工程水文學(xué)課件5

第七章

水文統(tǒng)計教學(xué)目標(biāo)水文統(tǒng)計的應(yīng)用頻率與重現(xiàn)期的關(guān)系兩種不同的統(tǒng)計概念隨機(jī)變量的統(tǒng)計參數(shù)自然現(xiàn)象必然現(xiàn)象：在一定條件下必然出現(xiàn)偶然現(xiàn)象：隨機(jī)現(xiàn)象第一節(jié)概率的基本概念一、水文學(xué)研究方法1．成因分析（對必然現(xiàn)象的研究方法）

成因—→規(guī)律—→結(jié)果2．地理綜合法（地理分析法）3．?dāng)?shù)理統(tǒng)計法（對隨機(jī)現(xiàn)象的研究方法）

樣本—→規(guī)律—→總體—→結(jié)果

水文統(tǒng)計:由于水文現(xiàn)象具有一定的隨機(jī)性，且這種隨機(jī)性規(guī)律需要大量資料統(tǒng)計出來，因此，用數(shù)理統(tǒng)計方法來分析研究水文現(xiàn)象并揭示水文規(guī)律?？傮w：某隨機(jī)變量所有取值的全體。樣本：從總體中任意抽取的一個部分。樣本容量：水文統(tǒng)計的應(yīng)用1．由樣本資料—→總體—→水文特征值（）2．由相關(guān)關(guān)系—→插補(bǔ)延長，由短系列—→長系列，提高其代表性3．用誤差理論，估計誤差范圍估算第二節(jié)概率的基本概念一、事件對隨機(jī)現(xiàn)象的觀測叫隨機(jī)實(shí)驗，隨機(jī)實(shí)驗的結(jié)果稱為事件。必然事件：不可能事件：隨機(jī)事件：二、概率在同等可能的條件下，隨機(jī)事件在實(shí)驗結(jié)果中可能出現(xiàn)的大小，用一個數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)來衡量，這個數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)就是概率。P（A）——概率；K——出現(xiàn)隨機(jī)事件A的結(jié)果數(shù)；N——實(shí)驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。頻率隨機(jī)事件A在重復(fù)次實(shí)驗n中出現(xiàn)了m次，P(A)稱事件A在n次實(shí)驗中出現(xiàn)的頻率。概率——度量隨機(jī)事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)，對總體而言；頻率——對樣本而言；當(dāng)n—→N時，頻率—→概率三、概率與頻率的關(guān)系四、頻率率與重現(xiàn)現(xiàn)期的關(guān)關(guān)系頻率：抽抽象，水水文上常常用重現(xiàn)現(xiàn)期重現(xiàn)期（（T）——隨機(jī)事件件平均的的重現(xiàn)間間隔時間間，水文文上稱多多少年一一遇。1．研究暴暴雨洪水水（防洪洪、稀遇遇洪水））P<50%，則（（年））P——設(shè)計頻率率，或設(shè)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)三峽：P=0.1%，P=0.01%，P>50%，則例如P=80%，5（年）例如：二二十年一一遇的設(shè)設(shè)計洪水水，枯水水年P(guān)=1－0.05=95%2．研究枯水水（興利））（灌溉、、發(fā)電、供供水等）第三節(jié)隨隨機(jī)變變量及其分分布一、隨機(jī)變變量隨機(jī)變量：：隨機(jī)實(shí)驗驗中測量到到的數(shù)量。水文上：水水位，流量量、年徑流流等。二、隨機(jī)變變量的概率率分布隨機(jī)變量的的取值與其概率之間對應(yīng)關(guān)關(guān)系。