線(xiàn)性代數(shù)-課件第二章

一、向量的定義及運(yùn)算定義由n個(gè)數(shù)a1,a2

,,an構(gòu)成的n元有序數(shù)組稱(chēng)為n元向量，記為（

a1,a2

,,an

），其中ai

稱(chēng)為該向量的第i個(gè)分量。定義設(shè)

=(a1,a2,…,as)，

=(b1,b2,…,bt)。若s=t

且ai=bi

(i

=1,2,…,s)，則稱(chēng)向量與向量

相等，記為

=

。注：行向量：（

a1,a2

,,an

）(a1,a2

,,an

)T

。

a2

列向量：

，也可記為

a1

an

把向量視為矩陣（行向量視為行矩陣，列向量視為列矩陣），可引入向量的兩種線(xiàn)性運(yùn)算：加法與數(shù)乘。定義(1)設(shè)

=(a1,a2,…,an)，

=(b1,b2,…,bn)，則稱(chēng)向量（a1+b1,

a2+b2,

…,an+bn）是向量與向量

的和，記為

+

。(2)設(shè)

=(a1,a2,…,an)是n元向量，k是數(shù)，則稱(chēng)向量（ka1,

ka2,

…,

kan）是向量

與數(shù)k的數(shù)量積，記為

k

。例

設(shè)

=（a1,

a2,

…,

an）是任一n元向量，則0

=（0,

0,

…

,

0）點(diǎn)坐標(biāo)(a1,a2)唯一確定。這樣，有向線(xiàn)段

a唯一對(duì)應(yīng)任一條有向線(xiàn)段。把a(bǔ)

的起點(diǎn)平移到原點(diǎn)O，則其終(–

1)

=（

–

a1,

–

a2,

…, –

an）稱(chēng)分量全為零的向量（0,0,…,0）為零向量，記為

；稱(chēng)向量（

–a1,–a2,…,–an）為向量

的負(fù)向量，記為–

。例在平面上建立直角坐標(biāo)系Oxy，設(shè)a

是上上述方法對(duì)應(yīng)2元向量（b1,b2）。則按平行四邊形法一個(gè)2元向量(a1,a2)。設(shè)b

是上另一條有向線(xiàn)段，按

則，有向線(xiàn)段a

與

b

的和

a

+

b

對(duì)應(yīng)的2元向量恰為(a1+b1,

a2+b2)性質(zhì)設(shè)

、

、

是任意三個(gè)n元向量，k

、l

是任意兩個(gè)數(shù)，則有（1）

+

=

+（2）(

+

)

+

=

+

(

+

)（3）

+

=

（4）

+

(

–

) =（5）1

=

（6）(

kl

)

=

k

(

l

)（7）(

k+l

)

=

k

+

l（8）k(

+

) =

k

+

k

二、向量的線(xiàn)性相關(guān)性三個(gè)基本概念定義設(shè)1,2

,...,m

是m個(gè)n元向量，k1,k2,…,km是任意m個(gè)數(shù)，稱(chēng)下列向量

k11

k22

...

kmm是向量組1,2

,...,m

的一個(gè)線(xiàn)性組合。此時(shí)，也稱(chēng)向量

可由向量組1,2

,...,m線(xiàn)性表出。例

一個(gè)向量

的線(xiàn)性組合為

。例

向量組1,2

,...,m

能否線(xiàn)性表出i

？例已知向量1

(1,1,1),

2

(0,1,1),

3

(0,0,1),

(3,2,1)問(wèn)

能否由1,2

,3

線(xiàn)性表出？解設(shè)(1)

x11

x22

x33則有

0

01

1

1

1

1

3

2

x1

1

x2

1

x3

0由此得(2)

x12

3

2

x2

x3

11

x

x1

x（存在

x1

k1,

x2

k2

,

x3

k3

使(1)成立

它們使(2)成立。即β可由

1,2

,3線(xiàn)性表出

線(xiàn)性方程組(2)有解）結(jié)論：①線(xiàn)性表出非齊次方程組有解②表示法唯一

解唯一定義設(shè)1,

2

,,

m

是m個(gè)n元向量。若存在m個(gè)不全為零的數(shù)

k1,k2

,,km

，使k11

k22

kmm

則稱(chēng)向量組

1,

2

,,

m

線(xiàn)性相關(guān)。不線(xiàn)性相關(guān)的向量組稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)關(guān)。經(jīng)驗(yàn)證，(2)有解，故

