整周未知數(shù)的求解方法

整周未知數(shù)的求解方法摘要：初始整周模糊度的求解是利用GPS載波相位進行測量的關鍵問題，本文在充分認識整周未知數(shù)重要性的基礎上，闡述了求解整周未知數(shù)的一般常用的幾種方法，并進一步的提出了一種快速求解整周未知數(shù)的新方法，從而對整周未知數(shù)的求解方法有一個較為完整的歸納總結。關鍵詞：整周未知數(shù)；平差待定參數(shù)；交換天線；快速搜索；粒子濾波；一、引言整周未知數(shù)又稱整周模糊度，是在全球定位系統(tǒng)技術的載波相位測量時，載波相位與基準相位之間相位差的首觀測值所對應的整周未知數(shù)。即在觀測站i和衛(wèi)星j之間，載波相位的變化為：0j(t)=6Qj(t)+Nj(t_t)+Nj(t)iii0i0當整周未知數(shù)確定后，測相偽距與測碼偽距的觀測方程在形式上將一致，此時只要同步觀測的衛(wèi)星數(shù)不少于4，即使觀測一個歷元，也可獲得唯一定位結果。因此，在載波相位觀測中，如果能預先消去或者快速地解算整周未知數(shù)，將大大縮短必要的觀測時間。如果整周未知數(shù)作為待定量，與其它未知參數(shù)一起在數(shù)據(jù)處理中一并求解，則根據(jù)情況，將需要長達1-3小時的觀測時間。因為在同步觀測4顆衛(wèi)星的情況下，為解算整周未知數(shù)，理論上至少觀測3個歷元。但如果同步觀測時間很短，所測衛(wèi)星的幾何分布變化很小，使站星距離變化也很小，將降低不同歷元觀測結果的作用，在平差計算中，法方程的性質將變壞，影響解的可靠性。因此，準確快速地解算整周未知數(shù)，無論對保障相對定位精度，還是開拓高精度動態(tài)定位應用領域，都有重要意義。二、整周未知數(shù)的一般解算方法快速的確定整周未知數(shù)，是載波相位測量的重要問題，確定整周未知數(shù)的方法很多，對于整周未知數(shù)解算方法的分類，有以下幾種：按解算時間長短劃分：經典靜態(tài)相對定位法和快速解算法。經典靜態(tài)相對定位法：將其作為待定量，在平差計算中求解，為提高解的可靠性，所需觀測時間較長?？焖俳馑惴òǎ航粨Q天線法、？碼雙頻技術、濾波法、搜索法和模糊函數(shù)法等，所需觀測時間較短，一般為數(shù)分鐘。按接收機狀態(tài)區(qū)分；靜態(tài)法和動態(tài)法。前述的快速算法，雖然觀測時間很短，仍屬靜態(tài)法，動態(tài)法是在接收機載體的運動過程中確定整周未知數(shù)的方法。確定整周未知數(shù)的方法很多，在此介紹幾種常用的方法。（一）整周未知數(shù)的平差待定參數(shù)法把整周未知數(shù)作為待定參數(shù)，在平差計算中與其他未知參數(shù)一同解出，即可采用公式，按最小二乘法原理，通過平差求解整周未知數(shù)，而整周未知數(shù)取值有以下兩種方法。整數(shù)解（固定解）。整周未知數(shù)從理論上講應該是一個整數(shù)，但是，由于各種誤差的影響，平差求得的整周未知數(shù)往往不是一個整數(shù)，而是一個實數(shù)。對于短基線，當進行1小時以上的靜態(tài)相對定位時，由于測站間星歷誤差、大氣折射誤差等具有較強的相關性，相對定位可以使這些誤差大大消弱；同時也由于在較長的觀測期間，觀測衛(wèi)星的幾何分布會產生較大的變化，因此，能以較高的精度來求定整周未知數(shù)。此時，平差求出的整周未知數(shù)一般為較接近于相鄰近整數(shù)的實數(shù)，且如果整周未知數(shù)估值的中誤差甚小，則可直接取相鄰近的整數(shù)為整周未知數(shù)；或者從統(tǒng)計檢驗的角度出發(fā)，取整周未知數(shù)估值加上3倍的中誤差(即Nr±3dNr)為整周未知數(shù)的整數(shù)取值范圍，該范圍內包含的所有整數(shù)均作為整周未知的候選值。當所有的整周未知數(shù)取了整數(shù)后，應作為已知值代入觀測方程，再進行最小二乘平差求待定坐標的平差值。如果整周未知數(shù)的整數(shù)候選值不止一個，則應將所有衛(wèi)星的候選值構成不同組合，逐一作為已知值代入進行平差，最后取能使待定坐標干差后方差最小的一組整數(shù)作為整周未知數(shù)。