2正射影和三垂線定理課件

三垂線定理三垂線定理1pO自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影；這個(gè)點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段。Q(1)射影pO自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平2一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足。斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段。ACB過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影；垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面上的射影。

斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影，一定在斜線的射影上。一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，3ACBDE

垂線段比任何一條斜線段都短

從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段AB、AC、AD、AE…中，那一條最短？ACBDE垂線段比任何一條斜線段都短從平面外一4ACBOOB=OCAB=ACOB＞OCAB＞ACAB=AC

OB=OCAB＞ACOB＞OC射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長

相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段及其它們在該平面內(nèi)的射影：ACBOOB=OCAB=ACOB＞OC5ACBO

定理

從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長（3）垂線段比任何一條斜線段都短ACBO定理從平面外一（1）射影相等的兩條斜6OaAP

已知PO、PA分別是平面的垂線、斜線，OA是PA在平面上的射影。a，a⊥OA。求證：a⊥PA在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。（2）三垂線定理OaAP在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)7三垂線定理：

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。OaAPPO⊥aa⊥PAOA⊥aa⊥平面PAOPO⊥

a

PA平面PAO123證明：三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線8PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①9PAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是：①相交直線②異面直線使用三垂線定理還應(yīng)注意些什么？解題指導(dǎo)PAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂10三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直注意：由已知一垂、二垂推出第三垂，并不是三垂都作為已知條件PAOaα解題指導(dǎo)三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找11例3、道旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有測角器和皮尺作測量工具，能否求出電塔頂與道路的距離？

解：在道邊取一點(diǎn)C，使BC與道邊所成水平角等于90°，再在道邊取一點(diǎn)D，使水平角CDB等于45°，測得C、D的距離等于20mBAC90°D⌒45°例3、道旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有測角12BAC90°D⌒45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC∴CD⊥AC∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m∴BC=20m，在直角三角形ABC中AC2=AB2+BC2，AC=152+202=25(m)答：電塔頂與道路的距離是25m。因此斜線AC的長度就是電塔頂與道路的距離。BAC90°D⌒45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC13PCBAO練習(xí)1已知P是平面ABC外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

求證：PC⊥BC證明：∵P是平面ABC外一點(diǎn)

PA⊥平面ABC

∴PC是平面ABC的斜線∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂線定理得

PC⊥BCPCBAO練習(xí)1已知P是平面ABC外一點(diǎn)，PA⊥14練習(xí)2直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點(diǎn)求證：PO⊥BD，PC⊥BD(3)已知：在正方體AC1中，求證：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD練習(xí)2直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)已知：PA15(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點(diǎn)，求證：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD證明:∵ABCD為正方形O為BD的中點(diǎn)∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD

同理，AC⊥BD

AC是PC在ABCD上的射影PC⊥BD(1)PA⊥正方形ABCD所在平POABCD證明:∵ABC16PMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，

M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AMBC⊥AM證明:∵PB=PCM是BC的中點(diǎn)PM

⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影PMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，BC⊥17(3)在正方體AC1中，求證：A1C⊥BC1，A1C⊥B1D1∵在正方體AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1證明：CBA1B1C1ADD1同理可證，

A1C⊥B1D1由三垂線定理知

A1C⊥BC1

(3)在正方體AC1中，∵在18PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP我們要學(xué)會從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧，怎么找？PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP19直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOaα例如：當(dāng)b⊥時(shí)，

b⊥OA注意：如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b但

b不垂直于OP解題回顧直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一20√×⑴若a是平面α的斜線，直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）⑷若a是平面α的斜線,b∥α,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）⑶若a是平面α的斜線，直線bα且b垂直于a在另一平面β內(nèi)的射影則a⊥b（）⑵若a是平面α的斜線，平面β內(nèi)的直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）練習(xí)3：判斷下列命題的真假：面ABCD→面α直線A1C→斜線a直線B1B→垂線b××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直線A1C→斜線a直線AB→垂線b面ABCD→面α直線A1C→斜線a直線B1B→垂線b√×⑴若a是平面α的斜線，直線b垂直于⑷若a是平面α的斜線,21線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直（3）三垂線定理的逆定理？線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的22在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一PAO23三垂線定理的逆理：

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。線射垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直

線斜垂直定理逆定理三垂線定理的逆理：三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果24例4如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上。已知：∠BAC在平面內(nèi)，點(diǎn)P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥，垂足分別是E、F、O，PE=PF求證：∠BAO=∠CAO分析：要證∠BAO=∠CAO只須證OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACPCBAOFE???證明：∵PO⊥∴OE、OF是PE、PF在內(nèi)的射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥ABOE⊥AB同理可得OF⊥AC結(jié)論成立例4如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，已知：∠25思考題：在四面體ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求證：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.證明：作AO⊥平面BCD于點(diǎn)O，連接BO，CO，DO，則BO，CO，DO分別為AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCB∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，思考題：在四面體ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD∴DO261.在正方體AC1中，E、G分別是AA1和CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)在AB上，且C1E⊥EF，則EF與GD所成的角的大小為（）(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°DFADCBA1D1B1C1GEMEB1是EC1在平面AB1內(nèi)的射影EB1⊥EFDG∥AM∥EB1EF

