北師大版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第一章勾股定理課件

第一章勾股定理1探索勾股定理課時(shí)1認(rèn)識(shí)勾股定理

第一章勾股定理1目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標(biāo)2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)目CONTENTS1學(xué)習(xí)目標(biāo)2新課導(dǎo)入32學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索、驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程，了解勾股定理的各種探索方法及內(nèi)在聯(lián)系.（重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索、驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程，了解勾股定理的各種3新課導(dǎo)入相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來(lái)觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？新課導(dǎo)入相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去4新課講解

知識(shí)點(diǎn)1勾股定理

我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.圖1稱為“弦圖”，最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時(shí)給出的.

弦股勾圖1新課講解知識(shí)點(diǎn)1勾股定理我5新課講解定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2＋b2＝c2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，則a2＋b2＝c2.定義新課講解定義：定義6新課講解例

1

解：由題意易知，AC2＋BC2＝AB2，

所以AC2＝AB2－BC2＝102－82＝36.

所以AC＝6cm.典例分析

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，求AC的長(zhǎng)．新課講解例1解：由題意易知，AC2＋BC2＝AB2，7課堂小結(jié)勾股定理直角三角形三邊關(guān)系數(shù)學(xué)表達(dá)式a2＋b2＝c2課堂小結(jié)勾股定理直角三角形三邊關(guān)系數(shù)學(xué)表達(dá)式a2＋b2＝c28C當(dāng)堂小練1.若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的是(

)A．b2＝c2－a2B．a(chǎn)2＝c2－b2C．b2＝a2－c2D．c2＝a2＋b2C當(dāng)堂小練1.若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜9當(dāng)堂小練2.如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B都是格點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為(

)A．5B．6C．7D．25A當(dāng)堂小練2.如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中10拓展與延伸1.勾股定理的適用條件：直角三角形；它反映了直角

三角形三邊關(guān)系．2．由勾股定理的基本關(guān)系式：a2＋b2＝c2可得到一些

變形關(guān)系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2

＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．拓展與延伸1.勾股定理的適用條件：直角三角形；它反映了11第一章勾股定理1探索勾股定理課時(shí)2驗(yàn)證并應(yīng)用勾股定理

第一章勾股定理12目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標(biāo)2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)目CONTENTS1學(xué)習(xí)目標(biāo)2新課導(dǎo)入313學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握勾股定理，并能用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題.（重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握勾股定理，并能用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題.14新課導(dǎo)入上一節(jié)課，我們通過(guò)測(cè)量和數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了勾股定理.在下圖中，分別以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，你能利用這個(gè)圖說(shuō)明勾股定理的正確性嗎？你是如何做的？與同伴進(jìn)行交流.新課導(dǎo)入上一節(jié)課，我們通過(guò)測(cè)量和數(shù)格子的方法15新課講解

知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的驗(yàn)證

做一做為了計(jì)算圖1中大正方形的面積，小明對(duì)這個(gè)大正方形適當(dāng)割補(bǔ)后得到圖2、圖3.圖1圖2圖3新課講解知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的驗(yàn)證做一做為了16新課講解1.將所有三角形和正方形的面積用a,b,c的關(guān)系式表示出來(lái)；2.圖2、圖3中正方形ABCD的面積分別是多少？你們有哪些表示方式？與同伴進(jìn)行交流.3.你能分別利用圖2、圖3驗(yàn)證勾股定理嗎？

議一議新課講解1.將所有三角形和正方形的面積用a,b,c的關(guān)系式表17常用方法：通過(guò)拼圖法利用求面積來(lái)驗(yàn)證．這種

方法是以數(shù)形轉(zhuǎn)換為指導(dǎo)思想，圖形拼補(bǔ)為手段，

以各部分面積之間的關(guān)系為依據(jù)而達(dá)到目的的．

新課講解

結(jié)論常用方法：通過(guò)拼圖法利用求面積來(lái)驗(yàn)證．這種新課講解結(jié)論182．用拼圖法驗(yàn)證勾股定理的思路：(1)圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)、拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空

隙，面積不會(huì)改變；(2)根據(jù)同一種圖形的面積的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性質(zhì)驗(yàn)證結(jié)論成立，即拼出圖形→寫出

圖形面積的表達(dá)式→找出等量關(guān)系→恒等變形→

推導(dǎo)結(jié)論．新課講解2．用拼圖法驗(yàn)證勾股定理的思路：新課講解19新課講解例

1

典例分析

如圖是用硬紙板做成的四個(gè)兩直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c的全等的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能說(shuō)明勾股定理正確性的圖形．

