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文檔簡介
三垂線定理三垂線定理1pO自一點(diǎn)向平面引垂線,垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影;這個(gè)點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段。Q(1)射影pO自一點(diǎn)向平面引垂線,垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平2一條直線和一個(gè)平面相交,但不和這個(gè)平面垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足。斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段。ACB過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線,過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影;垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面上的射影。
斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影,一定在斜線的射影上。一條直線和一個(gè)平面相交,但不和這個(gè)平面垂直,3ACBDE
垂線段比任何一條斜線段都短
從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段AB、AC、AD、AE…中,那一條最短?ACBDE垂線段比任何一條斜線段都短從平面外一4ACBOOB=OCAB=ACOB>OCAB>ACAB=AC
OB=OCAB>ACOB>OC射影相等的兩條斜線段相等,射影較長的斜線段也較長
相等的斜線段的射影相等,較長的斜線段的射影也較長從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段及其它們在該平面內(nèi)的射影:ACBOOB=OCAB=ACOB>OC5ACBO
定理
從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中,(1)射影相等的兩條斜線段相等,射影較長的斜線段也較長(2)相等的斜線段的射影相等,較長的斜線段的射影也較長(3)垂線段比任何一條斜線段都短ACBO定理從平面外一(1)射影相等的兩條斜6OaAP
已知PO、PA分別是平面的垂線、斜線,OA是PA在平面上的射影。a,a⊥OA。求證:a⊥PA在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么,它就和這條斜線垂直。(2)三垂線定理OaAP在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)7三垂線定理:
在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么,它就和這條斜線垂直。OaAPPO⊥aa⊥PAOA⊥aa⊥平面PAOPO⊥
a
PA平面PAO123證明:三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線8PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系?②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系?②線射垂直PAOaα①9PAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理,這兩條直線可以是:①相交直線②異面直線使用三垂線定理還應(yīng)注意些什么?解題指導(dǎo)PAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂10三垂線定理解題的關(guān)鍵:找三垂!怎么找?一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直注意:由已知一垂、二垂推出第三垂,并不是三垂都作為已知條件PAOaα解題指導(dǎo)三垂線定理解題的關(guān)鍵:找三垂!怎么找?一找直線和平面垂直二找11例3、道旁有一條河,彼岸有電塔AB,高15m,只有測角器和皮尺作測量工具,能否求出電塔頂與道路的距離?
解:在道邊取一點(diǎn)C,使BC與道邊所成水平角等于90°,再在道邊取一點(diǎn)D,使水平角CDB等于45°,測得C、D的距離等于20mBAC90°D⌒45°例3、道旁有一條河,彼岸有電塔AB,高15m,只有測角12BAC90°D⌒45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC∴CD⊥AC∵∠CDB=45°,CD⊥BC,CD=20m∴BC=20m,在直角三角形ABC中AC2=AB2+BC2,AC=152+202=25(m)答:電塔頂與道路的距離是25m。因此斜線AC的長度就是電塔頂與道路的距離。BAC90°D⌒45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC13PCBAO練習(xí)1已知P是平面ABC外一點(diǎn),PA⊥平面ABC,AC⊥BC,
求證:PC⊥BC證明:∵P是平面ABC外一點(diǎn)
PA⊥平面ABC
∴PC是平面ABC的斜線∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂線定理得
PC⊥BCPCBAO練習(xí)1已知P是平面ABC外一點(diǎn),PA⊥14練習(xí)2直接利用三垂線定理證明下列各題:(1)已知:PA⊥正方形ABCD所在平面,O為對角線BD的中點(diǎn)求證:PO⊥BD,PC⊥BD(3)已知:在正方體AC1中,求證:A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1(2)已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中點(diǎn),求證:BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD練習(xí)2直接利用三垂線定理證明下列各題:(1)已知:PA15(1)
PA⊥正方形ABCD所在平面,O為對角線BD的中點(diǎn),求證:PO⊥BD,PC⊥BDPOABCD證明:∵ABCD為正方形O為BD的中點(diǎn)∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD
同理,AC⊥BD
AC是PC在ABCD上的射影PC⊥BD(1)PA⊥正方形ABCD所在平POABCD證明:∵ABC16PMCAB(2)已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,
M是BC的中點(diǎn),求證:BC⊥AMBC⊥AM證明:∵PB=PCM是BC的中點(diǎn)PM
⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影PMCAB(2)已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,BC⊥17(3)在正方體AC1中,求證:A1C⊥BC1,A1C⊥B1D1∵在正方體AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1證明:CBA1B1C1ADD1同理可證,
A1C⊥B1D1由三垂線定理知
A1C⊥BC1
(3)在正方體AC1中,∵在18PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP我們要學(xué)會從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧,怎么找?PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP19直線a在一定要在平面內(nèi),如果a不在平面內(nèi),定理就不一定成立。PAOaα例如:當(dāng)b⊥時(shí),
b⊥OA注意:如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉,結(jié)論仍然成立嗎?b但
