彈塑性力學講義

第四章

彈性力學解題方法第四章彈性力學解題方法彈性力學問題的基本方程按位移求解彈性力學問題按應力求解彈性力學問題平面問題和應力函數(shù)逆解法和半逆解法邊界上的應力函數(shù)及導數(shù)平面問題的極坐標解法Prof,WangJX§4－1彈性力學問題的基本方程一、空間問題的基本方程平衡微分方程幾何方程Prof,WangJX物理方程（廣義虎克定律）偏量形式的廣義虎克定律Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

物理方程應力邊界條件位移邊界條件Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

平衡微分方程二、平面問題的基本方程幾何方程：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

物理方程應力邊界條件位移邊界條件Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

三、彈性力學問題的解法1.位移法以位移分量為基本未知量用位移表示應力和應變求出位移分量求出應變分量求出應力分量2.力法幾何方程物理方程以應力分量為基本未知量消去位移和應變分量求出應力分量求出應變分量求出位移分量物理方程幾何方程Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

四、彈性力學問題的基本類型2.位移的邊值問題1.力的邊值問題在物體的全部表面上給定面力的問題。在物體的全部表面上給定位移的問題。3.混合邊值問題在物體的一部分表面上給定面力，而在另一部分表面上給定位移的問題。位移法力法力法或位移法Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity

