2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型匯編《第4講利用導(dǎo)數(shù)證明不等式(1)》(學(xué)生版)

第4講利用導(dǎo)數(shù)證不等式（一）[基回顧]1.用不等式的生成在不等式“改造”或證明的過程中，可借助題目的已知結(jié)論、均值不等式、函數(shù)單調(diào)性、與e

、ln有的常用不等式等方法行適當(dāng)?shù)姆趴s，再進(jìn)行證明．下面著重談?wù)?/p>

、ln有關(guān)的常用不等式的生成．（1）成：用線切進(jìn)放設(shè)y上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過該點(diǎn)的切線方程為

xy

可與

有關(guān)的不等式

x

R，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)立．特別地，當(dāng)，有

當(dāng)時(shí)有e

．設(shè)ln上一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為則過該點(diǎn)的切線方程為

n

，由此可得與ln有關(guān)的不式：其中x，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)n時(shí)立．特別地，當(dāng)，有l(wèi)nx；時(shí)有l(wèi)nx．利用切線進(jìn)行放縮，能實(shí)現(xiàn)以直代曲，化超越函數(shù)為一次函數(shù)．生二利曲的切線行縮由圖1可x

x；由圖2可ln；由圖可，ln（xxxln

111（4可xx（0x（xx2x2綜合上述兩種生成，我們可得到下列與x有的常用不等式：與ex有的常用不等式：ee

（R（xR）與lnx有的常用不等式：（1）

lnx1（2）lnx（xex（3）lnx

（0xx

（11（4）lnx（x（）x用取的位置，相應(yīng)的可得到ln等．2.數(shù)平均值不等式鏈我們將兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均值定義為：L,

a,lna，數(shù)平均值不等a,a式鏈為：

2a22La．122a2對(duì)數(shù)平均值不等式鏈的指數(shù)形式為：11b

bebe2a2

b

，其中a．[完美題型展現(xiàn)]題型一

單變量不式構(gòu)造單函數(shù)求最值例國(guó))已知函數(shù)fx＝lnx＋＋＋.討fx的單調(diào)性；3當(dāng)時(shí)證明fx)≤－4a玩轉(zhuǎn)秘籍證明fxgx的般方法是證明hx)f(x－(x利用單調(diào)性為數(shù)求最值。[題型特訓(xùn)1.已知函數(shù)f

axb，曲線yfx在1,f1處的切線方程為y．xx求a、b的；證明：當(dāng)，時(shí)f

lnx

．題型二

單變量不式構(gòu)造雙函數(shù)求最值例

(201·新課標(biāo)全國(guó))設(shè)函數(shù)

f(x)

lnx

，曲線

yf()在點(diǎn)(1,f(1))處切線方程為

y(（I）求

b（II）證明：

f()xx玩轉(zhuǎn)秘籍t

1x

21xxexxx11lnxeex

2xy

1e

nlnxx[題型特訓(xùn)1.已知函數(shù)(x)＝xx－ax.(1)a＝－時(shí)，求函數(shù))在(0，＋∞)上的最值；(2)明：對(duì)一切x∈(0＋∞)，都有l(wèi)nx＋1>

12－成立2x題型三雙變量不等式證例3(2018·全國(guó)已知函數(shù)

x

x

lnx．⑴討論f⑵若f值點(diǎn)x，x，明：

fx

a．22玩轉(zhuǎn)秘籍對(duì)兩未數(shù)函不式題其鍵于兩未數(shù)歸為個(gè)知，見證方有下種：方1利換法化為一未數(shù)方2利未數(shù)間關(guān)系元化為個(gè)知方3分未數(shù)構(gòu)函數(shù)利函的調(diào)證方4利主法構(gòu)函數(shù)明[題型特訓(xùn)1．京模擬已函數(shù)f求函數(shù)f設(shè)，明：0g題型四

數(shù)列不等證明例4已函數(shù)fx.（1)f的11（2）設(shè)整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)，1

L

11

，m的小.11玩轉(zhuǎn)秘籍1【評(píng)12

122

L

1nln1ln2

mln有l(wèi)n[題型特訓(xùn)1．設(shè)數(shù)f（1）若f

x

數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)n

*

，比較g[特訓(xùn)作業(yè)]1.已知數(shù)f

ax，曲線yfxx

x．求、b的；證明：當(dāng)，時(shí)f

lnx

．已知數(shù)f

xax

x

（、R（1）若a，求函數(shù)Ffxlnx的調(diào)區(qū)間；e（2）若a，b證：f

bxln．已知數(shù)x．（1）求曲線

x

（2）求證：f

．4.已函數(shù)

（其中a（1）若曲線

x

在點(diǎn)f0

x0

處的切線方程為

，的；（2）若

e

e

是