考研自動(dòng)控制原理習(xí)題集及其解答

自動(dòng)控制原理習(xí)題及其解答第一章（略）第二章例2-1彈簧，阻尼器串并聯(lián)系統(tǒng)如圖2-1示，系統(tǒng)為無質(zhì)量模型，試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。解：（1）設(shè)輸入為外，輸出為泗。彈簧與阻尼器并聯(lián)平行移動(dòng)。（2）列寫原始方程式，由于無質(zhì)量按受力平衡方程，各處任何時(shí)刻，均滿足2斤=0，則對(duì)于A點(diǎn)有其中，號(hào)為阻尼摩擦力，F(xiàn)*,&2為彈性恢復(fù)力。寫中間變量關(guān)系式尸/.或…。）/ dt%—檢）尸K2=七必）(4)消中間變量得(4)化標(biāo)準(zhǔn)形丁群…冬風(fēng)其中：其中：7=—_為時(shí)間常數(shù)，單位［秒KK=??-為傳遞函數(shù),無量綱。5+K2例2-2已知單擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)如圖2-2示。（1）寫出運(yùn)動(dòng)方程式（2）求取線性化方程解：（1）設(shè)輸入外作用力為零，輸出為擺角e,擺球質(zhì)量為怔（2）由牛頓定律寫原始方程。

m(l^-)=-mgsin0-hdt~其中，/為擺長(zhǎng)，為運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)，力為空氣阻力。(3)寫中間變量關(guān)系式h=a(lm(l^-)=-mgsin0-hdt~其中，/為擺長(zhǎng)，為運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)，力為空氣阻力。(3)寫中間變量關(guān)系式h=a(l—)

dt式中，"為空氣阻力系數(shù)/也為運(yùn)動(dòng)線速度。dt(4)消中間變量得運(yùn)動(dòng)方程式疝粵+a〃+mgsin”。dt2dt圖2-2單擺運(yùn)動(dòng)(2-1)此方程為二階非線性齊次方程。(5)線性化由前可知，在6=0的附近，非線性函數(shù)sin。器。，故代入式(2-1)可得線性化方程為,d2e,deml———+al——drdt+mgd=0例2-3已知機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖2-3所示，試列出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。解：(1)設(shè)輸入量作用力矩切，輸出為旋轉(zhuǎn)角速度。?(2)列寫運(yùn)動(dòng)方程式,dco一,,J =~~J(D+Aifdt式中，加為阻尼力矩，其大小與轉(zhuǎn)速成正比。(3)整理成標(biāo)準(zhǔn)形為rdco, ..J—FjCD=M,此為一階線性微分方程，若輸出變量改為夕則由于de(0——

dt代入方程得二階線性微分方程式rd20「d。、//不+/丁=河

dt-dt例2?4設(shè)有一個(gè)倒立擺安裝在馬達(dá)傳動(dòng)車上。如圖2-4所示。

圖2-4圖2-4 倒立擺系統(tǒng)倒立找是不穩(wěn)定的，如果沒有適當(dāng)?shù)目刂屏ψ饔迷谒厦?，它將隨時(shí)可能向任何方向傾倒，這里只考慮二維問題，即認(rèn)為倒立擺只在圖2-65所示平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)?？刂屏Αㄗ饔糜谛≤嚿?。假設(shè)擺桿的重心位于其幾何中心4。試求該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式。解：（1）設(shè)輸入為作用力〃，輸出為擺角6。（2）寫原始方程式，設(shè)擺桿重心N的坐標(biāo)為（Xa，力）于是XA=X+lsin0Xv=lcosO畫出系統(tǒng)隔離體受力圖如圖2-5所示。擺桿圍繞重心4點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方程為:(2-2)/"■=〃sin8-〃/cosedt1(2-2)式中，＜/為擺桿圍繞重心力的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。擺桿重心4沿X軸方向運(yùn)動(dòng)方程為：j2即 m—7(x+/sin，)=〃dj2即 m—7(x+/sin，)=〃d廣擺桿重心力沿y軸方向運(yùn)動(dòng)方程為：(2-3)d~yATZm --V-mgdrJ-即 m—―(/cos0)=V-mgdf小車沿x軸方向運(yùn)動(dòng)方程為：M*=u-H

dt2方程(2-2),方程(2-3)為車載倒立擺系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程組。因?yàn)楹衧ing和cos。項(xiàng)，所以為非線性微分方程組。中間變量不易相消。(3)當(dāng)6很小時(shí)，可對(duì)方程組線性化，由sin。七8,同理可得到cos^l則方程式(2-2)式(2-3)可用線性化方程表示為：j2nj咨=vie-Hidt2d2x,d20?m———+ml———=Hdt10=K—mg

d2xM———=w

dt2dr-H用S?=4的算子符號(hào)將以上方程組寫成代數(shù)形式，消掉中間變量人H、X得dt2{-Ml-M+mJ)s2e+(M+m)ge=u

ml將微分算子還原后得(Ml+■~—H—)——；——(M+m)g——=-u

mlIdt' dt此為二階線性化偏量微分方程。例2-5KC無源網(wǎng)絡(luò)電路圖如圖2—6所示，試采用復(fù)數(shù)阻抗法畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)a(s)/a(s)。&R,圖2-6RC無源網(wǎng)絡(luò)解：在線性電路的計(jì)算中，引入了復(fù)阻抗的概念，則電壓、電流、復(fù)阻抗之間的關(guān)系，滿足廣義的歐姆定律。即：以二Z(s)

/(s)如果二端元件是電阻R、電容C或電感，則復(fù)阻抗Z(s)分別是/?、1/Cs或As.(1)用復(fù)阻抗寫電路方程式：/l($)=[%⑸-&($)].：C/cI(S)=[ZI(S)-/2(S)]./2(S)=[i/cl(5)-t7c2(S)]-^-匕2(S)=/2(SA；C2s(2)將以上四式用方框圖表示，并相互連接即得RC網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，見圖2—6(a).(3)用結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)法求傳遞函數(shù)的過程見圖2—6(c)、⑺、(e)。(d)圖2-6RC無源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖（4）用梅遜公式直接由圖2—6S）寫出傳遞函數(shù)a（s）/a（s）o￡GkAK

A獨(dú)立回路有三個(gè):RC[SR]GSL-f= = 2r2c2sr2c2sL= 1 1 = -1C\SR2R2cls回路相互不接觸的情況只有A,和L2兩個(gè)回路。則工12=心也= 7RlC[R2c2s2由上式可寫出特征式為：A=1-(L,+L,+￡,)-L,L.=1+—5—+―!—+―!—+ 5 RgSH2c2sR2clsR&R2c2s通向前路只有一條GJI1-1