整周未知數(shù)的整數(shù)解獲得的待定點坐標估值也稱為固定解。對于短基線，由于這種方法顧及了整周未知數(shù)的整數(shù)特性，因此能夠改善相對定位的精度。實數(shù)解(浮動解)。對于長基線，誤差的相關性降低，衛(wèi)星星歷、大氣折射等誤差的影響難以有效消除，求解的整周未知數(shù)精度較低。事實上，整周未知數(shù)的實數(shù)解中往往包含了一些系統(tǒng)誤差，此時，再將其取為某一整數(shù)，實際上對于相對定位精度只會有損而無益。所以通常對于20km以上的長基線通常不再考慮整周未知數(shù)的整數(shù)性質，直接將實數(shù)作為整周未知數(shù)的解，由實數(shù)整周未知數(shù)獲得的待定點坐標估值稱為浮動解。在靜態(tài)相對定位中求解整周未知數(shù)時常采用此種方法。三差法：由載波相位觀測值的線性組合可知，當連續(xù)跟蹤載波相位觀測值在歷元之間求差時，由于其含有相同的整周未知數(shù)，求差后方程會不再含有整周未知參數(shù)，因此可直接解出坐標參數(shù)。但是，在兩個歷元之間，由于幾何圖形結構相近，觀測方程相關性強，致使求出的坐標參數(shù)精度不高。實際應用時，利用在測站、衛(wèi)星、歷元間求三差的方法來求解坐標未知數(shù)，并將其作為未知數(shù)的初始值，代入雙差模型再求解整周未知數(shù)。由于利用三差法求出的坐標估值是具有較好近似度的初始值，因此有益于提高雙差求解整周未知數(shù)的精度。由寸：三差法利用了連續(xù)跟蹤衛(wèi)星的兩個歷元之間的相位差等于多普勒積分值這一性質，所以該方法也稱為多普勒法。交換接收天線法原理：在觀測之前，先在基準站附近5-10m處選擇一個天線交換點，將兩臺接收機天線分別安置在該基線兩端，同步觀測2-8個歷元后，相互交換天線，并繼續(xù)觀測若干歷元；最后將兩天線恢復到原來位置。此時固定站與天線交換點之間的基線向量視為起始基線向量，利用天線交換前后的同步觀測量，求解基線向量，進而確定整周未知數(shù)。假設在固定站1和天線交換點2的接收機，于歷元匕同步觀測了衛(wèi)星j、k，在忽略大氣折射影響的情況下，可得單差觀測方程：(，1)=：\p2(()—「《(4)]一田，+fZQi)A時(4)=\pi(^i)_Pi(^i)]_+)相應的雙差觀測方程為VA^?(4)=![/?*0)-Pi(^i)~Pi0)+/V(4)]-AAf'+A7W上式中W=N；g—N：g當兩接收機交換天線后，于歷元t2同步觀測相同衛(wèi)星j、k,則單差觀測方程為：MW）=|［p/（z2）-p/（/2）］+^+伽（弓）MW）=:依（弓）-茂婦］++仙（弓）相應的雙差觀測方程為VA00）=項［房0）-成（弓）+況（，2）］+赫^-mt，取相應歷元t「t的雙差之和，則有Z秘伊=[[aqW)-尊W)+MW)-A〃G)]其中A#0)=次弓)-苛0)△夕(弓)=M0)-M0)A*】)=g-苛0)S(4)=M(4)—ZV0)上述模型與靜態(tài)三差模型相類似，區(qū)別在于上式是根據(jù)不同歷元同步觀測量的雙差之和而建立的。由于所選起始基線很短，此時衛(wèi)星軌道誤差和大氣折射誤差對該模型的影響可忽略不計。上式的求解條件與雙差相同。根據(jù)上式確定起始基線向量后，可根據(jù)雙差模型確定整周未知數(shù)。該方法觀測時間短（數(shù)分鐘），精度較高，操作方便，在準動態(tài)相對定位中得到應用。（三）確定整周未知數(shù)的搜索法1990年E.Frei和G.Beutler提出了一種快速解算整周未知數(shù)的方法（fastambiguityresolutionapzproachFARA）。基本思想是：以數(shù)理統(tǒng)計理論的參數(shù)估計和假設檢驗為基礎，利用初始平差的解向量（點的坐標和整周未知數(shù)的實數(shù)解）及其精度信息（方差與協(xié)方差和單位權未知數(shù)的每一組合作為已知值，重復進行平差計算，中誤差），確定在某一置信區(qū)間整周未知數(shù)可能的整數(shù)解的組合，然后將整周其中使估值的驗后方差（或方差和）為最小的一組整周未知數(shù)就是所搜索的整周未知數(shù)的最佳估值。