中學(xué)數(shù)學(xué)-初高中數(shù)學(xué)銜接教材 §3.2 三角形(含答案)

3.2

三角形3．2．1三形的“四心三角形是最重要的基本平面圖形，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。圖3.2-1

圖

圖3.2-3如圖3.2-1，三角形

ABC

中，有三條邊

CA

，三個角

,C

，三個頂點段。

A,

，在三角形中，角平分線、中線、高（如.2-2）是三角形中的三種重線三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角的重三角形重在角的部恰是條線三分。例證三角形的三條中線交于一點，且被該交點分成的兩段長度之比為2。已知:D、E、分別為ABC三邊BC、的點，求證:ADBE、CF交一點，且都被該點分成：1證明連結(jié)，設(shè)、BE交點，D、分為、AE的點，則DEAB且

DE=

，∽，相似比：2GD,

。

圖3.2-4設(shè)ADCF交點

'

，同理可得，

='D,CG'=2F則與G重AD、交一點，且都被該點分成2。三角形的三條角平分線相交于一點，三角的心三角的心三形內(nèi)，它三形三的離等圖3.2-5）例已

ABC

的三邊長分別為

=,AC==

，I為-1-

圖3.2-5

的內(nèi)心，且I在

的邊

、AC、

上的射影分別為

、EF

，求證：=AF=

bc-a2

。證明作ABC的切圓，則

D、、F

分別為內(nèi)切圓在三邊上的切點，AEAF

為圓的從同一點作的兩條切線，AEAF

，同理，，CD=CEAFBFBDCD2AF即

=AF=

b+c-a2

。

圖3.2-6例若角的內(nèi)心與重心為同一點，求證：這個三角形為正三角形。已知:OABC的心和內(nèi)心。求證:

為等邊三角形。證明:如圖，連并長交于DO三角形的內(nèi)心，故平分，ACDC

（角平分線性質(zhì)定理）O三角形的重心D為的點，即BDDC。

AC

，即

AB=

。

圖3.2-7同理可得，AB=BC。

為等邊三角形。三角形的三條高所在直線相交于一點點稱為三角形的垂心角角形的垂心一定圖3.2-8在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為它的直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形的外部。-2-（如圖）例證：三角形的三條高交于一點。已知:

中，

于,AC于E與BE交H點求證:

。證明:以CH直徑作圓，DBEHDCHECD、

在以CH直徑的圓上，DEH

。同理，E、在AB為徑的圓上，可得

BAD

。BADBCF

，又與有共角，BFC90CH。過不共線的三點C有只有一個圓，該圓是的接圓，圓心為角形的外心。三角形的外心到三個頂點的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點。練1求：若三角形的垂心和重心重合，求證：該三角形為正三角形。）