工程程數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)（（概概率率數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計計））水文文統(tǒng)統(tǒng)計計1．分分布布函函數(shù)數(shù)不不同同小于于制制（（不不及及制制））大于于制制（（超超過過制制））兩者者之之間間的的關(guān)關(guān)系系：：對于于連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量g(x)————密度度函函數(shù)數(shù)f(x)————密度度函函數(shù)數(shù)F（x）的性性質(zhì)質(zhì)：：①非增增函函數(shù)數(shù)；；②；；③③*水水文文上上關(guān)關(guān)心心的的是是從從防防洪洪角角度度，，關(guān)關(guān)心心的的是是超超過過某某一一個個洪洪水水流流量量，，這樣樣主主要要是是從從保保證證安安全全的的角角度度。。補(bǔ)充充、、兩兩種種不不同同的的統(tǒng)統(tǒng)計計概概念念2．概概率率密密度度曲曲線線和和分分布布曲曲線線畫畫法法不不同同3、曲曲線線名名字字叫叫法法不不同同三、、隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的統(tǒng)統(tǒng)計計參參數(shù)數(shù)統(tǒng)計計參參數(shù)數(shù)：能能說說明明隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的統(tǒng)統(tǒng)計計規(guī)規(guī)律律的的某某些些數(shù)字特征稱為隨機(jī)變量量的統(tǒng)計參數(shù)數(shù)。水文計算中常常用的樣本統(tǒng)計參數(shù)：均值、均方差差、變差系數(shù)數(shù)、偏態(tài)系數(shù)數(shù)。一、均值1．均值：算術(shù)術(shù)平均數(shù)樣本系列：物理意義：①表示系列的平平均情況例如：葛洲壩壩：=4530億m3丹江：=379億m3②水文系列的均均值常繪制成成等值線圖，，以反映水文文現(xiàn)象的地區(qū)變化規(guī)律律。例如我國年降降水量均值等等值線圖分布布：沿海比內(nèi)內(nèi)陸大、山區(qū)區(qū)比平原大、、南方比北方方大。2．方差與均方方差均值能表示系系列中各變量量的平均情況況，但不能反反映系列各變變量值在均值兩側(cè)的離散程度：例如：甲105090=50乙495051=50以均值為中心心考察—稱為紊均差方差：均方差（標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差）：=32.6，=0.8>>，甲紊散散程度大、乙乙小的物理意義：：系列離散程程度大??；三、變差系數(shù)數(shù)（離差系數(shù)數(shù)、離勢系數(shù)數(shù)）對于兩個均值值相同的系列列，均方差應(yīng)應(yīng)能很好的用用來比較它的的紊散程度的的大小，但如如果兩個系系列的均值不不同，無法比比較例如：甲51015=10=4.08乙99510001005=1000=4.08引入變差系數(shù)數(shù)：CV的物理意義，，表示對均值值的相對離散散程度的大小小——模擬系數(shù)不同地區(qū)的CV《水文手冊》繪有與地理因因素有關(guān)的水水文變量等值值線圖，我國國年降雨量的的CV值變化特點(diǎn)：南方小，北方方大；沿海小，內(nèi)陸陸大；平原小，山區(qū)區(qū)大不同CV對水文現(xiàn)象的的影響（1）對徑流來講講，CV大，說明來水水不均勻，變化劇烈，，如若在這樣樣的河流上修修建水庫，就就需要較大的的水庫調(diào)節(jié)，，所以CV對水利工程的的設(shè)計規(guī)模有有很大的影響響。