1-RfC\SR2C2S~-C2s2由于G1與所有回路〃，L2,區(qū)都有公共支路，屬于相互有接觸，則余子式為△1=1代入梅遜公式得傳遞函數(shù)cG,A, gR2c2s2u= = A, 1 1 1 11H 1 F F -RlGsR2c2sR2clsRgR2c2s2 1 &R2cle2s2+（H]G+R2c2+R1C?）s+1例2?6有源網(wǎng)絡(luò)如圖2—7所示，試用復(fù)阻抗法求網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)，并根據(jù)求得的結(jié)果,直接用于圖2—8所示PI調(diào)節(jié)器，寫出傳遞函數(shù)。圖2-7有源網(wǎng)絡(luò)圖2-7有源網(wǎng)絡(luò)圖2-8PI調(diào)節(jié)器解：圖2-7中Z,和力表示運(yùn)算放大器外部電路中輸入支路和反饋支路復(fù)阻抗，假設(shè)Z點(diǎn)為虛地，即上-0,運(yùn)算放大器輸入阻抗很大，可略去輸入電流，于是：/尸/2則有:a（6）=/G）z,（s）則有:Uc（S）=_/2（S）Z/G）故傳遞函數(shù)為3_也3_也U,(s) Z,(s)(2-4)對(duì)于由運(yùn)算放大器構(gòu)成的調(diào)節(jié)器，式（2-4）可看作計(jì)算傳遞函數(shù)的一般公式，對(duì)于圖2-8所示PI調(diào)節(jié)器，有Zj(s)=R、Zf(s)=R2+白G(s)=-R2cs+1Z,(s)R、CS例2-7求下列微分方程的時(shí)域解x（f）。已知G(s)=-R2cs+1Z,(s)R、CS例2-7求下列微分方程的時(shí)域解x（f）。已知x（0）=0,*0）=3。d~x入dx,八——+3—+6x=0dt2dt解：對(duì)方程兩端取拉氏變換為：S2X(5)-Sx(O)-i(0)+3sx(s)-3x(0)+6X(s)=0代入初始條件得到(s2+3S+6)X(s)=3解出X（6）為:X(s)=273V152S'3S+6一石(s+]?+(用2反變換得時(shí)域解為:,、2a/315,.ZV15、x(t)=—j^e]-sm(——Z)V52例28已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-9所示，試用化簡(jiǎn)法求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。圖2-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖nI圖2/0系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化解：(1)首先例28已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-9所示，試用化簡(jiǎn)法求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。圖2-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖nI圖2/0系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化(2)將反饋環(huán)和并連部分用代數(shù)方法化簡(jiǎn)，得圖2-10(6)。(3)最后將兩個(gè)方框串聯(lián)相乘得圖2-10(c)。例2-9已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-11所示，試用化簡(jiǎn)法求傳遞函數(shù)C(s)/夫⑻。解：(1)將兩條前饋通路分開，改畫成圖2-12(°)的形式。(2)將小前饋并聯(lián)支路相加，得圖2-12(6)。覆s) O*).G|G]?彷覆s) O*).G|G]?彷?]圖2-12 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖將支路化簡(jiǎn)為圖2-12(c)。例2-10已知機(jī)械系統(tǒng)如圖2-13(a)所示，電氣系統(tǒng)如圖2-13(b)所示，試畫出兩系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)，證明它們是相似系統(tǒng)。圖2-13系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 解：(1)若圖2-13(a)所示機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，遵循以下原則并聯(lián)元件的合力等于兩元件上的力相加，平行移動(dòng)，位移相同,串聯(lián)元件各元件受力相同，總位移等于各元件相對(duì)位移之和。微分方程組為：F=FX+F2=/|(x,.-x0)+K](x,-x0)/=人(丸-力F=K2y取拉氏變換，并整理成因果關(guān)系有:尸(s)=(/s+K|)[(x,G)—Xo(S)]K?Xo(s)=-F(s)+y(s)fzs畫結(jié)構(gòu)圖如圖2-14：圖2-14 機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)為:

ff（占+加）（廠++） （仆+1）（番s+1）Xo（s） k2j2s 勺k2X，⑸1+g+?。ǎ?-L） （（s+1）（As+1）+冬K2J?S rCj K? K]（2）寫圖2-13（b）所示電氣系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，按電路理論，遵循的定律與機(jī)械系統(tǒng)相似，即并聯(lián)元件總電流等于兩元件電流之和，電壓相等。串聯(lián)元件電流相等，總電壓等于各元件分電壓之和，可見，電壓與位移互為相似量電流與力互為相似量。運(yùn)動(dòng)方程可直接用復(fù)阻抗寫出：/⑸=7,5+/2(5)=《[得⑸-瓦⑸]+Gs[(E,(s)-E0(s)]

火1[Eo[Eo（5）-E,2（5）]I\S)—C2s+Ec2(s)整理成因果關(guān)系:/(s)=(；+Gs)[(g(s)-Eo(s)]為紇2⑸」/G)Eo(s)=IR2+EC1(5)畫結(jié)構(gòu)圖如圖2-15所示:E。圖2E。圖2?15 電氣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)為:4G)(，+C]S)(&2%1+(4G)(，+C]S)(&2%1+( 1 )(凡居GS-(??,C,5+1)(/?2C2S+1)(R\C[S+1)(&C2s+1)+R&S對(duì)上述兩個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行比較后可以看出。兩個(gè)系統(tǒng)是相似的。機(jī)一電系統(tǒng)之間相似量的對(duì)應(yīng)關(guān)系見表2-1?表2-1相似量

機(jī)械系統(tǒng)XiXoyF行f2K[\/k2fxfz電氣系統(tǒng)%eo%2iiil/RRGc2例2?11HC網(wǎng)絡(luò)如圖2?16所示，其中〃?為網(wǎng)絡(luò)輸入量,(1)畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖；(2)求傳遞函數(shù)SG)/56)。輸入回路1/]=&4+(/|+，2)方一C2s輸出回路U?輸入回路1/]=&4+(/|+，2)方一C2s輸出回路U?=R212+(，i中間回路/]7?|=(Z?2+ ),12CiS(3)整理成因果關(guān)系式。A=，q-(，iCj5

夫2。1$+1U2=R2l2+(Il+I2)-^-C2s即可畫出結(jié)構(gòu)圖如圖2-17所示。(4)用梅遜 圖2-"網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖 公式求出:U[ G[A]+G2%+G3小~U\~ A-1I 11G$p_R[C2s&C]S+1C2Sr2c}s+1" 1 i~Ii1+ + , R\C2sR2C1s4-1C2sR、R2cle2s?+(7?j+/?2)Gs+1R\R2cle2s2+(R'C2+R)C]+R]G)s+1例2-12上知系統(tǒng)的信號(hào)流圖如圖2-18所示，試求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

圖2-18信號(hào)流圖解：?jiǎn)为?dú)回路4個(gè)，即=-G1~G2-G3~GlG2兩個(gè)互不接觸的回路有4組，即EL&=GlG2+G1G3+G2G3+G|G2G3三個(gè)互不接觸的回路有1組，即=-G|G2G3于是，得特征式為=1+G[4-G2+G3+2G|G2+GQ3+G2G3+2G]G2G3從源點(diǎn)R從源點(diǎn)R到阱節(jié)點(diǎn)C的前向通路共有4條,勺=G、G2G3KP?=G2G3KP3-G1G3KP4--G]G2G3K因此，傳遞函數(shù)為其前向通路總增益以及余因子式分別為A1=1A2=1+G]△3=1+G?△4=1C(s)=6A1+BA2+舄%+&A4R(s)~ AG2G3K(1+G])+G|G3K(1+G2)1+G[+G?+G3+2G]G2+GQ3+G2G3+2GQ2G3

第三章例3-1系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-1所示。已知傳遞函數(shù)(7(5)=10/(0.25+l)o今欲采用加負(fù)反饋的辦法，將過渡過程時(shí)間ts減小為原來的0.1倍，并保證總放大系數(shù)不變。試確定參數(shù)心和的數(shù)值。解首先求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(s),并整理為標(biāo)準(zhǔn)式，然后與指標(biāo)、參數(shù)的條件對(duì)照。一階系統(tǒng)的過渡過程時(shí)間《與其時(shí)間常數(shù)成正比。根據(jù)要求，總傳遞函數(shù)應(yīng)為10

(0.25/10+1)C(s)K°G(s)_lOK。瓦l+K〃G(s)-0.2s+l+10K“1+10K” 人、F 阿)5+1)1+10K”比較系數(shù)得-^-=101+10K”1+10%=10解之得Kh=0.9、Ko=10解畢。例3-10某系統(tǒng)在輸入信號(hào)中)=(1+/)1⑺作用下，測(cè)得輸出響應(yīng)為:c(/)=(r+0.9)-0.9e-l(),(rNO)一知初始條件為零，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(s)。解因?yàn)镽s)Rs)="=0.950.95+1010(5+1)52(5+10)1 09C(5)=A[c(Z)]=-+-故系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

網(wǎng)產(chǎn)=1R(s)0.15+1解畢。例3-3設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-2所示。試分析參數(shù)h的取值對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)動(dòng)態(tài)性能的影響。解由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù)為(T+bK)s+l系統(tǒng)是一階的。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為td=0.69(7+bK)tr=2.2(T+bK)ts=3(T+bK)因此，b的取值大將會(huì)使階躍響應(yīng)的延遲時(shí)間、上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間都加長(zhǎng)。解畢。例3-12設(shè)二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-34所示。試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖3-34圖3-34二階控制系統(tǒng)的單位階躍解首先明顯看出，在單位階躍作用下響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為3,故此系統(tǒng)的增益不是1,而是3。系統(tǒng)模型為3比s2+2》“s+欣然后由響應(yīng)的A/。％、％及相應(yīng)公式，即可換算出自、co,,.K史上空竺上2史上空竺上2=33%c(oo)=如1(s)由公式得Mp%=e-""同=33%換算求解得： 4=0.33、a)n=33.2解畢。例3-13設(shè)系統(tǒng)如圖3-35所示。如果要求系統(tǒng)的超調(diào)量等于15%,峰值時(shí)間等于0.8s,試確定增益&和速度反饋系數(shù)儲(chǔ)。同時(shí)，確定在此K和茁數(shù)值下系統(tǒng)的延遲時(shí)間、上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間。I+Kq圖3-35解由圖示得閉環(huán)特征方程為$2+(1+K|K,)s+K1=0即r_..2盧一1+K]-嗎，9/--2%由已知條件Mp%=e-嗚戶=0.15解得看,=0.517,%=4.588st于是K.=21.05K,=^^2-=0.1781+0.65+0常td= ' 工=0.297s0538s叫八一片①小-痹35