(1)畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖；(2)說(shuō)明勾股定理的正確性．

新課講解例1典例分析如圖是用硬紙板做成的四個(gè)兩20

新課講解分析：可以以邊長(zhǎng)為c的正方形為基礎(chǔ)，一在形外補(bǔ)拼(不

重疊)成新的正方形；二在形內(nèi)疊合成新的正方形．解：方法一(補(bǔ)拼法)：(1)如圖.(2)因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e可以表示為(a＋b)2，

也可以表示為c2＋4×ab，所以(a＋b)2＝c2＋4×ab，a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab.

新課講解分析：可以以邊長(zhǎng)為c的正方形為基礎(chǔ)，一在形外補(bǔ)拼(21新課講解所以a2＋b2＝c2，

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．方法二(疊合法)：(1)如圖.(2)因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e可以表示為c2，

也可以表示為ab×4＋(b－a)2，

所以c2＝ab×4＋(b－a)2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2.所以a2＋b2＝c2，

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．新課講解所以a2＋b2＝c2，22新課講解

知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的應(yīng)用

勾股定理的應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求其第三邊長(zhǎng)（2）已知直角三角形的一邊，確定其另兩邊長(zhǎng)之間的關(guān)系（3）證明含有平方關(guān)系的幾何關(guān)系（4）解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題新課講解知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的應(yīng)用勾股定理23新課講解例

2

典例分析我方偵察員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾馳.他趕緊拿出紅外測(cè)距儀，測(cè)得汽車與他相距400m，10s后，汽車與他相距500m,你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎？分析：根據(jù)題意，可以畫出右圖，其中點(diǎn)A表示小王所在位置，點(diǎn)C、點(diǎn)B表示兩個(gè)時(shí)刻敵方汽車的位置.新課講解例2典例分析我方偵察員小王在距離東西向公路24由于小王距離公路400m，因此∠C是直角，這樣就可以由勾股定理來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題了.解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，

也就是5002=BC2+4002,

所以BC=300.敵方汽車10s行駛了300m，

那么它1h行駛的距離為300×6×60=108000（m）,

即它行駛的速度為108km/h.新課講解由于小王距離公路400m，因此∠C是直角，這樣就可以由勾解25課堂小結(jié)勾股定理驗(yàn)證應(yīng)用課堂小結(jié)勾股定理驗(yàn)證應(yīng)用26當(dāng)堂小練1.用四個(gè)邊長(zhǎng)均為a，b，c的直角三角板，拼成如

圖所示的圖形，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．c2＝a2＋b2B．c2＝a2＋2ab＋b2C．c2＝a2－2ab＋b2D．c2＝(a＋b)2A當(dāng)堂小練1.用四個(gè)邊長(zhǎng)均為a，b，c的直角三角板，拼成如圖27當(dāng)堂小練2.兩棵樹之間的距離為8m，兩棵樹的高度分別是8m，2m，一只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂，這只小鳥至少要飛多少米？分析：先根據(jù)題意畫出圖形，然后添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理求解．當(dāng)堂小練2.兩棵樹之間的距離為8m，兩棵樹的高度分別是828解：根據(jù)題意畫出示意圖，如圖所示，

兩棵樹的高度分別為AB＝8m，CD＝2m，

兩棵樹之間的距離BD＝8m，

過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，連接AC.

則BE＝CD＝2m，EC＝BD＝8m，AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)．

在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2，

即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10m.

答：這只小鳥至少要飛10m．當(dāng)堂小練解：根據(jù)題意畫出示意圖，如圖所示，當(dāng)堂小練29拓展與延伸用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法：首先通過(guò)拼圖找出面積之間的相等關(guān)系，再由面積之間的相等關(guān)系結(jié)合圖形進(jìn)行代數(shù)變形即可推導(dǎo)出勾股定理．它一般都經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)步驟：拼出圖形→寫出圖形面積的表達(dá)式→找出相等關(guān)系→恒等變形→導(dǎo)出勾股定理．拓展與延伸用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法：首先通過(guò)拼圖找30第一章勾股定理2一定是直角三角形嗎第一章勾股定理31目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標(biāo)2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)目CONTENTS1學(xué)習(xí)目標(biāo)2新課導(dǎo)入332學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直角三角形的判別條件，并哪個(gè)那個(gè)進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算.（重點(diǎn)）2.掌握勾股定理的概念，探索常用勾股數(shù)的規(guī)律.（重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直角三角形的判別條件，并哪個(gè)那個(gè)進(jìn)行簡(jiǎn)單33新課導(dǎo)入問(wèn)題1在一個(gè)直角三角形中三條邊滿足什么樣的關(guān)系呢？問(wèn)題2如果一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是否就是直角三角形呢？答：在一個(gè)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方新課導(dǎo)入問(wèn)題1在一個(gè)直角三角形中三條邊滿足什么樣的關(guān)系呢34新課講解

