92平面及空間兩直線的位置關(guān)系(閱讀)課件

1.平面的基本性質(zhì) 公理1：如果一條直線上的

在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi). 公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn).這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線. 公理3：經(jīng)過

的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)要點(diǎn)梳理§9.2平面及空間兩直線的位置關(guān)系兩點(diǎn)不在同一條直線上1.平面的基本性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)要點(diǎn)梳理§9.2平面12.直線與直線的位置關(guān)系（1）位置關(guān)系的分類

異面直線：不同在

一個(gè)平面內(nèi)（2）異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b,把a(bǔ)′與b′所成的

叫做異面直線a,b所成的角.

②范圍：

.共面直線平行相交任何銳角或直角2.直線與直線的位置關(guān)系共面直線平行相交任何銳角或直角23.直線與平面的位置關(guān)系有

、

、

三種情況.4.平面與平面的位置關(guān)系有

、

兩種情況.5.平行公理 公理4：平行于

的兩條直線互相平行.6.定理 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且

，那么這兩個(gè)角相等.平行相交在平面內(nèi)平行相交同一條直線方向相同3.直線與平面的位置關(guān)系有 、 、平行相交在平面內(nèi)平行31.(2010·無錫模擬)對(duì)于平面α和直線l，α內(nèi)至少有一條直線與直線l

（用“垂直”，“平行”或“異面”填空）.2.空間有四個(gè)點(diǎn)，如果其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，則經(jīng)過其中三個(gè)點(diǎn)的平面有

個(gè).

解析四點(diǎn)共面時(shí)，為一個(gè)平面；四點(diǎn)不共面時(shí)，可作4個(gè)平面.基礎(chǔ)自測(cè)垂直1或41.(2010·無錫模擬)對(duì)于平面α和直線l，α內(nèi)至少有一條43.有以下四個(gè)命題，其中正確的命題的個(gè)數(shù)是

. ①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線； ②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則

A、B、C、D、E共面； ③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面； ④依次首尾相接的四條線段必共面.

解析只有①正確.13.有以下四個(gè)命題，其中正確的命題的個(gè)數(shù)是 .154.如果一個(gè)凸多面體是n棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確定的直線共有

條.這些直線中共有f（n）對(duì)異面直線，則f（4）=

;f（n）=

.（答案用數(shù)字或n的解析式表示）

解析

n棱錐有n+1個(gè)頂點(diǎn)，故可確定 條直線.四棱錐中每一 條側(cè)棱都和底面上兩棱成異面直線， 故f（4）=4×2=8，n棱錐中每一條側(cè) 棱都和底面上n-2條棱成異面直線， 故f（n）=n（n-2）.8n（n-2）4.如果一個(gè)凸多面體是n棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確6【例1】如圖所示，空間四邊形ABCD中，

E、F、G分別在AB、BC、CD上， 且滿足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，

CG∶GD=3∶1，過E、F、G的平 面交AD于H，連結(jié)EH.（1）求AH∶HD；（2）求證：EH、FG、BD三線共點(diǎn).

證明線共點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)上是證明點(diǎn)在線上的問題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點(diǎn)看作是兩平面的公共點(diǎn)，由公理2得證.典型例題深度剖析分析【例1】如圖所示，空間四邊形ABCD中，典型例題深度剖析7（1）解∵∴EF∥AC.∴EF∥面ACD.而EF平面EFGH，且面EFGH∩面ACD=GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴ =3,即AH∶HD=3∶1.（1）解∵8（2）證明

∵EF∥GH,且∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形.令EH∩FG=P，則P∈EH，而EH平面ABD，P∈FG，F(xiàn)G平面BCD，面ABD∩面BCD=BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線共點(diǎn).（2）證明∵EF∥GH,且9跟蹤練習(xí)1如圖，E、F、G、H分別是 空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)， 且EH與FG交于點(diǎn)O. 求證：B、D、O三點(diǎn)共線.

證明∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面ABD，H∈平面ABD. ∴EH平面ABD. ∵EH∩FG=O，∴O∈平面ABD. 同理可證O∈平面BCD， ∴O∈平面ABD∩平面BCD=BD， 即B、D、O三點(diǎn)共線.跟蹤練習(xí)1如圖，E、F、G、H分別是10【例2】如圖所示，正方體ABCD

—A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1，

B1C1的中點(diǎn).問：（1）AM和CN是否是異面直線？ 說明理由；（2）D1B和CC1是否是異面直線？ 說明理由.

