中學(xué)數(shù)學(xué)-初高中數(shù)學(xué)銜接教材 §3.2 三角形(含答案)

3.2

三角形3．2．1三形的“四心三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。圖3.2-1

圖

圖3.2-3如圖3.2-1，三角形

ABC

中，有三條邊

CA

，三個(gè)角

,C

，三個(gè)頂點(diǎn)段。

A,

，在三角形中，角平分線、中線、高（如.2-2）是三角形中的三種重線三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角的重三角形重在角的部恰是條線三分。例證三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且被該交點(diǎn)分成的兩段長(zhǎng)度之比為2。已知:D、E、分別為ABC三邊BC、的點(diǎn)，求證:ADBE、CF交一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成：1證明連結(jié)，設(shè)、BE交點(diǎn)，D、分為、AE的點(diǎn)，則DEAB且

DE=

，∽，相似比：2GD,

。

圖3.2-4設(shè)ADCF交點(diǎn)

'

，同理可得，

='D,CG'=2F則與G重AD、交一點(diǎn)，且都被該點(diǎn)分成2。三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，三角的心三角的心三形內(nèi)，它三形三的離等圖3.2-5）例已

ABC

的三邊長(zhǎng)分別為

=,AC==

，I為-1-

圖3.2-5

的內(nèi)心，且I在

的邊

、AC、

上的射影分別為

、EF

，求證：=AF=

bc-a2

。證明作ABC的切圓，則

D、、F

分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點(diǎn)，AEAF

為圓的從同一點(diǎn)作的兩條切線，AEAF

，同理，，CD=CEAFBFBDCD2AF即

=AF=

b+c-a2

。

圖3.2-6例若角的內(nèi)心與重心為同一點(diǎn)，求證：這個(gè)三角形為正三角形。已知:OABC的心和內(nèi)心。求證:

為等邊三角形。證明:如圖，連并長(zhǎng)交于DO三角形的內(nèi)心，故平分，ACDC

（角平分線性質(zhì)定理）O三角形的重心D為的點(diǎn)，即BDDC。

AC

，即

AB=

。

圖3.2-7同理可得，AB=BC。

為等邊三角形。三角形的三條高所在直線相交于一點(diǎn)點(diǎn)稱為三角形的垂心角角形的垂心一定圖3.2-8在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為它的直角頂點(diǎn)，鈍角三角形的垂心在三角形的外部。-2-（如圖）例證：三角形的三條高交于一點(diǎn)。已知:

中，

于,AC于E與BE交H點(diǎn)求證:

。證明:以CH直徑作圓，DBEHDCHECD、

在以CH直徑的圓上，DEH

。同理，E、在AB為徑的圓上，可得

BAD

。BADBCF

，又與有共角，BFC90CH。過不共線的三點(diǎn)C有只有一個(gè)圓，該圓是的接圓，圓心為角形的外心。三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點(diǎn)。練1求：若三角形的垂心和重心重合，求證：該三角形為正三角形。）

的面積為，且三邊長(zhǎng)分別為

a、、c

，則

的內(nèi)切圓的半徑是。請(qǐng)說明理由。（2）R三邊分別為

a、b、c（中為邊長(zhǎng)），的內(nèi)切圓的半徑是。并說明理由。-3-3.2.2

幾種特殊三角形等腰三角形底邊上三線（角平分線、中線、高線）合一。因而在等腰中三角形的內(nèi)心I重心、心H必然在一條直線上。圖

圖

圖

圖例ABC，ABBC

求（1）ABC的面積及AC邊的高BE；（2

的內(nèi)切圓的半徑

r

）

的外接圓的半徑

R

。解（1如圖，作

ADBC

于

D

。ACD

為

BC

的中點(diǎn)，ADABBD

S

22又

4BE,解得。3（2如圖，I為心，則I到三邊的距離均為r，IAIB,IC

，

ABC

IAB

IBC

IAC

，即

2

11122

，解得

r

22

。（3

是等腰三角形，外心

在

AD

上，連

BO

，則

Rt中，ODADOB

2

2

,-4-)2

解得

R

928

.在

RABC，為角，垂心為直角頂點(diǎn)A外心O為邊的點(diǎn)，內(nèi)I在三角形的內(nèi)部?jī)?nèi)圓的半為

bca2

（其中

b,c

分別為三角形的三邊,,的長(zhǎng)什？該直角三角形的三邊長(zhǎng)滿足勾股定理：

2+ABBC2

。例圖中=為任意一點(diǎn)證ADBC證明：過作于。

2AB

PBPC

。在

R

中，

AD2

。在

R中

2AD2

。22ABBDDPBD)ABADBCDCBDDPDP。

。

圖AP

2

AB

2

PC

。正三角形三條邊長(zhǎng)相等，三個(gè)角相等，且四心（內(nèi)心、重心、垂心、外心）合一，該點(diǎn)稱為正三角形的中心。例知等邊ABC和P到三邊距離分別為