（2）同一河流，，上—→下游，CV上>CV中>CV下，上游河窄、、控制流域面面積小，調(diào)節(jié)節(jié)能力差，暴暴漲暴落，中中下游、河流流面積大，調(diào)調(diào)節(jié)能力強(qiáng)。。四、偏態(tài)系數(shù)數(shù)（偏差系數(shù)數(shù)）——反映系列水平平的高低CV——反映系列離散散程度的大小小系列的偏度，，即系列對于于均值來說，，對稱還是不不對稱，大于于均值的數(shù)出出現(xiàn)的多些還還是小于均值值的數(shù)出現(xiàn)的的多些（用CS）。CS=0，對稱；CS>0，正偏；CS<0，互偏正態(tài)分布函數(shù)數(shù)水文上常用的的幾種理論頻頻率曲線（一）正態(tài)分分布Z——連續(xù)性，隨機(jī)機(jī)變量Z的密度函數(shù)為為參數(shù)：——均值，σ——均方差（或標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差）第四節(jié)水水文頻率曲曲線線型正態(tài)分布曲線線性質(zhì)性質(zhì)：1．單峰，當(dāng)時時，2．f(x)以直線對對稱3．當(dāng)時時，f(x)以x軸為漸近誤差估計：頻率格紙橫坐坐標(biāo)的分劃（二）皮爾遜遜Ⅲ型分布P－Ⅲ型英生物學(xué)家皮皮爾遜，物理理學(xué)、生物學(xué)學(xué)及經(jīng)濟(jì)學(xué)上上的有些隨機(jī)機(jī)變量不具正正態(tài)分布，選選了13種曲線形式，，第Ⅲ型曲線引入水水文（父～子子的力學(xué)關(guān)系系）1．P－Ⅲ型的特點(diǎn)密度函數(shù)α、β、a0——三個系數(shù)，若若確定，f(x)即可確定（1）f(x)單峰；；（2）近似似于鈴鈴形曲曲線；；（3）正偏偏CS>0（偏態(tài)系系數(shù)））；（4）一端端有限限，一一端無無限。。2．α、β、a0與、、CV（離勢勢系系數(shù)數(shù)））、、CS（偏態(tài)態(tài)系系數(shù)數(shù)））之之間間的的關(guān)關(guān)系系水文文上上應(yīng)應(yīng)用用P－Ⅲ型的的原原因因（1）只只有有三三個個參參數(shù)數(shù)，，簡簡單單α、β、a。；；（2）與水水文文要要素素的的分分布布相相接接近近；；（3）計計算算有有表表可可查查。。水文文上上關(guān)關(guān)鍵鍵問問題題：：1.知道道頻頻率率曲曲線線2.推求求指指定定頻頻率率P的xp值對于于一一個個具具體體的的樣樣本本系系列列，，、、CV、CS一定定已已知知—→α、β、a?！鷛p—→(xpi，pi)——→理論論頻頻率率曲曲線線實(shí)-福斯斯特特和和雷雷布布高高制制成成了了取標(biāo)準(zhǔn)化化變化：：，，紊紊均系數(shù)數(shù)指定頻率率的xp，則則：；；則則式中的乘乘積函數(shù)數(shù)只含一一個參數(shù)數(shù)CS了，因而而只要給給定CS就可以算算出和P的對應(yīng)關(guān)關(guān)系。的的對應(yīng)應(yīng)表已給給出指定頻率率P例：P59800mm，CV=0.5，CS=1.0求千年一一遇（P=0.1%）的年雨量量值。查P298CS→1，得=4.53=2612mm例，宜昌昌多年平平均降雨雨量1000mmCV=0.5，CS=2CV=1.0求百年一一遇（P=1%）的年設(shè)計計雨量解：由CS、P查P298得=3.02=2510mm注：令，，則Kp——稱為模比比系數(shù)，，也有表表可查，，CS，p—→Kp。