t=^-=1.4765解畢。例3-14設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-36所示。試設(shè)計(jì)反饋通道傳遞函數(shù)”(s),使系統(tǒng)阻尼比提高到希望的。值，但保持增益K及自然頻率必不變。解由圖得閉環(huán)傳遞函數(shù) H(s)“、 圖瓦遍例3-14控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖52+2^a)ns+a)^+Kco^H(s)在題意要求下，應(yīng)取H(s)=K,s此時(shí)，閉環(huán)特征方程為：$2+(24+KK,(on)%s+或=0令:2J+KK,%=2。，解出，K,=2(。-J)/K%故反饋通道傳遞函數(shù)為：K%解畢。例3-15系統(tǒng)特征方程為56+3055+2054+1053+552+20=0試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解特征式各項(xiàng)系數(shù)均大于零，是保證系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。上述方程中S?次項(xiàng)的系數(shù)為零，故系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定。解畢。例3-16己知系統(tǒng)特征方程式為

54+853+1852+165+5=0試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定情況。解 勞斯表為S*1 18 5§38 16 08x18-1x16 8x5-lxO「 =16 =58 816x16-8x5 ,__ =13.5 0165。13.5x5-16x0「13.5由于特征方程式中所有系數(shù)均為正值，且勞斯行列表左端第一列的所有項(xiàng)均具有正號(hào),滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解畢。例3-17已知系統(tǒng)特征方程為55+54+253+252+35+5=0試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解本例是應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種特殊情況。如果在勞斯行列表中某一行的第一列項(xiàng)等于零，但其余各項(xiàng)不等于零或沒有，這時(shí)可用一個(gè)很小的正數(shù)￡來代替為零的一項(xiàng)，從而可使勞斯行列表繼續(xù)算下去。勞斯行列式為s5123S4125S3￡a0-2S22e+25? —4f—4—5f-s2e+2由勞斯行列表可見，第三行第一列系數(shù)為零，可用一個(gè)很小的正數(shù)￡來代替；第四行第一列系數(shù)為（2e+2/&當(dāng)e趨于零時(shí)為正數(shù)：第五行第一列系數(shù)為（—4￡—4—5J）/（2計(jì)2）,當(dāng)￡趨于零時(shí)為-2。由于第一列變號(hào)兩次，故有兩個(gè)根在右半s平面，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例3-18Li知系統(tǒng)特征方程為S6+2s5+8s4+12s3+20s2+165+16=0試求：（1）在s右半平面的根的個(gè)數(shù)；（2）虛根。解如果勞斯行列表中某一行所有系數(shù)都等于零，則表明在根平面內(nèi)存在對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱的實(shí)根，共甄虛根或（和）共甄復(fù)數(shù)根。此時(shí)，可利用上一行的系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式，并對(duì)輔助多項(xiàng)式求導(dǎo)，將導(dǎo)數(shù)的系數(shù)構(gòu)成新行，以代替全部為零的一行，繼續(xù)計(jì)算勞斯行列表。對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱的根可由輔助方程（令輔助多項(xiàng)式等于零）求得。勞斯行列表為I82016s521216s421216s300由于$3行中各項(xiàng)系數(shù)全為零，于是可利用54行中的系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式，即P（5）=254+1252+16求輔助多項(xiàng)式對(duì)S的導(dǎo)數(shù)，得dPG）c3——=8s3+24ss原勞斯行列表中J行各項(xiàng)，用上述方程式的系數(shù)，即8和24代替。此時(shí)，勞斯行列表變?yōu)門OC\o"1-5"\h\z8 2012 162 12 168 246 162.6716新勞斯行列表中第一列沒有變號(hào)，所以沒有根在右半平面。對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱的根可解輔助方程求得。令254+1252+16=0得到S=±jy[2和S=±J-2解畢。例3-19單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為r、 KG(s)= "~zs(as+l)(bs+cs+1)試求：(1)位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù)；(2)當(dāng)參考輸入為rx1(7),“xl⑺和"2x1⑺時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差.解根據(jù)誤差系數(shù)公式，有位置誤差系數(shù)為KTOC\o"1-5"\h\zK=limG(s)=lim =8pST°ST°s(as+1)(/)5+cs+1)速度誤差系數(shù)為KK.=limsG(s)=lim5 ； =Ksto stos(as+1)(加-+C5+1)加速度誤差系數(shù)為K=lims2G(s)=lim- 2 =0' ios(as+1)(65+cs+1)對(duì)應(yīng)于不同的參考輸入信號(hào)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有所不同。參考輸入為rx1(/),即階躍函數(shù)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為r 〃八ess= = =0賢1+Kp1+8參考輸入為rtx1(/),即斜坡函數(shù)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為rre————

"KvK參考輸入為rt2x1(7),即拋物線函數(shù)輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

例3-20單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為5(1+4)(1+4)輸入信號(hào)為r⑺=A+(ot,/為常量，＜o(jì)=0.5弧度/秒。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解實(shí)際系統(tǒng)的輸入信號(hào)，往往是階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)等典型信號(hào)的組合。此時(shí)，輸入信號(hào)的一般形式可表示為r(t)=rQ+rit+-r2t2系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可應(yīng)用疊加原理求出，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是各部分輸入所引起的誤差的總和。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按下式計(jì)算：e=-^+J殳

"1+勺KvKa對(duì)于本例，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為ACD

1= 1 1+K.Kv本題給定的開環(huán)傳遞函數(shù)中只含一個(gè)積分環(huán)節(jié)，即系統(tǒng)為1型系統(tǒng)，所以Kp=8K=limsG(s)=lims =10v…。 …。s(l+qs)(l+4s)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0)+——0)+——& 1 1+0010解畢。例3-21控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-37所示。假設(shè)輸入信號(hào)為叩)=小(。為任意常數(shù))。證明：通過適當(dāng)?shù)卣{(diào)節(jié)K,的值，該系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差能達(dá)到零。圖3-37圖3-37例3-21控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為C(s)_K(K,s+l)

~R(s)~s(Ts+\)+K即C（5C（5）=K(K,s+l)

Ts2+s+K?RG)因此R(s)-C(s)=Ts?+s-KKR(s)-C(s)=Ts?+s-KK：s

Ts2+s+KRG)當(dāng)輸入信號(hào)為時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為Ts2Ts2+s-KKs=hms -…。 Ts2-vs+Ka..u(Ts+1—KK-)——=lim sst。Ts-+s+K=1加嗎生=1加嗎生3st。Ts+s+KaQ-KK)K耍使系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入的響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，即e,尸0,必須滿足1-KK,=0所以&=1/K解畢。K.例3-22設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G（s）=K〃一二。如果要求系統(tǒng)的位置穩(wěn)Ts+1態(tài)誤差4,=0,單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量/%=4.3%,試問勺、七、T,各參數(shù)之間應(yīng)保持什么關(guān)系？解開環(huán)傳遞函數(shù)KKeKK/Tco2G（s）=pg—pg_w”s（八+1）s（s+J_）s（s+2弧）顯然25 10〃=-y- 2弛=-解得：KpKgT=l/4鏟

由于要求Mp%=產(chǎn)后x100%<4.3%故應(yīng)有。20.707。于是，各參數(shù)之間應(yīng)有如下關(guān)系KpKgT<0.5本例為I型系統(tǒng)，位置穩(wěn)態(tài)誤差ess=0的要求自然滿足。解畢。例3-23設(shè)復(fù)合控制系統(tǒng)如圖3-38所示。其中&=2鳥=1,T2=0.25s,K2K3=1試求r(7)=(l+/+?/2)l(/)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖3-38圖3-38復(fù)合控制系統(tǒng)0(s)=T0(s)=T2s2+s+KtK24(s+0.5)52+4s+2等效單位反饋開環(huán)傳遞函數(shù)微)2(25+1)(j(s)= -= ： 1-0(S)S'表明系統(tǒng)為II型系統(tǒng)，且&=K=2當(dāng)")=(1+f+7/2)1。)時(shí),穩(wěn)態(tài)誤差為%=1/熊=0.5解畢。例3.24已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=K/s(A+l)。試選擇參數(shù)K及T的值以滿足下列指標(biāo):

