武漢科技大學(xué)-信號與系統(tǒng)-上冊-習(xí)題答案

第1章信號及信號的時域分析1.1本章要點本章在時域范圍內(nèi)討論信號的分類和信號的基本運算，通過本章的學(xué)習(xí)，讀者應(yīng)該了解信號的各種分類、定義及相關(guān)波形；了解各類常用信號及其性質(zhì)，掌握幾種奇異信號的特性及運算方法：了解和掌握信號的基本運算方法，深刻理解卷積與輸入、輸出信號和系統(tǒng)之間的物理關(guān)系及其性質(zhì)，為后續(xù)課程打下牢固的基礎(chǔ)。1、信號的分類(1)連續(xù)信號與離散信號一個信號，如果在連續(xù)時間范圍內(nèi)(除有限個間斷點外)有定義，就稱該信號在此區(qū)間內(nèi)為連續(xù)時間信號，簡稱連續(xù)信號。僅在離散時間點上有定義的信號稱為離散時間信號，筒稱離散信號。(2)確定信號與隨機信號確定信號是指能夠以確定的時間函數(shù)表示的信號。即給定某一時間值，就能得到一個確定的信號值。隨機信號是時間的隨機函數(shù)，即給定某一時間值，其函數(shù)值并不確定的信號。(3)周期信號與非周期信號對于連續(xù)信號f(t),若存在T>0,使得f(t+rT)=f(t),r為整數(shù)，則稱/(f)為周期信號；對于離散信號/(")，若存在大于零的整數(shù)N,使得/5+rN)=/(〃)，7?為整數(shù)，則稱/(〃)為周期信號。不滿足周期信號定義的信號稱為非周期信號。①幾個周期信號相加而成的信號的周期問題幾個周期信號相加，所產(chǎn)生的信號可能是周期信號，也可能是非周期信號，這主要取決于幾個周期信號的周期之間是否存在最小公倍數(shù)以周期分別為7；、T2(角頻率分別為。「。2)的兩個信號相加產(chǎn)生的信號為例，如果2=々=區(qū)=有理數(shù)，%,%均為整數(shù)，則/?)為周期信號，其周期為T[〃2TOC\o"1-5"\h\z一一一27r 27r"==n2^2=n\=% (1-1)②離散正(余)弦信號的周期問題時域連續(xù)的正(余)弦信號一定是周期信號，但時域離散的正(余)弦信號不一定是周\o"CurrentDocument"2 2期信號，要求周期N為正整數(shù)。例如：sinfm為周期信號，周期N為5,sin*〃為非周5 5期信號，因為5%不是整數(shù)。(4)能量信號與功率信號歸一化能量為有限值，歸一化功率為零的信號為能量信號，即滿足0<W<oo,P=0o歸一化功率為有限值,歸一化能量為無限大的信號為功率信號，即滿足Wf8,0<P<OO。一般，周期信號為功率信號。（5）實信號與復(fù)信號在各時刻/（或〃）上的信號幅值為實數(shù)的信號為實信號，信號幅值為復(fù)數(shù)的信號稱為復(fù)信號。2、常用連續(xù)信號及其性質(zhì)（1）.單位階躍信號用“Q）表示，定義為：（2）單位沖激信號用演。表示，其狄拉克（Dirac）定義為：TOC\o"1-5"\h\z.L5{t}dt=X （1-3）b（f）=0,「HO沖激信號的性質(zhì)：1）篩選性=fW（t） （14）0）=/優(yōu)順-o） （1-5）2）取樣性二/。）6。）力=「/（0）6。勸=/（0）￡>（。力=/（0） （1-6）-外力=二/（幻5?-外力=//）￡/?-外力=/（幻 <1-7）3）尺度變換S（af）=（1-8）同3'（at）= （1-9）\a\a以及s（ar）的n階導(dǎo)數(shù)為=即⑺ （1-10）\a\an4）奇偶性利用式（1-10）來分析5（。的奇偶性是比較方便的。令。=-1,得6（"）（-。=（-11（叩）〃為偶數(shù)時，有*(-.)=爾啕〃=0,2,4,… (1-12)〃為奇數(shù)時，有S(")(—r)=—5(")(f) 〃=1,3,5，?一 (1-13)這樣，得到S(-t)=S(t) (1-14)t)=S'(t) (1-15)即必)是偶函數(shù)，而b'(f)是奇函數(shù)。3(f)與“?)互為微分與積分的關(guān)系，u(t)=^KS(r)dr (1-16)^(r)=—?(/) (1-17)dt6)復(fù)合函數(shù)形式的沖激信號對于形如皿/(f)]的沖激信號，若/?)=0有m個互不相等的實根(如果/(。=0有重根，兄/(可沒有意義)，則有TOC\o"1-5"\h\z4/'?)]='合｝死-力 (口8)(3)單位沖激偶函數(shù)1)單位沖激偶函數(shù)的定義單位沖激偶函數(shù)可通過對矩形脈沖求一階導(dǎo)數(shù)再取極限引出其定義。脈寬為7、幅度為I T T 1 T T-的矩形脈沖為/(0=-[?(/+-)-w(r--)]，其導(dǎo)數(shù)為f\t)=-[3(t+-)-8(t--)],t r 2 2 r 2 2圖i-i對矩形脈沖求導(dǎo)的波形可見/'?)是一正一負兩個強度均為上的沖激信號。lim/'("=￡(，)稱為單位沖激偶函數(shù)。

T r->02)單位沖激偶函數(shù)的性質(zhì)：①因為￡⑺是奇函數(shù)，所以r3\t)dt=0 (1-19)J'fS'(7)d7=b(f) (1-20)/(rW)=/(0W)-/W(^) (1-2D推廣，有/(網(wǎng)―°)=//)￡(…。)-/'(幻演一°) (1-22)口/(麗)力=-尸(0) (1-23)推廣，有R/。)爾")⑺力=(-1)"/20) (1-24)匕/QH("外力=一/&) (1-25)口⑺即(0)力=(-1)"嚴(幻 (1-26)(4)斜坡信號

單位斜坡信號用r(f)表示，其定義為：

/、卜t>0r(t)=tu(t)=l(<o (1-27)r(f)與“(f)之間的關(guān)系為：r(/)=￡xu(r)Jr (1-28)—r(r)=w(f) (1-29)dt(5)符號函數(shù)sgn(f)符號函數(shù)用sgn(f)表示，其定義為：

flr>0

sgn(r)=<0t-0 (1-30)fl-1 z<0(6)取樣信號取樣信號用Sa(。表示，其定義為：Sa(r)=，由L—co</<co (1-31)取樣信號有如下性質(zhì)：lim皿=1 (1-32)f->0t5〃(左))=0, 左=±1,±2,±3,… (1-33)匚；吧/=乃 (1-34)3、常用離散信號及其性質(zhì)(1)單位序列必I)單位序列用5(a)表示，其定義為：n=06(”)=4 (1-35)0 “HO單位序列性質(zhì)：fW(n)=/(0)5(n) (1-36)2)y(/?)J(M-rt02)y(/?)J(M-rt0)=/(陽)5(n-n0)(1-37)(2)單位階躍序列“(〃)單位階躍序列用“⑹表示，其定義為:(1-38)1u(n)=<(1-38)0若將“⑺移位〃0,得fln>nn

