高等數(shù)學(xué)定積分的換元積分法課件

復(fù)習(xí)6.微積分基本公式4.積分上限函數(shù)5.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.定積分定義2.定積分的思想和方法：分割,近似,取和,求極限.dx牛頓---萊布尼茲公式.3.定積分的值與積分變量使用的字母無關(guān).1復(fù)習(xí)6.微積分基本公式4.積分上限函數(shù)5.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)實例1：求曲邊梯形的面積.一、問題的提出4-1定積分的概念(1)曲邊梯形定義：條直線x=a,由一條連續(xù)曲線和三xoyabbaoyxx=b,y=0所圍成的封閉圖形.xyoab2實例1：求曲邊梯形的面積.一、問題的提出4-1定積分的概念((2)求曲邊梯形面積的意義：xoyxoyxoy由平面曲線所圍成的平面圖形的面積都可以轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積的代數(shù)和.abab(3)求由連續(xù)函數(shù)和三條直線x=a,x=b,y=0所圍成的封閉圖形的面積.ab3(2)求曲邊梯形面積的意義：xoyxoyxoy由平面曲線所圍用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然:（四個小矩形）（九個小矩形）矩形總面積越接近曲邊梯形面積．小矩形越多，abxyoabxyo4用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然:（四個小矩形）（九個小矩曲邊梯形如圖所示，(1)分割：把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間長度為在每個小區(qū)間上任取一點以為底，為高的小矩形面積為則在區(qū)間[a,b]內(nèi)插入若干個分點，(2)近似：5曲邊梯形如圖所示，(1)分割：把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為:以上做法的步驟:當分割的無限細密，即最大的小區(qū)間的長度趨于零時，分割,求近似,取和,求極限.(3)作和式：(4)取極限：6曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為:以上做法的步驟:當分割實例2：求變速直線運動的路程.思路：設(shè)某物體作直線運動，已知速度是時間間隔上t的一個連續(xù)函數(shù)，且求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.路程的精確值的近似值，看作不變，把整段時間分割成若干小段，每小段上速度便得到路程求出各小段的路程再相加，最后通過對時間的無限細分過程求得7實例2：求變速直線運動的路程.思路：設(shè)某物體作直線運動，已(1)分割部分路程近似值(3)求和(4)取極限路程的精確值t(2)近似而曲邊梯形面積8(1)分割部分路程近似值(3)求和(4)取極限路程的精確值t二.定積分的定義定義在中任意插入若干個分點把區(qū)間各小區(qū)間的長度依次為在各小區(qū)間上任取一點作乘積并作和記怎樣的分法，也不論在小區(qū)間上點怎樣的取法，只要當時，和總趨于確定的極限設(shè)函數(shù)在上有界，分成個小區(qū)間，如果不論對區(qū)間9二.定積分的定義定義在中任意插入若干個分點把區(qū)間各小區(qū)間的長被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和我們稱這個極限為函數(shù)在區(qū)間積分區(qū)間dxdx.上的定積分，簡稱：積分10被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和我們稱這注意：(5)是一個確定的常數(shù).(3)定積分與區(qū)間的分割方法無關(guān)，(4)當函數(shù)在區(qū)間上的定積分存在時，稱在區(qū)間上可積.(2)積分值與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，使用的字母無關(guān).dxdtdudtdx.dx(1)而與積分變量的取法無關(guān).與曲邊梯形面積變速直線運動的路程11注意：(5)是一個確定的常數(shù).(3)定積分與區(qū)間的分割方法無閉區(qū)間上的有界單調(diào)函數(shù)可積.以上定理的證明省略,只要求記住結(jié)論.定理1當函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)時，稱定理2且只有有限個間斷點，定理3三.存在定理即dx存在.在區(qū)間上可積.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，則在區(qū)間上可積.12閉區(qū)間上的有界單調(diào)函數(shù)可積.以上定理的證明省略,只要求記住曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值四.定積分的幾何意義abxyoabxyodxdx1.當時，A2.當時，3.當在[a,b]上有正有負時，dx表示各部分面積的代數(shù)和.dxoab13曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值四.定積分的幾何意義abx即它是介于x軸、函數(shù)的圖形及兩條直線x=a，x=b之間的各部分面積的代數(shù)和.且x軸上方的面積取正號；在x軸下方的面積取負號.的幾何意義：dx4.dxab14即它是介于x軸、函數(shù)的圖形及兩條直線x=a，x=b之間的各部對定積分的補充規(guī)定:說明:在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，一.基本內(nèi)容五.定積分的性質(zhì)(1)當a=b時,dx(1)當a>b時,dx.dx且不考慮積分上下限的大?。