§4－2按位移求解彈性力學問題基本方程（4－1）Prof,WangJXLaplace算子Lame'方程（4－2）（4－3）位移分量表表示的平衡衡微分方程程Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity邊界條件：：應力邊界條條件位移邊界條條件（4－4）Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity解題思路：：（4－3）（4－4）幾何方程物理方程優(yōu)點：缺點：適用范圍廣廣，在數(shù)值值解法中得得到廣泛應應用（有限限元）。求解三個聯(lián)聯(lián)立的偏微微分方程組組，求解析析解困難。。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity空間軸對稱稱問題：幾何方程：：平衡方程：：物理方程：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity空間軸對稱稱問題：彈性方程：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity例題：半空空間體，單單位體積的的質(zhì)量為r，在水平邊邊界上受受均布壓壓力q，位移邊界界條件為為：求：位移移分量和和應力分分量。解：qxzZ=ho體力：面力：位移：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityqxzZ=ho解：面力：位移：應力分量量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityqxzZ=ho解：面力：位移：應力分量：邊界條件件：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity解：qxzZ=ho位移分量量：應力分量量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity§4－3按應力求求解彈性性力學問問題基本方程程相容方程程（應變變協(xié)調(diào)方方程）：：Prof,WangJX（4－8）用應力表表示的相相容方程程：體力為常常量：（4－9）應力張量量第一不不變量為為調(diào)和函函數(shù)。所有應力力分量均均為雙調(diào)調(diào)和函數(shù)數(shù)。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity解題思路路：幾何方程物理方程優(yōu)點：缺點：（1）當應力力分量為為坐標的的線性函函數(shù)時，，相容方方程自然然滿足，，可得到到精確解解答。（2）邊界條條件簡單單，容易易求出解解析解，，且應力力表達式式較簡單單。不能求解解位移邊邊值問題題。位移單值值條件：：對于多連連體，物物體中任任意一點點的位移移必須是是單值的的。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity§4－4平面問題題和應力力函數(shù)一、平面面應力問問題和平平面應變變問題平面應力力問題：：平面應變變問題：：z＝xz＝zy＝0x,y,xy(x,y)構件特征征：受力特點點：應力分量量：應變分量量：位移分量量：xyzxyz平行于板板面，板板面上無無載荷載荷與z軸垂直沿沿z軸不變yx＝zx＝0x,y,xy(x,y);zz＝y(tǒng)x＝zx＝0x,y,xy(x,y)u(x,y),v(x,y);wu(x,y),v(x,y);w=0x,y,xy(x,y)xz＝zy＝0,z＝m(x+y)Prof,WangJX平衡方程程二、平面面問題的的基本方方程幾何方程程：物理方程應力邊界界條件平面應變變問題：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity三、相容容方程和和Airy應力函數(shù)數(shù)相容方程程（應變變協(xié)調(diào)方方程）應力分量量表示的的相容方方程體力為常常量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity不含材料料常數(shù)，，只要兩兩物體具具有相同同的形狀狀，受相相同面力力，則不不論何種種材料、、何種平平面問題題，其應應力分布布是相同同的，數(shù)數(shù)值亦相相同。解解答普遍遍性。前兩式為為常系數(shù)數(shù)非齊次次線性偏偏微分方方程，其其通解等等于對應應的齊次次通解加加上一個個特解。。特解：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityj(x,y):平面問題題的應力力函數(shù)：：不論j(x,y)取何函數(shù)，上上式得到到的應力力分量恒恒滿足平平衡微分分方程。。（Airystressfunction）齊次通解解全解：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity應力函數(shù)數(shù)表示的的相容方方程應力函數(shù)數(shù)j(x,y)為雙調(diào)和和函數(shù)。。滿足22=0相當于滿滿足平衡衡微分方方程和變變形協(xié)調(diào)調(diào)條件，，即滿足足了平面面問題的的八個基基本方程程。求出j(x,y)后，可根根據(jù)通解解求出應應力分量量，如果果在邊界界上滿足足應力邊邊界條件件，則得得到的就就是正確確解答。。求出應力力分量后后，由物物理方程程求應變變分量，，再由幾幾何方程程求位移移分量。討論：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity當體力為為零時：：平面應變變問題：：22=0為四階偏偏微分方方程，直直接求解解比較困困難，故故常用逆解法和半逆解法法。逆解法：：設定j(x,y)滿足4=0半逆解法法：面力解決的問題解決的問題邊界形狀受力情況j(x,y)4=0邊界條件正確解答設定邊界條件Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity§4－5逆解法和半逆解法一、平面問題題的多項式解解答－逆解法法（不計體力））不論彈性體何何種形狀，不不論坐標軸如如何選擇，線線性應力函數(shù)數(shù)對應于無面面力、無應力力的狀態(tài)。在應力函數(shù)中中加上或減去去一個線性函函數(shù)并不影響響應力。滿足22=0Prof,WangJXxy矩形板在y方向受均勻拉拉伸（壓縮））。滿足22=0邊界條件：左右邊界：上下邊界：2a2aProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityxy矩形板在x方向受均勻拉拉伸（壓縮））。滿足22=0邊界條件：左右邊界：上下邊界：2c2cProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityxy矩形板在四四周受布剪應應力作用。滿足22=0邊界條件：左右邊界：上下邊界：bbbbProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity矩形板受偏心心拉力作用。滿足22=0邊界條件：左邊界：上下邊界：h1xyo右邊界：lFFProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity矩形板受純彎彎曲作用。滿足22=0左邊界：上下邊界：lh1xyo右邊界：lxyo同一應力函數(shù)數(shù)在不同的坐坐標系中解決決的問題也不不同。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity滿足22=0邊界條件：主邊界（上下下邊界）：h1自然滿足。