的面積為，且三邊長分別為

a、、c

，則

的內(nèi)切圓的半徑是。請說明理由。（2）R三邊分別為

a、b、c（中為邊長），的內(nèi)切圓的半徑是。并說明理由。-3-3.2.2

幾種特殊三角形等腰三角形底邊上三線（角平分線、中線、高線）合一。因而在等腰中三角形的內(nèi)心I重心、心H必然在一條直線上。圖

圖

圖

圖例ABC，ABBC

求（1）ABC的面積及AC邊的高BE；（2

的內(nèi)切圓的半徑

r

）

的外接圓的半徑

R

。解（1如圖，作

ADBC

于

D

。ACD

為

BC

的中點，ADABBD

S

22又

4BE,解得。3（2如圖，I為心，則I到三邊的距離均為r，IAIB,IC

，

ABC

IAB

IBC

IAC

，即

2

11122

，解得

r

22

。（3

是等腰三角形，外心

在

AD

上，連

BO

，則

Rt中，ODADOB

2

2

,-4-)2

解得

R

928

.在

RABC，為角，垂心為直角頂點A外心O為邊的點，內(nèi)I在三角形的內(nèi)部內(nèi)圓的半為

bca2

（其中

b,c

分別為三角形的三邊,,的長什？該直角三角形的三邊長滿足勾股定理：

2+ABBC2

。例圖中=為任意一點證ADBC證明：過作于。

2AB

PBPC

。在

R

中，

AD2

。在

R中

2AD2

。22ABBDDPBD)ABADBCDCBDDPDP。

。

圖AP

2

AB

2

PC

。正三角形三條邊長相等，三個角相等，且四心（內(nèi)心、重心、垂心、外心）合一，該點稱為正三角形的中心。例知等邊ABC和P到三邊距離分別為

,,12

的高為h，若在一邊上此時

=03

，可得結(jié)論：

+h+h=h12

。請接應(yīng)用以上信息解決下列問：當(dāng)）點P在內(nèi)如圖在ABC外(如圖，兩種情況時，上述-5-結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立,,12

與

之間有什么樣的關(guān)系，請給出你的猜想（不必證明解（1當(dāng)點P在ABC內(nèi)，法如圖，過作

B'

分別交

AMAC

于

','

，由題設(shè)知

AM'PD+

，而故即

AM'-PF，PDPEPF=AM+h+h=h。12

，

圖法如圖，連結(jié)、、PC

ABC

，11BCPDACPF22

，又即

AB=AC+h+h=h12

，AMPDPEPF。

，（2P在ABC如圖位置時hh+h=12

不成立想h+-=h123

。注意：當(dāng)點在

外的其它位置時，還有可能得到其它的結(jié)論，如

-+h=1

，

-h-13

（如圖3.2-18想一想為什么？）等。在解決上述問題時一中用了化歸的數(shù)學(xué)思想方,法二中靈活地運用了面積的方法。練2直角三長為3，，則=________。等腰有兩個內(nèi)角的和是，則的頂角的大小是。

圖滿足下條件的

，不是直角三角形的是（）

a-

2

AC.

:B:4:5

::c=:13:5-6-已知直三角形的周長為

，斜邊上的中線的長為1，求這個三角形的面積。證明：腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和為一個常量。-7-習(xí)3.2A組已知：

中，AB=，

o,AD

為邊的高，則下列結(jié)論中，正確的是（）

AD

32

AD

C.

ADBD

AD

22

BD三角形邊長分別是、8、10那么它最短邊上的高為（）A6B4.5．2.4D．8如果等三角形底邊上的高等于腰長的一半么個等腰三角形的頂角等_________。已知:

b,c

是

ABC

的三條邊，

b

，那么

的取值范圍是_。若三角的三邊長分別為、、8且是數(shù)，則a的值________。B組如圖，邊

ABC

的周長為12CD是邊上中線E是延線上一，且BD=BE，則

的周長為（A

3

B

C．

3

D．

圖圖

圖

圖如圖3.2-20在

ABC

中，

CABC

，是AC上的高，求

DBC

的度數(shù)。-8-如圖tABC

90

MAC的點AM=AN證MN=AB如圖，

中，分

，。求

:C

的值。如圖，正方形中，為DC的點，為BC上點，且EFA求證：。

EC=

14

BC

，圖-9-C組已知

kk,2

2

,

4

，則以

b

為邊的三角形是（）A等邊三角形

B等腰三角形

．直角三角形

D形狀無法確定如圖3.2-24

紙片沿折疊A落四邊形內(nèi)部時

A

與

之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（．．．．

A

圖3.2-24如圖，知等腰角平分線，且+CD求證：

。圖3.2-25如圖，等腰

中

90

，是斜邊AB上一點，

AECD

于ECD

交CD的長線于，

于H，交AE于。證：=CG。圖-10答：練．證略

（1

2S）。a2練1．5或

或

o

4設(shè)兩直角邊長為

a,

，斜邊長為2則

a

解得ab

11ab2

。5.利用面積證。習(xí)3.2A組

．D3.

5.8B組

．A

o

3連BM，