天完成(5/12+4/15+7/20)4-2=31/60,三人合作一天支付(750+400+560)+2=855元甲單獨(dú)做每天完成31/60-4/15=1/4,支付855—400=455元乙單獨(dú)做每天完成31/60-7/20=1/6,支付855-560=295元丙單獨(dú)做每天完成31/60-5/12=1/10,支付855-750=105元所以通過比較選擇乙來做，在1+1/6=6天完工，且只用295X6=1770元.一個(gè)圓柱形容器內(nèi)放有一個(gè)長方形鐵塊.現(xiàn)打開水龍頭往容器中灌水.3分鐘時(shí)水面恰好沒過長方體的頂面.再過18分鐘水已灌滿容器.已知容器的高為50厘米，長方體的高為20厘米，求長方體的底面面積和容器底面面積之比.把這個(gè)容器分成上下兩部分，根據(jù)時(shí)間關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)，上面部分水的體積是下面部分的18+3=6倍上面部分和下面部分的高度之比是(50—20)：20=3：2所以上面部分的底面積是下面部分裝水的底面積的64-3X2=4倍所以長方體的底面積和容器底面積之比是(4-1)：4=3：4獨(dú)特解法：(50-20)：20=3：2,當(dāng)沒有長方體時(shí)灌滿20厘米就需要時(shí)間18*2/3=12(分)，所以，長方體的體積就是12-3=9(分鐘)的水量，因?yàn)楦叨认嗤?所以體積比就等于底面積之比，9：12=3：4.甲、乙兩位老板分別以同樣的價(jià)格購進(jìn)一種時(shí)裝，乙購進(jìn)的套數(shù)比甲多1/5,然后甲、乙分別按獲得80%和50%的利潤定價(jià)出售.兩人都全部售完后，甲仍比乙多獲得一部分利潤，這部分利潤又恰好夠他再購進(jìn)這種時(shí)裝10套，甲原來購進(jìn)這種時(shí)裝多少套？把甲的套數(shù)看作5份，乙的套數(shù)就是6份。甲獲得的利潤是80%義5=4份，乙獲得的利潤是50%X6=3份甲比乙多4-3=1份，這1份就是10套。所以，甲原來購進(jìn)了10義5=50套。.有甲、乙兩根水管，分別同時(shí)給A,B兩個(gè)大小相同的水池注水，在相同的時(shí)間里甲、乙兩管注水量之比是7：5.經(jīng)過2+1/3小時(shí)，A,B兩池中注入的水之和恰好是一池.這時(shí)，甲管注水速度提高25%,乙管的注水速度不變，那么，當(dāng)甲管注滿A池時(shí)，乙管再經(jīng)過多少小時(shí)注滿B池？把池水看作單位“1”。由于經(jīng)過7/3小時(shí)共注了一池水，所以甲管注了7/12,乙管注了5/12o甲管的注水速度是7/12+7/3=1/4,乙管的注水速度是1/4X5/7=5/28。甲管后來的注水速度是1/4義（1+25%）=5/16用去的時(shí)間是5/124-5/16=4/3小時(shí)乙管注滿水池需要1+5/28=5.6小時(shí)還需要注水5.6-7/3-4/3=29/15小時(shí)即1小時(shí)56分鐘繼續(xù)再做?種方法：按照原來的注水速度，甲管注滿水池的時(shí)間是7/3+7/12=4小時(shí)乙管注滿水池的時(shí)間是7/3+5/12=5.6小時(shí)時(shí)間相差5.6—4=1.6小時(shí)后來甲管速度提高，時(shí)間就更少了，相差的時(shí)間就更多了。