⊥DG課后練習(xí)與作業(yè)1.在正方體AC1中，E、G分別是AA1和DFADC272.已知PA、PB、PC兩兩垂直，求證：P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的垂心。CBPAH3.經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線，如果斜線和這個(gè)角兩邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個(gè)角的平分線所在的直線。4.在ABCD—A1B1C1D1中，求證：AC1⊥平面BC1DD1DCBAC1B1A12.已知PA、PB、PC兩兩垂直，CBPAH3.經(jīng)過一個(gè)角28三垂線定理三垂線定理29pO自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影；這個(gè)點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段。Q(1)射影pO自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平30一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足。斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段。ACB過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影；垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面上的射影。

斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影，一定在斜線的射影上。一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，31ACBDE

垂線段比任何一條斜線段都短

從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段AB、AC、AD、AE…中，那一條最短？ACBDE垂線段比任何一條斜線段都短從平面外一32ACBOOB=OCAB=ACOB＞OCAB＞ACAB=AC

OB=OCAB＞ACOB＞OC射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長

相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段及其它們在該平面內(nèi)的射影：ACBOOB=OCAB=ACOB＞OC33ACBO

定理

從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長（3）垂線段比任何一條斜線段都短ACBO定理從平面外一（1）射影相等的兩條斜34OaAP

已知PO、PA分別是平面的垂線、斜線，OA是PA在平面上的射影。a，a⊥OA。求證：a⊥PA在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。（2）三垂線定理OaAP在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)35三垂線定理：

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。OaAPPO⊥aa⊥PAOA⊥aa⊥平面PAOPO⊥

a

PA平面PAO123證明：三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線36PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①37PAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是：①相交直線②異面直線使用三垂線定理還應(yīng)注意些什么？解題指導(dǎo)PAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂38三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直注意：由已知一垂、二垂推出第三垂，并不是三垂都作為已知條件PAOaα解題指導(dǎo)三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找39例3、道旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有測角器和皮尺作測量工具，能否求出電塔頂與道路的距離？

解：在道邊取一點(diǎn)C，使BC與道邊所成水平角等于90°，再在道邊取一點(diǎn)D，使水平角CDB等于45°，測得C、D的距離等于20mBAC90°D⌒45°例3、道旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有測角40BAC90°D⌒45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC∴CD⊥AC∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m∴BC=20m，在直角三角形ABC中AC2=AB2+BC2，AC=152+202=25(m)答：電塔頂與道路的距離是25m。因此斜線AC的長度就是電塔頂與道路的距離。BAC90°D⌒45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC41PCBAO練習(xí)1已知P是平面ABC外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

求證：PC⊥BC證明：∵P是平面ABC外一點(diǎn)

PA⊥平面ABC

∴PC是平面ABC的斜線∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂線定理得

PC⊥BCPCBAO練習(xí)1已知P是平面ABC外一點(diǎn)，PA⊥42練習(xí)2直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點(diǎn)求證：PO⊥BD，PC⊥BD(3)已知：在正方體AC1中，求證：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD練習(xí)2直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)已知：PA43(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點(diǎn)，求證：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD證明:∵ABCD為正方形O為BD的中點(diǎn)∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD

同理，AC⊥BD

AC是PC在ABCD上的射影PC⊥BD(1)PA⊥正方形ABCD所在平POABCD證明:∵ABC44PMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，

M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AMBC⊥AM證明:∵PB=PCM是BC的中點(diǎn)PM

⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影PMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，BC⊥45(3)在正方體AC1中，求證：A1C⊥BC1，A1C⊥B1D1∵在正方體AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1證明：CBA1B1C1ADD1同理可證，

A1C⊥B1D1由三垂線定理知

A1C⊥BC1

(3)在正方體AC1中，∵在46PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP我們要學(xué)會從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧，怎么找？PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP47直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOaα例如：當(dāng)b⊥時(shí)，

b⊥OA注意：如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b但

b不垂直于OP解題回顧直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一48√×⑴若a是平面α的斜線，直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）⑷若a是平面α的斜線,b∥α,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）⑶若a是平面α的斜線，直線bα且b垂直于a在另一平面β內(nèi)的射影則a⊥b（）⑵若a是平面α的斜線，平面β內(nèi)的直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b（）練習(xí)3：判斷下列命題的真假：面ABCD→面α直線A1C→斜線a直線B1B→垂線b××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直線A1C→斜線a直線AB→垂線b面ABCD→面α直線A1C→斜線a直線B1B→垂線b√×⑴若a是平面α的斜線，直線b垂直于⑷若a是平面α的斜線,49線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直（3）三垂線定理的逆定理？線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的50在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一PAO51三垂線定理的逆理：

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