知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的判定

合作探究

下面有三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.回答這樣兩個(gè)問(wèn)題:1.這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？2.分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？新課講解知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的判定合作探究35①5,12,13滿足a2+b2=c2,可以構(gòu)成直角三角形;②7,24,25滿足a2+b2=c2,可以構(gòu)成直角三角形;③8,15,17滿足a2+b2=c2,可以構(gòu)成直角三角形.新課講解①5,12,13滿足a2+b2=c2,可以構(gòu)成直角三角形;36新課講解討論

如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.結(jié)論從剛才的分組實(shí)驗(yàn)，有什么樣的結(jié)論發(fā)現(xiàn)嗎？新課講解討論如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a237新課講解例

1

典例分析一個(gè)零件的形狀如圖（a）所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角，工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖（b）所示，這個(gè)零件合格嗎？ABCDABCD3451213(a)(b)新課講解例1典例分析一個(gè)零件的形狀如圖（a）所示，按規(guī)38新課講解解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，

所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。

在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角。因此這個(gè)零件符合要求。新課講解解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=B39新課講解討論

滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù).結(jié)論如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形嗎？知識(shí)點(diǎn)2勾股數(shù)新課講解討論滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù),稱為402.如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，圖中有幾個(gè)直角三角形，你是如何判斷的？與你的同伴交流。412243解:△ABE，△DEF，△FCB均為直角三角形由勾股定理知

BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25∴BE2+EF2=BF2∴△BEF是直角三角形新課講解例典例分析2.如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF41課堂小結(jié)一直是直角三角形嗎直角三角想的判定勾股數(shù)課堂小結(jié)一直是直角三角形嗎直角三角想的判定勾股數(shù)42當(dāng)堂小練1.一艘在海上朝正北方向航行的輪船，在航行240海里時(shí)方位儀壞了，憑經(jīng)驗(yàn)，船長(zhǎng)指揮船左傳90°，繼續(xù)航行70海里，則距出發(fā)地250海里，你能判斷船轉(zhuǎn)彎后，是否沿正西方向航行？解:由題意畫出相應(yīng)的圖形AB=240海里,BC=70海里,AC=250海里;在△ABC中AC2-AB2=2502-2402=4900=702=BC2即AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△答:船轉(zhuǎn)彎后,是沿正西方向航行的。ABC北當(dāng)堂小練1.一艘在海上朝正北方向航行的輪船，在航行240海里432.如圖，哪些是直角三角形，哪些不是，說(shuō)說(shuō)你的理由？①②③④⑤⑥解：④⑤是直角三角形①②③⑥不是直角三角形當(dāng)堂小練2.如圖，哪些是直角三角形，哪些不是，說(shuō)說(shuō)你的理由？①②③④44拓展與延伸同學(xué)們還能找出哪些勾股數(shù)呢？拓展與延伸同學(xué)們還能找出哪些勾股數(shù)呢？45第一章勾股定理3勾股定理的應(yīng)用第一章勾股定理46目錄CONTENTS2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)1

學(xué)習(xí)目標(biāo)目CONTENTS2新課導(dǎo)入3新課講解447學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用勾股定理求解立體圖形上兩點(diǎn)之間的最短距離.（重點(diǎn)）2.應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用勾股定理求解立體圖形上兩點(diǎn)之間的最短距離.48新課導(dǎo)入兩點(diǎn)之間,線段最短．

從二教樓到綜合樓怎樣走最近？說(shuō)明理由．新課導(dǎo)入兩點(diǎn)之間,線段最短．從二教樓到綜合樓怎樣走最近？說(shuō)49新課講解

知識(shí)點(diǎn)1勾股定理

合作探究

問(wèn)題：在一個(gè)圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？BA新課講解知識(shí)點(diǎn)1勾股定理合作探究問(wèn)題：在50

