《廣義變分原理》第0章課件

GeneralizedVariationalPrinciplesinElasticityandPlasticityGeneralizedVariationalPrinci第三節(jié)主要參考文獻第一節(jié)主要內容第四節(jié)變分問題簡例第二節(jié)本課程的目的第五節(jié)變分法的預備知識第三節(jié)主要參考文獻第一節(jié)主要內容第四節(jié)變分問題1、彈塑性力學中系列問題的變分描述

§0-1主要內容

第0章前言主要內容a、小位移彈塑性靜力問題b、有限位移問題c、穩(wěn)定問題d、動力問題以及場問題1、彈塑性力學中系列問題的變分描述§0-1主要內容第0第一節(jié)主要內容主要內容從自然變分原理到廣義變分原理及各種修正變分原理。2、主要變分原理的推證3、數值計算模型和計算方法的建立第一節(jié)主要內容主要內容從自然變分原理到廣義變分原1、固體力學的任務

§0-2本課程的目的

第0章前言目的給出考察體的變形和應力，分析該結構的強度、剛度和穩(wěn)定性，確定結構的安全、經濟和實用。

量化描述結構的變形和應力狀態(tài)：（1）解析求解方法；（2）物理模型試驗；（3）數值模型分析。1、固體力學的任務§0-2本課程的目的第0章前言目第二節(jié)本課程的目的研究方法（1）傳統(tǒng)方法；（2）現代數值方法。例巖石力學研究方法：第二節(jié)本課程的目的研究方法（1）傳統(tǒng)方法；例巖石力傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（a）巖體試驗由于巖體的不連續(xù)和非均勻引起試樣明顯的尺寸效應；實際巖體的強度和剛度較室內試驗值小得多；對各向異性巖體，其規(guī)律性尚不清楚。傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（a）巖體試驗傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（b）物理模型試驗物理模型的力學參數與原型結構的力學參數之間的相似關系不清楚；各物理量比尺難以相容和統(tǒng)一；模型試驗成本高。傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（b）物理模型試驗傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（c）巖體現場試驗受地形、地質、施工條件的限制，試驗分析結果不具代表性，很難推廣到其它工程；耗費巨大、也影響工期。傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（c）巖體現場試驗傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（d）工程經驗類比基于大量實例工程，估計巖體對巖層條件、支護型式等的影響，但對地下工程圍巖的變形和穩(wěn)定性機理一般無法確定。傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（d）工程經驗類比現代數值方法：第二節(jié)本課程的目的現代數值方法（1）靈活性；（2）利用個別基本物理模型試驗效準數值模型的本構關系、破壞準則與物理參數，用計算機的數值模型試驗代替或補充物理模型試驗；（3）基于現場原型或試驗手段的實測與反演分析，效準復雜巖體的等效力學模型?，F代數值方法：第二節(jié)本課程的目的現代數值方法（1）2、傳統(tǒng)彈塑性力學教科書存在的問題第二節(jié)本課程的目的存在問題偏重于微分描述和偏微分方程組求解的研究?，F代工程數值方法的彈塑性力學理論基礎，主要為彈塑性力學中的廣義變分原理。2、傳統(tǒng)彈塑性力學教科書存在的問題第二節(jié)本課程的目的存在3、現代數值方法與變分原理第二節(jié)本課程的目的數值方法與變分原理（1）現代數值方法有限差分法（FiniteDifferenceMethod,FDM）有限單元法（FiniteElementMethod,FEM）邊界元法（BoundaryElementMethod,BEM）離散元法（DiscreteElementMethod,DEM）無單元法（ElementFreeMethod,EFM）不連續(xù)變形分析（DiscontinuousDeformationAnalysis,DDA）流形元法（NumericalManifoldMethod,NMM）3、現代數值方法與變分原理第二節(jié)本課程的目的數值方法與變第二節(jié)本課程的目的數值方法與變分原理

現代數值方法的突出代表為有限單元法，而有限單元發(fā)的誕生、發(fā)展和強大有賴于變分原理的發(fā)展。（2）現代數值方法與變分原理變分原理的可靠性、開拓性為有限元的建立和持續(xù)發(fā)展提供了理論基礎和拓寬了應用空間。

有限元法中豐富的單元類型及計算方法的發(fā)展必須系統(tǒng)地了解廣義變分原理的理論知識。第二節(jié)本課程的目的數值方法與變分原理現代數值方法§0-3主要參考文獻