（1）由于M、N分別是A1B1和B1C1中點(diǎn)，可證明MN∥AC，因此AM與CN不是異面直線.（2）由空間圖形可知D1B和CC1為異面直線的可能性較大，判斷的方法可用反證法.分析【例2】如圖所示，正方體ABCD分析11 解

（1）不是異面直線.理由： ∵M(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn). ∴MN∥A1C1，又∵A1A

D1D，而D1D

C1C， ∴A1A

C1C，∴四邊形A1ACC1為平行四邊形. ∴A1C1∥AC，得到MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一個(gè)平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.（2）是異面直線，證明如下：假設(shè)D1B與CC1在同一個(gè)平面D1CC1內(nèi)，則B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC平面CC1D1，這與ABCD—A1B1C1D1中BC⊥面CC1D1相矛盾.∴假設(shè)不成立，故D1B與CC1是異面直線. 解（1）不是異面直線.理由：（2）是異面直線，證明如下12跟蹤練習(xí)2

（2010·揚(yáng)州模擬）設(shè)a、b、c是兩兩異面的三條直線，已知a⊥b,且d是a、b的公垂線.如果c⊥a,那么c與d的位置關(guān)系是

.

解析構(gòu)造正方體ABCD—A1B1C1D1， 如圖所示，因?yàn)锳B與CC1異面且垂直，

BC是它們的公垂線，所以可記AB、CC1、

BC分別為a、b、d.因?yàn)閏與a、b均異面， 且c⊥a,注意到a⊥側(cè)面ADD1A1，因此側(cè)面ADD1A1內(nèi)的任一直線均與a垂直，從圖中可以看出，側(cè)面ADD1A1內(nèi)的A1D1和A1D均與a、b異面，且均與a垂直，所以可記A1D1或A1D為c，此時(shí)由A1D1∥B1C1∥BC知，c∥d；由A1D與BC異面知，c與d為異面直線. 綜上所述，c與d平行或異面.平行或異面跟蹤練習(xí)2（2010·揚(yáng)州模擬）設(shè)a、b、c是兩兩異面的13【例3】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1， 底面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱A1A

⊥底面ABC，點(diǎn)E、F分別是棱CC1、

BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，

EC=2FB=2.當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，BM∥平面AEF.

解

方法一如圖，取AE的中點(diǎn)O，連結(jié)OF，過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，連結(jié)BM. 因?yàn)閭?cè)棱A1A⊥底面ABC，所以側(cè) 面A1ACC1⊥底面ABC，所以O(shè)M⊥ 底面ABC. 又因?yàn)镋C=2FB=2，所以O(shè)M

FB

EC，所以四邊形OMBF為矩形， 故BM∥平面AEF，此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn).【例3】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1，14方法二如圖，取EC的中點(diǎn)P，AC的中點(diǎn)Q，連結(jié)PQ、PB、BQ.因?yàn)镋C=2FB=2，所以PE

BF，所以PQ∥AE、PB∥EF，∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB=P，∴平面PBQ∥平面AEF，所以BQ∥平面AEF.故點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)M，此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn).

方法二如圖，取EC的中點(diǎn)P，AC的中點(diǎn)Q，連結(jié)15跟蹤練習(xí)3如圖，DC⊥平面ABC，

EB∥DC，P，Q分別為AE，AB的 中點(diǎn).證明：PQ∥平面ACD.

證明因?yàn)镻，Q分別為AE，

AB的中點(diǎn)，所以PQ∥EB. 又DC∥EB，因此PQ∥DC，

PQ平面ACD，DC平面ACD， 從而PQ∥平面ACD.跟蹤練習(xí)3如圖，DC⊥平面ABC，16【例4】（14分）在正方體AC1中，

E是CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)與

BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接BE并 延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接

FG. 求證：直線FG平面ABCD且直線

FG∥直線A1B1.【例4】（14分）在正方體AC1中，17證明由已知得E是CD的中點(diǎn)，在正方體中，由于A∈平面ABCD，E∈平面ABCD，所以AE平面ABCD.又AE∩BC=F，從而F∈平面ABCD.同理G∈平面ABCD，所以FG平面ABCD.［7分］因?yàn)镋CAB，故在Rt△FBA中，CF=BC，同理DG=AD.又在正方形ABCD中，BCAD，所以CF