磀x15對定積分的補充規(guī)定:說明:在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，證(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)性質(zhì)1dxdxdxdxdxdx16證(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)性質(zhì)1dxdxd證性質(zhì)2性質(zhì)1.2稱為定積分的線性性質(zhì).dxdx.dxdx(k為常數(shù))17證性質(zhì)2性質(zhì)1.2稱為定積分的線性性質(zhì).dxdx.dxdx(若定積分對于積分區(qū)間具有可加性則性質(zhì)3abxyodxdxdx.dxdxdxdxdxdxdxdx若(定積分的可加性)證由定義當時，dxdxdx.c得18若定積分對于積分區(qū)間具有可加性則性質(zhì)3abxyodxdxdx證性質(zhì)4性質(zhì)5dxdx如果在區(qū)間上則dxoyxaboyxab1dx19證性質(zhì)4性質(zhì)5dxdx如果在區(qū)間上則dxoyxaboyxab性質(zhì)5的推論：證oyxab則(1)如果在區(qū)間上dxdx.dxdxdx于是：dxdx.20性質(zhì)5的推論：證oyxab則(1)如果在區(qū)間上dxdx.dx解于是例1比較積分值dx和dx的大小.dxdxdxdxdxdx21解于是例1比較積分值dx和dx的大小.dxdxdxdxdxd證性質(zhì)5的推論：(2)dxdxdxdxdxdxdx.即22證性質(zhì)5的推論：(2)dxdxdxdxdxdxdx.即22證(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍)性質(zhì)6abxyomM則設(shè)M及m分別是函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，dxdxdxdxdx(估值定理)23證(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍)性質(zhì)6abxyomM則解dxdxdxdx例2估計積分的值.dx24解dxdxdxdx例2估計積分的值.dx24證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，性質(zhì)7積分中值公式如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點使上至少存在一點使在即dxdxdx.dxdx(定積分中值定理)25證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，性質(zhì)7積分中值公式如果函數(shù)積分中值公式的幾何解釋：dx在區(qū)間[a,b]上至少存在一個點使得以區(qū)間[a,b]為底邊，以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊，而高為的一個矩形的面積.26積分中值公式的幾何解釋：dx在區(qū)間[a,b]上至少存在一個點六、小結(jié)１．定積分的定義：3．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分以不變代變.取極限dx2．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．近似以直代曲27六、小結(jié)１．定積分的定義：3．定積分的思想和方法：分割化整為4．定積分的性質(zhì)：(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用)5．典型問題(1)估計積分值；(2)不計算定積分比較積分大小．作業(yè):理解并熟記概念和性質(zhì)預(yù)習(xí)P204~211線性性質(zhì)，可加性，大小比較，估值定理，定積分中值定理.284．定積分的性質(zhì)：(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用)5．典解例如計算令則dx29解例如計算令則dx29x49t23另解令則2330x49t23另解令則23305-3定積分的換元法一、換元公式則有：定理假設(shè)在區(qū)間(1)函數(shù)上連續(xù)；(2)函數(shù)在區(qū)間上單值的且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)；(3)當t在區(qū)間上變化時，的值在區(qū)間上變化時，且315-3定積分的換元法一、換元公式則有：定理假設(shè)在區(qū)間(1)函證證畢設(shè)注意：換元公式仍然成立.當時，(1)上限與上限對應(yīng)，(3)(2)換元的同時應(yīng)換限.下限與下限對應(yīng).則對a>b仍成立.32證證畢設(shè)注意：換元公式仍然成立.當時，(1)上限與上限對應(yīng)，解例1計算令則0t?0x33解例1計算令則0t?0x33解例2計算原式xln3ln8t23注意：換元公式可反過來用，邊對調(diào)地位，令令則只須把公式左右兩改記為同時把34解例2計算原式xln3ln8t23注意：換元公式可反過來例3計算解令另解說明：不換元時不換限，換元的同時應(yīng)換限.35例3計算解令另解說明：不換元時不換限，換元的同時應(yīng)換限.解例4