第0章前言參考文獻1、卓家壽，《彈塑性力學中的廣義變分原理》，中國水利水電出版社，1989年第一版，2002年第二版。2、錢偉長，《變分法及有限元法》（上冊），科學出版社，1980年。3、胡海昌，《彈性力學中的變分原理及其應用》，科學出版社，1981年。4、熊祝華、劉子庭，《彈性力學變分原理》，湖南大學出版社，1984年。5、錢偉長，《廣義變分原理》，知識出版社，1985年。§0-3主要參考文獻第0章前言參考文獻1、卓家壽，《§0-4變分問題簡例

第0章前言簡例問題1、過兩點連線長度最短問題。

連接P0，P1兩點曲線有無數條，對應弧長L為無數個，求出使弧長L是最短的哪一條。

問題歸結為求容許函數中使為極值的特定函數。§0-4變分問題簡例第0章前言簡例問題1、過兩點連線第四節(jié)簡例變分問題

設有一放在彈性地基上的梁，承受分布橫向荷載的作用，已知梁的一端（x=0）是固定的，另一端（X=l）自由，問梁取怎樣的撓度使這個系統(tǒng)的總勢能取極小值。問題2、彈性基礎梁問題。問題歸結為在區(qū)間內找一個函數，使?jié)M足邊界條件（**），并使（*）取最小值。（*）邊界條件：（**）第四節(jié)簡例變分問題設有一放在彈性地基上的梁，承受第四節(jié)簡例變分問題

質點沿曲線由A點滑到B點所需的時間為：問題3、重力場最速降落問題。問題歸結為在通過兩點的函數族，求出能使（*）取得極值的哪個函數。因：（*）有：第四節(jié)簡例變分問題質點沿曲線由A點滑到B點第四節(jié)簡例變分問題上述三例中或滿足端點條件的可變函數族（容許函數），稱為宗量（或自變函數）。而或或稱為宗量的泛函。變分命題：實質上就是求泛函的極值（駐值）問題。第四節(jié)簡例變分問題上述三例中或滿足§0-5變分法預備知識

第0章前言預備知識一、函數與泛函函數：對應于自變量x在某一區(qū)域上的每個值，均有一個因變量y的值與之對應，這種自變量與因變量的對應關系稱為函數。記為：；（數集）定義域（數集）值域函數是實數空間到實數空間的映射。

§0-5變分法預備知識第0章前言預備知識一、函數與泛第五節(jié)預備知識泛函泛函：如果對于某一類函數中的每一個函數，就有一個變量I的值與之對應，則稱I為依賴于函數的泛函。記為：泛函是函數空間到實數空間的映射。簡稱泛函就是函數的函數。；（函數集合）定義域（實數集合）值域稱為自變函數（宗量）（function)；稱I為泛函（functionary)。第五節(jié)預備知識泛函泛函：如果對于某一類函數中的每第五節(jié)預備知識函數的變分二、函數的微分與變分顯然也是x的函數?？捎脠D示給出微分和變分的幾何意義。函數的微分：由于自變量x有微小增量dx，函數也有對應的微小增量dy，則增量dy稱為函數的微分。記為：函數的變分：若函數形式發(fā)生改變?yōu)樾潞瘮担瘮蹬c之差稱為函數的變分。記為：第五節(jié)預備知識函數的變分二、函數的微分與變分顯然第五節(jié)預備知識泛函的變分三、泛函的變分一般情況下，泛函具有下列形式：若函數具有變分時，導數也將有變分。被積函數按泰勒級數展開，其增量可表示為：第五節(jié)預備知識泛函的變分三、泛函的變分一般情況下，第五節(jié)預備知識泛函的變分定義上式的主部為被積函數的變分：泛函的增量為：定義泛函變分為，有：第五節(jié)預備知識泛函的變分定義上式的主部為被積函數的第五節(jié)預備知識函數的極值四、函數和泛函的極值問題函數的極值問題：若函數在的鄰近任一點上的值均不大于或均不小于，即：則稱函數在處達到極大值或極小值。必要條件為或。第五節(jié)預備知識函數的極值四、函數和泛函的極值問題函第五節(jié)預備知識泛函的極值泛函的極值問題：若泛函在的鄰近任一函數的值均不大于或均不小于，即：則稱使泛函取極大值或極小值。必要條件為。而曲線稱為的極值曲線。第五節(jié)預備知識泛函的極值泛函的極值問題：若泛函第五節(jié)預備知識變分問題