u(n-nQ)=< (1-39)[0nv%單位階躍序列與單位序列之間的關(guān)系：S(n)=u(n)-u(n-1) (1-40)“(〃)=￡s(j) (1-41)j=9或者/, _0一 _8_“(〃)=工5(力=工5(〃一')=工5(〃一') (1-42)y=—00 j=QO i=04、連續(xù)信號的基本運算(1)信號的相加和相乘信號的運算從數(shù)學(xué)意義上來說，就是將信號經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)運算轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪恍盘枴蓚€信號相加，其和信號在任意時刻的信號值等于兩信號在該時刻的信號值之和。刖=川)+力《) (I?兩個信號相乘，其積信號在任意時刻的信號值等于兩信號在該時刻的信號值之積。/(，)=/◎?力⑺ <1-44)(2)信號的平移將信號沿時間軸作平移，得到一個新的信號。對于連續(xù)信號/(f),若有常數(shù)f0>0,信號是將原信號沿正t軸平移/0時間，而/?+/0)是將原信號沿負t軸平移小時間。(3)信號的尺度變換與反轉(zhuǎn)將信號/⑺的橫坐標的尺寸展寬或壓縮稱為信號的尺度變換?？捎米兞俊榉橇愠?shù))替代原信號/(，)的自變量f,得到信號/(at)。如果a為正數(shù)，當(dāng)。>1時，/(〃)是將/(f)以原點為基準，橫軸壓縮到原來的‘倍；a當(dāng)0<a<1時，/(ar)是將/(/)橫軸展寬至原來的-倍。a信號的反轉(zhuǎn)是將信號/⑴中的自變量f換為-f,即將信號繞縱軸作180。反轉(zhuǎn)。把原信號/?)在，時刻的值變換為-，時刻的值。(4)信號的導(dǎo)數(shù)和積分信號的導(dǎo)數(shù)定義為：刈=3 (1-45)dt信號的積分定義為：y(t)=[j(r)dT (1-46)(5)信號的時域分解1)信號的奇偶分解信號的偶分量用力(。表示，其定義為：/{)=〃—) (1-47)信號的奇分量用表示，其定義為：/0(Of(―) (38)任意一個信號都可以表示成奇分量和偶分量之和：川)=川)+〃。 449)則有〃/)=；[加)+/(-理 (1-50)圖1-2信號及信號的奇、偶分量2)信號的脈沖分解任意一個連續(xù)信號都可以用脈沖信號相疊加來近似表示，如圖l-3(a)所示。圖1-3信號/(，)分解成窄脈沖每個矩形脈沖可以表示為fk(t)=f(姐"W-kAt)_u(t~(k+l)Ar)]則/(/)?y-)[￡"一女加)一￡"一.加一4)14￡0 Nt當(dāng)Ar—>0時，kNt—>t,NtTdr,則￡(f—k\t)—￡(f—kM—Az) . Az/?)=t/(T?("7)d7 (1-52)這就是在時域中任意信號可以分解為無限多個沖激信號相疊加，如圖l-3(b)所示。式(1-52)的積分稱為卷積積分。(6)信號的卷積積分1)卷積積分的定義一般而言，兩個信號力《)，人《)的卷積積分定義為/“)=￡c/i(7)/2(—r)d7 (1-53)簡稱卷積，記作/?)=/《)*%⑴。2)卷積積分性質(zhì)①交換律設(shè)有力⑺和力?)兩個信號，則/1(0*/2(0=/2(0*/1(0 (1-54)②分配律設(shè)有力⑺、人⑺和八⑴三個信號，則/1⑴*[/2(0+/3(01=/|(0*/2(f)+f\⑺*力⑴ (I-55)③結(jié)合律設(shè)有力⑺、人⑺和人⑺三個信號，則力⑺*[力⑴*力⑺]="?)*%⑴1*力⑴ <1-56)④卷積積分后的微分性質(zhì)兩個信號卷積積分后的導(dǎo)數(shù)等于兩個信號中之一的導(dǎo)數(shù)與另一信號的卷積積分。即梟⑺沙⑴卜力⑺*翠=琴*人⑴ <1-57)at atat⑤卷積的微積分性質(zhì)如果/(，)=力0/20，則A%)"%)**-%) (1-58)式中當(dāng)i或，取正整數(shù)時表示導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，取負整數(shù)時為甫積分的次數(shù)。⑥卷積的平移性質(zhì)兩個信號平移后的卷積積分，等于兩個信號卷積積分后平移，其平移量為兩個信號分別平移量的和。即

如果則有 力。一。)*/2。-，2)=/"-。-，2)⑦與沖激信號或階躍信號的卷積積分信號/⑺與單位沖激信號6⑴卷積積分的結(jié)果是信號/(f)本身。即/(r)*6(r)=f(t)利用卷積的平移性質(zhì)，有利用卷積的微積分特性，可以得到以下一系列結(jié)論。對于沖激偶b'(f),有推廣到一般情況，可得/?)**(-。)=廠>(一%)對于單位階躍信號”(f),有/(/)*?(/)=rf(r)dTJ-<x)對于兩個因果信號，有力*f2(t)u(t)=￡/i(r)/2(r-r)Jr表1-1列出了常用的卷積積分性質(zhì)，以供查閱。(1-59)(1-60)(1-61)(1-62)(1-59)(1-60)(1-61)(1-62)(1-63)(1-64)(1-65)(1-66)序號性質(zhì)公式1交換律/(0=/1(0*/2(0=/2(0*/,(#)2分配律/(0=/,⑴*[f2(n+/3(0]=力0)*%⑺+力⑺*力⑴3結(jié)合律/(O=/i(O*[/2(r)*A(/)]=[/.(r)*f2(t)]*f3(t)4微分性質(zhì)/,(0=//(0*/2(0=/1(0*/；(05積分性質(zhì)(r)=/；-'>(r)*f2{t)=/,(/)*/2-1)(t)6微積分性質(zhì)f(t)=A-"⑺*月⑴=f；[t)*f尸，⑺7平移性質(zhì)fSt-a)*f2(t-b)=f(t-a-b)8與沖激信號/(O=/(O*s”)，f,k\t)=f⑺*Sa,(t)9與階躍信號f(t)*u(t)=[Bf(r)clr>ft(r)ff(r)??(0=￡Z(r)dr1()持續(xù)時間f(t)的開始時間=力(r)的開始時間+力。)的開始時間/(/)的結(jié)束時間=力(r)的結(jié)束時間+/,(/)的結(jié)束時間/⑴的持續(xù)時間=力(/)的持續(xù)時間+f2{t}的持續(xù)時間11面積性質(zhì)f(t)的面積=/,(r)和人⑺的面積的乘積5、離散信號的基本運算

(1)序列相加 /(?)=/,(?)+/2(/l)(1-67)(2)序列相乘 /(〃)=力(〃>/2(〃)(1-68)(3)序列/(〃)的平移/(〃一〃。)：當(dāng)〃口〉。，信號/(〃一〃。)是將/(〃)序列沿正“軸平移〃0個單位，稱為/(〃)的超前序列，/(〃+〃0)是將/(〃)序列沿負〃軸平移〃0個單位,稱為/(〃)的延遲序列。(4)序列f(n)的尺度變換當(dāng)ImI〉1時，f(mn)是/(〃)序列每隔m點取一點形成的，相當(dāng)于時間軸〃壓縮了加倍；當(dāng)lml<l時，/(m〃)是/(〃)序列每兩點之間插入5個零，相當(dāng)于時間軸〃擴展了切倍當(dāng)膽=-1時，/(-〃)是將/(〃)序列繞縱軸作180。反轉(zhuǎn)，稱為/(〃)的反轉(zhuǎn)序列。(5)序列差分：一階前向差分 紂(〃)=f[n+\)-f{n) (1-69)二階前向差分A2/(n)=△["(〃)]=Af(n+1)-紂(〃)=f(n+2)-2/(〃+1)+f(n)(1-70)一階后向差分W(n)=/(n)-/(n-1) (1-71)二階后向差分V2/(?)=V[W(〃)]= 一D=/(〃)-2/(n-1)+f{n-2)(1-72)/(〃)=(1-73)/(〃)=(1-73)力(，)=〃(〃)力(，)=〃(〃)(1-74)(1-74)(1-75)(1-75)(1-76)〃1(1-76)〃1_〃M+,

VtZZW(/)= 〃(〃)QW11一。(1-77)(7)序列的時域分解1)序列的脈沖分解任意離散序列/(〃)可用單位序列及其移位序列表示，即/(?)=-+/(-2)<J(n+2)+/(-1W+1)+”0)6(〃)+/⑴6(〃-1)+…+f(i}8{n-/)+???=Z/(i)b(〃-i) (1-78)可見任意離散序列在時域可表示為5(〃-/)的線性組合。

2）序列的奇偶分解對于無限長序列，用了,（〃）表示共規(guī)對稱序列，有。（〃）=力（一〃） （1-79）用力（〃）表示共腕反對稱序列，有/?（?）=-/；（-?） （1-80）一般序列都可用共軌對稱序列和共腕反對稱序列之和表示，即/（〃）=￡?（〃）+/"（〃） <1-81）所以I *，（〃）=/（〃）+/（-?）］ （1-82）/“（〃）=（"（〃）-/*（-〃）］ （1-83）對于有限長序列，用/；/〃）表示有限長共筑對稱序列，有A（〃）=/e；（N-〃），0<n<N-l （1-84）用人,（〃）表示有限長共規(guī)反對稱序列，有,0<n<N-I （1-85）任何有限長序列都可表示成共加對稱序列和共筑反對稱序列之和表示，即/（〃）=（（〃）+%（〃），0<?<^-1 （1-86）所以1*（⑺二］"（〃）+/（N-n）l （1-87）/卬（〃）=，/（〃）-7*（N-〃）］ （1-88）1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6原序列共飄對稱序列共筑反對稱序列54320 1 2 3 4 5 6圖1-4有限長序列及其共扼對稱、共枕反對稱序列（8）卷積和1）卷積和的定義一般而言，兩個序列工（〃）與力（〃）的卷積和定義為/（〃）=2/⑴小〃-，）"（〃）*/2（〃） （1-89）如果力(〃)與力(〃)均為因果序列，則有：工(〃)*72(〃)=￡力(0/2(?-0 (1-90)/=04)卷積和的性質(zhì)①離散信號的卷積和運算服從交換律、結(jié)合律和分配律，即工(〃)*/2(〃)=/2(")*力(〃) <1-91)力(〃)*[f2(n)*&(〃)]=[力(〃)*扭〃)]*啟〃) (1-92)￡(〃)*伉(〃)+力(〃)]=/(〃)*力⑺+工(〃)*力(〃) (1-93)任一序列/(〃)與單位序列6(〃)的卷積和等于序列/(〃)本身，即/(〃)**〃)=5(〃)*/(〃)=f(n) (1-94)/(〃)**〃一〃J=/(〃-〃) (1-95)若/(〃)=〃〃)*啟〃)，則工(〃一〃1)*/2(〃一〃2)=/(〃一〃1一〃2) (1-96)1.2精選例題例1畫出下列信號波形。(1)f(t)=[<5(cos^r)!/r (2)/(〃)=〃“(〃)-4:,〃(〃-4k)A=1解：/(r)=J(j(cos=[[死-0.5)+比-1.5)+比-2.5)+???卜r=p(r-0.5)Jr+p(r-1.5>/r+p(r-2.5)6/r4---=u(t—0.5)+u(t—1.5)+u(t—2.5)+…波形如例1解圖(a)所示。f(n)=nu(n)-4^u(n-4k)k=l=nu(n)-4u(〃-4)-4〃(〃-8)-4〃(〃-12) 波形如例1解圖(b)所示。