可由1,2

,3

線(xiàn)性表出。▌向量，則

,

線(xiàn)性相例

設(shè)

與

是兩個(gè)2關(guān)

與

共線(xiàn)。例設(shè)

與

是兩個(gè)n元向量，則

,

線(xiàn)性相關(guān)與

對(duì)應(yīng)分量成比例。例一個(gè)向量

線(xiàn)性相關(guān)

。例驗(yàn)證向量組1

(1,2,3),

2

(3,2,1),

3

(1,1,1)是否線(xiàn)性相關(guān)。解設(shè)x11

x22

x33

（1）則有(2)3213x1

x2

x3

2x

x2x

x1

3x2

x3

0

0

0（存在不全為零的

x1

k1,

x2

k2

,

x3

k3使(1)成立

它們也使(2)成立，即

1,2

,3

線(xiàn)性相關(guān)

齊次線(xiàn)性方程組(2)有非零解）因?yàn)榉匠探M(2)有非零解，故1,2

,3

線(xiàn)性相關(guān)。

▌線(xiàn)性無(wú)關(guān)的等價(jià)條件：不存在不全為零的數(shù)

k1,,

km

，使k11

kmm

對(duì)任意不全為零的數(shù)

k1,,km

，均有k11

kmm

由

k11

kmm

必可導(dǎo)出k1

0,

k2

0,,

km

0結(jié)論：①線(xiàn)性相關(guān)

齊次線(xiàn)性方程組有非零解；②線(xiàn)性無(wú)關(guān)

齊次線(xiàn)性方程組沒(méi)有非零解。例

向量組1

,

2

11,,(3

的線(xiàn)性相關(guān)性。,

4

)3解令x11

x22

x33

x44

則有421

3x4

x1

2x

x

x

x1

x2

x3

x4

0

0

0因方程的個(gè)數(shù)<未知數(shù)的個(gè)數(shù)，故上述齊次線(xiàn)性方程組有非零解。于是，1,2

,3

線(xiàn)性相關(guān)。▌例已知向量組1,2

,3

線(xiàn)性無(wú)關(guān)。令1

1

2

23

,

2

1

2

,

3

1

3問(wèn)

1,

2

,

3

是否線(xiàn)性相關(guān)？解令x11

x2

2

x33

則有(x1

x2

x3

)1

(x1

x2

)2

(2x1

x3

)3

因1,2

,3線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故2x1

x3

0

02

x1

x

x1

x2

x3

0又上述方程組沒(méi)有非零解，故

x1

x2

x3

0

。由此得1,

2

,3

線(xiàn)性無(wú)關(guān)。例在一個(gè)向量組中，如果有一個(gè)部分組（即由其中一個(gè)部分向量構(gòu)成的子向量組）線(xiàn)性相關(guān)，則整個(gè)向量組也線(xiàn)性相關(guān)。例包含零向量的向量組線(xiàn)性相關(guān)。▌例m個(gè)n元向量（m

>n）線(xiàn)性相關(guān)。例已知1,2

,3

是三個(gè)4維向量，1

(a11，a12，a13，a14

)，2

(a21，a22，a23，a24

)，3

(a31，a32，a33，a34

)。令1

(a11，a12，a13，a14，b11，b12

)，2

(a21，a22，a23，a24，b21，b22

)，3

(a31，a32，a33，a34，b31，b32

)。證明：若1,2

,3

線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則1,

2

,3

也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。證明令，則有kkkk1a1

j

k2a2

j

k3a3

j

0j

1，2，3，4k1b1

j

k2b2

j

k3b3

j

0j

1，2（1）（2）由式(1)得，k11

k22

k33

（3）已知

1,2

,3

線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故由式(3)得k1

0，k2

0，k3

0所以，1,

2

,3

線(xiàn)性無(wú)關(guān)。▌問(wèn)題：(1)