凡是研究泛函的極值（或駐值）問題，稱為變分問題。研究如何求解泛函極值（或駐值）的方法，稱為變分方法。第五節(jié)預備知識變分問題凡是研究泛函的極值（或駐第五節(jié)預備知識變分法問題五、歐拉方程與自然邊界條件設函數曲線被指定通過A、B兩點，也就是具有邊界條件。試由泛函的極值（駐值）條件求出函數所應滿足的方程。第五節(jié)預備知識變分法問題五、歐拉方程與自然邊界條件第五節(jié)預備知識變分法問題因任意，由得到極值或駐值條件：（EulerEquation）第五節(jié)預備知識變分法問題因任意，由第五節(jié)預備知識變分問題一般情況下，由泛函的極值（或駐值）條件，即，推出的自變函數所應滿足的方程和邊界條件，分別稱為歐拉方程（EulerEquation）和自然邊界條件（NaturalBoundaryCondition）。而自變函數事先必須滿足的邊界條件稱為本質邊界條件（或稱基本邊界條件、或稱固定邊界條件）。第五節(jié)預備知識變分問題一般情況下，由泛函的極值（第五節(jié)預備知識變分問題就本質而言，要把力學中的微分方程定解問題，變?yōu)榍蠓汉臉O值（駐值）問題；而在求解問題的近似解時，泛函的極值（駐值）問題進而變成函數的極值（駐值）問題；最后把問題歸結為求解代數方程組的問題。

變分方法的實質：第五節(jié)預備知識變分問題就本質而言，要把力學中的微第五節(jié)預備知識變分問題力學中的微分方程定解問題（找到對應的泛函）泛函的極值（駐值）問題。問題的轉化：泛函的極值（駐值）問題（經變分運算）函數的極值（駐值）問題；求解線性代數方程組問題。求近似解時：第五節(jié)預備知識變分問題力學中的微分方程定解問題（找第五節(jié)預備知識變分問題1、人們可從歐拉方程求解或從變分法直接求近似解（例有限元法、立茲法、伽遼金法等），其效果是一樣的。但從泛函變分求近似解并不困難，這也是變分法被重視的一個原因。關于泛函的駐值問題與歐拉方程的邊值問題2、力學問題的微分方程（即歐拉方程）可從泛函求極值得到。但也有一些問題，微分方程是已知的，但求解很困難，若把它們化成相當的泛函變分求極值問題，求其近似解，則就能解決。3、值得指出，并不是所有微分方程都能找到相當的泛函，對這類問題只能借助于其它方法（如伽遼金法、最小二乘法、加權余量法等）求近似解。第五節(jié)預備知識變分問題1、人們可從歐拉方程求解或第五節(jié)預備知識變分問題注1：變分法與歐拉方程代表同一問題，但微分方程求解難，而變分求近似解易。注3：微分方程給定，但難以找到相當的泛函伽遼金法、最小二乘法、加權余量法等求近似解。注2：微分方程（歐拉方程）由泛函求變分得到已知的（但求解難）相當的泛函極值（駐值）問題用近似解解決。第五節(jié)預備知識變分問題注1：變分法與歐拉方程代表同一問題GeneralizedVariationalPrinciplesinElasticityandPlasticityGeneralizedVariationalPrinci第三節(jié)主要參考文獻第一節(jié)主要內容第四節(jié)變分問題簡例第二節(jié)本課程的目的第五節(jié)變分法的預備知識第三節(jié)主要參考文獻第一節(jié)主要內容第四節(jié)變分問題1、彈塑性力學中系列問題的變分描述

§0-1主要內容

第0章前言主要內容a、小位移彈塑性靜力問題b、有限位移問題c、穩(wěn)定問題d、動力問題以及場問題1、彈塑性力學中系列問題的變分描述§0-1主要內容第0第一節(jié)主要內容主要內容從自然變分原理到廣義變分原理及各種修正變分原理。2、主要變分原理的推證3、數值計算模型和計算方法的建立第一節(jié)主要內容主要內容從自然變分原理到廣義變分原1、固體力學的任務