例1解圖例2判斷下列信號是否為周期信號？若是周期信號，則確定其周期T。/](/)=l+3sin(乃f)+sin(2R)f2(t)=cos(2^-/)-cos(5f)⑶力⑺=2sin(：〃+.)解：(1)及=2=工=1n2Q22兀224 27r因此，公共周期"=lx'=2,C1 7T基頻人=-L=L=0.5”z"2(2)由于兩個分量的頻率比值旦="是無理數(shù)，因此無法找出公共周期。所以是非周期Q25的。(3)按定義，周期序列￡,(〃)應(yīng)滿足A(〃)=/3(〃+N)，其中滿足定義式的最小正整數(shù)N稱為序列的周期。欲使/3(〃+N)=2sin—(n+JV)+—62si-N+工=A")N不是正整數(shù)，故N不是正整數(shù)，故力(〃)不是周期序列。,應(yīng)該滿足一N=2;r,即N4例3判斷下列信號哪些是能量信號，哪些是功率信號。(1)/](/)=e~^(2)fAt)=e"⑶f3(n)=2ej2nn,4解：與=lim~制)力=je2'dt+je^'dt=-(1-0)--(0-1)=1J-r -?o2 2Pi=0所以力(f)是能量信號。TE2=limj(e-z\dt=￡e~2tdt=oofR-r[T=lim——[(e1=oo2r_82TEsin(?Esin(?卜〃-2)解：(1) [^0Sin2r=工28。^^力=￡23(t\\dt=2所以人t)既非能量信號，又非功率信號。(3)人(〃)是一個周期為N=4的復(fù)數(shù)周期信號，其功率為TOC\o"1-5"\h\z1N-I2 13 2 [P=(X/3(〃)二力戶1=：(4+4+4+4)=4卬N”=o 4〃=。 4例4計算八、產(chǎn)“\sin2r,] dt(2)「8f(t-2)cos(tdtL亦-4%8y1)m=x>[3(t2-l\lt因為對于形如皿/(r)]的沖激信號，若/。)=0有小個互不相等的實根，有兒""4而"f)又--1) =±2t=±l所以￡3(t2-4M=[軀f+1)+沖-l)]t〃=gx2=13cV(j(n-m)=u(-n-l)+w(n)；n="oo⑸￡sin]-2)=3{n-2)rt=-a>I4J例5已知信號的波形如例5圖所示，分別畫出/(。與或3的波形。dt4(2-2。-2 -101/例5圖解：f(2-2t)-/[-2(—)]t/[-2(r-l+1)莊移1/(-2。反轉(zhuǎn)f⑵膜坐標擴展一倍/(；x2r)=/(r)/'(f)的波形如例5解圖(d)所示。例6計算下列各題的卷積<?>已知/1(/)=e-2,u(z), f2(t)=tu(t),求：/，(^)*/,(/)解：力(。*汝)=工*/20<-"=?(/)*[e-2rdr=u(t)*；(1 )]=Ig(l-e")打=；(丁+；62,)=&r+e"?(/)(2)已知/1(/)=〃([-1), f2(f)=u(t+2),求：/,(/)*/2(0解法1：/]<||(z)=Jzu(r-l)^r=|o/r=^r2||=—(z2-l^(r-l)/￡〃)=沖+2)/3*人⑺=9)⑴*以尸=*-1》(-1)*即+2)[卜+2)2—心+2-1)=((/+4r+3)(，+1)解法2：/(，)*.(，)=-1)*W+2)=(r_1+l＞，(r-1)*+2)=[(/-1)*〃(1-1)+1? -1)]*u(t+2)=必-1)+)* -1)]*〃(r)*必+2)=\tu(/)*8(t—1)*w(z)*3(t+2)+〃(/)* —1)*〃(r)* +2)]=/〃(，)*〃(，)**，+1)+〃(，)*〃(，)*+1)=-t*3(t+1)+t*3(t+1)=—(t+1)"u(t+1)+(t+l)w(f+1)=g(f2+4f+3)?+1)(3)已知力(〃)=3"“(〃一1) /2(〃)=2"〃(〃+l)，求力(〃)*，2(〃)解：力(〃)*72(〃)=3-3"m(z?)*3(n-1)*」2"“(〃)*5(〃+1)Q=一?3"〃(〃)*2nu(n)33n+,-2n+,z、 u\n)2 3-2 ''=|(3川_2嗎(〃)1.3習(xí)題精解.判斷下列信號是否是周期的，如果是周期的，求出它的基頻和公共周期。f(t)=4-3sin(5^r)+sin(30^Z)f(t)=cos(10r)cos(30tz7)f(t)=cos(lO^r)-cos(20r)f(t)=cos(2r)-V2cos(2z--)4解：(1)zl=IL=_L=J.n2Q23062乃 2乃2因此，公共周期'=lx'Q, 545基頻1Zo=；=l2.5//z，oZ(2)f(t)=cos(l0^-r)cos(30^)=0.5(cos20加+cos40^r)〃i_A_20_1n2Q24022乃 27r I因此，公共周期〃=〃1==lx上％=」-s° 1Q, 20乃10基頻人=J_=10"zA)(3)由于兩個分量的頻率比值&>=W工是無理數(shù)，因此無法找出公共周期。所以是非周期% 20的。(4)兩個分量是同頻率的，基頻4=1/71Hzo因此，公共周期T=_L=%s。/0.指出并證明下列信號中哪些是功率信號，哪些是能量信號，哪些既不是功率信號也不是能二任口一里信節(jié)?！?/)+5〃(r—1)—2〃(，—2)〃(/)+5〃(f—1)—6〃(r—2)⑶e-5'u(t)(e-5'+l)u(/)解：(1)波形如題2解圖(a)所示。顯然是功率信號。P=lim—[\f(t)\~dt=lim—Ff\dt+[36dt+fI6dt=16WT-xx2T Ji J2(2)波形如題2解圖(b)陰■不。顯然是能量信號。E=fl2Jr+f62^=lxl+62xl=37J⑶能量信號E=lim[T(e-5')2dt=f^-|0,Jr=-—^10'Z=0.1JT—>ooJO J0 jQ0(4)功率信號，顯然有P=1W.周期信號如題圖3所示，試計算信號的功率。題3圖解：周期T=7,一個周期的能量為 E=(4?力+￡(-2)2力=16x3+4x2=56)信號的功率為 尸=互=史=8WT7.畫出下列信號的波形。.(f)=3節(jié)⑵-2)=2w(z)4-8[t—2)f3(t)=2u(t)8(t-2)解：力(f)J2(r)，力(r)的波形分別如題4解圖(a)、⑹、(c)所示。題4解圖.完成下列信號的計算。(4產(chǎn)+2)5(3； (2)e-“鳳4一2，)；sin(2r+y)^(r+1)； (4)e^uit^t-4).解：⑴(4產(chǎn)+2%)=65(f)：(2)"陽4-2t)=036”2)=0.5^(/-2)sin⑵+y)^(r+y)=sin(-^+y)5(r+鄉(xiāng)=一*5?+鄉(xiāng)e?2%c-4)=e~28(t-4).求下列積分。「(4+3)力； (2)「(4一戶)5。+4)力；TOC\o"1-5"\h\zJ-oo J-3r6、 rio-sin3tf(6-t2)[3(t+4)+23(2t+4)]dt; (4)f3(t)--dt.J-3 J-oo 1解：「(4一產(chǎn))b(r+3)dr=「(4一9)6。+3)力=—5J-oo J-00]：(4--)6"+4)山=0(因f=-4不在積分范圍(-3,6)內(nèi))「(6-產(chǎn))?t+4)+26⑵+4)]力=[6[-10^(/+4)+2S(t+2)]dt=2*-3 J-3(4)『5(。^^力=J'°5(f)?3Sa(3t)dt=3。 (Sa(3t)=lim^^=1)(4)解:7.畫出題圖7中的信號的?階導(dǎo)數(shù)波形。A欣)?(U￡(f)，￡(f)的波形分別如題7解圖6)、(b)、(c)所示?⑴⑵⑶(4)⑸(6)⑴⑵⑶(4)⑸(6)題7解圖8.對于題8圖中的信號/?),為以下各式作圖?！贰?=/(，+3)x(t)=f(2t-2)g(t)=f(2-2t)h(t)=f(-0.5t。⑴(偶分量)4(0(奇分量)解：各波形如題8解圖所示。.周期信號如題9圖所示，試計算信號的功率。解:周期T=7,y(r)=y+L5其能量為酊力=戊5+i5山音/信號的功率為.用基本信號或階躍信號表示題10圖中的信號，并求出它們的能量。解：/,(r)=2G6(r-3)+2G3(r-3),可以看成三個矩形。能量為 E]=4x2+16x2+4x2=48J/2(r)=2G6a-3)+2(2la-3).可以看成一個矩形和一個三角形相加。能量為 ￡=4x6+-x4x2+2xix2x4=34.67J3 2/3(0=62,0-3)-20,^-3).可以看成一個矩形和兩個三角形相加。能量為 E,=16x2+^x16x4=53.33J3(2)f2(2)f2(t)= +2)-u(t-2)];⑷/4(0=G2(r)sgn(r)；(6)f6(t)=u(2-\tl)sin(R)f1(t)=w[cos^z];f3(t)=sin7rt[u(-t)-u(2-1)];⑸/5=G6a)e2a-2)；解：各信號的波形如題ii解圖所示。