DG，所以四邊形CFGD是平行四邊形，所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，所以直線FG∥直線A1B1. ［14分］解題示范證明由已知得E是CD的中點(diǎn)，在正方體中，解題示范18跟蹤練習(xí)4已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn). 求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

解

如圖，連結(jié)BD. 因?yàn)镋H是△ABD的中位線， 所以EH∥BD，EH=BD. 又因?yàn)镕G是△CBD的中位線， 所以FG∥BD，F(xiàn)G=BD， 所以FG∥EH，且FG=EH， 所以四邊形EFGH是平行四邊形.跟蹤練習(xí)4已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是19 由于本節(jié)內(nèi)容為立體幾何的基礎(chǔ)，因此所有的立體幾何試題均會(huì)有本節(jié)內(nèi)容的“影子”，應(yīng)給予重視，對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查，常常會(huì)以綜合性問題的題目出現(xiàn)，但大多為容易題或中檔題，預(yù)計(jì)江蘇卷對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查會(huì)堅(jiān)持課標(biāo)與考綱的要求，不會(huì)有太大的變動(dòng).思想方法感悟提高高考動(dòng)態(tài)展望 由于本節(jié)內(nèi)容為立體幾何的基礎(chǔ)，因此所有的立體幾何試題均會(huì)有201.對(duì)于平面的三個(gè)公理，要深刻理解其含義，并能用符號(hào)準(zhǔn)確地表述.2.主要題型的解題方法（1）要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)（即“納入法”）.（2）要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理2可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線.方法規(guī)律總結(jié)1.對(duì)于平面的三個(gè)公理，要深刻理解其含義，并能用符號(hào)準(zhǔn)確地表213.判定空間兩條直線是異面直線的方法（1）判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)B的直線是異面直線.（2）反證法：證明兩線平行、相交不可能或證明兩線共面不可能，從而可得兩線異面.3.判定空間兩條直線是異面直線的方法22一、填空題1.（2010·鎮(zhèn)江模擬）空間三條直線a、b、c互相平行，但不共面，它能確定

個(gè)平面，這些平面把空間分成

部分.37定時(shí)檢測(cè)一、填空題37定時(shí)檢測(cè)232.（2010·九江調(diào)研）已知a，b是異面直線，直線c∥直線a,則c與b的位置關(guān)系

（填序號(hào)）. ①一定是異面直線 ②一定是相交直線 ③不可能是平行直線 ④不可能是相交直線

解析

a,b是異面直線，直線c∥直線a.因而cb, 否則，若c∥b，則a∥b與已知矛盾，因而cb.③2.（2010·九江調(diào)研）已知a，b是異面直線，直線c∥直線243.（2009·安徽）對(duì)于四面體ABCD，下列命題正確的是

（寫出所有正確命題的編號(hào)）. ①相對(duì)棱AB與CD所在的直線是異面直線； ②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是△BCD三條高線的交點(diǎn)； ③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高的垂足重合； ④任何三個(gè)面的面積之和都大于第四個(gè)面的面積; ⑤分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn).3.（2009·安徽）對(duì)于四面體ABCD，下列命題正確25

解析假設(shè)AB與CD不是異面直線，則AB、CD共面，這與ABCD是四面體矛盾，故AB、CD是異面直線，因此①正確.由于該四面體的相對(duì)棱不一定互相垂直，因此過頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足不一定是△BCD三條高線的交點(diǎn)，故②不正確，當(dāng)△ABD與△ABC是全等三角形時(shí)，兩個(gè)平面內(nèi)AB邊上的高的垂足重合,此時(shí)兩條高相交，故③不正確.由于平面內(nèi)三角形兩邊之和大于第三邊，類比到空間可得四面體的任何三個(gè)面的面積之和都大于第四個(gè)面的面積，故④正確.⑤正確，證明如下： 設(shè)P1、P2、P3分別是EG、FH、MN的中點(diǎn)， 解析假設(shè)AB與CD不是異面直線，則AB、CD共面，這與26又設(shè)=a,=b，=c,則同理可證（a+b+c），（a+b+c）,∴三點(diǎn)P1、P2、P3重合，即四面體相對(duì)棱的中點(diǎn)相交于一點(diǎn).答案

①④⑤又設(shè)=a,=b，=c,則274.（2010·馬鞍山模擬）給出下列命題： ①若平面α內(nèi)的直線a與平面β內(nèi)的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么直線c至多與a、b中的一條相交； ②若直線a與b為異面直線，直線b與c平行，則直線a與c異面； ③一定存在平面α和異面直線a、b同時(shí)平行. 其中正確命題的序號(hào)是

.