甲速度提高后，還要7/3義5/7=5/3小時(shí)縮短的時(shí)■間相當(dāng)于1-1+(1+25%)=1/5所以時(shí)間縮短了5/3X1/5=1/3所以，乙管還要1.6+1/3=29/15小時(shí)再做一種方法：①求甲管余下的部分還要用的時(shí)間。7/3X5/74-(1+25%)=4/3小時(shí)②求乙管余下部分還要用的時(shí)間。7/3X7/5=49/15小時(shí)③求甲管注滿后，乙管還要的時(shí)間。49/15-4/3=29/15小時(shí).小明早上從家步行去學(xué)校，走完一半路程時(shí)，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)書丟在家里，隨即騎車去給小明送書，追上時(shí)，小明還有3/10的路程未走完，小明隨即上了爸爸的車，由爸爸送往學(xué)校，這樣小明比獨(dú)自步行提早5分鐘到校.小明從家到學(xué)校全部步行需要多少時(shí)間？爸爸騎車和小明步行的速度比是(1-3/10)：(1/2-3/10)=7：2騎車和步行的時(shí)間比就是2：7,所以小明步行3/10需要5+(7-2)X7=7分鐘所以，小明步行完全程需要7?3/10=70/3分鐘。.甲、乙兩車都從A地出發(fā)經(jīng)過B地駛往C地，A,B兩地的距離等于B,C兩地的距離.乙車的速度是甲車速度的80%.已知乙車比甲車早出發(fā)11分鐘，但在B地停留了7分鐘，甲車則不停地駛往C地.最后乙車比甲車遲4分鐘到C地.那么乙車出發(fā)后幾分鐘時(shí)，甲車就超過乙車.乙車比甲車多行11-7+4=8分鐘。說明乙車行完全程需要8+(1-80%)=40分鐘，甲車行完全程需要40X80%=32分鐘當(dāng)乙車行到B地并停留完畢需要40+2+7=27分鐘。甲車在乙車出發(fā)后324-2+11=27分鐘到達(dá)B地。即在B地甲車追上乙車。.甲、乙兩輛清潔車執(zhí)行東、西城間的公路清掃任務(wù).甲車單獨(dú)清掃需要10小時(shí)，乙車單獨(dú)清掃需要15小時(shí)，兩車同時(shí)從東、西城相向開出，相遇時(shí)甲車比乙車多清掃12千米，問東、西兩城相距多少千米？甲車和乙車的速度比是15：10=3：2相遇時(shí)甲車和乙車的路程比也是3：2所以，兩城相距12+(3-2)X(3+2)=60千米.今有重量為3噸的集裝箱4個(gè)，重量為2.5噸的集裝箱5個(gè)，重量為1.5噸的集裝箱14個(gè)，重量為1噸的集裝箱7個(gè).那么最少需要用多少輛載重量為4.5噸的汽車可以一次全部運(yùn)走集裝箱？我的解法如下：(共12輛車)本題的關(guān)鍵是集裝箱不能像其他東西那樣，把它給拆散來裝。因此要考慮分配的問題。3噸（4個(gè)）2.5噸（5個(gè)）1.5噸（14個(gè)）1噸（7個(gè)）車的數(shù)量4個(gè)4個(gè)4輛2個(gè)2個(gè)2輛6個(gè)6個(gè)3輛2個(gè)1個(gè)1輛6個(gè)2輛小升初數(shù)學(xué)：應(yīng)用題綜合訓(xùn)練2.師徒二人共同加工170個(gè)零件，師傅加工零件個(gè)數(shù)的1/3比徒弟加工零件個(gè)數(shù)的1/4還多10個(gè)，那么徒弟一共加工了幾個(gè)零件？給徒弟加工的零件數(shù)加上10*4=40個(gè)以后，師傅加工零件個(gè)數(shù)的1/3就正好等于徒弟加工零件個(gè)數(shù)的1/4O這樣，零件總數(shù)就是3+4=7份，師傅加工了3份,徒弟加工了4份。.一輛大轎車與一輛小轎車都從甲地駛往乙地.大轎車的速度是小轎車速度的80%.