§0-2本課程的目的

第0章前言目的給出考察體的變形和應力，分析該結構的強度、剛度和穩(wěn)定性，確定結構的安全、經濟和實用。

量化描述結構的變形和應力狀態(tài)：（1）解析求解方法；（2）物理模型試驗；（3）數值模型分析。1、固體力學的任務§0-2本課程的目的第0章前言目第二節(jié)本課程的目的研究方法（1）傳統(tǒng)方法；（2）現代數值方法。例巖石力學研究方法：第二節(jié)本課程的目的研究方法（1）傳統(tǒng)方法；例巖石力傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（a）巖體試驗由于巖體的不連續(xù)和非均勻引起試樣明顯的尺寸效應；實際巖體的強度和剛度較室內試驗值小得多；對各向異性巖體，其規(guī)律性尚不清楚。傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（a）巖體試驗傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（b）物理模型試驗物理模型的力學參數與原型結構的力學參數之間的相似關系不清楚；各物理量比尺難以相容和統(tǒng)一；模型試驗成本高。傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（b）物理模型試驗傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（c）巖體現場試驗受地形、地質、施工條件的限制，試驗分析結果不具代表性，很難推廣到其它工程；耗費巨大、也影響工期。傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（c）巖體現場試驗傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（d）工程經驗類比基于大量實例工程，估計巖體對巖層條件、支護型式等的影響，但對地下工程圍巖的變形和穩(wěn)定性機理一般無法確定。傳統(tǒng)方法：第二節(jié)本課程的目的傳統(tǒng)方法（d）工程經驗類比現代數值方法：第二節(jié)本課程的目的現代數值方法（1）靈活性；（2）利用個別基本物理模型試驗效準數值模型的本構關系、破壞準則與物理參數，用計算機的數值模型試驗代替或補充物理模型試驗；（3）基于現場原型或試驗手段的實測與反演分析，效準復雜巖體的等效力學模型。現代數值方法：第二節(jié)本課程的目的現代數值方法（1）2、傳統(tǒng)彈塑性力學教科書存在的問題第二節(jié)本課程的目的存在問題偏重于微分描述和偏微分方程組求解的研究?，F代工程數值方法的彈塑性力學理論基礎，主要為彈塑性力學中的廣義變分原理。2、傳統(tǒng)彈塑性力學教科書存在的問題第二節(jié)本課程的目的存在3、現代數值方法與變分原理第二節(jié)本課程的目的數值方法與變分原理（1）現代數值方法有限差分法（FiniteDifferenceMethod,FDM）有限單元法（FiniteElementMethod,FEM）邊界元法（BoundaryElementMethod,BEM）離散元法（DiscreteElementMethod,DEM）無單元法（ElementFreeMethod,EFM）不連續(xù)變形分析（DiscontinuousDeformationAnalysis,DDA）流形元法（NumericalManifoldMethod,NMM）3、現代數值方法與變分原理第二節(jié)本課程的目的數值方法與變第二節(jié)本課程的目的數值方法與變分原理

現代數值方法的突出代表為有限單元法，而有限單元發(fā)的誕生、發(fā)展和強大有賴于變分原理的發(fā)展。（2）現代數值方法與變分原理變分原理的可靠性、開拓性為有限元的建立和持續(xù)發(fā)展提供了理論基礎和拓寬了應用空間。

有限元法中豐富的單元類型及計算方法的發(fā)展必須系統(tǒng)地了解廣義變分原理的理論知識。第二節(jié)本課程的目的數值方法與變分原理現代數值方法§0-3主要參考文獻

第0章前言參考文獻1、卓家壽，《彈塑性力學中的廣義變分原理》，中國水利水電出版社，1989年第一版，2002年第二版。2、錢偉長，《變分法及有限元法》（上冊），科學出版社，1980年。3、胡海昌，《彈性力學中的變分原理及其應用》，科學出版社，1981年。4、熊祝華、劉子庭，《彈性力學變分原理》，湖南大學出版社，1984年。5、錢偉長，《廣義變分原理》，知識出版社，1985年?！?-3主要參考文獻第0章前言參考文獻1、卓家壽，《§0-4變分問題簡例