b不垂直于OP解題回顧直線a在一定要在平面內(nèi),如果a不在平面內(nèi),定理就不一20√×⑴若a是平面α的斜線,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影,則a⊥b()⑷若a是平面α的斜線,b∥α,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影,則a⊥b()⑶若a是平面α的斜線,直線bα且b垂直于a在另一平面β內(nèi)的射影則a⊥b()⑵若a是平面α的斜線,平面β內(nèi)的直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影,則a⊥b()練習(xí)3:判斷下列命題的真假:面ABCD→面α直線A1C→斜線a直線B1B→垂線b××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直線A1C→斜線a直線AB→垂線b面ABCD→面α直線A1C→斜線a直線B1B→垂線b√×⑴若a是平面α的斜線,直線b垂直于⑷若a是平面α的斜線,21線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直(3)三垂線定理的逆定理?線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的22在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么,它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα
已知:PA,PO分別是平面的垂線和斜線,AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求證:a
⊥AO三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一PAO23三垂線定理的逆理:
在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么,它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么,它就和這條斜線垂直。線射垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直
線斜垂直定理逆定理三垂線定理的逆理:三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果24例4如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等,那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上。已知:∠BAC在平面內(nèi),點(diǎn)P,PE⊥AB,PF⊥AC,PO⊥,垂足分別是E、F、O,PE=PF求證:∠BAO=∠CAO分析:要證∠BAO=∠CAO只須證OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACPCBAOFE???證明:∵PO⊥∴OE、OF是PE、PF在內(nèi)的射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥ABOE⊥AB同理可得OF⊥AC結(jié)論成立例4如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等,已知:∠25思考題:在四面體ABCD中,已知AB⊥CD,AC⊥BD求證:AD⊥BC∴DO⊥BC,于是AD⊥BC.證明:作AO⊥平面BCD于點(diǎn)O,連接BO,CO,DO,則BO,CO,DO分別為AB,AC,AD在平面BCD上的射影。OADCB∵AB⊥CD,∴BO⊥CD,同理CO⊥BD,于是O是△BCD的垂心,思考題:在四面體ABCD中,已知AB⊥CD,AC⊥BD∴DO261.在正方體AC1中,E、G分別是AA1和CC1的中點(diǎn),F(xiàn)在AB上,且C1E⊥EF,則EF與GD所成的角的大小為()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°DFADCBA1D1B1C1GEMEB1是EC1在平面AB1內(nèi)的射影EB1⊥EFDG∥AM∥EB1EF
⊥DG課后練習(xí)與作業(yè)1.在正方體AC1中,E、G分別是AA1和DFADC272.已知PA、PB、PC兩兩垂直,求證:P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的垂心。CBPAH3.經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線,如果斜線和這個(gè)角兩邊的夾角相等,那么斜線在平面上的射影是這個(gè)角的平分線所在的直線。4.在ABCD—A1B1C1D1中,求證:AC1⊥平面BC1DD1DCBAC1B1A12.已知PA、PB、PC兩兩垂直,CBPAH3.經(jīng)過一個(gè)角28三垂線定理三垂線定理29pO自一點(diǎn)向平面引垂線,垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影;這個(gè)點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段。Q(1)射影pO自一點(diǎn)向平面引垂線,垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平30一條直線和一個(gè)平面相交,但不和這個(gè)平面垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足。斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段。ACB過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線,過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影;垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面上的射影。
斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影,一定在斜線的射影上。一條直線和一個(gè)平面相交,但不和這個(gè)平面垂直,31ACBDE
垂線段比任何一條斜線段都短
從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段AB、AC、AD、AE…中,那一條最短?ACBDE垂線段比任何一條斜線段都短從平面外一32ACBOOB=OCAB=ACOB>OCAB>ACAB=AC
OB=OCAB>ACOB>OC射影相等的兩條斜線段相等,射影較長的斜線段也較長
相等的斜線段的射影相等,較長的斜線段的射影也較長從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段及其它們在該平面內(nèi)的射影:ACBOOB=OCAB=ACOB>OC33ACBO
定理
從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中,(1)射影相等的兩條斜線段相等,射影較長的斜線段也較長(2)相等的斜線段的射影相等,較長的斜線段的射影也較長(3)垂線段比任何一條斜線段都短ACBO定理從平面外一(1)射影相等的兩條斜34OaAP
已知PO、PA分別是平面的垂線、斜線,OA是PA在平面上的射影。a,a⊥OA。求證:a⊥PA在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么,它就和這條斜線垂直。(2)三垂線定理OaAP在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)35三垂線定理:
在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么,它就和這條斜線垂直。OaAPPO⊥aa⊥PAOA⊥aa⊥平面PAOPO⊥
a
PA平面PAO123證明:三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線36PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系?②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系?②線射垂直PAOaα①37PAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理,這兩條直線可以是:①相交直線②異面直線使用三垂線定理還應(yīng)注意些什么?解題指導(dǎo)PAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂38三垂線定理解題的關(guān)鍵:找三垂!怎么找?一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直注意:由已知一垂、二垂推出第三垂,并不是三垂都作為已知條件PAOaα解題指導(dǎo)三垂線定理解題的關(guān)鍵:找三垂!怎么找?一找直線和平面垂直二找39例3、道旁有一條河,彼岸有電塔AB,高15m,只有測角器和皮尺作測量工具,能否求出電塔頂與道路的距離?
