工程力學(xué)教學(xué)t7

三、虛功原理的兩種應(yīng)用1）虛功原理用于虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)與實際的平衡力狀態(tài)之間。例.求A端的支座反力(ReactionatSupport)。FPABaC(a)b解：去掉A端約束并代以反力X，構(gòu)造相應(yīng)的虛位移狀態(tài)如圖(b)、(c)待分析平衡的力狀態(tài)X(b)FP由外力虛功總和為零，即：(c)直線虛設(shè)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)通常取單位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1)對靜定結(jié)構(gòu)，這里實際用的是剛體虛位移原理，實質(zhì)上是實際受力狀態(tài)的平衡方程，即幾點說明：(3)求解時關(guān)鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關(guān)系。(2)虛位移與實際力狀態(tài)無關(guān),故可設(shè)特點:

用幾何法來解靜力平衡問題。例.求A端支座發(fā)生豎向位移c時引起C點的豎向位移.(a)ABaCbc2）虛功原理用于虛設(shè)的平衡力狀態(tài)與實際的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)之間。解：首先構(gòu)造出相應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)。即，在擬求位移之點（C點）沿擬求位移方向（豎向）設(shè)置單位荷載。1ABC(b)由求得：虛功方程為：這便是單位荷載法

(Dummy-UnitLoadMethod)它是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也稱為Maxwell-MohrMethod幾點說明：(1)所建立的虛功方程,實質(zhì)上是幾何方程。(3)求解時關(guān)鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系。(2)虛設(shè)的力狀態(tài)與實際位移狀態(tài)無關(guān)，故可設(shè)單位廣義力P=1總的來講，必須非常清楚的是：單位位移法的虛功方程平衡方程特點:是用靜力平衡法來解幾何問題。單位荷載法的虛功方程幾何方程返回首頁

3單位荷載法一、位移計算的一般公式(GeneralFormulaofDisplacements)將虛功原理用于實際協(xié)調(diào)位移和虛設(shè)平衡力狀態(tài)間已介紹過——單位荷載法。下面從虛功方程入手，討論桿系結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式。桿系結(jié)構(gòu)虛功方程為δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi設(shè)待求的實際廣義位移為Δ設(shè)僅在廣義力P作用下，與之平衡的軸力、剪力、扭矩和彎矩分別為FN、

FQ、Mx和M。實際位移狀態(tài)FPABC虛設(shè)的力狀態(tài)PABCFN、

FQ、Mx和M，與Δ對應(yīng)的廣義力為P。又設(shè)與內(nèi)力FN、

FQ、Mx和M對應(yīng)的微段實際變形分別為δε、δγ、δφ和δθ。若結(jié)構(gòu)有已知支座位移為ci實際位移狀態(tài)FPABC虛設(shè)的力狀態(tài)PABCFN、

FQ、Mx和Mδε、δγ、δφ和δθFRc

，與其對應(yīng)的由廣義力P引起的支座反力為FRi則桿系結(jié)構(gòu)虛功方程為δWe=ΣFRici+PΔ=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi虛功方程等式兩邊同除廣義力P，并記單位廣義力(P/P=1)作用下，與之平衡的軸力、剪力、扭矩和彎矩分別為FN、

FQ、Mx和M。單位廣義力引起的，與已知位移對應(yīng)的反力為FRi。則桿系結(jié)構(gòu)虛功方程改寫為Δ=-ΣFRici+Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds位移計算的一般公式一般公式的的普遍性表表現(xiàn)在：2.結(jié)構(gòu)類型：：梁、剛架架、桁架、、拱、組合合結(jié)構(gòu)；靜定和和超靜定結(jié)結(jié)構(gòu)；1.位移原因：：荷載、溫溫度改變、、支座移動動等；3.材料性質(zhì)：：線性、非非線性；4.變形類型：：彎曲變形形、拉(壓)變形、剪切切變形、扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變形；5.位移種類：：線位移、、角位移；；相對線位位移和相對角位位移。BA(b)試確定指定定廣義位移移對應(yīng)的單單位廣義力力。A(a)P=1P=1P=1ABCd(c)ABC(d)試確定指定定廣義位移移對應(yīng)的單單位廣義力力。AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1試確定指定定廣義位移移對應(yīng)的單單位廣義力力。P=1(g)A(h)ABP=1P=1試確定指定定廣義位移移對應(yīng)的單單位廣義力力。二、荷載載作用下位位移計算的的一般公式式在僅荷載作作用時的位位移計算一一般公式對于由線彈性直桿組成的結(jié)構(gòu)構(gòu)，有：扭轉(zhuǎn)項式中：E彈性模量；G

剪切模量；A

橫截面積；I

截面慣性矩；k

截面形狀系數(shù)。如：對矩形截面k=6/5;圓形截面k=10/9。IP

截面極慣性矩；軸向剪切彎曲扭轉(zhuǎn)例1：求剛架A點的豎向位移。解：構(gòu)造虛虛設(shè)狀態(tài)（實際狀態(tài)））分別列出實實際狀態(tài)和和虛擬狀態(tài)態(tài)中各桿的的內(nèi)力方程程（或畫出出內(nèi)力圖）），如：（虛擬狀態(tài)））qxxqlqlx荷載內(nèi)力圖圖xxlx11單位內(nèi)力圖圖內(nèi)力的正負(fù)負(fù)號規(guī)定如如下：軸力以拉力為正；剪力使微段順時針轉(zhuǎn)動者為正；彎矩只規(guī)定乘積的正負(fù)號。使桿件同側(cè)纖維受拉時，其乘積取為正。將內(nèi)力方程程代入公式式討論：軸向剪切彎曲，有：引入符號問題：的取值范圍是什么？設(shè)桿件截面為bh的矩形截面面桿，有：：因此,對受彎細(xì)長長桿件,通常略去FN,FQ的影響。?。?，，有：即：三、幾點討討論（只有有荷載作用用）：一般來說，，剪切變形形影響很小小，通常忽忽略不計。。1.對梁梁和和剛剛架架：：2.對桁桁架架：：3.對組組合合結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)：：例2：求曲梁B點的豎向位移和水平位移。(EI、EA、GA已知)ROBAFP解：：構(gòu)構(gòu)造造虛虛設(shè)設(shè)的的力力狀狀態(tài)態(tài)如如圖圖示示FP=1RθFP

=1RθFPRθ同理理有有：：將內(nèi)內(nèi)力力方方程程代代入入位位移移計計算算公公式式,可得得三鉸鉸拱拱的的分分析析同此此類類似似，，但但一一般般要考考慮慮軸軸力力對對位位移移的的貢貢獻(xiàn)獻(xiàn)，也也即即例3：求對稱桁架D點的豎向位移。圖中右半部各括號內(nèi)數(shù)值為桿