第0章前言簡例問題1、過兩點連線長度最短問題。

連接P0，P1兩點曲線有無數條，對應弧長L為無數個，求出使弧長L是最短的哪一條。

問題歸結為求容許函數中使為極值的特定函數?！?-4變分問題簡例第0章前言簡例問題1、過兩點連線第四節(jié)簡例變分問題

設有一放在彈性地基上的梁，承受分布橫向荷載的作用，已知梁的一端（x=0）是固定的，另一端（X=l）自由，問梁取怎樣的撓度使這個系統(tǒng)的總勢能取極小值。問題2、彈性基礎梁問題。問題歸結為在區(qū)間內找一個函數，使?jié)M足邊界條件（**），并使（*）取最小值。（*）邊界條件：（**）第四節(jié)簡例變分問題設有一放在彈性地基上的梁，承受第四節(jié)簡例變分問題

質點沿曲線由A點滑到B點所需的時間為：問題3、重力場最速降落問題。問題歸結為在通過兩點的函數族，求出能使（*）取得極值的哪個函數。因：（*）有：第四節(jié)簡例變分問題質點沿曲線由A點滑到B點第四節(jié)簡例變分問題上述三例中或滿足端點條件的可變函數族（容許函數），稱為宗量（或自變函數）。而或或稱為宗量的泛函。變分命題：實質上就是求泛函的極值（駐值）問題。第四節(jié)簡例變分問題上述三例中或滿足§0-5變分法預備知識

第0章前言預備知識一、函數與泛函函數：對應于自變量x在某一區(qū)域上的每個值，均有一個因變量y的值與之對應，這種自變量與因變量的對應關系稱為函數。記為：；（數集）定義域（數集）值域函數是實數空間到實數空間的映射。

§0-5變分法預備知識第0章前言預備知識一、函數與泛第五節(jié)預備知識泛函泛函：如果對于某一類函數中的每一個函數，就有一個變量I的值與之對應，則稱I為依賴于函數的泛函。記為：泛函是函數空間到實數空間的映射。簡稱泛函就是函數的函數。；（函數集合）定義域（實數集合）值域稱為自變函數（宗量）（function)；稱I為泛函（functionary)。第五節(jié)預備知識泛函泛函：如果對于某一類函數中的每第五節(jié)預備知識函數的變分二、函數的微分與變分顯然也是x的函數?？捎脠D示給出微分和變分的幾何意義。函數的微分：由于自變量x有微小增量dx，函數也有對應的微小增量dy，則增量dy稱為函數的微分。記為：函數的變分：若函數形式發(fā)生改變?yōu)樾潞瘮?，函數與之差稱為函數的變分。記為：第五節(jié)預備知識函數的變分二、函數的微分與變分顯然第五節(jié)預備知識泛函的變分三、泛函的變分一般情況下，泛函具有下列形式：若函數具有變分時，導數也將有變分。被積函數按泰勒級數展開，其增量可表示為：第五節(jié)預備知識泛函的變分三、泛函的變分一般情況下，第五節(jié)預備知識泛函的變分定義上式的主部為被積函數的變分：泛函的增量為：定義泛函變分為，有：第五節(jié)預備知識泛函的變分定義上式的主部為被積函數的第五節(jié)預備知識函數的極值四、函數和泛函的極值問題函數的極值問題：若函數在的鄰近任一點上的值均不大于或均不小于，即：則稱函數在處達到極大值或極小值。必要條件為或。第五節(jié)預備知識函數的極值四、函數和泛函的極值問題函第五節(jié)預備知識泛函的極值泛函的極值問題：若泛函在的鄰近任一函數的值均不大于或均不小于，即：則稱使泛函取極大值或極小值。必要條件為。而曲線稱為的極值曲線。第五節(jié)預備知識泛函的極值泛函的極值問題：若泛函第五節(jié)預備知識變分問題

凡是研究泛函的極值（或駐值）問題，稱為變分問題。研究如何求解泛函極值（或駐值）的方法，稱為變分方法。第五節(jié)預備知識變分問題凡是研究泛函的極值（或駐第五節(jié)預備知識變分法問題五、歐拉方程與自然邊界條件設函數曲線被指定通過A、B兩點，也就是具有邊界條件。試由泛函的極值（駐值）條件求出函數所應滿足的方程。第五節(jié)預備知識變分法問題五、歐拉方程與自然邊界條件第五節(jié)預備知識變分法問題因任意，由得到極值或駐值條件：（EulerEquati