計算令則注意：能湊微分就不換元，這樣就不換限.36解例4計算令則注意：能湊微分就不換元，這樣就不換限.36例5計算解由于原式=注意：去絕對值或去根號時，應(yīng)注意其正負，否則就會出錯.37例5計算解由于原式=注意：去絕對值或去根號時，應(yīng)注意其正負，即例6當在上連續(xù)，且有為偶函數(shù)，則(2)為奇函數(shù)，則奇偶oxy-aaa-axy0(1)38即例6當在上連續(xù)，且有為偶函數(shù)，則(2)為奇函數(shù)，則奇偶ox證證畢x-a0ta0在中，令(1)為偶函數(shù)，則(2)為奇函數(shù)，則39證證畢x-a0ta0在中，令(1)為偶函數(shù)，則(2)為奇函數(shù)奇函數(shù)解例7計算原式偶函數(shù)單位圓的面積40奇函數(shù)解例7計算原式偶函數(shù)單位圓的面積40證令0t0x即證明例841證令0t0x即證明例841證令0t0x即設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，證明例942證令0t0x即設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，證明例942證*令則例10證明atax43證*令則例10證明atax43證則例11計算令44證則例11計算令44例12設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且求解1即則對從0到1關(guān)于x積分，于是89年考研題45例12設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且求解1即則對從0到1關(guān)于x積例12設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且求解2令則將代入中，得即也為所以有則89年考研題46例12設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且求解2令則將代入中，得即也為所定積分的換元法小結(jié)主要作用：1.簡化定積分的計算，2.證明一些等式47定積分的換元法小結(jié)主要作用：1.簡化定積分的計算，2.證明一復(fù)習(xí)6.微積分基本公式4.積分上限函數(shù)5.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.定積分定義2.定積分的思想和方法：分割,近似,取和,求極限.dx牛頓---萊布尼茲公式.3.定積分的值與積分變量使用的字母無關(guān).48復(fù)習(xí)6.微積分基本公式4.積分上限函數(shù)5.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)實例1：求曲邊梯形的面積.一、問題的提出4-1定積分的概念(1)曲邊梯形定義：條直線x=a,由一條連續(xù)曲線和三xoyabbaoyxx=b,y=0所圍成的封閉圖形.xyoab49實例1：求曲邊梯形的面積.一、問題的提出4-1定積分的概念((2)求曲邊梯形面積的意義：xoyxoyxoy由平面曲線所圍成的平面圖形的面積都可以轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積的代數(shù)和.abab(3)求由連續(xù)函數(shù)和三條直線x=a,x=b,y=0所圍成的封閉圖形的面積.ab50(2)求曲邊梯形面積的意義：xoyxoyxoy由平面曲線所圍用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然:（四個小矩形）（九個小矩形）矩形總面積越接近曲邊梯形面積．小矩形越多，abxyoabxyo51用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然:（四個小矩形）（九個小矩曲邊梯形如圖所示，(1)分割：把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間長度為在每個小區(qū)間上任取一點以為底，為高的小矩形面積為則在區(qū)間[a,b]內(nèi)插入若干個分點，(2)近似：52曲邊梯形如圖所示，(1)分割：把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為:以上做法的步驟:當分割的無限細密，即最大的小區(qū)間的長度趨于零時，分割,求近似,取和,求極限.(3)作和式：(4)取極限：53曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積為:以上做法的步驟:當分割實例2：求變速直線運動的路程.思路：設(shè)某物體作直線運動，已知速度是時間間隔上t的一個連續(xù)函數(shù)，且求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.路程的精確值的近似值，看作不變，把整段時間分割成若干小段，每小段上速度便得到路程求出各小段的路程再相加，最后通過對時間的無限細分過程求得54實例2：求變速直線運動的路程.思路：設(shè)某物體作直線運動，已(1)分割部分路程近似值(3)求和(4)取極限路程的精確值t(2)近似而曲邊梯形面積55(1)分割部分路程近似值(3)求和(4)取極限路程的精確值t二.定積分的定義定義在中任意插入若干個分點把區(qū)間各小區(qū)間的長度依次為在各小區(qū)間上任取一點作乘積并作和記怎樣的分法，也不論在小區(qū)間上點怎樣的取法，只要當時，和總趨于確定的極限設(shè)函數(shù)在上有界，分成個小區(qū)間，如果不論對區(qū)間56二.定積分的定義定義在中任意插入若干個分點把區(qū)間各小區(qū)間的長被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和我們稱這個極限為函數(shù)在區(qū)間積分區(qū)間dxdx.上的定積分，簡稱：積分57被積函數(shù)被積表達式積分變量記為積分上限積分下限積分和我們稱這注意：(5)是一個確定的常數(shù).(3)定積分與區(qū)間的分割方法無關(guān)，(4)當函數(shù)在區(qū)間上的定積分存在時，稱在區(qū)間上可積.(2)積分值與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，使用的字母無關(guān).dxdtdudtdx.dx(1)而與積分變量的取法無關(guān).與曲邊梯形面積變速直線運動的路程58注意：(5)是一個確定的常數(shù).(3)定積分與區(qū)間的分割方法無閉區(qū)間上的有界單調(diào)函數(shù)可積.以上定理的證明省略,只要求記住結(jié)論.定理1當函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)時，稱定理2且只有有限個間斷點，定理3三.存在定理即dx存在.在區(qū)間上可積.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，則在區(qū)間上可積.59閉區(qū)間上的有界單調(diào)函數(shù)可積.