思路：總總體———→→無數(shù)個樣樣本樣本（有有限的））———→→總體（無無限的））樣本參數(shù)數(shù)——→總體參數(shù)數(shù)樣本參數(shù)數(shù)——→總體參數(shù)數(shù)——估計值（（樣本參參數(shù)）——被估計值值（總體體參數(shù)）），則稱為為的無偏估估計值，，否則稱稱為有偏偏估計值值。第五節(jié)頻頻率率曲線參參數(shù)估計計隨機(jī)抽樣樣趨進(jìn)/逼近推估推估有偏無偏（））——→是無偏估估計值、CV、CS有偏估計計值對于有偏偏估計值值，需進(jìn)進(jìn)行修正正*注意：：用不偏估估計值算算出的參參數(shù)，仍仍然不等等于總體體的參數(shù)數(shù)，而只只是極多多個同容容量樣本本的這種種不偏估估值的平平均值才才正好等等于總體體的相應(yīng)應(yīng)參數(shù)。。用樣本參參數(shù)——總體參數(shù)數(shù)，存在在誤差，，稱抽樣樣誤差，，誤差是由由總體中中隨機(jī)抽取取的樣本。。的均方誤誤CV的均方誤誤CS的均方誤誤抽樣誤差差的大小小，隨樣樣本容量量（項數(shù)數(shù)n）、CV、CS的大小而而變，樣樣本容量量越大，，對總體體的代表表性越好好，其抽抽樣誤差差越小。。（四）抽抽樣誤差差代替注意：1.、CV值均方誤誤相對較較小例如：n=25年，CV=0.1～1.0之間、CV均方誤均均在20%之內(nèi)2.CS值均方誤誤差較大大例如，當(dāng)當(dāng)n=25年，85～252%之間當(dāng)n=100年，42～126%之間第六節(jié)水文頻率率計算適適線法一、經(jīng)驗驗頻率曲曲線由水文樣樣本資料料，由大大—→小排列（（超過制制概率））如x1，x2，…，xnp1，p2，…，pn(x1,p1)……(xi,pi)1．經(jīng)驗頻頻率公式式P——的經(jīng)驗頻頻率m——變量xi按從大—→小排列的的序號n——觀測資料料的總項項數(shù)數(shù)學(xué)期望望公式（（均值））公式另外，切切哥達(dá)也也夫（中中線）公公式海森公式式：把總體分分成n+1組，并選選取各組組的下限限值作為為組值，，組內(nèi)的的全部變變數(shù)都大大于等于于組值，，符合超超過值頻頻率的定定義，樣樣本與總總體的項項數(shù)至少少相差一一組。①當(dāng)m=n時，p=100%，即樣本的的末項就就是總體體的最小小值，不不合理。。②總體無無法得到到，再長長也是個個樣本。。注：1．xi由大→小排列，，x≥xi，排列序號號表示大大小次序序，同時時表明x≥xi的累積次次數(shù)。2．用數(shù)學(xué)學(xué)期望公公式計算算x≥xi的經(jīng)驗頻頻率：3．點(diǎn)繪（（xi，Pi），繪出經(jīng)驗驗頻率曲曲線4．推求設(shè)設(shè)計值：：P→xp注意：優(yōu)點(diǎn)：經(jīng)經(jīng)驗頻率率曲線計計算工作作量小，，繪制簡簡單，查查用方便便。缺點(diǎn)：1.由于資料料有限，，難以滿滿足設(shè)計計要求；；2.外延任意意性大。。為避免外外延的任任意性，，借助數(shù)數(shù)學(xué)方程程表示的的頻率曲曲線，稱稱為理論頻率曲曲線，3.無法地區(qū)綜合合。經(jīng)驗頻率曲線線繪制步驟：1.選樣本系列x1，x2，…，xn2．點(diǎn)繪繪經(jīng)經(jīng)驗驗頻頻率率點(diǎn)點(diǎn)（（xi，pi），，由大大———→小排排列列，，計計算算經(jīng)經(jīng)驗驗頻頻率率，，，，點(diǎn)點(diǎn)繪繪在在頻頻率率格格紙紙上上。。頻率率格格紙紙：：縱縱標(biāo)標(biāo)：：變變量量、、均均勻勻分分格格；；橫橫標(biāo)標(biāo)：：頻頻率率，，中中間間密密、、兩兩端端稀??；正態(tài)態(tài)分分布布曲曲線線是是一一條條直直線線。。