螞蟻A→B的路線BAA’dABA’ABBAO新課講解螞蟻A→B的路線BAA’dABA’ABBAO新課講解51ABA’BAA’rOh怎樣計(jì)算AB？側(cè)面展開圖在Rt△AA'B中，利用勾股定理可得:其中AA'是圓柱體的高,A'B是底面圓周長(zhǎng)的一半(πr)

．新課講解ABA’BAA’rOh怎樣計(jì)算AB？側(cè)面展開圖在Rt△AA52

若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3，則:BAA’3O12側(cè)面展開圖123πAA’B新課講解若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取353新課講解知識(shí)點(diǎn)2應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題

李叔叔想要檢測(cè)雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？新課講解知識(shí)點(diǎn)2應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題李54所以AD和AB垂直．（2）李叔叔量得AD長(zhǎng)是30cm，AB長(zhǎng)是40cm，BD長(zhǎng)是50cm，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？解：AD2+AB2=900+1600=2500BD2=2500所以AD2+AB2=BD2所以三角形ABD是直角三角形新課講解所以AD和AB垂直．（2）李叔叔量得AD長(zhǎng)是30cm，AB55（3）小明隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為20cm的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？新課講解（3）小明隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為20cm的刻度尺，他能有辦法檢56新課講解例

1

典例分析甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6km/h的速度向正東行走，1小時(shí)后乙出發(fā)，他以5km/h的速度向正走．上午10：00，甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？新課講解例1典例分析甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，某57新課講解分析：如圖已知A是甲、乙的出發(fā)點(diǎn)，10:00甲到達(dá)B點(diǎn),乙到達(dá)C點(diǎn)．則：AB=2×6=12(km)AC=1×5=5(km)在Rt△ABC中AB2+AC2=144+25=169∴BC=13(km)新課講解分析：如圖已知A是甲、乙的出發(fā)點(diǎn)，10:00甲到達(dá)B58課堂小結(jié)勾股定理應(yīng)用確定立體圖形上的最短路線利用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題課堂小結(jié)勾股定理應(yīng)用確定立體圖形上的最短路線利用勾股定理及其591.如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它怎么走最近？并求出最近距離．解:AB2=152+202+=625=252∴AB=25答：沿AB走最近，最近距離為25．當(dāng)堂小練1.如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它怎么走最近？并602.有一個(gè)高為1.5m，半徑是1m的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0.5m，問(wèn)這根鐵棒有多長(zhǎng)？你能嘗試畫出示意圖嗎?當(dāng)堂小練2.有一個(gè)高為1.5m，半徑是1m的圓柱形油桶，在靠近61解:設(shè)伸入油桶中的長(zhǎng)度為xm,則最長(zhǎng)時(shí):x2=1.52+22x=2.5∴最長(zhǎng)是2.5+0.5=3(m)最短是1.5+0.5=2(m)．答:這根鐵棒的長(zhǎng)應(yīng)在2～3m之間．當(dāng)堂小練解:設(shè)伸入油桶中的長(zhǎng)度為xm,則最長(zhǎng)時(shí):當(dāng)堂小練62在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？拓展與延伸在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)63設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長(zhǎng)為AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得:BC2+AC2=AB2即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴

x=12，x+1=13．答：水池的水深12尺，這根蘆葦長(zhǎng)13尺．解：拓展與延伸設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺，則這根蘆葦長(zhǎng)為AD=AB=（x+1）64第一章勾股定理1探索勾股定理課時(shí)1認(rèn)識(shí)勾股定理

第一章勾股定理65目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標(biāo)2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)目CONTENTS1學(xué)習(xí)目標(biāo)2新課導(dǎo)入366學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索、驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程，了解勾股定理的各種探索方法及內(nèi)在聯(lián)系.（重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索、驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程，了解勾股定理的各種67新課導(dǎo)入相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來(lái)觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？新課導(dǎo)入相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去68新課講解

知識(shí)點(diǎn)1勾股定理

我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.圖1稱為“弦圖”，最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時(shí)給出的.

弦股勾圖1新課講解知識(shí)點(diǎn)1勾股定理我69新課講解定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2＋b2＝c2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，則a2＋b2＝c2.定義新課講解定義：定義70新課講解例

1

解：由題意易知，AC2＋BC2＝AB2，

所以AC2＝AB2－BC2＝102－82＝36.