12.求下列積分。12.求下列積分。Pcos-t[3\t)-3(t)]dt;J-00 4(3)]：(4一產(chǎn))6'?-4)力；解：f[3(t+2)-3(t-2)]dtJ—8(4)p8(.t-2)8(x-t)dtJ-<0[cos—4夕⑺一8(t)]dt=-l;J-00 4f[J(r+2)-^t-2)]dt=u(t+2)-u(t-2)J-ao(c)/3(4-〃)6?-4)力=8/」\1 —2)x=2(d)\3(t-2)3(x-t)dt=\J-8 0xw213.畫出下列各信號的波形。/1(n)=(n+l)u(n)f2(n)=〃[〃(〃)-〃(〃-5)]/,(〃)=(-0.5)"”(〃)/,(?)=2-nM(n)解：各波形如題13解圖所示。題13解圖.對于題14圖中的信號/?),為以下各式作圖。㈤/⑴=/。+3)；⑹/2(/)=/(2/-2)；⑹^(0=7(2-20；(d)/；(/)=/(-0.5/-1)；(e)九⑴(偶分量)；(f)f0(t)(奇分量)。解：各波形如題14解圖所示。題14解圖.求下列函數(shù)的卷積積分力(。*f2(t)(1)/,(/)=e~3,w(r),⑵川)=/20=e%(r)⑶工(0=砒)，/2(，)="'則/!(r)=M(r-l),f2(t)=u(t-5)現(xiàn)求解如下：⑴fl(t)=e'3,u(t\/2(r)=M(z)；解：/1(0*/2(0=^e-3ru(T)xu(t-T)dT=[e-3rdT=~e~3T=1(l-e-3,}/(r)Jo3解：/?)*然)==卜3,〃=e-3,pr^M(r)⑶工(。=僅(“/j(r)=e-,w(O解：=k+e1：=G+efl(t)=u(t-l),/2(r)=u(/-5)解：工。)*俄)=“(fT)*W-5)=(r_6)w(f-6)/)(/)=tu{t\〃/)=w(/-l)-u(t-2)解：6-%)=；產(chǎn)響， ￡(r)=施-1)-W-2)/3*%*[WT)-詠-2)]=；(r-1丫”(r-1)-g(r-2)訕-2)16.已知(1)/(1)*W=(f+UT⑵工9)*卜W)]=(l-e")-(l-e-g)M.l)求工Q)現(xiàn)求解如下：(1)/[(r)*r〃(r)=(r+eT求工(。解：把力《)*?”")=(，+"'-?，?)求導(dǎo)2次力(。*汕=(1-/)=e'u(t)⑵川)*卜響]=(1-6-)(/)-求川)解：左式：{/1(O*『“(加=川)*[e"(f)_/〃“)]=工(D*[^(r)-e-,M(O]=力(，)-/(，)*/〃")右式：—[(1-(1-1*"-1)]=用)+ g-1)-D(r-1)+”7%-1)=必)+ "。沖)-必-1)- -1)+r(1)詠-1)=e~'u(t)-e~^'~^u(t-1)所以力(，)-力(，)*"'"(。=0-'〃(。-"('-燉-1)把力(，)*卜”(川=(1一屋)0—(1—e—1)代入上式，得-(1-/M，)-(1-eyt"_0=e'u(t)- -1).已知下列/?(〃)/(〃)的值，求”〃)*力(“)。(1)/(〃)=/2(〃)=〃(〃)⑵/(〃)="(〃>以〃)=6(〃)-6(〃-1)現(xiàn)求解如下：⑴/(〃)=/2(〃)="(〃)解：/1(〃)*/2(〃)=〃(〃)*“(〃)=(〃+1〉(〃)⑵工(")="(〃)/?(〃)=6(〃)_6(〃T)解：/(〃)*%(〃)=〃(〃)*同〃)一5(〃-1)]=〃(〃)一〃(〃一1).已知](〃)=優(yōu)*〃(城f2(n)=bnu(n),求工(九)*%(〃)。解：/1(〃)*，2(〃)=廢”(〃)*/(〃)=￡儲。"T1=0工(〃)*/2(〃)=廢〃(〃)*匕"(〃)="51=3”圖/J(力產(chǎn)"1ab-ab當(dāng)。=/?時[(〃)*/2(〃)=優(yōu)"(〃)*。"(〃)=￡。％~'=(〃+1?”i—Q i=0上二式在〃NO成立，故得!b〃+l_優(yōu)+1b-a"G"(〃+"〃〃(〃)a=b當(dāng)。=b=1時〃(〃)*〃(〃)=(n4-l)w(n)19.已知1/；(〃)=sinn^,f2(n)=anu{n),f3(n)=3{n}-a3(n-\),求力(〃)*/2(〃)*力(〃)。解：/(〃)*—(〃)*〃幾)=sin〃萬*優(yōu)〃(〃)*[6(M)-。5(〃―1)]=sin〃萬*a"〃⑺-1)]=sin〃1*a"u(n)-a,,+]u(n)*3(n-1)=sin*anu(n)-〃"”〃(〃)*方(〃-1)=sin〃;r*a〃“(〃-1)]=sin〃1*小[b(〃)+u(n-1)]-anu(n-1)}=sin〃乃*?)=sin這里用到性質(zhì)：〃(〃)=b(〃)+〃(〃-1)an3(n)=a03(n)=3(n)第2章時域連續(xù)信號的頻域分析2.1本章要點信號具有時域特性和頻域特性，本章討論信號的頻域特性，其目的一是掌握信號領(lǐng)域特性的分析，二是為系統(tǒng)的頻域分析方法作準備。從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分析，頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。1、信號的正交分解若〃個函數(shù)g](r),g2?),…,g“(r)構(gòu)成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(I”.)內(nèi)滿足.fOi手jTOC\o"1-5"\h\zfg,Q)gj(M=｛, c.. (2-1)& #0 1=j式中，尤為一常數(shù)。則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(。12)上的正交函數(shù)集。在區(qū)間&/2)內(nèi)相互正交的n個函數(shù)構(gòu)成正交信號空間。當(dāng)匕=1時，上述函數(shù)集就稱為是歸一化正交的。如果在正交函數(shù)集｛g,(r),g2⑺，…，g"Q)｝之外，不存在任何函數(shù)(p(r)(*0)滿足[%?)9*(。力=0(z=l,2,-,n) (2-2)則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。也就是說，如能找到一個函數(shù)例r)使得式(2-6)成立，即以r)與函數(shù)集｛g,(。｝的每一個函數(shù)都正交，那么它本身就應(yīng)屬于此函數(shù)集。顯然不包含(pit)的集是不完備的。設(shè)有n個函數(shù)8](，)送2(/)「一?！?1)在區(qū)間(/1/2)上構(gòu)成一個正交函數(shù)集，將任一函數(shù)/⑴用這〃個正交函數(shù)的線性組合來近似，可以表示為：/(ONC|g|?)+C2g2。)+…+ciSi⑺+…+c”g〃⑺=Ecg(r) (2-3)i=\應(yīng)選取系數(shù)Cj使得實際函數(shù)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間8/2)內(nèi)最小。這里“誤差最小”不是指平均誤差最小，因為平均誤差很小甚至等于零時，也可能出現(xiàn)較大的正誤差與較大的負誤差在平均過程中相互抵消，以致不能正確反映兩函數(shù)的近似程度。通常選擇誤差的均方值最小。誤差的均方值也稱為均方誤差，用符號/表示：可求得”=占口加一立局⑴『力(2-4)⑺g,⑺力⑺g,⑺力c,= = (2-5)￡g；Q)dt￡g,“)g：⑺力2、周期信號的頻譜分析一傅里葉級數(shù)周期信號/Q)，周期信號/Q)，周期為T，基波角頻率為27r=—,在滿足狄里赫利條件時，可展T(2-6)/(，)=U+Z(《，cos〃。()，+b“sin)