思路路：：適適線線法法———→配線線法法以樣樣本本系系列列———→經(jīng)驗驗頻頻率率點(diǎn)點(diǎn)（（xi，pi）為基基礎(chǔ)礎(chǔ)———→理論論頻頻曲曲線線———→估計計總總體體的的統(tǒng)統(tǒng)計計參參數(shù)數(shù)———→確定定總總體體的的統(tǒng)統(tǒng)計計規(guī)規(guī)律律———→確定定設(shè)設(shè)計計值值第六六節(jié)節(jié)水文文頻頻率率計計算算適適線線法法一、、現(xiàn)現(xiàn)行行水水文文頻頻率率計計算算方方法法———適線線法法選配配擬合合好好P二、、目目估估適適線線法法假定定CS，根據(jù)據(jù)水水文文計計算算的的經(jīng)經(jīng)驗驗?zāi)陱綇搅髁鰿S=（2～3）CV暴雨雨洪洪水水CS=（2.5～4）CV4．選定定線線型型我我國國P－Ⅲ型5．計計算算xp結(jié)合合例例題題計計P63，例4-2講，，點(diǎn)點(diǎn)繪繪（（xp，p），，連成成曲曲線線（（目目估估））3．計計算算樣樣本本統(tǒng)統(tǒng)計計參參數(shù)數(shù)、、CV、CS計算算（當(dāng)當(dāng)n>100時計計算算，，一一般般假假定定））①.審查查資資料料（（樣樣本本））由由大大———→小排排列列②．．計計算算經(jīng)經(jīng)驗驗頻頻率率③．．繪繪點(diǎn)點(diǎn)連連線線④．．計計算算、、CV⑤．假定CS年徑流CS=（2～3）CV；暴雨洪水水CS=（2.5～4）CV⑥．由P、CS查P－Ⅲ線表表，，計算，，點(diǎn)點(diǎn)繪（xp，p），畫理論頻頻率曲線線。⑦．若若經(jīng)驗頻頻率點(diǎn)與與理論頻頻率曲線線擬合較較好即為為所求，，其相應(yīng)應(yīng)參數(shù)即為選用用理論頻頻率曲線線參數(shù)（（總體））。⑧．若配合合不好，，調(diào)整參參數(shù)，一一般CS→CV——→6．配線步驟：必要時如，，，↑，頻率曲線線位置抬抬高，且且變陡。。注意：①由tc接近P=100%處出現(xiàn)負(fù)負(fù)值，由由于水文文現(xiàn)象不不可能是是負(fù)值，，故適線線時應(yīng)使使CS≥2CV；②由樣本算算出的統(tǒng)統(tǒng)計參數(shù)數(shù)、、CV值為理論論頻率曲曲線的動動估參數(shù)數(shù)。1．CV、CS固定，改改變頻頻率曲線線的高低低位置3．、、CV固定CS變大，使使頻率曲曲線上端端變陡，，中間曲曲率變大大，下端端趨于水水平，CS2>CS1。（五）、、CV、CS對頻率曲曲線的影影響2．、、CS固定CV變大，使使頻率曲曲線順時時針旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，CV2>CV1。1．離差平平方和最最小準(zhǔn)則則（OLS）；2．離差絕對對值和最最小準(zhǔn)則則（ABS）；3．相對離差差平方和和最小準(zhǔn)準(zhǔn)則。1.若難以頭頭尾都配配合好，，可有所所側(cè)重；；2．暴雨洪洪水可重重點(diǎn)考慮慮中、上上部；3．研究年年徑流時時，可重重點(diǎn)考慮慮下部和和中部。。注意：三、優(yōu)化化適線法法頻率分析析：分析析一個隨隨機(jī)變量量的變化化規(guī)律；；相關(guān)分析析：兩個個或兩個個以上隨隨機(jī)變量量之間的的關(guān)系。。第七節(jié)相關(guān)分析析1．相關(guān)分分析的任任務(wù)（內(nèi)內(nèi)容）（1）判斷兩兩變量或或兩個以以上變量量相關(guān)的的密切程程度；（2）確定相相關(guān)關(guān)系系的數(shù)學(xué)學(xué)形式（（相應(yīng)方方程或回回歸方程程式）；；（3）插補(bǔ)延延長倚變變量；（4）誤差分分析。