現(xiàn)以載波相位觀測值雙差模型為例：假設在基線兩端對同一組衛(wèi)星（衛(wèi)星數(shù)為nj）進行同步觀測，觀測歷元數(shù)為氣，相應的誤差方程組已知為其中%二網(wǎng)an=[mn2...%」經過初始平差后，相應整周未知數(shù)解向量的協(xié)因數(shù)陣為Q,NN單位權驗后方差估算式：2V’PV其中n為觀測方程數(shù)，u為未知量個數(shù)，n-u為自由度。則任一整周未知數(shù)經初始平差后實數(shù)解的中誤差為mNf=JQmM在一定置信水平條件下，相應任一整周未知數(shù)的置信區(qū)間為虬-mNt(a/2)<凡<N,+i=1,2,…，nj-1其中t(a/2)為顯著水平a和自由度的函數(shù)。當a和自由度確定后，t(a/2)值可由t值分布表中查得。例如：當取a=0.001，n-u=40時，得t(a/2)=3.55。如果初始平差后得N=9.05,m=0.78,則N的置信區(qū)間為6.28<N<11.8。其iNiii置信水平為99.9%，在上述區(qū)間整數(shù)Ni的可能取值為6、7、8、9、10、11、12。設Ci為Ni的可能取值數(shù)，由向量N=(N「*,…，、_「，可得整數(shù)組合的總數(shù)nJ-li=l如果觀測的衛(wèi)星數(shù)為nj=6,而每個整周未知數(shù)在其置信區(qū)間內均有7個可能的整數(shù)取值，按上式可能的組合數(shù)為75=16807，對雙頻接收機則為33614。將上述整周未知數(shù)的各種可能組合，依次作為固定值，代入相應的誤差方程組中，進行平差計算，最終取坐標值的驗后方差為最小的一組平差結果，作為整周未知數(shù)的最后取值。三、求解整周未知數(shù)的新方法近一二十年來一直是學術界研究的熱點和難點。許多學者提出了很多解決方法,最突出的有雙頻P碼偽距法、模糊度函數(shù)法、最小二乘搜索法和模糊度協(xié)方差法。本文應用基于粒子濾波的搜索方法，介紹一種新的搜索整周模糊度的算法，該方法不僅理論嚴密，而且統(tǒng)計概念明確。基于粒子濾波的GPS整周模糊度求解步驟：第1步:粒子初始化。給出隨機粒子xi0,…,xno，N是粒子數(shù),這里粒子有確定的上下限,在這個范圍內按照一定的分布取隨機值，同時得到這些粒子的分布密度po(x)。第2步:狀態(tài)量預測。根據(jù)狀態(tài)方程x=f(x)+G(x)w,在已知的xi,…,xn得n+1nnnnnnn到狀態(tài)量的估計值xin+i，…，xn*第3步:計算經驗分布PN(x)=1/NEn6j(x)(6)n+1|nj=1xn+16(x)表示經驗分布函數(shù)，在GPS數(shù)據(jù)中，一般認為服從正態(tài)分布。第4步:利用貝葉斯準則，條件概率分布pn(x)=[1/NEn1/NEn6j(x)-u(x)]/[1/NEn6xj(xj)-un+1|n+1j=1j=1xn+1n+1j=1n+1n+1n+1(x1n+1)](7)式中項n+i（x）是在已知狀態(tài)量時的觀測值的條件分布，這個值是根據(jù)系統(tǒng)特性給出的一個已知值.PNn+i|n+i（x）原始值是1/N,當?shù)玫接^測值后這些概率大小會發(fā)生變化.第5步:重新抽樣粒子值。按照pNn+i|n+i（x）的概率值得到新的XL，…,XNg］值。第6步:n+ifn,然后回到第2步。這樣在第6步中重新設定粒子時，讓概率大的粒子去代替概率小的粒子,結束后有些粒子出現(xiàn)的次數(shù)就不只是一次.但是在下次循環(huán)過程中的第2步因為有噪聲項的影響，得到新的xin+i，…,XNn+i不會再是同一個值，這樣又得到N個新的粒子.這樣在濾波過程中逐漸逼近準確值。四、結束語本文主要研究了整周未知數(shù)的求解方法，在提出并介紹一般求解方法的同時，還提出了基于粒子濾波的求解GPS整周模糊度的新方法，詳細闡述了其原理及步驟，希望對讀者關于整周未知數(shù)的求解有一定幫助。本文內容上的單薄，筆者