2w=i(2-6)稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，由正、余弦正交條件及式(2-5)可得三角函數(shù)型傅里葉系數(shù):直流分量：a0=2”7...,tIfWt(2-7),M+7余弦分量的幅度：an直流分量：a0=2”7...,tIfWt(2-7),M+7余弦分量的幅度：an=-J"/(OcosnQordr〃=1,2,3,…(2-8)正弦分量的幅度：bn+T/(r)sin；TQordf〃=1,2,3,???(2-9)利用歐拉公式，則得到傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式/(o=X工*=n=-oo(2-10)(2-11)三角函數(shù)型和指數(shù)型傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系。工T工Ie用?工，〃=；業(yè)+6；(b}(pn=-arctan—<an>M=A“COS%=￡,+￡“2=-A“sin%=，(工一￡“)(2-12)(2-13)/(r)cosnilnt/(r)cosnilntdt(2-14)n=1,2,3,…(2-15)以各諧波的振幅4“或虛指數(shù)信號的幅度I工1為縱坐標，畫出的圖形，稱之為幅度(或振幅)頻譜，簡稱幅度譜。畫出各諧波初角外與頻率(或角頻率)的線圖，稱之為相位頻譜。如果F“是實的，則可以用Fn的正負來表示必為0或乃，這時將幅度譜和相位譜畫在一個圖上。3、非周期信號的頻譜分析——傅里葉變換(2-16)(2-16)前者是由信號的時間函數(shù)變換為頻率函數(shù)，稱為傅里葉正變換式；后者是由信號的頻率函數(shù)變換為時間函數(shù)，稱為傅里葉反變換式。也可簡記為F(M)=/{〃/)}

.)=/"(用)}(2-17)或f(t)<->F(jQ) (2-18)非周期信號的傅里葉變換也應(yīng)該滿足一定的條件才能存在。這種條件類似于傅里葉級數(shù)的狄里赫利條件，不同之處僅僅在于時間范圍從一個周期擴展為無限區(qū)間，條件，即要求信號/⑺在無限區(qū)間內(nèi)絕對可積。但這僅是充分條件，而不是必要條件，自從引入了廣義函數(shù)的概念以后，對于許多并不滿足絕對可積條件的函數(shù)(如階躍信號、符號函數(shù)及周期信號等),其傅里葉變換可以有確定的表示式。一般情況下，頻譜函數(shù)是一個復(fù)函數(shù)，它可以寫成F(jf2)=\F(jn)\eiv(n) (2-19)I尸(JC)I亦稱為幅度頻譜，它是頻率的函數(shù)，它代表信號中各頻率分量的相對大小，而各頻率分量的實際幅度是于"0M0,它是一無窮小量。例。)稱為相位頻譜，它也是24頻率的函數(shù)，它代表有關(guān)頻率分量的相位。非周期信號也和周期信號一樣，可以分解為許多不同頻率的正弦分量。所不同的是，由

于非周期信號的周期趨于無限大，基波頻率就趨于無限小，因此組成信號的分量的頻率包含了從零到無窮大之間的一切頻率。同時隨著周期的無限增大，組成信號的分量的振幅則無限減小,所以頻譜不能直接用振幅作出，而必須用它的密度函數(shù)來作出。2萬密度函數(shù)的模量IF(/Q)I對頻率Q作出的連續(xù)曲線代表信號的幅度頻譜；密度函數(shù)的相角火0)對頻率。作出的連續(xù)曲線則是信號的相位頻譜。

0(。)」4n2jtrrnn.uu°—— crr5^函數(shù)/(力11j tsgn(Z)=，-1 tIF(；Q)I103(。)'Q2〃0 ?~103LTl6單位“流信號加，1/(f)=1—00</<00F(jC)=2癡(Q)（2乃）0/0Q7單位沖激信號b()Ji⑴M)=()j/()=1[10t0Q8階躍信號〃(力1iz11 .、w(0=~+—sgn(r)%〃2)=響/2)+工jC1Fg)2L.ot0n

信號的特性可以在時域中用時間函數(shù)/（，）完整地表示出來，也可以在頻域中用頻譜函數(shù)尸（，0）完整地表示出來，而且兩者之間有著密切的聯(lián)系，即傅里葉正反變換已經(jīng)給出了信號的時域特性與頻域特性之間的一般關(guān)系。但是，如果進一步研究一下傅里葉正反變換式,還可以得出兩者之間的若干特定對應(yīng)關(guān)系。因此有必要討論傅里葉變換的基本性質(zhì)，并說明其應(yīng)用。表2-2傅里葉變換的基本性質(zhì)性質(zhì)時域/”）頻域尸（〃2）定義尸（陽）=「/（f）e"力X

尸(M)=R(C)+jX(C)線性的⑴+牡⑺西（M）+W（W）奇偶性/（，）是實函數(shù)R(0)=/?(—/2)，X(Q)=-X(-0,Fg=F*(-j。)/(0=/(-0X(Q)=0,F(JC)=R(。)RCQ)=0,F(jA)=jX(A)/?）是虛函數(shù)R(0)=-R(-。)，X(O)=X(-。)Fg=-F*(-jC)對稱性F(jt)2兀以-6時移特性尸（必必巧頻移特性%）e士陽F[；(/2+Q())]尺度變換1十.0、時域微分dfSdt⑴dtnjCF(jC)(JC)"F(jC)時域積分￡/(r)Jr^^+；rF(02(Q)jC頻域微分(-Jr)V(OdF(jC)dCd"F(j。)d。"頻域積分萬〃0)M)+j3tF(jx)dx-8時域卷積/.(0*/2(0耳行。再(M)頻域卷積；蟲間)*6(陽)2萬帕斯瓦爾定理力IFOY2)I2de2%山4、周期信號的傅里葉變換設(shè)周期信號/(，)的周期為工)，則角頻率^>=276=上,可以將/?)展開成指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)")=￡匕*卬 (2-20)n=—oo將上式兩邊取傅里葉變換,可求出周期信號/(f)的傅里葉變換00/(/。)=陽/(r)]=21X工次Q一〃A) (2-21)n=—oo其中，工是/?)的傅里葉級數(shù)的系數(shù)，它等于Fn=—f°/2/(f)eTG'力 (2-22)()J~%/2式(2-21)表明，周期信號/(f)的傅里葉變換尸()。)是由一系列的沖激信號所組成。這些沖激位于信號的各次諧波頻率處(0,士R,,±2Q,每個沖激的強度等于/(f)的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)工的2乃倍。還可以推導(dǎo)出周期信號/Q)的傅里葉變換尸(_/0)與對應(yīng)的單脈沖信號人。)(即周期信號/⑺在原點附近的一個主周期)的傅里葉變換外(j。)之間的關(guān)系，一般周期信號f(t)可以用周期單位沖激序列斗⑴來表示，即/?)=￡啟"〃戶人⑺*可⑺ (2-23)“=-00根據(jù)時域卷積定理可得?%)]=—見-⑺]得周期信號/(f)的傅里葉變換的/?)]=用(M) b(Q-〃R)=")X線(加5項。-〃")) (2-24)27r由此可見，將A")波形進行以T為周期的周期延拓，等效于在頻域?qū)ζ溥M行為周期的等距離沖激采樣。5、時域采樣定理在許多實際問題中，常常需要將連續(xù)時間信號變成離散時間信號，這就要對信號進行采樣(或稱取樣、抽樣)。例如，對于測量溫度、位移和速度等一些連續(xù)變化的量可以每隔一定時間進行測量一次，取得這些連續(xù)時間信號在各離散時刻的一系列數(shù)據(jù)。離散信號可以通過對連續(xù)信號采樣得到，從而可以用離散時間系統(tǒng)進行處理。但是，這牽涉到兩個問題：1)采樣間隔T如何確定？2)原信號能否由樣本點恢復(fù)？若能，如何恢復(fù)？要恢復(fù)原信號的必要條件是，采樣信號頻譜中兩相鄰的組成部分不能相互重疊，否則即使使用了理想低通濾波器，也無法取出與原信號相同的頻譜。因此，要使頻譜中相鄰組成部分不相重疊，則必須滿足如下條件：首先，原信號/?)的頻譜尸(，。)的頻帶是有限的，即原信號/(f)頻譜中存在最高頻率分量Q,；其次，采樣頻率Q至少等于最高頻率Q的兩倍,即Q>2Q, (2-25)或fs>2fc (2.1-26)也就是說，要恢復(fù)原信號則最低采樣頻率f1nhi=2刀。一般將最低采樣頻率/.in稱為奈奎斯特(Nyquist)采樣頻率(簡稱奈奎斯特采樣率),其倒數(shù)Tsmin=1/fsmin稱為奈奎斯特采樣間隔。若采樣頻率Q不滿足(2.1-25)式時，即Q<2Q.時，工(〃2)將產(chǎn)生混度(aliasing),此時不能從乙()。)中取出尸(〃2)，也即信號/?)不能由采樣信號工⑺完全恢復(fù)。也就是說，采樣的間隔時間過長，即采樣太慢，將丟失部分信息。時域采樣定理(samplingtheorem)：一個頻帶受限的信號/?),如果頻譜只占據(jù)-Q&的范圍，則信號/(，)可以用時間間隔不大于」一的采樣值惟一地確定。當(dāng)這樣fsmin的采樣信號通過其截止頻率R滿足條件R"A 的理想低通濾波器后，可以完全恢復(fù)原信號。