解析①錯(cuò)，c可以與a、b均相交；②錯(cuò)，因?yàn)閍與c也可能相交；③對(duì)，可以將兩異面直線a與b平移到空間內(nèi)任意一點(diǎn)處，確定一個(gè)平面，該平面可以與a、b同時(shí)平行，并且這樣的平面有無數(shù)多個(gè).③4.（2010·馬鞍山模擬）給出下列命題：③285.（2010·常州調(diào)研）若P是兩條異面直線l、m外的任意一點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的有

（填序號(hào)）. ①過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都平行 ②過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都垂直 ③過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都相交 ④過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都異面

解析對(duì)于①，若過點(diǎn)P有直線n與l,m都平行，則l∥m，這與l,m異面矛盾； 對(duì)于②，過點(diǎn)P與l、m都垂直的直線，即過點(diǎn)P且與

l、m的公垂線段平行的那一條直線； 對(duì)于③,過點(diǎn)P與l、m都相交的直線有一條或零條； 對(duì)于④，過點(diǎn)P與l、m都異面的直線可能有無數(shù)條.①③④5.（2010·常州調(diào)研）若P是兩條異面直線l、m外的任意一296.（2010·蘇州模擬）已知a、b為不垂直的異面直線,α是一個(gè)平面，則a、b在α上的射影可能是 ①兩條平行直線； ②兩條互相垂直的直線； ③同一條直線； ④一條直線及其外一點(diǎn). 則在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是

（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.

解析①、②、④對(duì)應(yīng)的情況如下：

用反證法證明③不可能.①②④6.（2010·蘇州模擬）已知a、b為不垂直的異面直線,α是307.（2009·全國(guó)Ⅱ改編）已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直 線BE與CD1所成角的余弦值為

.

解析如圖，連結(jié)A1B，則A1B∥CD1

故異面直線BE與CD1所成的角即為BE

與A1B所成的角.設(shè)AB=a,則A1E=a,A1B=

a,BE=a. 在△A1BE中，由余弦定理得 cos∠A1BE=

7.（2009·全國(guó)Ⅱ改編）已知正四棱柱ABCD—A1B1C318.（2009·廣東揭陽調(diào)研）如圖,在正四棱 柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB1、

BC1的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中成立的是

（填序號(hào)）. ①EF與BB1垂直 ②EF與BD垂直 ③EF與CD異面 ④EF與A1C1異面8.（2009·廣東揭陽調(diào)研）如圖,在正四棱32解析連結(jié)A1B，∵E是AB1中點(diǎn)，∴E∈A1B，∴EF是△A1BC1的中位線，∴EF∥A1C1，故④不成立.答案

①②③解析連結(jié)A1B，∵E是AB1中點(diǎn)，∴E∈A1B，339.（2009·山東聊城5月模擬）如圖 是一個(gè)幾何體的平面展開圖，其中四 邊形ABCD為正方形，E、F分別為PA、

PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面 三個(gè)結(jié)論： ①直線BE與直線CF是異面直線； ②直線BE與直線AF是異面直線； ③直線EF∥平面PBC. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是

.9.（2009·山東聊城5月模擬）如圖34解析由已知，原幾何體為正四棱錐P-ABCD，∵EF∥AD∥BC，∴B、C、E、F四點(diǎn)共面.∴①錯(cuò)，②對(duì).又∵EF∥BC，BC平面PBC，EF平面PBC，∴EF∥平面PBC，故③對(duì).答案

②③解析由已知，原幾何體為正四棱錐P-ABCD，答案②③35二、解答題10.（2010·淮安模擬）在正方體ABCD—A1B1C1D1

中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1A的中點(diǎn)，求證：（1）E、C、D1、F四點(diǎn)共面；（2）CE、D1F、DA三線共點(diǎn).證明（1）分別連結(jié)EF、A1B、D1C.∵E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，∴EFA1B.又A1D1B1C1BC，∴四邊形A1D1CB為平行四邊形.∴A1B∥CD1，從而EF∥CD1.∴EF與CD1確定一個(gè)平面.∴E、F、D1、C四點(diǎn)共面.二、解答題36（2）∵EFCD1，∴直線D1F和CE必相交,設(shè)D1F∩CE=P.∵P∈D1F且D1F平面AA1D1D，∴P∈平面AA1D1D.又P∈EC且CE平面ABCD，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點(diǎn)，而平面ABCD∩平面AA1D1D=AD，∴P∈AD.∴CE、D1F、DA三線共點(diǎn).（2）∵EFCD1，∴直線D1F和CE必相3711.（2010·南通模擬）定線段AB所在的直線與定平面α相交，P為直線AB外的一點(diǎn)，且P不在α內(nèi)，若直線AP、BP與α分別交于C、D點(diǎn)，求證：不論P(yáng)在什么位置，直線CD必過一定點(diǎn).