(1)當(dāng)中)=/時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差『W0.02；(2)當(dāng)中)=1⑺時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)監(jiān)％<30%,fs〈0.3s(△=§%)解 eK=l<0.02開環(huán)增益應(yīng)取K250o現(xiàn)取K=60。因?、KIT就

——s(s+l/7)s(s+2M)故有7=1/2弧，a)^=K!T于是*=2K4取A/p%=0.2%,計(jì)算得(In/%)?12(In/%)?12+(mMp%)2=0.456con=54.72此時(shí)ts=3.5/弧=0.14<0.3(5)滿足指標(biāo)要求。最后得所選參數(shù)為：K=60 7=0.02(s)解畢。例3-25一復(fù)合控制系統(tǒng)如圖3-39所示。圖3-39圖3-39復(fù)合控制圖中：G(s)=&Gz(s)=￡ Gas-+bs1 2s(l+7>) 'l+%sKi、K?、Ti、“均為已知正值。當(dāng)輸入量%)=//2時(shí)，要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，試確定參數(shù)。和6。解系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為CG)=G&伍G,]=G2(G+G,)R(s)~\+GtG2[第-1+G0

誤差為C(s)=G2(G1+G,)誤差為C(s)=G2(G1+G,)i+g,g2R(s)E(s)=R(s)—C(s)=C；黑R(s)代入火(s)=l/s3及GrG]、Gr,得C(s) K2[as2+(b+ +Ki]R(s)—7；7^?+(7；+T2)s2+(l+KtK2T2)s+KxK2閉環(huán)特征方程為TtT2s3+^+72)32+(1+KtK2T2)s+KlK2=0易知，在題設(shè)條件下，不等式(4+4)(1+KiKA)〉成立。由勞斯穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，且與待求參數(shù)a、b無關(guān)。此時(shí)，討論穩(wěn)態(tài)誤差是有意義的。而□、T^s3+(7；+7^-K2a)s2+(1-K2b)s1￡(s)= r 、 = r(4s+3+T2)S2+(l+K,K2T2)s+KlK2s3若Tl+T2-K2a=0l-K2b=0則有TTE(s)= ￡112 TtT2s3+(T]+T2)s2+(\+K]K2T2)s+K}K2系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為=lims￡(s)=0ssstO因此可求出待定參數(shù)為K,解畢。

例3-26控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-40所示。誤差E(s)在輸入端定義。擾動(dòng)輸入是幅值為2的階躍函數(shù)。Ms)R(s)C(s)E(s)圖案40 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖KR(s)C(s)0.05s+1 s+52.5(1)試求K=40時(shí)，系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差。(2)若K=20,其結(jié)果如何？(3)在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/5,對(duì)結(jié)果有何影響？在擾動(dòng)作用點(diǎn)之后的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)1/s,結(jié)果又如何？解在圖中，令Gj=KGj=K

0.05s+1G,=-^―,H=2.5

s+5C(s)=G2N(s)+GiG2E(s)代入E(s)=H(s)-”C(s),得C(s)= - N(s)+—G。_r(s)\+G,G2H\+g}g2h令R(s)=0,得擾動(dòng)作用下的輸出表達(dá)式G(s)=[之口Ms)1+55〃此時(shí)，誤差表達(dá)式為EnG)=&G)-HC，s)=一力口N(s)1+essn=limsE“(s)=-lim——sN(s)ssn2°" ^\+GxG2H而擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出為代入Ms)、G|、G2和，的表達(dá)式，可得c?(oo)=---,<,=——-—

" 1+2.5Kssn1+2.5K(1)當(dāng)K=40時(shí)，c“(oo)=2/101,essn=-5/101(2)當(dāng)K=20時(shí)，c.(oo)=2/51,ejvn=-5/51可見，開環(huán)增益的減小將導(dǎo)致擾動(dòng)作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的增大，且穩(wěn)態(tài)誤差的絕對(duì)值也增大。若1/s加在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前，則K 1G.=——-——，G2=—^―,H=2.55(0.055+1) 5+5不難算得C“(oo)=0,essn=0若1/S加在擾動(dòng)作用點(diǎn)之后，則G.= ，G,= ，H=2.50.05s+1 5(5+5)容易求出_2_[2/100,K=40時(shí)Cn(0°)~2.5/C-[2/50,K=2附5_J-5/100,K=40時(shí)%"一~2.5K—[-5/50,K=20口寸可見，在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道中加入積分環(huán)節(jié)，才可消除階躍擾動(dòng)產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差。解畢。例3-27設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=-—s(s+2g,)已知系統(tǒng)的誤差響應(yīng)為e(Z)=1.4e-l07z-0.4173， (r^o)試求系統(tǒng)的阻尼比々自然振蕩頻率必和穩(wěn)態(tài)誤差e?.解閉環(huán)特征方程為由己知誤差響應(yīng)表達(dá)式，易知,故e(7)=1.4e-'"即，系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)為令 52+241-得 &=一2.代入求出的時(shí)間常數(shù)，得穩(wěn)態(tài)誤差為:2+2，(o"S+ =0輸入必為單位階躍函1(/),且系統(tǒng)為過阻尼二階系統(tǒng)。-Q.4e~"Ti=1.4e-,07/-0.4e-373/0.93 T2=0.272fiy nm 2_i, co-JrjTz TKg=1.2,<y?=2ess=lime(7)=0實(shí)際上，I型系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用卜，其穩(wěn)態(tài)誤差必為零。解畢。第四章例4-1設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)〃G(s)〃(s)=2KS(S+1)(5+2)試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解根據(jù)繪制根軌跡的法則，先確定根軌跡上的一些特殊點(diǎn)，然后繪制其根軌跡圖。（1）系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為0,-1,-2是根軌跡各分支的起點(diǎn)。由于系統(tǒng)沒有有限開環(huán)零點(diǎn)，三條根軌跡分支均趨向于無窮遠(yuǎn)處。（2）系統(tǒng)的根軌跡有〃-膽=3條漸進(jìn)線漸進(jìn)線的傾斜角為（2K+l）;r（2A：+1）x180°（P= = °n-m 3-0取式中的K=0,1,2,得。產(chǎn)萬/3,",5"/3。漸進(jìn)線與實(shí)軸的交點(diǎn)為(0-1-2)3三條漸近線如圖4-13中的虛線所示。（3）實(shí)軸上的根軌跡位于原點(diǎn)與一1點(diǎn)之間以及一2點(diǎn)的左邊，如圖4-13中的粗實(shí)線所示。（4）確定分離點(diǎn)系統(tǒng)的特征方程式為s3+3s2K+2s+2K=02KK=-g(s3+3s2+2s)利用dK/杰=0,則有—=--(?+652+2)=0

ds2解得5,=-0.423和52=-1.577由于在一1到一2之間的實(shí)軸上沒有根軌跡，故S2=-1.577顯然不是所要求的分離點(diǎn)。因此，兩個(gè)極點(diǎn)之間的分離點(diǎn)應(yīng)為si=-0.423。（5）確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)方法一利用勞斯判據(jù)確定勞斯行列表為6-2K

35° 2K由勞斯判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的極限值為3。相應(yīng)于K=3的頻率可由輔助方程3s2+2K=3s2+6=0確定。解之得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為5=土人回。根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的頻率為CD=±5/2=±1.41方法二令S=0y代入特征方程式，可得(J0)3+3(769)2+2(j。)+2K=0即(2K-3/)+/(20-02)=0令上述方程中的實(shí)部和虛部分別等于零，即2K-3/=o,-to1=0所以co=±5/2K=3(6)確定根軌跡各分支上每一點(diǎn)的K值根據(jù)繪制根軌跡的基本法則，當(dāng)從開環(huán)極點(diǎn)0與一1出發(fā)的兩條根軌跡分支向右運(yùn)動(dòng)時(shí),從另一極點(diǎn)一2出發(fā)的根軌跡分支一定向左移動(dòng)。當(dāng)前兩條根軌跡分支和虛軸在K=3處相交時(shí)，可按式%+(0+jl,41)+(0-yl.41)=-3求出后一條根軌跡分支上K=3的點(diǎn)為。、=-3。由(4)知，前兩條根軌跡分支離開實(shí)軸時(shí)的相應(yīng)根值為-0.423±川。因此，后一條根軌跡分支的相應(yīng)點(diǎn)為ax+(-0,423)+(-0,423)=-3所以，%=—2.154o因本系統(tǒng)特征方程式的三個(gè)根之和為一次，利用這一關(guān)系，可確定根軌跡各分支上每一點(diǎn)的K值?，F(xiàn)在已知根軌跡的分離點(diǎn)分別為-0.423±/0和-2.154,該點(diǎn)的K值為-2^=(-0,423)2(-2.154)即,K=0.195。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-1所示。