lxyo例：單位厚度度的矩形截面面梁，受到單單位厚度的力力偶矩M作用，試求應應力分量和位位移分量。MM應力分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity靜力等效邊界界條件（Saint-Venantprinciple）：把物體的一小小部分邊界上上的面力，改改為具體分布布不同，但靜靜力等效的面面力，只影響響近處應力分分布，對遠處處影響很小。。不滿足。h1次邊界：lxyoMM靜力等效：主矢量相等、、主矩相等。。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity主矢量相等：：不滿足。h1次邊界：lxyoMMydy主矩相等：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity應力分量：h1lxyoMMydy應變分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity位移分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity位移分量：位移邊界條件件：lxyoMlxyMMoProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticitylxyMMo橫截面保持為為平面－平截截面假設。曲率公式。撓度方程。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity逆解法解題思思路：滿足4=0確定待定常數(shù)數(shù)應變分量邊界條件設定j(x,y)位移分量Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity§4－5逆解法和半逆解法二、簡支梁受受均布載荷－－半逆解法材料力學已知知解彈性體的邊界界受力情況量綱分析法j(x,y)4=0應變分量設定某一應力分量邊界條件其它應力分量量是否正確解答位移分量？Prof,WangJX4=0受力分析：面力在y方向有變化，，例1：單位厚度的的矩形截面梁梁，受到均布布力作用，試試求應力分量量。解：（一））確定應力函函數(shù)：（不計體力））h1lxyoqlqlqlProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（二）應力分量量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（三）確定待定定系數(shù)：h1lxyoqlqlql對稱性：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityh1lxyoqlqlql邊界條件：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityh1lxyoqlqlql應力分量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityh1lxyoqlqlql應力分量：h=2l:d=27%h=l:d=6.7%2h=l:d=1.7%sxsytxyProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity4=0受力分析：面力在y方向有變化，，例2：單位厚度的的矩形截面梁梁，受到線性分布力作作用，試求應應力分量。解：（一））確定應力函函數(shù)：（不計體力））h1xyoql/3qlql/6Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（二）應應力分分量：：xyoql/3qlql/6（三））邊界界條件件：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityxyoql/3qlql/6應力分分量：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity4=0材料力力學：：例3：單位位厚度度的懸懸臂矩矩形截截面梁梁，受受集中中力作作用，，試求求應力力分量量和位位移分分量。。解：（（一一）確確定應應力函函數(shù)：：（不計計體力力）2h1xyolPxProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（二）應應力分分量：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（三）利利用邊邊界條條件確確定待待定系系數(shù)：：2h1xyolPxProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity2h1xyolPxProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（四）應應變分分量：：（五）位位移分分量：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityxyolPProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityxyolPProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity4=0受力分分析：：例3：單位位厚度度的懸懸臂矩矩形截截面梁梁，受受集中中力作作用，，試求求應力力分量量和位位移分分量。。解法（（二二）（不計計體力力）2h1xyolPxProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity應力函函數(shù)不不同，，但應應力分分量的的表達達式相相同。。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityAB4－6邊界上上的j及其導導數(shù)的的力學學意義義一、用用應力力函數(shù)數(shù)表示示邊界界條件件FxFyndxdydsaxyxyFxFynABdxdydsaxyxy二、邊邊界上上的j及其導導數(shù)考慮AB邊界上上面力力的合合力和和合力力矩：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityFxFynABdxdydsaxyxy三、邊邊界上上的j及其導導數(shù)的的力學學意義義設：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityFxFynABdxdydsaxyxy三、邊邊界上上的j及其導導數(shù)的的力學學意義義設：應力函函數(shù)中中一次次項不不影響響應力力分量量稱A為基點點AB段面力力合力力在y方向的的分量量。AB段面力力合力力在x方向的的分量量。AB段面力力對B點取矩矩的代代數(shù)和和。＋Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity例1：單單位位厚厚度度的的矩矩形形截截面面梁梁，，受受均均布布力力作作用用，，試試求求邊邊界界上上的的應應力力函函數(shù)數(shù)及及導導數(shù)數(shù)，，并并求求域域內(nèi)內(nèi)的的應應力力分分量量。。xyClqyBADqb解：：選選A為基基點點：：ABBCCDDA000000設：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityxyClqyBADqb另解解：：選選D為基基點點：：ABBCCDDA000000基點點不不同同，，應應力力函函數(shù)數(shù)不不同同，，但但應應力力分分量量相相同同。。