,,12

的高為h，若在一邊上此時(shí)

=03

，可得結(jié)論：

+h+h=h12

。請(qǐng)接應(yīng)用以上信息解決下列問：當(dāng)）點(diǎn)P在內(nèi)如圖在ABC外(如圖，兩種情況時(shí)，上述-5-結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立,,12

與

之間有什么樣的關(guān)系，請(qǐng)給出你的猜想（不必證明解（1當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)，法如圖，過作

B'

分別交

AMAC

于

','

，由題設(shè)知

AM'PD+

，而故即

AM'-PF，PDPEPF=AM+h+h=h。12

，

圖法如圖，連結(jié)、、PC

ABC

，11BCPDACPF22

，又即

AB=AC+h+h=h12

，AMPDPEPF。

，（2P在ABC如圖位置時(shí)hh+h=12

不成立想h+-=h123

。注意：當(dāng)點(diǎn)在

外的其它位置時(shí)，還有可能得到其它的結(jié)論，如

-+h=1

，

-h-13

（如圖3.2-18想一想為什么？）等。在解決上述問題時(shí)一中用了化歸的數(shù)學(xué)思想方,法二中靈活地運(yùn)用了面積的方法。練2直角三長(zhǎng)為3，，則=________。等腰有兩個(gè)內(nèi)角的和是，則的頂角的大小是。

圖滿足下條件的

，不是直角三角形的是（）

a-

2

AC.

:B:4:5

::c=:13:5-6-已知直三角形的周長(zhǎng)為

，斜邊上的中線的長(zhǎng)為1，求這個(gè)三角形的面積。證明：腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和為一個(gè)常量。-7-習(xí)3.2A組已知：

中，AB=，

o,AD

為邊的高，則下列結(jié)論中，正確的是（）

AD

32

AD

C.

ADBD

AD

22

BD三角形邊長(zhǎng)分別是、8、10那么它最短邊上的高為（）A6B4.5．2.4D．8如果等三角形底邊上的高等于腰長(zhǎng)的一半么個(gè)等腰三角形的頂角等_________。已知:

b,c

是

ABC

的三條邊，

b

，那么

的取值范圍是_。若三角的三邊長(zhǎng)分別為、、8且是數(shù)，則a的值________。B組如圖，邊

ABC

的周長(zhǎng)為12CD是邊上中線E是延線上一，且BD=BE，則

的周長(zhǎng)為（A

3

B

C．

3

D．

圖圖

圖

圖如圖3.2-20在

ABC

中，

CABC

，是AC上的高，求

DBC

的度數(shù)。-8-如圖tABC

90

MAC的點(diǎn)AM=AN證MN=AB如圖，

中，分

，。求

:C

的值。如圖，正方形中，為DC的點(diǎn)，為BC上點(diǎn)，且EFA求證：。

EC=

14

BC

，圖-9-C組已知

kk,2

2

,

4

，則以

b

為邊的三角形是（）A等邊三角形

B等腰三角形

．直角三角形

D形狀無法確定如圖3.2-24

紙片沿折疊A落四邊形內(nèi)部時(shí)

A

與

之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（．．．．

A

圖3.2-24如圖，知等腰角平分線，且+CD求證：

。圖3.2-25如圖，等腰

中

90

，是斜邊AB上一點(diǎn)，

AECD

于ECD

交CD的長(zhǎng)線于，

于H，交AE于。證：=CG。圖-10答：練．證略

（1

2S）。a2練1．5或

或

o

4設(shè)兩直角邊長(zhǎng)為

a,

，斜邊長(zhǎng)為2則

a

解得ab

11ab2

。5.利用面積證。習(xí)3.2A組

．D3.

5.8B組

．A

o

3連BM，