證明設(shè)定線段AB所在直線為l,與平面α交于O點(diǎn)， 即l∩α=O.由題意可知，AP∩α=C，

BP∩α=D，∴C∈α，D∈α.又∵AP∩BP=P, ∴AP、BP可確定一平面β且C∈β，D∈β. ∴CD=α∩β. ∵A∈β，B∈β, ∴l(xiāng)β,∴O∈β. ∴O∈α∩β，即O∈CD. ∴不論P(yáng)在什么位置，直線CD必過一定點(diǎn).11.（2010·南通模擬）定線段AB所在的直線與定平面α相3812（2010·麗水一模）已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD，點(diǎn)E、F、G、H、M、N分別是AB、BC、CD、DA、AC、BD的中點(diǎn).求證：三線段EG、FH、MN交于一點(diǎn)且被該點(diǎn)平分.

證明如圖所示， 連接EF、FG、GH、HE. ∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)， ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形.12（2010·麗水一模）已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線A39設(shè)EG∩FH=O，則O平分EG、FH.同理，四邊形MFNH是平行四邊形，設(shè)MN∩FH=O′，則O′平分MN、FH.∵點(diǎn)O、O′都平分線段FH，∴點(diǎn)O與點(diǎn)O′重合，∴MN過EG和FH的交點(diǎn)，即三線段EG、FH、MN交于一點(diǎn)且被該點(diǎn)平分.返回設(shè)EG∩FH=O，返回401.平面的基本性質(zhì) 公理1：如果一條直線上的

在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi). 公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn).這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線. 公理3：經(jīng)過

的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)要點(diǎn)梳理§9.2平面及空間兩直線的位置關(guān)系兩點(diǎn)不在同一條直線上1.平面的基本性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)要點(diǎn)梳理§9.2平面412.直線與直線的位置關(guān)系（1）位置關(guān)系的分類

異面直線：不同在

一個(gè)平面內(nèi)（2）異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b,把a(bǔ)′與b′所成的

叫做異面直線a,b所成的角.

②范圍：

.共面直線平行相交任何銳角或直角2.直線與直線的位置關(guān)系共面直線平行相交任何銳角或直角423.直線與平面的位置關(guān)系有

、

、

三種情況.4.平面與平面的位置關(guān)系有

、

兩種情況.5.平行公理 公理4：平行于

的兩條直線互相平行.6.定理 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且

，那么這兩個(gè)角相等.平行相交在平面內(nèi)平行相交同一條直線方向相同3.直線與平面的位置關(guān)系有 、 、平行相交在平面內(nèi)平行431.(2010·無錫模擬)對(duì)于平面α和直線l，α內(nèi)至少有一條直線與直線l

（用“垂直”，“平行”或“異面”填空）.2.空間有四個(gè)點(diǎn)，如果其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，則經(jīng)過其中三個(gè)點(diǎn)的平面有

個(gè).

解析四點(diǎn)共面時(shí)，為一個(gè)平面；四點(diǎn)不共面時(shí)，可作4個(gè)平面.基礎(chǔ)自測(cè)垂直1或41.(2010·無錫模擬)對(duì)于平面α和直線l，α內(nèi)至少有一條443.有以下四個(gè)命題，其中正確的命題的個(gè)數(shù)是

. ①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線； ②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則

A、B、C、D、E共面； ③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面； ④依次首尾相接的四條線段必共面.

解析只有①正確.13.有以下四個(gè)命題，其中正確的命題的個(gè)數(shù)是 .1454.如果一個(gè)凸多面體是n棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確定的直線共有

條.這些直線中共有f（n）對(duì)異面直線，則f（4）=

;f（n）=

.（答案用數(shù)字或n的解析式表示）

解析

n棱錐有n+1個(gè)頂點(diǎn)，故可確定 條直線.四棱錐中每一 條側(cè)棱都和底面上兩棱成異面直線， 故f（4）=4×2=8，n棱錐中每一條側(cè) 棱都和底面上n-2條棱成異面直線， 故f（n）=n（n-2）.8n（n-2）4.如果一個(gè)凸多面體是n棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確46【例1】如圖所示，空間四邊形ABCD中，

E、F、G分別在AB、BC、CD上， 且滿足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，

CG∶GD=3∶1，過E、F、G的平 面交AD于H，連結(jié)EH.（1）求AH∶HD；（2）求證：EH、FG、BD三線共點(diǎn).