解:在道邊取一點(diǎn)C,使BC與道邊所成水平角等于90°,再在道邊取一點(diǎn)D,使水平角CDB等于45°,測得C、D的距離等于20mBAC90°D⌒45°例3、道旁有一條河,彼岸有電塔AB,高15m,只有測角40BAC90°D⌒45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC∴CD⊥AC∵∠CDB=45°,CD⊥BC,CD=20m∴BC=20m,在直角三角形ABC中AC2=AB2+BC2,AC=152+202=25(m)答:電塔頂與道路的距離是25m。因此斜線AC的長度就是電塔頂與道路的距離。BAC90°D⌒45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC41PCBAO練習(xí)1已知P是平面ABC外一點(diǎn),PA⊥平面ABC,AC⊥BC,
求證:PC⊥BC證明:∵P是平面ABC外一點(diǎn)
PA⊥平面ABC
∴PC是平面ABC的斜線∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂線定理得
PC⊥BCPCBAO練習(xí)1已知P是平面ABC外一點(diǎn),PA⊥42練習(xí)2直接利用三垂線定理證明下列各題:(1)已知:PA⊥正方形ABCD所在平面,O為對角線BD的中點(diǎn)求證:PO⊥BD,PC⊥BD(3)已知:在正方體AC1中,求證:A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1(2)已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中點(diǎn),求證:BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD練習(xí)2直接利用三垂線定理證明下列各題:(1)已知:PA43(1)
PA⊥正方形ABCD所在平面,O為對角線BD的中點(diǎn),求證:PO⊥BD,PC⊥BDPOABCD證明:∵ABCD為正方形O為BD的中點(diǎn)∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD
同理,AC⊥BD
AC是PC在ABCD上的射影PC⊥BD(1)PA⊥正方形ABCD所在平POABCD證明:∵ABC44PMCAB(2)已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,
M是BC的中點(diǎn),求證:BC⊥AMBC⊥AM證明:∵PB=PCM是BC的中點(diǎn)PM
⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影PMCAB(2)已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,BC⊥45(3)在正方體AC1中,求證:A1C⊥BC1,A1C⊥B1D1∵在正方體AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1證明:CBA1B1C1ADD1同理可證,
A1C⊥B1D1由三垂線定理知
A1C⊥BC1
(3)在正方體AC1中,∵在46PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP我們要學(xué)會從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧,怎么找?PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP47直線a在一定要在平面內(nèi),如果a不在平面內(nèi),定理就不一定成立。PAOaα例如:當(dāng)b⊥時(shí),
b⊥OA注意:如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉,結(jié)論仍然成立嗎?b但
b不垂直于OP解題回顧直線a在一定要在平面內(nèi),如果a不在平面內(nèi),定理就不一48√×⑴若a是平面α的斜線,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影,則a⊥b()⑷若a是平面α的斜線,b∥α,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影,則a⊥b()⑶若a是平面α的斜線,直線bα且b垂直于a在另一平面β內(nèi)的射影則a⊥b()⑵若a是平面α的斜線,平面β內(nèi)的直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影,則a⊥b()練習(xí)3:判斷下列命題的真假:面ABCD→面α直線A1C→斜線a直線B1B→垂線b××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直線A1C→斜線a直線AB→垂線b面ABCD→面α直線A1C→斜線a直線B1B→垂線b√×⑴若a是平面α的斜線,直線b垂直于⑷若a是平面α的斜線,49線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直(3)三垂線定理的逆定理?線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的50在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么,它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα
已知:PA,PO分別是平面的垂線和斜線,AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求證:a
⊥AO三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一PAO51三垂線定理的逆理:
在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么,它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么,它就和這條斜
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