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity例2：單單位位厚厚度度的的矩矩形形截截面面梁梁，，受受均均布布力力作作用用，，試試求求邊邊界界上上的的應應力力函函數(shù)數(shù)及及導導數(shù)數(shù)，，并并求求域域內(nèi)內(nèi)的的應應力力函函數(shù)數(shù)、、應應力力分分量量、、應應變變分分量量、、位位移移分分量量。。解：：選選C為基基點點：：ABBCCDDA00-ty設：：-tb-ty-txxyClqyBADqbtProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity應力力分分量量：：xyClqyBADqbt應變變分分量量：：位移分量量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity應力分量量應變分量量位移分量量四、利用用邊界上上的j及導數(shù)的的力學意意義求解解平面問問題的思思路選基點邊界條件件例3：單位厚厚度的懸懸臂矩形形截面梁梁，受均均布載荷荷q、集中力P和集中力力偶M作用，試試求應力力分量。。（不計體體力）2h1qxyolPMABCDProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity解：選A為基點：：AB：CD：設：2h1xyolPMABCDxqProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity應力分量量：邊界條件件：CD：2h1xyolPMABCDxqProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityAB：BC：2h1xyolPMABCDxqProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity應力分量量：2h1xyolPMABCDxq解法（二二）：選選C為基點：：AB：CD：設：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity應力分量量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity邊界條件件：CD：2h1xyolPMABCDxqAB：BC：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity應力分量量：2h1xyolPMABCDxqProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity一、用極極坐標求求解的平平面問題題圓筒、圓圓盤、扇扇形板．．半平面面體．楔楔形體、、帶孔物物體。r(r,q),q(r,q),rq=qr(r,q)構件特征征：應力分量量：應變分量量：位移分量量：xyou(r,q),v(r,q)§4－7平面問題題的極坐坐標解法法er,eq,grq=gqr(r,q)rqrqrqProf,WangJX平衡方程程二、基本本方程幾何方程程：物理方程平面應變變問題：：三、應力力函數(shù)和和相容方方程相容方程程（應變變協(xié)調(diào)方方程）應力分量量:應力函數(shù)數(shù):j(r,q)（體力為為零）Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity解題思路路：設定j(r,q)半逆解法法：應力分量量位移單值值條件邊界條件件滿足4=0應變分量量位移分量量逆解法：：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity四、軸對對稱應力力問題結(jié)構與受受力均關關于某軸軸對稱，，應力也也關于該該軸對稱稱。滿足22=0r,q,rq=qr(r)應力分量量：軸對稱應應力問題題的應力力函數(shù)Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity應力分量量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity應變分量量：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity位移分量量：將u和v帶入剪應變的的式中得：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity討論：（1）應力分量中中待定系數(shù)A、B、C需考慮應力邊邊界條件和位位移單值條件件才能確定。。Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（2）位移分量中中待定系數(shù)H、I、K在應力分量與與應變分量中中不出現(xiàn)，實實為應變分量量等于零時的的位移，即剛剛體位移。（3）應用位移邊邊界條件可確確定位移分量量中待定系數(shù)數(shù)H、I、K。當無剛體位移移時：H＝I＝K＝0Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity應力分量：例：厚壁圓環(huán)環(huán)受內(nèi)壓和外外壓作用，求求應力分量－－－典型軸對對稱應力問題題。解：應力函函數(shù)：2aqbroqa2bProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity邊界條件：2aqbroqa2bqb＝0：b∞：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityqa＝0：b∞：b＝2aqaqbqa0.67qa1.67qaqb1.67qb2.67qbProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity五、孔邊應力力集中問題：：（一）四邊均均勻拉伸板qqqq孔的半徑為：：axybqqsrtrqsr=qtrq=0b>>aProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（二）二邊均均勻拉伸、二二邊均勻壓縮縮孔的半徑為：：aqqqqxybqqsrtrqsr=qcos2qtrq=-qsin2qb>>aj=f(r)cos2qProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity邊界條件：b>>aProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityqqqqqxysqq4q孔邊應力：Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（三）二邊均勻拉伸伸板＝＋qq/2q/2q/2q/2Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityq孔邊應力：a3qqProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity（四）任意薄板在邊邊界受任意面面力＝＋Prof,Dr.WangJX:PlasticityandElasticity六、楔形體在在楔頂和楔邊邊受力問題：：（一）楔頂受受集中力單位厚度的楔楔體，在楔頂頂受單位寬度度上的集中力力P。OxybP半逆解法（量量綱分析法））qrProf,Dr.WangJX:PlasticityandElasticityOxybPqr半逆解法（（