在滿足采樣定理的條件下，為了從頻譜冗（，。）中無失真地選出尸（/Q）,可以將采樣信號通過一理想低通濾波器，其頻率特性為(2-27)其中，Q<^）<Qt-Q?因為濾波器的輸出頻譜為尸（，C）=〃（_/0） 由時域卷積定理知(2-28)若取，Q=2Q，%=Q,，則/?)=工/(〃7；/?)=工/(〃7；加[。?-〃乃)](2-29)上式說明，連續(xù)信號/（r）可以展開成正交采樣函數(shù)（Sa函數(shù)）的無窮級數(shù)，級數(shù)的系數(shù)等于采樣值/（〃（）。也就是說，若在采樣信號￡”）的每個樣點處，畫出一個峰值為力（〃（）的Sa函數(shù)波形，那么其合成波就是原信號/（f）。因此，只要已知各采樣值￡（〃?；）就能惟一地確定原信號/?）。2.2精選例題例1.證明下面四個多項式在區(qū)間（-1,1）內(nèi)是正交函數(shù)集：fJ(f)舄⑺力=1舉1533V x+-tvit=4 8)0[3?)〃⑺力=[但5.44--t3 =02 4)，■⑺6⑺力=1/嗎<1661254392 /+—t-16 16-得卜=0[△⑺乙⑺力=1烙(167255510537 r+——r16 16一3)=0又因為函數(shù)集滿足"(3⑺力=02dt=23二鳥。）鳥。）力=￡I}"32nl2-t+—\dt=—2 5"?出"）力=（停J.15?+9/2Y=2 4727二2?）2?）力=￡等8_525r6+555?16 16一竺產(chǎn)+2116 647288可知這四個多項式在區(qū)間＜M,1)內(nèi)是正交函數(shù)集。例2.將例2圖中的方波信號/?）展開為傅里葉級數(shù)。例2圖解：首先解出cos(nQ(/)dz⑴cos(〃Q(/)t/r〒西卜si"]P2「cos(nQ(/)dz⑴cos(〃Q(/)t/r〒西卜si"]P2「 ]—11—cos(m^)]=<n7r0,4n=2,4,6-?,.〃乃n=1,3,5-??t+g3[sin(〃。。川修y2/?￡20又因為。0=半，可得a=0bn==工L(-l)sin(〃Qof)+2gsin(〃Q(jW2bn=則傅里葉級數(shù)的展開式為。、4.八、1. 1. _n=1,3,5,-??/(z)=-sin(Q0^)H—sin(3f20Z)H—,H—sin(nf20/)4-,n=1,3,5,-??~ 3 n例3.求出例3圖周期函數(shù)的頻譜。解:27r周期7=2,Qo=—=^,則有/(0=/(0=sin(M,2k<t<2k-^-12k+1<t<2k+2由此可得

1工 1A 14_0一””n=0,±1,±2,…Fn=-月/(”小力,ff⑴e-jR'dt=n=0,±1,±2,…“丁4 211 2^-(1-n2)可知周期信號的頻譜是離散的。例4.求下列信號的傅里葉變換f(t)=e-J'3(t-2) (2)/(f)=e-3"T)￡(f-i)解：(1)已知6(。cl由時頻性質(zhì)可得 8(t-2)^e~i2n再由時頻性質(zhì)可得f⑴的傅里葉變換 -2)c0-問。+|)即F(jn)=e-J2(n+i)/")的傅里葉變換為/?)=e-3(i—?_1)=§(r-i)-(-3)(J(r-l)=￡(1)+3必—1)又6(f)-1,S(f)cj。，最后可得/(〃2)=(/。+3-。例5.根據(jù)傅里葉的對稱性求出下列函數(shù)的傅里葉變換sin[2^-(/-2)1f(t)=— ,-oo<r<00萬('-2)、〃/、2af(t)=~~-,-oo</<ooa+t解：由門函數(shù)的頻譜密度，即gr(0<->rSa(^-)取r=2,幅度為上，根據(jù)傅里葉變換有2；g2(，)cSa(C)又g2“)是偶函數(shù)，根據(jù)時稱性可得根據(jù)時移性和尺度變換可知Sa[2"-2)]c；g4.(C)eT2°最后可得「(洶)={\n\<2^「(洶)={\n\<2^苗〉2開(2)由于e一州 2a滔+。可知—：——7—2兀e11a+〃即/。)=_三方,_8</<8的傅里葉變換為2乃丁“四a+t例6.若已知/(r)cF(jC),求下列函數(shù)的頻譜:(2)ej,f(3-2t)⑶如」dt7Ut解：(1)由頻域的微分性質(zhì)可得?、薱j二尸(陽)

as2由反轉(zhuǎn)特性可得 -tf--j2一FGjC)dC又由時移性質(zhì)可得(T+1)/(-/+1)<->-je~,n-^―F(-j0dL2(2)由尺度變換特性可得107(-2/)<->—F(-j—)由時移特性可得1T彳 Qf(3-2t)^-e2F(-弓又由頻移性質(zhì)可得1.產(chǎn)e? 1.nej'f(3-2t)<^-e 2F(-J-)(3)由時域微分特性可得3f⑴cjCF(j。)dt又有一c-jsgn(Q)n則由時域卷積定理可得華*工6陽)?(-j)sgn(Q)=|。|F()。)dtnt例7.試用下列方法求例7圖中的余弦函數(shù)的頻譜函數(shù)。(1)利用傅里葉變換的定義。解：(1)由傅里葉定義可得F(jH)=￡f(t)e-jn,dt=￡cos(日年力借力cos12一(92”(2)由/(f)的波形可知TTf(t)=co又有cos(—/)<->n<5(r+—)+^(/--)g2(，)c2Sa(Q)則由頻域卷積定理得/(0的頻譜函數(shù)/卜卜(，+y)+^(^~y)*2Sa(Q)]=Sa(。4—)+Sa(C)萬cos。一白)S

2例8.求下列函數(shù)的傅里葉反變換。(1)尸(〃2)=6(a+q)-b(a-q)(2)/(〃2)=2cos(30)解：(1)因為 1<->2乃5(/2)由于頻移性質(zhì)可得65(。土Q)

27r則有/(/)=—("網(wǎng)一代)=sm(Q"

271 J7T(2)反變換為/(/)=—[：2cos(30B@d。=—￡[eiin+e~iin)ein,dQ=—￡[e—+/。”斗。由6(r)cl,得必)=:[,e,則有/?)=&+3)+5(-3)例9.對時域采樣定理和頻域采樣定理解釋。解：時域采樣定理：一個頻譜受限的信號/(f),如果頻譜只占據(jù)-Q,+Q”的范圍，則信號/Q)可以用等間隔的采樣值唯一地表示，而采樣間隔必須不大于」一(其中f7|以=2萬，)，或者說最低采樣頻率為2fmo頻域采樣定理：若信號/⑺是時間受限信號，它集中在T,”+號的時間范圍內(nèi)，若在頻域中以不大于一!一的頻率間隔時/（，）的頻譜尸（Q）進行采樣，則采樣后的頻譜片（@）可以2,1n唯一的表示原信號。例10.有限頻帶信號f（f）=5+2cos（2加工f）+cos（4%l，），其中ft=IkHz?用￡=5k”z的沖激函數(shù)序列名⑴進行采樣。畫出/⑴及采樣信號￡?）在頻率區(qū)間（-10k〃z,10k”z）的頻譜圖。解：由F（；2^/）=10婿（27/）+2乃［3（27/+2乃工）+3Q兀f-27￡）］+乃忸（2萬7+4萬力）+5（2乃/-4萬［）］又因為S（j2乃/）=2乃Z/2萬/一〃21力由卷積定理可得采樣信號的頻譜函數(shù)F,（j2兀f）=：F（j2nf）*S（j2兀于）171=￡Z"0/（2萬f-n2兀f$）+2zrJ（2zr/+ -〃2/rf）+2妨（2乃f-2萬/-〃2萬￡）+%6（27/+4方/一〃2%/,）+%5（2%/-4萬/一"27/,）］畫圖為例10解圖2.3習(xí)題精解.前四個勒讓德（Legendre）多項式