圖4-1圖4-1例4-1系統(tǒng)的根軌跡例4-2設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)〃(s)=G(s)〃(s)=S(6+3)(52+25+2)試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解(1)系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為0,—3,(—1+力和(一1一力,它們是根軌跡上各分支的起點(diǎn)。共有四條根軌跡分支。有一條根軌跡分支終止在有限開環(huán)零點(diǎn)一2,其它三條根軌跡分支將趨向于無窮遠(yuǎn)處。(2)確定根軌跡的漸近線漸近線的傾斜角為(2K+1)乃 (2K+1)x180°(P= = n-m 3-0取式中的K=0,1,2,得。產(chǎn)萬/3,"，5"/3,或±60°及一180°?三條漸近線如圖4-14中的虛線所示。%漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為%4-1(0-3-1+j-1-y)-(-2) =—14-1(3)實(shí)軸上的根軌跡位于原點(diǎn)與零點(diǎn)一2之間以及極點(diǎn)-3的左邊，如圖4-14中的粗線所示。從復(fù)數(shù)極點(diǎn)(一1士力出發(fā)的兩條根軌跡分支沿±60°漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處。(4)在實(shí)軸上無根軌跡的分離點(diǎn)。(5)確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

系統(tǒng)的特征方程式為s(s+3)(52+2s+2)+3K(s+2)=0即s4+5s3+8/+(6+3K)s+6K=0勞斯行列表s'8 6Ks'40-(6+3K)6+40-(6+3K)6+6+3K-^_34-3K0若陣列中的J行等于零，即(6+3K)-150K/(34-3/C)=0,系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。解之可得K=2.34。相應(yīng)于K=2.34的頻率山輔助方程[40-(6+3x2.34)卜+30x2.34=0確定。解之得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為5=±/1.614。根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的頻率為。=1.614。(6)確定根軌跡的出射角根據(jù)繪制根軌跡的基本法則，自復(fù)數(shù)極點(diǎn)“=(-1+))出發(fā)的根軌跡的出射角為e=18072左+1)+/仇+2)—夕「/仙+3)—/仙+\-j)將由圖4-14中測(cè)得的各向量相角的數(shù)值代入并取A=0,貝IJ得至一26.6°系統(tǒng)的根軌跡如圖4-14所示。

圖4-2圖4-2例4-2系統(tǒng)的根軌跡例4-3已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)"(s)=K(s+0.125)

52(5+5)(5+20)(5+G(s)"(s)=試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解(1)系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為0,0,-5,-20和-50,它們是根軌跡各分支的起點(diǎn)。共有五條根軌跡分支。開環(huán)零點(diǎn)為-0.125,有一條根軌跡分支終止于此，其它四條根軌跡分支將趨向于無窮遠(yuǎn)處。(2)確定根軌跡的漸近線漸進(jìn)線的傾斜角為(2K+1)乃(2K+l)xl80°%= =—r-;—n—m 5-1取式中的K=0,1,2,3得。產(chǎn)±45°和。產(chǎn)±135°。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為=-18.8(0+0=-18.84(3)實(shí)軸上的根軌跡位于-0.125和-5之間以及一20,與一50之間。(4)確定根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)本例中，系統(tǒng)各零點(diǎn)、極點(diǎn)之間相差很大。例如，零點(diǎn)一0.125與極點(diǎn)0之間僅相距0.125,而零點(diǎn)一0.125與極點(diǎn)一50之間卻相差49.875。因此，可作如下簡(jiǎn)化：在繪制原點(diǎn)附近的軌跡曲線時(shí)，略去遠(yuǎn)離原點(diǎn)的極點(diǎn)的影響；在繪制遠(yuǎn)離原點(diǎn)的軌跡曲線時(shí)，略去零點(diǎn)和一個(gè)極點(diǎn)的影響。(A)求原點(diǎn)附近的根軌跡和會(huì)合點(diǎn)略去遠(yuǎn)離原點(diǎn)的極點(diǎn)，傳遞的函數(shù)可簡(jiǎn)化為K(s+0.125)/S2。零點(diǎn)一0.125左邊實(shí)軸是根軌跡，并且一定有會(huì)合點(diǎn)。原點(diǎn)處有二重極點(diǎn)，其分離角為±90°。確定會(huì)合點(diǎn)的位置。此時(shí)，系統(tǒng)的特征方程式為s'+Ks+0.125K=0

K=-s+0.1K=-利用dK//=O,則有dK_25(5+0.125)-52_0~ds~(s+0.125)2解之可得51=0.25,即會(huì)合點(diǎn)；S2=0,即重極點(diǎn)的分離點(diǎn)。(B)求遠(yuǎn)離原點(diǎn)的根軌跡和分離角略去原點(diǎn)附近的開環(huán)偶極子(零點(diǎn)一0.125和極點(diǎn)0),傳遞函數(shù)可簡(jiǎn)化為GH(s)=K/s(s+5)(5+20)(5+50)此時(shí)，系統(tǒng)的特征方程式為s(s+5)(5+20)(5+50)+K=0或表示為K= 5(54-5)(54-20)(5+50)利用=則有dK_4s3+225s2+2700s+5000_0ds~[s(s+5)(s+20)(s+50)y解之可得Si=-2.26和S2=—40.3o分離點(diǎn)的分離角為±90。。注意，在零點(diǎn)一0.125和極點(diǎn)-5之間的根軌跡上有一對(duì)分離點(diǎn)(一2.26,川)和(一2.5,j0))?(5)確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)令s=_/7y代入特征方程式，可得+5)(/0+20)0a+50)4-K(j(o+0.125)=0整理后有 一75。2+50000=04y4-1350?w2+^=0解之得 。=±8.16,K=8.65x104系統(tǒng)的根軌跡如圖4-3所示圖4-3例4-3系統(tǒng)的根軌跡例4-4,設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-所示-si's+21圖4-4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖試證明系統(tǒng)根軌跡的一部分是圓；解系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為0和一2,開環(huán)零點(diǎn)為一3。由根軌跡的幅角條件Z/(s+Zj)-n￡/(s+Pj)=(2K+l)產(chǎn)

i=l j=l得Z(s+3)—Ns-Z(s+2)=(2k+1)萬s為復(fù)數(shù)。將s=b+j3代入上式，則有Z(<t+jco+3)-Z(cr+ja>)-Z((t+jco+2)=(2K+1)萬CO CD .so，_|CDtan tan—=180°+tan1 tancr+3 cr a+2取上述方程兩端的正切,并利用下列關(guān)系取上述方程兩端的正切,并利用下列關(guān)系tanx±tanytan(x±y)=- 1+tanxtanycocoTOC\o"1-5"\h\zcr+3b= -3a)GCD<T(<T4-3)+6921H (74-3(TCOcr+2/ \COcr+2tan180°+tan-1① = a+2I b+2)i_ox上-3。 _CD(7(cr+3)+4y2cr+29+3)2+加=(揚(yáng)2這是一個(gè)圓的方程，圓心位于（一3,川）處，而半徑等于Q（注意，圓心位于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)上）。證畢。例4-15已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)〃(s)=K(s+1)

s(s-1)(52G(s)〃(s)=試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡,并確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K值的范圍.解（1）系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為0,1和一2±/3.46,開環(huán)零點(diǎn)為一1。（2）確定根軌跡的漸近線漸漸線的傾斜角為

(2K+1)乃(2K+l)xl80。(o= = TOC\o"1-5"\h\zn-m 4-1取式中的K=0,1,2,得6ybB,n,5萬/3。漸進(jìn)線與實(shí)軸的交點(diǎn)為1隆e](0+1-2+/3.46-2-/3.46)-(-1) 2%= 工P「工Z,= =-T7iJ 3 3(3)實(shí)軸上的根軌跡位于1和。之間以及一1與一8之間。(4)確定根軌跡的分離點(diǎn)系統(tǒng)的特征方程式為5(5-1)(52+4s+16)+K(s+1)=0即5(5-1)(52+45+16)K= 5+1利用派74=0,則有dK_3s4+10s、2卜2+24s-16ds （5+1）2解之可得，分離點(diǎn)4=0.46和心=-2.22。(5)確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)系統(tǒng)的特征方程式為54+3s3+12s2+(K-16)s+K=01 1 12 K3 K-1652-Ks3K?+59K-832150K