證明線共點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)上是證明點(diǎn)在線上的問題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點(diǎn)看作是兩平面的公共點(diǎn)，由公理2得證.典型例題深度剖析分析【例1】如圖所示，空間四邊形ABCD中，典型例題深度剖析47（1）解∵∴EF∥AC.∴EF∥面ACD.而EF平面EFGH，且面EFGH∩面ACD=GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴ =3,即AH∶HD=3∶1.（1）解∵48（2）證明

∵EF∥GH,且∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形.令EH∩FG=P，則P∈EH，而EH平面ABD，P∈FG，F(xiàn)G平面BCD，面ABD∩面BCD=BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線共點(diǎn).（2）證明∵EF∥GH,且49跟蹤練習(xí)1如圖，E、F、G、H分別是 空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)， 且EH與FG交于點(diǎn)O. 求證：B、D、O三點(diǎn)共線.

證明∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面ABD，H∈平面ABD. ∴EH平面ABD. ∵EH∩FG=O，∴O∈平面ABD. 同理可證O∈平面BCD， ∴O∈平面ABD∩平面BCD=BD， 即B、D、O三點(diǎn)共線.跟蹤練習(xí)1如圖，E、F、G、H分別是50【例2】如圖所示，正方體ABCD

—A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1，

B1C1的中點(diǎn).問：（1）AM和CN是否是異面直線？ 說明理由；（2）D1B和CC1是否是異面直線？ 說明理由.

（1）由于M、N分別是A1B1和B1C1中點(diǎn)，可證明MN∥AC，因此AM與CN不是異面直線.（2）由空間圖形可知D1B和CC1為異面直線的可能性較大，判斷的方法可用反證法.分析【例2】如圖所示，正方體ABCD分析51 解

（1）不是異面直線.理由： ∵M(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn). ∴MN∥A1C1，又∵A1A

D1D，而D1D

C1C， ∴A1A

C1C，∴四邊形A1ACC1為平行四邊形. ∴A1C1∥AC，得到MN∥AC， ∴A、M、N、C在同一個(gè)平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.（2）是異面直線，證明如下：假設(shè)D1B與CC1在同一個(gè)平面D1CC1內(nèi)，則B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC平面CC1D1，這與ABCD—A1B1C1D1中BC⊥面CC1D1相矛盾.∴假設(shè)不成立，故D1B與CC1是異面直線. 解（1）不是異面直線.理由：（2）是異面直線，證明如下52跟蹤練習(xí)2

（2010·揚(yáng)州模擬）設(shè)a、b、c是兩兩異面的三條直線，已知a⊥b,且d是a、b的公垂線.如果c⊥a,那么c與d的位置關(guān)系是

.

解析構(gòu)造正方體ABCD—A1B1C1D1， 如圖所示，因?yàn)锳B與CC1異面且垂直，

BC是它們的公垂線，所以可記AB、CC1、

BC分別為a、b、d.因?yàn)閏與a、b均異面， 且c⊥a,注意到a⊥側(cè)面ADD1A1，因此側(cè)面ADD1A1內(nèi)的任一直線均與a垂直，從圖中可以看出，側(cè)面ADD1A1內(nèi)的A1D1和A1D均與a、b異面，且均與a垂直，所以可記A1D1或A1D為c，此時(shí)由A1D1∥B1C1∥BC知，c∥d；由A1D與BC異面知，c與d為異面直線. 綜上所述，c與d平行或異面.平行或異面跟蹤練習(xí)2（2010·揚(yáng)州模擬）設(shè)a、b、c是兩兩異面的53【例3】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1， 底面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱A1A

⊥底面ABC，點(diǎn)E、F分別是棱CC1、

BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，

EC=2FB=2.當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，BM∥平面AEF.