由

1,2

,3

線(xiàn)性相關(guān)是否可得出

1,

2

,

3也線(xiàn)性相關(guān)？由

1,

2

,

3

的線(xiàn)性相關(guān)性能對(duì)

1,2

,3

的線(xiàn)性相關(guān)性做出那些判斷？上述

是否可在向量個(gè)數(shù)、向量維數(shù)等方面一般化？定理

向量組

1,2

,...,m

線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是：其中至少存在一個(gè)向量

i(1

i

m)可由其余向量

1,2

,...,i1,i1,...,m

線(xiàn)性表出。例

設(shè)

i

(0,0,...0,1,0,...,0),

i

1,2,...,

n

是

n個(gè)

n元i1個(gè)向量，稱(chēng)之為n元基本向量組，則1,

2

,...,

n

線(xiàn)性無(wú)關(guān)；對(duì)任一

n元向量

，均有

1,

2

,...,

n

,

線(xiàn)性相關(guān)，且

可由1,

2

,...,

n

線(xiàn)性表出。定理已知向量組

1,

2

,,

m

線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而向量組1,2

,,m

,

線(xiàn)性相關(guān)，則

可由1,2

,,m

線(xiàn)性表出且表示法唯一。證明

因?yàn)?/p>

1,,m

,

線(xiàn)性相關(guān)，所以存在不全為零的數(shù)

k1,,

km

,

l

，使若l

0

，則由k11

km

m

l

可得k11

kmm

且k1,k2

,,km

不全為零。由此得1,,

m

線(xiàn)性相關(guān)，與假設(shè)，故

l

0

。于是，ml

l

l

k2

km

1

2

k1

即

可由1,,

m

線(xiàn)性表出。設(shè)

k11

kmm

,

l11

lmm則

(k1

l1)1

(km

lm

)m因1,,

m

線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故k1

l1

0,,

km

lm

0即k1

l1,,

km

lm所以，表示法唯一。例

已知向量組2

,3

,4

線(xiàn)性無(wú)關(guān)，向量組1,

2

,3

線(xiàn)性相關(guān)。問(wèn)1能否由

2

,3

線(xiàn)性表出？證明（法一）因?yàn)橄蛄拷M

2

,3

,4

線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故其部分組

2

,3

也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。又向量組

1,2

,3線(xiàn)性相關(guān)，所以1

可

2

,3

由線(xiàn)性表出。▌（法二）因?yàn)橄蛄拷M

1,2

,3

線(xiàn)性相關(guān)，故存在不全為零的三個(gè)數(shù)

k1,

k2

,

k3

，使k11

k22

k33

（1）若k1

0

，則k2

,k3

不全為零，并且k22

k33

由此得

2

,3

線(xiàn)性相關(guān)。這與已知條件“2

,3

,4線(xiàn)性無(wú)關(guān)”相。所以，k1

0。于是由（1）式得322k1k11

k

k3

即1可由

2

,3

線(xiàn)性表出。定義設(shè)1,2

,,s

與1,2

,,t

是兩組n元向量，若每個(gè)i

(i

1,2,,s)均可由1,2

,,t

線(xiàn)性表出，則稱(chēng)向量組1,2

,,s

可由向量組1,2

,,t

線(xiàn)性表出。若向量組1,2

,...,

s與向量組1,

2

,...,

t可相可相互線(xiàn)性表出，則稱(chēng)向量組

1,2

,...,

s與向量組1,

2

,...,

t

等價(jià)，記為{1,2

,,s

}

{1,

2

,,

t

}▌例

下列向量之間的關(guān)系：1

(1,0),2

(0,1)

與

1

(1,0),2

(0,0)1

(1,0),2

(0,1)與1

(1,2),2

(2,1)例一個(gè)向量組可線(xiàn)性表出它的任一個(gè)部分組。性質(zhì)向量組的等價(jià)具有