52-K若陣列中的J行全等于零，即一片+59K-832150Kn

=()52-K系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。解之可得K=35.7和K=23.3。對(duì)應(yīng)于K值的頻率由輔助方程確定。當(dāng)K=35.7時(shí)，s=±/2.56；當(dāng)K=23.3時(shí)，s=±/1.56.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)處的頻率為。=±2.56和w=±1.56o(6)確定根軌跡的出射角(自復(fù)數(shù)極點(diǎn)一2±/3.46出發(fā)的出射角)根據(jù)繪制根軌跡基本法則，有106°-120°-130.5°一90°-6=±(2K+1)x180°因此，開環(huán)極點(diǎn)一2±/3.46的出射角為％.2=±54.5°。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-17所示。由圖4-17可見，當(dāng)23.3<K<35.7時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例4-6已知控制系統(tǒng)如圖4-18所示（0.5s+1）(1)試根據(jù)系統(tǒng)的根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(2)估算％=16.3%時(shí)的K值。(1)系統(tǒng)有四個(gè)開環(huán)重極點(diǎn)：pi=p2=P3=P4=。。沒有零點(diǎn)。實(shí)軸上除一2一點(diǎn)外，沒有根軌跡段。根軌跡有四條漸進(jìn)線，與實(shí)軸的交點(diǎn)及夾角分別為下面證明根軌跡和漸近線是完全重合的。將根軌跡上任一點(diǎn)msi代入幅角方程，有4Z（5,+2）=（2K+1）萬N（S+2）=二（2K+1）乃和漸近線方位角仁的表達(dá)式比較，兩者相等，于是有NG+2）=心由于打的任意性，因此根軌跡和漸近線完全重合。系統(tǒng)的根軌跡如圖4-7所示。圖4-7圖4-7例4-6系統(tǒng)的根軌跡圖知，隨著Kg的增加，有兩條根軌跡將與虛軸分別交于_/2和一/2處。將sm2代入幅值方程有l(wèi)(s+2)41解得開環(huán)根增益：標(biāo)=64,開環(huán)增益：K『=KJ16=4.即當(dāng)K=4時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)虛根土/2,系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定的狀態(tài)。當(dāng)K>4時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)將出現(xiàn)一對(duì)實(shí)部為正的復(fù)數(shù)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以，使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍為0<K<4。(2)由超調(diào)量的計(jì)算公式及指標(biāo)要求，有Mp%=e^=16.3%解得,4=0.5即，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的阻尼角為P=cos-1J=cos-10.5=60°。在s平面上做等阻尼線的,使之與負(fù)實(shí)軸夾角為￡=±60°。刃與根軌跡相交于打點(diǎn)，容易求得，S|=-0.73t/1.27,代入幅值方程，有K*=1(-0.73+jl.27+2)41=10.41K=10.41/16=0.65注意：本題應(yīng)用二階欠阻尼系統(tǒng)的超調(diào)量和阻尼比關(guān)系式估算四階系統(tǒng)的性能指標(biāo)，實(shí)際上是利用了閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念。不難驗(yàn)證，本系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)的分布滿足主導(dǎo)極點(diǎn)的分布要求?？梢哉J(rèn)為SI、S2是主導(dǎo)極點(diǎn)，忽略S3、S4的作用，從而將一個(gè)復(fù)雜的四階系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)，大大簡(jiǎn)化了問題的處理過程。例4-7試用根軌跡法確定下列代數(shù)方程的根￡>(5)=54+453+452+65+8=0解當(dāng)代數(shù)方程的次數(shù)較高時(shí)，求根比較困難，即使利用試探法，也存在一個(gè)選擇初始試探點(diǎn)的問題。用根軌跡法可確定根的分布情況，從而對(duì)初始試探點(diǎn)作出合理的選擇。把待求代數(shù)方程視為某系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式，作等效變換得K(s2+6s+8)H————^=0S+45+35K/1時(shí)，即為原代數(shù)方程式。等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)〃(s)=Kg(s+2)(s+4)

$2(s+G(s)〃(s)=因?yàn)樯祝?,先做出常規(guī)根軌跡。系統(tǒng)開環(huán)有限零點(diǎn)Zi=-2,Z2=-4;開環(huán)有限極點(diǎn)為Pl=P2=0,P3=—1，P3=-3。實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為［-4,-3］,［-2,T］。根軌跡有兩條漸近線，且。產(chǎn)1,0產(chǎn)±90°。作等效系統(tǒng)的根軌跡如圖4-8所示。圖知，待求代數(shù)方程根的初始試探點(diǎn)可在實(shí)軸區(qū)間［-4,一3］和［—2,—I］內(nèi)選擇。確定了實(shí)根以后，運(yùn)用長(zhǎng)除法可確定其余根。初選si=-1.45,檢查模值K」邑3+3)區(qū)+1)1=］0461(5,+2)(5,+4)1由于勺＞1故應(yīng)增大S”選SI=-1.442,得燈1.003。初選$2=—3.08,檢查模值得勺=1.589,由于勺＞1,故應(yīng)增大S2，選$2=—3.06,得X＞1.162。經(jīng)幾次試探后，得K10.991時(shí)52=-3.052o圖4-8例4-7系統(tǒng)的根軌跡設(shè) O(s)=(s+1.442)(s+圖4-8例4-7系統(tǒng)的根軌跡運(yùn)用多項(xiàng)式的長(zhǎng)除法得B(s)=s2-0.494+1.819解得S3.4=0257±/l.326。解畢。G(s)〃(s)=s(sG(s)〃(s)=s(s+4)(52+4s+20)試概略繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解按照基本法則依次確定根軌跡的參數(shù)：(1)系統(tǒng)無開環(huán)有限零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)有四個(gè)，分別為0,-4,和一2±/4。(2)軸上的根軌跡區(qū)間為［-4,0］o(3)根軌跡的漸近線有四條，與實(shí)軸的交點(diǎn)及夾角分別為oa=-2；九=士45°,±135°(4)復(fù)數(shù)開環(huán)極點(diǎn)03.4=-2±/4處，根軌跡的起始角為％3.4=±90°1111(5)確定根軌跡的分離點(diǎn)。山分離點(diǎn)方程1111二0 1 1 1二0dd+4d+2+j4d+2—y4解得d]=—2,*3=—2±j-Jb因?yàn)?=—2時(shí)，Kg=64>0d2i=-2±7V6時(shí)，Kg=100>0所以，八4、質(zhì)皆為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。(6)確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D(s)=s4+853+3652+80s+Kg=0列寫勞斯表如下TOC\o"1-5"\h\zs4 1 36 "s3 8 8052 26 K,, 80x26-8K。s -26s0/當(dāng)K/260時(shí)，勞斯表出現(xiàn)全零行。求解輔助方程F(s)=26s2+K=0得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為s=±；V10。概略繪制系統(tǒng)根軌跡如圖4-21所示。

圖4-9例4-8系統(tǒng)的根軌跡第五章例5-1已知一控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5-61所示,當(dāng)輸入O=2sinf時(shí),測(cè)得輸出c(0=4sin(Z-45°),試確定系統(tǒng)的參數(shù)J，金。圖燦系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為20G)=———丁 5s+2Ms+con系統(tǒng)幅頻特性為2M(/⑼1/.J(叱--2-+4/.2相頻特性為.、 2Mg(p{co)=-arctan -0；一0一由題設(shè)條件知c(t)=4sin(t-45°)=241)sin(，+dl))即

4D=4D=八、 2。①9⑴=-arctan- 769=1G)n-G)69=12勒”=一arctan=〃=—45。

%T整理得=4[(叱-I)2+4十冠]2M=叱T解得 ①n=1.244 4=0.22例5-21系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為s2(T1S+1)(As+1)試?yán)L制系統(tǒng)概略幅相特性曲線。解(1)組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)為兩個(gè)積分環(huán)節(jié)、兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)。(2)確定起點(diǎn)和終點(diǎn)c.、-k(l-T}T2a)~)+jk(Tt+T2)a)G{j(d)= ?「， -g)2{\+T^g)2)(\+T^cd2)limRJG(Jty)]=-oo

>0lim/m[G(y?y)]=cootO由于凡［G(/3)］趨于—的速度快，故初始相角為T80。。終點(diǎn)為lim|G(y7w)|=03foelimNG(jco)=-360°口一>8