以上定理的證明省略,只要求記住曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值四.定積分的幾何意義abxyoabxyodxdx1.當時，A2.當時，3.當在[a,b]上有正有負時，dx表示各部分面積的代數(shù)和.dxoab60曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值四.定積分的幾何意義abx即它是介于x軸、函數(shù)的圖形及兩條直線x=a，x=b之間的各部分面積的代數(shù)和.且x軸上方的面積取正號；在x軸下方的面積取負號.的幾何意義：dx4.dxab61即它是介于x軸、函數(shù)的圖形及兩條直線x=a，x=b之間的各部對定積分的補充規(guī)定:說明:在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，一.基本內(nèi)容五.定積分的性質(zhì)(1)當a=b時,dx(1)當a>b時,dx.dx且不考慮積分上下限的大?。磀x62對定積分的補充規(guī)定:說明:在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，證(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)性質(zhì)1dxdxdxdxdxdx63證(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況)性質(zhì)1dxdxd證性質(zhì)2性質(zhì)1.2稱為定積分的線性性質(zhì).dxdx.dxdx(k為常數(shù))64證性質(zhì)2性質(zhì)1.2稱為定積分的線性性質(zhì).dxdx.dxdx(若定積分對于積分區(qū)間具有可加性則性質(zhì)3abxyodxdxdx.dxdxdxdxdxdxdxdx若(定積分的可加性)證由定義當時，dxdxdx.c得65若定積分對于積分區(qū)間具有可加性則性質(zhì)3abxyodxdxdx證性質(zhì)4性質(zhì)5dxdx如果在區(qū)間上則dxoyxaboyxab1dx66證性質(zhì)4性質(zhì)5dxdx如果在區(qū)間上則dxoyxaboyxab性質(zhì)5的推論：證oyxab則(1)如果在區(qū)間上dxdx.dxdxdx于是：dxdx.67性質(zhì)5的推論：證oyxab則(1)如果在區(qū)間上dxdx.dx解于是例1比較積分值dx和dx的大小.dxdxdxdxdxdx68解于是例1比較積分值dx和dx的大小.dxdxdxdxdxd證性質(zhì)5的推論：(2)dxdxdxdxdxdxdx.即69證性質(zhì)5的推論：(2)dxdxdxdxdxdxdx.即22證(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍)性質(zhì)6abxyomM則設(shè)M及m分別是函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，dxdxdxdxdx(估值定理)70證(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍)性質(zhì)6abxyomM則解dxdxdxdx例2估計積分的值.dx71解dxdxdxdx例2估計積分的值.dx24證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，性質(zhì)7積分中值公式如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點使上至少存在一點使在即dxdxdx.dxdx(定積分中值定理)72證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，性質(zhì)7積分中值公式如果函數(shù)積分中值公式的幾何解釋：dx在區(qū)間[a,b]上至少存在一個點使得以區(qū)間[a,b]為底邊，以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊，而高為的一個矩形的面積.73積分中值公式的幾何解釋：dx在區(qū)間[a,b]上至少存在一個點六、小結(jié)１．定積分的定義：3．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分以不變代變.取極限dx2．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．近似以直代曲74六、小結(jié)１．定積分的定義：3．定積分的思想和方法：分割化整為4．定積分的性質(zhì)：(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用)5．典型問題(1)估計積分值；(2)不計算定積分比較積分大小．作業(yè):理解并熟記概念和性質(zhì)預(yù)習(xí)P204~211線性性質(zhì)，可加性，大小比較，估值定理，定積分中值定理.754．定積分的性質(zhì)：(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用)5．典解例如計算令則dx76解例如計算令則dx29x49t23另解令則2377x49t23另解令則23305-3定積分的換元法一、換元公式則有：定理假設(shè)在區(qū)間(1)函數(shù)上連續(xù)；(2)函數(shù)在區(qū)間上單值的且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)；(3)當t在區(qū)間上變化時，的值在區(qū)間上變化時，且785-3定積分的換元法一、換元公式則有：定理假設(shè)在區(qū)間(1)函證證畢設(shè)注意：換元公式仍然成立.當時，(1)上限與上限對應(yīng)，(3)(2)換元的同時應(yīng)換限.下限與下限對應(yīng).則對a>b仍成立.79證證畢設(shè)注意：換元公式仍然成立.當時，(1)上限與上限對應(yīng)，解例1計算令則0t?0x80解例1計算令則0t?0x