解

方法一如圖，取AE的中點(diǎn)O，連結(jié)OF，過點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)M，連結(jié)BM. 因?yàn)閭?cè)棱A1A⊥底面ABC，所以側(cè) 面A1ACC1⊥底面ABC，所以O(shè)M⊥ 底面ABC. 又因?yàn)镋C=2FB=2，所以O(shè)M

FB

EC，所以四邊形OMBF為矩形， 故BM∥平面AEF，此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn).【例3】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1，54方法二如圖，取EC的中點(diǎn)P，AC的中點(diǎn)Q，連結(jié)PQ、PB、BQ.因?yàn)镋C=2FB=2，所以PE

BF，所以PQ∥AE、PB∥EF，∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB=P，∴平面PBQ∥平面AEF，所以BQ∥平面AEF.故點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)M，此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn).

方法二如圖，取EC的中點(diǎn)P，AC的中點(diǎn)Q，連結(jié)55跟蹤練習(xí)3如圖，DC⊥平面ABC，

EB∥DC，P，Q分別為AE，AB的 中點(diǎn).證明：PQ∥平面ACD.

證明因?yàn)镻，Q分別為AE，

AB的中點(diǎn)，所以PQ∥EB. 又DC∥EB，因此PQ∥DC，

PQ平面ACD，DC平面ACD， 從而PQ∥平面ACD.跟蹤練習(xí)3如圖，DC⊥平面ABC，56【例4】（14分）在正方體AC1中，

E是CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)與

BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接BE并 延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接

FG. 求證：直線FG平面ABCD且直線

FG∥直線A1B1.【例4】（14分）在正方體AC1中，57證明由已知得E是CD的中點(diǎn)，在正方體中，由于A∈平面ABCD，E∈平面ABCD，所以AE平面ABCD.又AE∩BC=F，從而F∈平面ABCD.同理G∈平面ABCD，所以FG平面ABCD.［7分］因?yàn)镋CAB，故在Rt△FBA中，CF=BC，同理DG=AD.又在正方形ABCD中，BCAD，所以CF

DG，所以四邊形CFGD是平行四邊形，所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，所以直線FG∥直線A1B1. ［14分］解題示范證明由已知得E是CD的中點(diǎn)，在正方體中，解題示范58跟蹤練習(xí)4已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn). 求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

解

如圖，連結(jié)BD. 因?yàn)镋H是△ABD的中位線， 所以EH∥BD，EH=BD. 又因?yàn)镕G是△CBD的中位線， 所以FG∥BD，F(xiàn)G=BD， 所以FG∥EH，且FG=EH， 所以四邊形EFGH是平行四邊形.跟蹤練習(xí)4已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是59 由于本節(jié)內(nèi)容為立體幾何的基礎(chǔ)，因此所有的立體幾何試題均會(huì)有本節(jié)內(nèi)容的“影子”，應(yīng)給予重視，對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查，常常會(huì)以綜合性問題的題目出現(xiàn)，但大多為容易題或中檔題，預(yù)計(jì)江蘇卷對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查會(huì)堅(jiān)持課標(biāo)與考綱的要求，不會(huì)有太大的變動(dòng).思想方法感悟提高高考動(dòng)態(tài)展望 由于本節(jié)內(nèi)容為立體幾何的基礎(chǔ)，因此所有的立體幾何試題均會(huì)有601.對(duì)于平面的三個(gè)公理，要深刻理解其含義，并能用符號(hào)準(zhǔn)確地表述.2.主要題型的解題方法（1）要證明“線共面”或“點(diǎn)共面”可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi)（即“納入法”）.（2）要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理2可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線.方法規(guī)律總結(jié)1.對(duì)于平面的三個(gè)公理，要深刻理解其含義，并能用符號(hào)準(zhǔn)確地表613.判定空間兩條直線是異面直線的方法（1）判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)B的直線是異面直線.（2）反證法：證明兩線平行、相交不可能或證明兩線共面不可能，從而可得兩線異面.3.判定空間兩條直線是異面直線的方法62一、填空題1.（2010·鎮(zhèn)江模擬）空間三條直線a、b、c互相平行，但不共面，它能確定

個(gè)平面，這些平面把空間分成

部分.37定時(shí)檢測(cè)一、填空題37定時(shí)檢測(cè)632.（2010·九江調(diào)研）已知a，b是異面直線，直線c∥直線a,則c與b的位置關(guān)系

（填序號(hào)）. ①一定是異面直線 ②一定是相交直線 ③不可能是平行直線 ④不可能是相交直線

解析

a,b是異面直線，直線c∥直線a.因而cb, 否則，若c∥b，則a∥b與已知矛盾，因而cb.③2.（2010·九江調(diào)研）已知a，b是異面直線，直線c∥直線643.（2009·安徽）對(duì)于四面體ABCD，下列命題正確的是