(3)求幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)由G(%>)的表達(dá)式知，。為有限值時(shí)，44G(/a)]>0,故幅相曲線與負(fù)實(shí)軸無交點(diǎn)。(4)組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)都為最小相位環(huán)節(jié)，并且無零點(diǎn)，故0(。)單調(diào)地從-180。遞減至-360%作系統(tǒng)的概略幅相特性曲線如圖5-62所示。例5-22已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)=10(52-25+5)(5+2)(5-0.5)G(s)=試?yán)L制系統(tǒng)的概略幅相特性曲線。解(D傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解G(s)=50(；G(s)=50(；s?-2卡(寶)+1)(-+1)(--+1)2 0.5(2)計(jì)算起點(diǎn)和終點(diǎn)=-50>0

lim|G(y7y)|=10相角變化范圍不穩(wěn)定比例環(huán)節(jié)-50：-180°?-180°慣性環(huán)節(jié)l/(0.2s+l)：0。?-90。不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)l/(-2s+l)：0°~+90°不穩(wěn)定二階微分環(huán)節(jié)0.2s2-0.4s+1：0。?-180。(3)計(jì)算與實(shí)軸的交點(diǎn)G()。)=10(5_6)2_2/0G()。)=(<y2+1)2+(1.5(y)210[—(5—co~)((y~+1)+ +j6o(—5.5+3.5ty-)](co2+1)2+(1.5tw)2令//G(/砌=0,得0r=J5.5/3.5=1.254RelGfjcn,)]=-4.037(4)確定變化趨勢(shì)根據(jù)G(/<y)的表達(dá)式，當(dāng)<y<tWv時(shí)，Im[G(ja))]<0：當(dāng)>(ox時(shí),lm[G(J(o)]>0。作系統(tǒng)概略幅相曲線如圖5-63所示。圖5-63系統(tǒng)概略幅相曲線圖5-63系統(tǒng)概略幅相曲線例5.23系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為s(T]S+l)("s+l)試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解(1)繪制系統(tǒng)的開環(huán)概略幅相曲線①組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)為一個(gè)積分環(huán)節(jié)、兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)。②確定起點(diǎn)和終點(diǎn)=-ND+J?)①-jNQ_①JC0~ 0(1+片02)(1+萬02)- =—N(7]+5)co->0lim =-coCD—>0limG()⑼=0(OSlim/G(jco)=-270°CO—>CO③求幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)

令//G0,劭］=0,得%=1/J——凡如—江?x（+心④組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)都為最小相位環(huán)節(jié)，并且無零點(diǎn)，故在0）單調(diào)地從-90。遞減至-270°o作系統(tǒng)的概略幅相特性曲線如圖5-64所示。（2）用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性由于組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié)為最小相位環(huán)節(jié)，q=0；且為1型系統(tǒng)，故從0處補(bǔ)作輔助線,如圖5-64虛線所示。當(dāng)一然一時(shí)，即心等，幅相特性曲線+12/4不包圍（-1,加）點(diǎn)，n=0=q/2,所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)一等一時(shí)，即心等，幅相特性曲線順/]+12 ]也時(shí)針包圍（—1，川）點(diǎn)1圈，〃=1wq/2=0,所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例5-24單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=asG(s)=as+1試確定使相位裕度7=45。的。值。? J(a(or)2+1解 L(a))=201g^―——=0仁4 2 2 ?(dc—aa)c+1/=180°+arctan(-180°=45°aa)c=1聯(lián)立求解得coc=y/2 a—\!\[2=0.84例5?25最小相位系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性如圖5-65所示，請(qǐng)確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖燦 例525圖解 由圖知在低頻段漸近線斜率為o,故系統(tǒng)為o型系統(tǒng)。漸近特性為分段線性函數(shù),在各交接頻率處，漸近特性斜率發(fā)生變化。在0=0.1處，斜率從0dB/dec變?yōu)?0dB/dec,屬于一階微分環(huán)節(jié)。在。=a>\處，斜率從20dB/dec變?yōu)?dB/dec,屬于慣性環(huán)節(jié)。在0=社處，斜率仄。dB/dec變?yōu)?20dB/dec,屬于慣性環(huán)節(jié)。在0=例處，斜率以-20dB/dec變?yōu)門OdB/dec,屬于慣性環(huán)節(jié)。在0=他處，斜率仄-40dB/dec變?yōu)?6。dB/dec,屬于慣性環(huán)節(jié)。因此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有下述形式r、 K(s/0.1+l)G(s)= (s/tVf+l)(s/(?2+l)(s/<?3+l)(s/%+1)式中K,a)\,g,g，Q待定。由201gA：=30得K=31.62。40-30確定助： 20= 一所以劭=0.316Ig^-lgO.l-5+0一確定念：-60= 所以帆=82.541g100-lg5-20確定g：-40= 所以g=34.81]g%Tg03

70-40確定q4：-20= 所以694=3.481lg?3-lg<w2于是，所求的傳遞函數(shù)為?、 31.62(5/0.1+1)(j(s)= (5/0.316+l)(s/3.481+l)(s/34.81+l)(s/82.54+1)例5-26某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-66所示。要求：(1)寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)；(2)利用相位裕度判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性；(3)將其對(duì)數(shù)幅頻特性向右平移十倍頻程，試討論對(duì)系統(tǒng)性能的影響。上⑷)J上⑷)J-20解(1)由系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線可知，系統(tǒng)存在兩個(gè)交接頻率0.1和20,故G(s)= s(5/0.I+1)(s/20+1)且 201g—=010得 k=10所以 G(s)= 5(5/0.14-1)(5/20+1)(2)系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為L(zhǎng)(co)=<10-L(co)=<10-012%菽

愴他g

2020120120<<-20>-從而解得 (oc-1系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性為/、ccc ① (0叭s)--90-arctan arctan—0.1 20吹")=-177.15。

片180。+ar)=2.85。故系統(tǒng)穩(wěn)定。(3)將系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性向右平移十倍頻程，可得系統(tǒng)新的開環(huán)傳遞函數(shù)c/、 1000Cj|(s)=S(5+l)(—+1)200其截止頻率coc\=10fyc=10而6(0”)=-90-arctancdcX-arctan—=-177.15

1cl cl200力=180。+(p\(a)c\)=2.85°Xi=r系統(tǒng)的穩(wěn)定性不變。由時(shí)域估計(jì)指標(biāo)公式4=k7vlcoc得 ts\=0.1/5即調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)加快。由Mp=0.16+0.4(-^—-1)

sin/得 Mpi=Mp即系統(tǒng)超調(diào)量不變。例5-27單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性分段直線如圖5-67所示。若要求系統(tǒng)具有30。的相位裕度，試計(jì)算開環(huán)放大倍數(shù)應(yīng)增大的倍數(shù)。解由閉環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線可得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為因此系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)= 6.25 6.25s(s+2.825)(s+4.425)0.52.825+1)(0.52.825+1)(4.425其對(duì)數(shù)相頻特性為夕(。)=-90°-夕(。)=-90°-arctanCD CO arctan 2.8254.425若要求。助）=-150。,可得劭=2.015系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線為L(zhǎng)((d)=<201g—CD1.4125,201g———kco”》6.25z20co'L((d)=<201g—CD1.4125,201g———kco”》6.25z20co'co<2.8252.825<co<4.425co>4.425要使系統(tǒng)具有30。相角穩(wěn)定裕度，幼應(yīng)為截止頻率,則故系統(tǒng)開環(huán)放大倍數(shù)應(yīng)增大4.03倍。例5?28系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為ka—4.03G(s)=1()s(-0.2s~—0.8s+1)試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解將傳遞函數(shù)按典型環(huán)節(jié)分解G(s)=-10s(0.2s+1)(—5+1)_. -10[0.86?—/(I+0.269")]G(jty)= r —0(1+.2)(1+0.04^2)幅相曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)limG(/?y)=ooZ-270°<w->0limG(y7y)=0Z-270°tw—>oolim/?JG(jTy)]=-8ft>—>o當(dāng)。為有限值時(shí)，*0,幅相曲線與負(fù)實(shí)軸無交點(diǎn)。由于慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)r=0.2,小于不穩(wěn)定性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)72=1，故9（。）呈現(xiàn)先增大后減小的變化。作系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如圖5-68所示。由于丫=1,故需從幅相曲線上。=0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)起，逆時(shí)針補(bǔ)畫半徑為無窮大的力2圓弧。由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)知，s右半平面系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)p=l,而幅相曲線起于負(fù)實(shí)軸，且當(dāng)。增大時(shí)間上離開負(fù)實(shí)軸，故為半次負(fù)穿越，N=-1/2。于是s右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)