已知大轎車比小轎車早出發(fā)17分鐘，但在兩地中點(diǎn)停了5分鐘，才繼續(xù)駛往乙地；而小轎車出發(fā)后中途沒有停，直接駛往乙地，最后小轎車比大轎車早4分鐘到達(dá)乙地.又知大轎車是上午10時(shí)從甲地出發(fā)的.那么小轎車是在上午什么時(shí)候追上大轎車的.這個(gè)題目和第8題比較近似。但比第8題復(fù)雜些！大轎車行完全程比小轎車多17—5+4=16分鐘所以大轎車行完全程需要的時(shí)間是16+（1-80%）=80分鐘小轎車行完全程需要80X80%=64分鐘由于大轎車在中點(diǎn)休息了，所以我們要討論在中點(diǎn)是否能追上。大轎車出發(fā)后804-2=40分鐘到達(dá)中點(diǎn)，出發(fā)后40+5=45分鐘離開小轎車在大轎車出發(fā)17分鐘后，才出發(fā)，行到中點(diǎn)，大轎車已經(jīng)行了17+644-2=49分鐘了。說明小轎車到達(dá)中點(diǎn)的時(shí)候，大轎車已經(jīng)又出發(fā)了。那么就是在后面一半的路追上的。既然后來兩人都沒有休息，小轎車又比大轎車早到4分鐘。那么追上的時(shí)間是小轎車到達(dá)之前4+(1-80%)X80%=16分鐘所以，是在大轎車出發(fā)后17+64-16=65分鐘追上。所以此時(shí)的時(shí)刻是11時(shí)05分。.一部書稿，甲單獨(dú)打字要14小時(shí)完成，，乙單獨(dú)打字要20小時(shí)完成.如果甲先打1小時(shí)，然后由乙接替甲打1小時(shí)，再由甲接替乙打1小時(shí) 兩人如此交替工作.那么打完這部書稿時(shí)，甲乙兩人共用多少小時(shí)？甲每小時(shí)完成1/14,乙每小時(shí)完成1/20,兩人的工效和為：1/14+1/20=17/140；因?yàn)?/(17/140)=8(小時(shí)) 1/35,即兩人各打8小時(shí)之后，還剩T1/35,這部分工作由甲來完成，還需要:(1/35)/(1/14)=2/5小時(shí)=0.4小時(shí)。所以，打完這部書稿時(shí)，兩人共用：8*2+0.4=16.4小時(shí)。.黃氣球2元3個(gè)，花氣球3元2個(gè)，學(xué)校共買了32個(gè)氣球，其中花氣球比黃氣球少4個(gè)，學(xué)校買哪種氣球用的錢多？黃氣球數(shù)量：（32+4）/2=18個(gè)，花氣球數(shù)量：（32—4）/2=14個(gè)；黃氣球總價(jià)：（18/3）*2=12元，花氣球總價(jià)：（14/2）*3=21元。.一只帆船的速度是60米/分，船在水流速度為20米/分的河中，從上游的一個(gè)港口到下游的某一地，再返回到原地，共用3小時(shí)30分，這條船從上游港□到下游某地共走了多少米？船的順?biāo)俣龋?0+20=80米/分，船的逆水速度：60—20=40米/分。因?yàn)榇捻標(biāo)俣扰c逆水速度的比為2：1,所以順流與逆流的時(shí)間比為1：2o這條船從上游港口到下游某地的時(shí)間為：3小時(shí)30分*1/（1+2）=1小時(shí)10分=7/6小時(shí)。 （7/6小時(shí)=70分）從上游港口到下游某地的路程為：80*7/6=280/3千米。(80X70=5600).甲糧倉裝43噸面粉，乙糧倉裝37噸面粉，如果把乙糧倉的面粉裝入甲糧倉，那么甲糧倉裝滿后，乙糧倉里剩下的面粉占乙糧倉容量的1/2；如果把甲糧倉的面粉裝入乙糧倉，那么乙糧倉裝滿后，甲糧倉里剩下的面粉占甲糧倉容量的1/3,每個(gè)糧倉各可以裝面粉多少噸？由于兩個(gè)糧倉容量之和是相同的，總共的面粉43+37=