（寫出所有正確命題的編號(hào)）. ①相對(duì)棱AB與CD所在的直線是異面直線； ②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是△BCD三條高線的交點(diǎn)； ③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高的垂足重合； ④任何三個(gè)面的面積之和都大于第四個(gè)面的面積; ⑤分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn).3.（2009·安徽）對(duì)于四面體ABCD，下列命題正確65

解析假設(shè)AB與CD不是異面直線，則AB、CD共面，這與ABCD是四面體矛盾，故AB、CD是異面直線，因此①正確.由于該四面體的相對(duì)棱不一定互相垂直，因此過頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足不一定是△BCD三條高線的交點(diǎn)，故②不正確，當(dāng)△ABD與△ABC是全等三角形時(shí)，兩個(gè)平面內(nèi)AB邊上的高的垂足重合,此時(shí)兩條高相交，故③不正確.由于平面內(nèi)三角形兩邊之和大于第三邊，類比到空間可得四面體的任何三個(gè)面的面積之和都大于第四個(gè)面的面積，故④正確.⑤正確，證明如下： 設(shè)P1、P2、P3分別是EG、FH、MN的中點(diǎn)， 解析假設(shè)AB與CD不是異面直線，則AB、CD共面，這與66又設(shè)=a,=b，=c,則同理可證（a+b+c），（a+b+c）,∴三點(diǎn)P1、P2、P3重合，即四面體相對(duì)棱的中點(diǎn)相交于一點(diǎn).答案

①④⑤又設(shè)=a,=b，=c,則674.（2010·馬鞍山模擬）給出下列命題： ①若平面α內(nèi)的直線a與平面β內(nèi)的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么直線c至多與a、b中的一條相交； ②若直線a與b為異面直線，直線b與c平行，則直線a與c異面； ③一定存在平面α和異面直線a、b同時(shí)平行. 其中正確命題的序號(hào)是

.

解析①錯(cuò)，c可以與a、b均相交；②錯(cuò)，因?yàn)閍與c也可能相交；③對(duì)，可以將兩異面直線a與b平移到空間內(nèi)任意一點(diǎn)處，確定一個(gè)平面，該平面可以與a、b同時(shí)平行，并且這樣的平面有無數(shù)多個(gè).③4.（2010·馬鞍山模擬）給出下列命題：③685.（2010·常州調(diào)研）若P是兩條異面直線l、m外的任意一點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的有

（填序號(hào)）. ①過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都平行 ②過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都垂直 ③過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都相交 ④過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都異面

解析對(duì)于①，若過點(diǎn)P有直線n與l,m都平行，則l∥m，這與l,m異面矛盾； 對(duì)于②，過點(diǎn)P與l、m都垂直的直線，即過點(diǎn)P且與

l、m的公垂線段平行的那一條直線； 對(duì)于③,過點(diǎn)P與l、m都相交的直線有一條或零條； 對(duì)于④，過點(diǎn)P與l、m都異面的直線可能有無數(shù)條.①③④5.（2010·常州調(diào)研）若P是兩條異面直線l、m外的任意一696.（2010·蘇州模擬）已知a、b為不垂直的異面直線,α是一個(gè)平面，則a、b在α上的射影可能是 ①兩條平行直線； ②兩條互相垂直的直線； ③同一條直線； ④一條直線及其外一點(diǎn). 則在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是

（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.

解析①、②、④對(duì)應(yīng)的情況如下：

用反證法證明③不可能.①②④6.（2010·蘇州模擬）已知a、b為不垂直的異面直線,α是707.（2009·全國(guó)Ⅱ改編）已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直 線BE與CD1所成角的余弦值為

.

解析如圖，連結(jié)A1B，則A1B∥CD1

故異面直線BE與CD1所成的角即為BE

與A1B所成的角.設(shè)AB=a,則A1E=a,A1B=

a,BE=a. 在△A1BE中，由余弦定理得 cos∠A1BE=

7.（2009·全國(guó)Ⅱ改編）已知正四棱柱ABCD—A1B1C718.（2009·廣東揭陽調(diào)研）如圖,在正四棱 柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB1、

BC1的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中成立的是

（填序號(hào)）. ①EF與BB1垂直 ②EF與BD垂直 ③EF與CD異面 ④EF與A1C1異面8.（2009·廣