z=p-2N=2表明系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。例5-29系統(tǒng)開環(huán)頻率特性分別為如圖5-69的(。)和S)所示,試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖5-69圖5-69解 (a)圖給出的是oe(-8,0)的幅相曲線，而+8)的幅相曲線與題給曲線稱于實(shí)軸，如圖5-70所示。因?yàn)椤?1,故從?=0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)起逆時(shí)針補(bǔ)作力2,半徑為無窮圖5-70圖5-690)系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線大的圓弧。在(-1,川)點(diǎn)左側(cè)，幅相曲線逆時(shí)圖5-70圖5-690)系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線N=N+-N_=0因此，s右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)z-p-2N=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(6)因?yàn)檠?2,故如圖彷)中虛線所示在對(duì)數(shù)相頻特性的低頻段曲線上補(bǔ)作2.90。的垂線。當(dāng)。時(shí)，有￡(<y)>0，且在此頻率范圍內(nèi)，以劭穿越-180。線一次，且為由上向下穿越,因此N+=0，N-=lN=N+-N_=-1于是算得右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)為z=p-2N=2系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。例5-30已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)100(5+1)G(s)= 2 價(jià)+喘+D臉+D試求系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。解由題給傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)的交接頻率依次為1,2,10,20。低頻段漸近線斜率為-20,且過(1,404)點(diǎn)。系統(tǒng)相頻特性按下式計(jì)算,、a 3 Ct) CO(p(co)=-90°+arctan arctan。-arctan arctan—2 10 20作系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性于圖5-71。圖5-71 系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性由對(duì)數(shù)幅頻漸近特性40)=1求得r的近似值為100.絲A(a)c)=- %_=1"1CD-CO---\

cC100=21.5再用試探法求久%)=-180。時(shí)的相角穿越頻率外，得a)g=13.1系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度分別為/z=201g--^-=-9.3(^)

G。?)y=18O°+e(0g)=—24.8。例5-31對(duì)于高階系統(tǒng)，若要求時(shí)域指標(biāo)為Mp%=18%,4=0.05⑸，試將其轉(zhuǎn)換成頻域指標(biāo)。解根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式=0.16+0.4(——―1)TOC\o"1-5"\h\z〃 sin/k兀4=一411 9Jl=2+1.5(- 1)+2.5(- 1)2sin/ siny代入題給的時(shí)域指標(biāo)得--=工(％-0/6)+1=1.5sin/0.47=41.8O

)1=3.375a)c=--=2\2.\[radIs)所求頻域指標(biāo)為7=41.8。，恁=212.1(“心)。例5-32已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)s(s+1)(1+1)4試判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解開環(huán)系統(tǒng)有虛極點(diǎn)s=墳。limG(jco)=ooZ-90°ro->0limG(y7y)=0Z-360°limG(y?y)=ooZ-153.4°?-?2*limG(y<y)=ooZ-333.4°。一>2+系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如圖5-72所示。由于丫=1,從幅相曲線上對(duì)應(yīng)。=0的點(diǎn)起逆時(shí)針補(bǔ)作90。且半徑為無窮大的虛圓弧。因?yàn)榇嬖谝粚?duì)虛極點(diǎn)s=±J2,故從。=2一的對(duì)應(yīng)點(diǎn)起，順時(shí)針補(bǔ)作180。且半徑為無窮大的虛圓弧。作虛圓弧如圖5-72所示。因?yàn)閜=0,由開環(huán)幅相曲線知N=-l,s右半平面閉環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)z-p-2N=2閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第六章例6-1設(shè)火炮指揮系統(tǒng)如圖6-1所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)= 5(0.25+1)(0.55+1)系統(tǒng)最大輸出速度為2?比,輸出位置的容許誤差小于2。。(1)確定滿足上述指標(biāo)的最小左值，計(jì)算該左值下的相位裕度和幅值裕度。(1)可.二查野輸性度4$ 容許的位置誤差2-3600/60N(1)可.二查野輸性度4$ 容許的位置誤差2-3600/60N =62°圖6.26例6-8系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖G(s)=5(0.25+1)(0.55+1)201gCD<2L(a))=<20IgCD201gCD<2L(a))=<20IgCD62<69<5201gco-0.569-0.269a)>5令￡(o)=0,可得@=3.57=180°-90°-arctan(0.2fyr)-arctan(0.5^c)=-4.9°<0°所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2)串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡(luò)G°(s)=(l+0.45)/(l+0.08.v)G(s)=1+0.45G(s)=co<3s(0.2s+l)(0.5s+l)1+0.085co<3201g—

co201g￡(◎)=<201gCD?0.5696-0.4o>2<a)<2.520Ig201g￡(◎)=<201gCD?0.5696-0.4o>2<a)<2.520Igco?0.5/6?0.4692.5<(o<5201gCO-0.569?0.2696-0.4695<co<12.5o0.2e0.530.08。co>12.5令乙(④)=0,可得喙=4.8/=180°-90°-arctan(0.4tyt.)-arctan(0.26yc)-arctan(0.5tyc)一arctanCO.0869^)=20.2°>0°可見串入超前校正網(wǎng)絡(luò)后，/增大，系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定。例6?9設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=G(s)=s(s+l)(0.01s+l)單位斜坡輸入輸入產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差eV0.0625。若使校正后相位裕度產(chǎn)不低于45。，截止頻率R*>2(rad/s),試設(shè)計(jì)校正系統(tǒng)。c=—W0.0625

kk>\6201gc=—W0.0625

kk>\6201g—COA(?)=j201g—CD<1l<6y<10020Igco-co6COCO-0.0269co>100令L(@)=0,可得coc=4y=180°-90°-arctano)c-arctan(0.0l<yf)=12°<45°不滿足性能要求，需加以校正。系統(tǒng)中頻段以斜率-4(WB/yec穿越QdB線，故選用超前網(wǎng)絡(luò)校正。設(shè)超前網(wǎng)絡(luò)相角為仙，則<Pm+/-(5~12°)>/*(pm>/*-/+(5~12°)>450-120+10°=4301+sin外(X— —-J1-sin/,中頻段 +lOlga=0所以 <=5.9驗(yàn)算 y"=180°+^m+<p((o")=180。+43°-90°-arctan式-arctan(0.01ty；)=48°>45°=1/(7石) 7=1/("而)=0.076所以超前校正網(wǎng)絡(luò)后開環(huán)傳遞函數(shù)為?、 16 1+0.38sG(s)= 5(5+1)(0.015+1)1+0.0765例6/0為滿足要求的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，一單位反饋伺服系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為?、 200G(5)= 5(0.15+1)試設(shè)計(jì)一個(gè)無源校正網(wǎng)絡(luò)，使已校正系統(tǒng)的相位裕度不小于45。，截止頻率不低于50。解201g—co2201g—co2。愴3_ty-0.1(o69>10(dc=44.7/=180°-90°-arctan(0.1<yf)=12.6°</*不滿足性能指標(biāo)要求，需串聯(lián)一超前校正網(wǎng)絡(luò)。(1)求夕懈：(pm>/*-/+(5-12°)>45°-12.6°+10°=42.4°(2)求a： a=3必=5￡?)=￡(<?；)+101ga=0(oj=67驗(yàn)算 y"=180。+夕腳+(PM)=180°+42.4°-90°-arctan(O.l^)=50.8°>45°>/* a)：>S*=1/(7而)T=1/(0；石)=0.067故校正網(wǎng)絡(luò)_/、 1+0.03sGc(s)=——--1+0.0675G”⑶- 40(1+0.03s)5(0.k+1)(1+0.067s)例6-11設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)= 5(5+1)(0.25+1)試設(shè)計(jì)串聯(lián)校正裝置，滿足臃=8(3的)，相位裕度尸=40。。解 &,=8 v=lk=8“I8 CD<1201g—coQ￡(o)=<201g \<co<5coco201g——-——coco-0.2co co>5令L(o)=0，可得(oc=2.8/=180°-90°-arctan@-arctan(0.2eyc)=-9.5°<40°不滿足性能要求，需加以校正。選用遲后網(wǎng)絡(luò)校正。令 =/*+6°=46°得 一90°-arctanco：-arctan(0.24)=46°arctanco[+arctan(0.2/1)=44°所以 @“=0.72根據(jù) 201g/>+￡?)=0得b=0.09再由-^―=0.10；bT c得r=154.3故選用的串聯(lián)遲后校正網(wǎng)絡(luò)為

G0(s)=\+bTsG0(s)=\+bTs