一、問題題的提出出完全相關(guān)關(guān)：函數(shù)數(shù)關(guān)系，，零相關(guān)：：沒有關(guān)關(guān)系統(tǒng)計相關(guān)關(guān)（相關(guān)關(guān)關(guān)系，，近似關(guān)關(guān)系）：：介于完完全相關(guān)關(guān)與零相相關(guān)之間間，某種變化化關(guān)系或或某種明明顯的變變化趨勢勢。2．研究相相關(guān)的目目的插補(bǔ)延長3．相關(guān)分分類①根據(jù)密切切程度直線相關(guān)關(guān)曲線相關(guān)關(guān)簡相關(guān)關(guān)（一一個自自變量量，一一個倚倚變量量）復(fù)相關(guān)關(guān)（多多個自自變量量）正相關(guān)關(guān)負(fù)相關(guān)關(guān)②以自變變量的的多寡寡分③以相關(guān)關(guān)線型型分④以兩變變量的的變化化步調(diào)調(diào)分二、簡簡單直直線相相關(guān)（（簡相相關(guān)））x、y同期（（同步步）觀觀測資資料，，點(diǎn)繪繪在圖圖上，，根據(jù)據(jù)相關(guān)關(guān)點(diǎn)的的分布布趨勢勢，繪繪出相相關(guān)線線，使使相關(guān)關(guān)點(diǎn)均均勻分分布在在相關(guān)關(guān)線的的兩旁旁。（一））相關(guān)關(guān)圖解解法優(yōu)點(diǎn)：：簡單單，避避免大大量數(shù)數(shù)字計計算缺點(diǎn)：：定線線因人人而異異，外外延誤誤差大大（二））相關(guān)關(guān)分析析法三、相相關(guān)計計算法法（簡簡直線線相關(guān)關(guān)）（（一元元線性性回歸歸方程程式））水文分分析計計算中中，通通常以以應(yīng)用用簡相相關(guān)中中的直直線相相關(guān)為為最多多。相關(guān)計算需需解決的問問題：（1）確定x、y是否存在相相關(guān)關(guān)系（2）確定數(shù)學(xué)學(xué)表達(dá)式（（回歸方程程式）（3）誤差分析析（4）相關(guān)系數(shù)數(shù)分析1．回歸方程程第一步：確確定線型—簡直線x1，x2，…，xny1，y2，…，ynxi，yi——表示實(shí)測值值第二步：確確定參數(shù)a、by—倚變量；x,y—表示相關(guān)線線上的值；；x—自變量；a、b—待定參數(shù)。。相關(guān)線不可可能通過各各個相關(guān)點(diǎn)點(diǎn)，則每個個實(shí)測點(diǎn)（（xi，yi）與相關(guān)線上上的點(diǎn)（x,y）都有一個縱縱向離差。。第三步：確確定回歸方方程所有相關(guān)點(diǎn)點(diǎn)縱離差的的平方方和為根據(jù)最小二二乘法原理理，要使點(diǎn)點(diǎn)群與直線線配合最佳佳，使其最最小。最小對其求一階階偏導(dǎo)數(shù)，，并令其等等于零。這里以a、b為自變量，，整理后得得到即兩邊同除除-2，整理r——相應(yīng)系數(shù)數(shù)；σx、σy——y、x系列的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差；；CVx、CVy——兩系列的的變差系系數(shù)。解（1）、（2）方程組組，其系系數(shù)行列列式（克萊姆姆法則，，有唯一一解）代入到方方程中中兩回歸線在均均值點(diǎn)（））處相相交，說明兩回歸線線都通過均值值點(diǎn)得到或（3）稱y倚x的回歸方程。。（回歸直線的的斜率）——稱y倚x的回歸系數(shù)另外，x倚y的回歸方程（4）將（3）、（4）式聯(lián)立求解解，得到回歸線僅是觀觀測點(diǎn)據(jù)的最最佳配合線，，通常觀測點(diǎn)點(diǎn)據(jù)并不完全全落在回歸線線上，而是以以回歸線為中中心向兩方均均勻分布，因因此觀測值與與回歸值之