《⑺=1*）=（"）產(chǎn)《）=自二3證明它們在區(qū)間（-1,1）內(nèi)是正交函數(shù)集。解：在區(qū)間（-1,1）內(nèi)，有［紹0）*1*?）力=1/力=52匕=0［綜⑴*8(')力=工+，■⑺*耳⑺八，（/-/）力=（，-$，■⑺*耳⑺八，（/-/）力=（，-$2）11=。［卻。*8（力力=「（|z2-l)j/=(_z4-l/2)|［卻。*8（力力=「（|2 8 4 1口⑺噌⑺力=。（|/［1⑴*耳⑴山=口|「一，|「口⑺噌⑺力=。（|/［1⑴*耳⑴山=口|「一，|「=夕-孑漢=0月）力=（2斤+#）匕=0在（-1,1）區(qū)間內(nèi)滿足［/（f）耳⑺力=0（i#/）.它們在區(qū)間（-1,I）內(nèi)是正交函數(shù)集。.證明｛85“05（2。,...,以》（川）（11為正整數(shù)）｝,是在區(qū)間（0,2萬）的正交函數(shù)集。它是否是完備的正交函數(shù)集?證明：0T~2在區(qū)間（0,20T~2?2”cos(mQ0r)cos(z?Q(/)d，=<當(dāng)m=〃=0｛cosr,cos（2r）,...,cos（〃r）（n為正整數(shù)）｝是在區(qū)間（0,2萬）的正交函數(shù)集。但不是完備的。因為：在正交函數(shù)集｛cost,cos（2rcos（〃r）（n為正整數(shù)）｝之外，存在函數(shù)sin（/”Qr）（m豐0）滿足：finIsin(7??Q0r)cos(nQ0r)dr=0,對于所有的 和〃。題3圖解：工=)①”)個卬力4TOC\o"1-5"\h\zTo2 41 8*0n=-aoa0=—,aH=—Tyj2(^(r)cosnC^tdt=—,因為偶函數(shù)/?〃=0T0 T02 T0c/、 1 2/八,.h? 2萬%(r)=—i—>.cos，上述得=—4.(1)直接用定義求題4圖所示三角波/⑺的三角傅里葉級數(shù)。(2)利用3題的結(jié)果求題2.4圖所示三角波f⑴的三角傅里葉級數(shù)。解：1)利用直接法求解:因為信號為去直為奇函數(shù),所以4因為信號為去直為奇函數(shù),所以4t=0；,2.0A.,2.0A.小,A

么二兀L一亍9吟藐%)=[+S則處，上述",=竽

2nn 102)利用3題的結(jié)果求解：A令/⑴=(A-—t)[u(t)-u(t-T0)]TOC\o"1-5"\h\z則/Q)=Z Z?"+1)珀｝■"+1)珀｝■aA/[")=/")=X--lu^-nT())-u(,t-(n+1)TO)]+】/c⑴=r￡Lcosn^idT=4￡s1n-Q'Z10?=1 nn=l力=4,所以/(。=。+力=4,所以/(。=。+4寸山5f

2 27rn_15.已知周期信號/⑴的前_L周期波形如題5圖所示。根據(jù)下列各種情況的要求，畫出了⑴在4一個周期的波形(-1~二(22/⑺是偶函數(shù)，只含有偶次諧波；/⑴是偶函數(shù)，只含有奇次諧波；〃。是偶函數(shù)，含有偶次諧波和奇次諧波;(4)門。是奇函數(shù)，只含有偶次諧波；(5)八。是奇函數(shù)，只含有奇次諧波。(6)/Q)是奇函數(shù)，含有偶次諧波和奇次諧波。解：1)解：1)/⑴是偶函數(shù)，只含有偶次諧波題5圖2)/?)是偶函數(shù)，只含有奇次諧波題5圖題5圖(b)題5圖(a)3)/Q)是偶函數(shù)，含有偶次諧波和奇次諧波

5)/⑺是奇函數(shù),/(，)題5圖5)/⑺是奇函數(shù),/(，)題5圖(d)只含有奇次諧波題5圖(e).周期信號/⑺的雙邊頻譜如題6圖所示，求其三角函數(shù)表示式。-2-10解:根據(jù)勺="+￡“，b“=j(F,-F_“)求得a.=F.+F,=21I—14=，解一心)=—2,f(t)=2cosr-2jsin3t.已知周期矩形信號力⑺及人⑺如題7圖所示。求：(1)力⑴的參數(shù)為r=0.5ns,T=Ws,A=\V,則譜線間隔和帶寬為多少？(2)人⑺的參數(shù)為t=L5rs,7=3然，A=3V,則譜線間隔和帶寬為多少?

(3)力⑺與人⑴的基波幅度之比為多少？(4)力⑴基波幅度與人⑴的三次諧波幅度之比為多少？(1)(2)(3)(巧(巧=T\T、T]1\TTT“儀(1)(2)(3)(巧(巧=T\T、T]1\TTT“儀(黃)472刀Sa(空■)lx0.5x3xSa(^Y^)3xl.5xlxSa(^^)(4)7TT.A/iASa(下1■)lx0.5x3xSa(^y^)4MSa(嚕)723xl.5xlxSa(^^)題7圖解：、Ar2At/° 八/(0=—+ Xcosnflt/ 1n=l/27r譜線間隔為Q,=7=2x106萬(rad/s)或工=1000K〃z帶寬為Bg=—=4、106T(「。(//5)或5=—=2000KHZG 4同理可求：譜線間隔為R=［：=gxl06萬(wd/s)或X=#帶寬為及,，=女=±xl()6乃(md/s)或82='=型史K〃z3 7r23.求題8圖所示半波余弦脈沖的傅里葉變換，并畫出頻譜圖。題8題8圖解:/(/)=￡[?(/+--1)]cos—/TOC\o"1-5"\h\zr t C2t3'{ H—)—u(j—)]}—EtSci( )2 2 2兀 、rc/八 萬、c/c 冗、、iF\cos—t]—乃[5(/2H—)+ )]T T TT T TT/F[/(0]=—^{E[u(t+-)-u(t—一)]}*ZF[cos-r]2乃 2 2 rCt 71cn=——ErSa{——)*加演。+—)+ ——)]21 2 T TclCt「 c c 2￡Tcos=旦.(0+馬+S.(生/)]=一片2 22 22加_(0)2]冗.計算下列信號的傅里葉變換。(3)e2'u(-t+l)(1)ej,sgn(3-2r)(3)e2'u(-t+l)TOC\o"1-5"\h\z(4)|cos(—), \t\<\ ⑸_2_[0, |r|>l /+4解：2 2-j-n(1)牙*[sgn(f)]= =于"[sgn(3—2r)]= e~jC jiln/[e"sgn(3-2r)]=-2jn/[e"sgn(3-2r)]=-2j(。一1)(2)_1-2(5“(川-j72<TIe_2<，_1,M(/)]=jQe1SAe-2'u(t}]=e2dr jC+2(3)歹[〃?)]=?(/?)+-!-="Z“(T+1)6e-"d2)[.(c一2) 1—]j。 /(C-2)Jj 1 J2-M)0"一見力=‘一"一期’——V 2-jCr2-jC(4),九7、cos(—),0,CLA。2Ercos 2^-[1-(—)2]71r=2￡=14cosA -乃_71 ——=So(a+—)+Sa(Q——)41-(—)2] 2 2n（5）因為——。+4吟坤4沙2年—10.試分別利用下列幾種方法證明u(t)―7t5(Q)+看o(1)利用符號函數(shù)〃(r)=；+gsgn(r):(2)利用矩形脈沖取極限(Tf8)；(3)利用積分定理u(t)=[8[r)dr：J—oo(4)利用單邊指數(shù)函數(shù)取極限[M(0=lime"/>0]a->0解：(1)略ttQt 〃Ct(2)w(f4~~)—w(/——) tSci{—―—) w(/)—u(t—r) tSa(-~c.Cli-J^nJ>in(-)T..sin(Qr)2j.2Qt

rSa(——)e2=t——[cos—0-jsin——1= -sin——2 Cr2 2QQ2~T_sin(/2r)2j1-cos/2r_sin(12r)jcosQr-QQ2-QQj。、-)\o)sin(/2r)1cosQthmvSa(——)e2=hm--——-+ hm 38 2 TT8Cj。28jCTOC\o"1-5"\h\z1.sin(0r)1 ￡/c、 1=^lim + =9(0)+ re冗Q j￡l jC(3)略(4)- i iF[w(r)]=limlimfe'aTe-ii}rdr=limlim[ 1"如”]J->8"TOJ) l8Of。a+j。Cl+jil=———lim—e2=———lim—(cosQt-jsinQt)jC-jCjC-j。 ，..sin/2rcosilt 1sinQ1 、= 4-lim lim = +兀hm = +愁(<2)jC —Q -j。 j。 -Mi jC11.若")的傅里葉變換為尸(〃2)」?。口-R,)+62“(。+5)]，如題11圖所示，求/(f)并畫圖。1/2 *) .":—>+a。A-a Q

題11圖解:題11圖解:通(。)一asin。， =>2乃at:［G”8-％）+G?”（。+Q,）］cf吧”g沖+/沖）2 z.natac/、八sin。，_

=—Sa（a，）cosRj= cosRj7t 7Vt題11解圖.已知信號工⑴c《〃2)=R(A)+jX(a),力⑺的波形如題12圖(a)所示，若有信號人⑺的波形如題12人⑺的波形如題12圖(b)所示。求工(〃2)。題12圖(a) 題12圖(b)解：人⑺=，/(；)+/(-，］-%2用)+￡(-2陽)外(陽)=五。陽)+五：(2陽)=2R(2Q).若已知/(，)一/(JO),確定下列信號的傅里葉變換:(1)/(1-。 (2)(1-r)/(l-r) (3)/(2-5)解：(2)(1-0/(l-0=/(l-0-/f(l-00^1/(I-o]=F{-jQ)e~=F{-jQ)e~iadC dC⑶f(2—5)c；F(j￡)e*Q.已知三角脈沖工⑴的傅里葉變換為耳g4Sa?]竽>試用有關(guān)定理求辦⑴=Ka-2z)cos(卬)的傅里葉變換F式j(luò)C)。解：/2(0<->I用工(I-27)]*網(wǎng)cos(gt)]L71=；^Sa2(華，M*nb(Q+L(C-R)]乙"乙 \ <JSa](A+5)”卜小9+5)?Sa2((QQ)1c-，2-)= sa2((。：l乃卜2叫+sa2((0^12f卜2a.若已知/⑴6F(〃2),確定下列信號的傅里葉變換。⑴)⑵) (2)(r-2)/(0(3)(/-2)/(-20 (4〃或3dt解：, d「1 1 jdF(j號dco aL2\^Z J2a￡2(2)(4)(t-2)/(r)—火"Q)]-汨/⑺]=j叱邛)_2/(。)(2)(4)CIL2fC(t-2)/(-〃)cntf(-2t)1-2^1f(-2t)]=《——^―F(-j—)2 d￡2 2'孥”?/吃[必尸(用)b-《[。"冏)]=-A隼F"。)atdl2 aL2 d12.分別利用線性性質(zhì)、時域枳分性質(zhì)和時域卷積定理求題16圖所示梯形脈沖的傅里葉變換，并大致畫出r=2%情況下該脈沖的頻譜圖。

題16圖解：（1）利用線性性質(zhì)TOC\o"1-5"\h\zT7］， Z Z2FT T T人⑺=—（uT"）［〃a+《）一〃（’一支］

r-T12 2 2Er*2,Er*2,9"⑴-伏）叫力（葉織伙）］=而F”8E。2（丁一々）8E。2（丁一々）…贊=占"誓》（誓叩昨。./2(r+r.).12(r-r.)cos(W)c;r[5(a+A)+5(A-q,)]；sin(Qj)6步[5口+Q))-5(a-R,)]cos(W)c;r[5(a+A)+5(A-q,)]；sin(Qj)6步[5口+Q))-5(a-R,)]。求單邊正弦;in(Q)r)M(O和單邊余弦cos(卬)“(，)的傅里葉變換。解:sin(卬)〃(，)cji[3(a+R))-b(。-1)]*7^+癡(/2)2乃 )￡22[j(Q+R)j(。-2)+加5(。+只))一5(。-Q))]=芍廨(。+%)-5(。一%)]+7T函-母)同理可求:cos(Q)/)m(/)<-> ))函-母).求尸(〃2)= ?_的傅里葉反變換。3+j功解:(a+We-a,u(t)(a+WQ+jCAF(j0=:~~(a+j0另一種解法：f(t)=e-a'u(t)*e-a'u(t)=^e-ar-e-^dT=te-a'u(t).求信號/?)=ZU"2nT)a(r-(2n+l)T)]的傅氏變換。解：TT信號周期為：27,則［=下,f/(0-2T— n=2.k+\^i..=仔 其中壯[o n=2k24工f(r)c^Z5(a-(2k+l)R))* &=-00題19圖.信號"r)=Sa(100m)U+Sa(100M]，若對其進行沖激采樣，求使頻譜不發(fā)生混疊的最低采樣頻率X。解：令R=100萬，則/a)=Sagf)[l+Sa(Q/)]=Sa(Q/)+Sa(Qr)Sa(Qz)=三(29一問[u(C+2Q.)i(a-2Q)]+二[“(Q+a)-u(a-Q)]c c所以Q〃=2Q./；旦=出=%=200“z27TTC7T.有限頻帶信號/⑴的最高頻率為100HZ,若對下列信號進行時域采樣，求得最小采樣頻率￡。(D/(3r) ⑵尸⑺(3)/(r)*/(2r) (4)/(r)+/2(0解：/C=1OOHZ,fs>2fc=20QHz設(shè)：/(r)cF(〃2)TOC\o"1-5"\h\z(1)〃3￡)?，尸(/竺)，頻域信號擴展，頻帶增大，￡=3￡.=300〃2,/22力'=600此3 3 '⑵尸⑴6,頻域信號擴展，頻帶增大為尸(〃?)的兩倍，2nf=2A=200HZ, =400〃z(3)也)*〃2,)64/8)*：尸"當(dāng),尸(M)的f=100HZ,F(j當(dāng)?shù)?乃 2 2 2f=200//Z,蹄—F(；/2)*-F(y—)的f=f'+f=1OOHZ+200HZ=300HZ,2^r 2 2f>2fc=600%-1(4)f(t)+f2(t) F(j/2)+—F(j/2)*F(j/2),頻帶增大為尸(陽)的兩倍，確271f=24=200HZ，f>2f；=400Hz第3章時域連續(xù)信號的復(fù)頻域分析3.1學(xué)習(xí)要點.拉普拉斯變換的定義TOC\o"1-5"\h\zF(s)=[j(t)e-s'dt (3-1)f(t)=-^-rirF(S)es'ds (3-2)27j式(3-1)和(3-2)稱為雙邊拉普拉斯變換對或復(fù)傅里葉變換時。/⑸力 (頭3)/")=-~~：f F(s)e，dsu(t) (3-4)2tvj石-J8式(3-3)和(3-4)稱為單邊拉普拉斯變換對。通常用下列符號分別表示，即尸(s)=L[/(/)] (3-5)/(/)=L1[F(5)] (3-6)也可用雙箭頭表示復(fù)變函數(shù)尸(s)稱為/?)的象函數(shù)，時間函數(shù)/")稱為尸(S)的原函數(shù)。Laplace變換則建立了連續(xù)信號時域和復(fù)頻域(s域)間的聯(lián)系。.拉普拉斯變換的收斂域?qū)τ趩芜呅盘?(，)，當(dāng)時，若存在一個5)值使得＜7＞生時，/。)0一6的極限等于零，則在。＞5)的全部范圍內(nèi)滿足絕對可積，Laplace變換存在。這一關(guān)系可表示為limf(t)e~at=0,er＞cr (3-7)Too氣與/⑺的特性有關(guān)，它給出了Laplace變換存在的條件。一般而言，/(s)的收斂域如圖3-1所示。在以O(shè)■為橫坐標，為縱坐標的s平面匕這一區(qū)域稱為Laplace積分的收斂域或象函數(shù)尸(s)的收斂域。橫坐標外稱為收斂坐標，直線b=bo稱為收斂軸。而雙邊Laplace變換可以看成兩個單邊Laplace變換的疊加，其收斂域一般有兩個有限邊界：一個邊界決定于1＞0時的工(f),是收斂域的左邊界，用表示；另一個邊界決定于，＜0時

的力(f),是收斂域的右邊界，用<7表示。如果(T>cr+,有公共收斂域，雙邊Laplace變換存在。反之，雙邊Laplace變換就不存在。圖3-1單邊Laplace變換收斂域一般而言，凡是定義在有限區(qū)間上的能量信號，不管b取何值，都能使信號的Laplace變換存在，其收斂域為整個s平面。如果信號是等幅信號或等幅振蕩信號，如階躍信號、正弦信號，只要乘以衰減因子""(tr>0)就可以使之收斂，因此其收斂域為s右半平面。對于任何隨時間成正比的r的正基次信號，其增長