所以AC＝6cm.典例分析

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，求AC的長(zhǎng)．新課講解例1解：由題意易知，AC2＋BC2＝AB2，71課堂小結(jié)勾股定理直角三角形三邊關(guān)系數(shù)學(xué)表達(dá)式a2＋b2＝c2課堂小結(jié)勾股定理直角三角形三邊關(guān)系數(shù)學(xué)表達(dá)式a2＋b2＝c272C當(dāng)堂小練1.若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的是(

)A．b2＝c2－a2B．a(chǎn)2＝c2－b2C．b2＝a2－c2D．c2＝a2＋b2C當(dāng)堂小練1.若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜73當(dāng)堂小練2.如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B都是格點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為(

)A．5B．6C．7D．25A當(dāng)堂小練2.如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中74拓展與延伸1.勾股定理的適用條件：直角三角形；它反映了直角

三角形三邊關(guān)系．2．由勾股定理的基本關(guān)系式：a2＋b2＝c2可得到一些

變形關(guān)系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2

＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．拓展與延伸1.勾股定理的適用條件：直角三角形；它反映了75第一章勾股定理1探索勾股定理課時(shí)2驗(yàn)證并應(yīng)用勾股定理

第一章勾股定理76目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標(biāo)2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)目CONTENTS1學(xué)習(xí)目標(biāo)2新課導(dǎo)入377學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握勾股定理，并能用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題.（重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握勾股定理，并能用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題.78新課導(dǎo)入上一節(jié)課，我們通過(guò)測(cè)量和數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了勾股定理.在下圖中，分別以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，你能利用這個(gè)圖說(shuō)明勾股定理的正確性嗎？你是如何做的？與同伴進(jìn)行交流.新課導(dǎo)入上一節(jié)課，我們通過(guò)測(cè)量和數(shù)格子的方法79新課講解

知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的驗(yàn)證

做一做為了計(jì)算圖1中大正方形的面積，小明對(duì)這個(gè)大正方形適當(dāng)割補(bǔ)后得到圖2、圖3.圖1圖2圖3新課講解知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的驗(yàn)證做一做為了80新課講解1.將所有三角形和正方形的面積用a,b,c的關(guān)系式表示出來(lái)；2.圖2、圖3中正方形ABCD的面積分別是多少？你們有哪些表示方式？與同伴進(jìn)行交流.3.你能分別利用圖2、圖3驗(yàn)證勾股定理嗎？

議一議新課講解1.將所有三角形和正方形的面積用a,b,c的關(guān)系式表81常用方法：通過(guò)拼圖法利用求面積來(lái)驗(yàn)證．這種

方法是以數(shù)形轉(zhuǎn)換為指導(dǎo)思想，圖形拼補(bǔ)為手段，

以各部分面積之間的關(guān)系為依據(jù)而達(dá)到目的的．

新課講解

結(jié)論常用方法：通過(guò)拼圖法利用求面積來(lái)驗(yàn)證．這種新課講解結(jié)論822．用拼圖法驗(yàn)證勾股定理的思路：(1)圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)、拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空

隙，面積不會(huì)改變；(2)根據(jù)同一種圖形的面積的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性質(zhì)驗(yàn)證結(jié)論成立，即拼出圖形→寫出

圖形面積的表達(dá)式→找出等量關(guān)系→恒等變形→

推導(dǎo)結(jié)論．新課講解2．用拼圖法驗(yàn)證勾股定理的思路：新課講解83新課講解例

1

典例分析

如圖是用硬紙板做成的四個(gè)兩直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c的全等的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能說(shuō)明勾股定理正確性的圖形．

(1)畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖；(2)說(shuō)明勾股定理的正確性．

新課講解例1典例分析如圖是用硬紙板做成的四個(gè)兩84

新課講解分析：可以以邊長(zhǎng)為c的正方形為基礎(chǔ)，一在形外補(bǔ)拼(不

重疊)成新的正方形；二在形內(nèi)疊合成新的正方形．解：方法一(補(bǔ)拼法)：(1)如圖.(2)因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e可以表示為(a＋b)2，

也可以表示為c2＋4×ab，所以(a＋b)2＝c2＋4×ab，a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab.

新課講解分析：可以以邊長(zhǎng)為c的正方形為基礎(chǔ)，一在形外補(bǔ)拼(85新課講解所以a2＋b2＝c2，

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．方法二(疊合法)：(1)如圖.(2)因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e可以表示為c2，

也可以表示為ab×4＋(b－a)2，

所以c2＝ab×4＋(b－a)2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2.所以a2＋b2＝c2，

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．新課講解所以a2＋b2＝c2，86新課講解

知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的應(yīng)用

勾股定理的應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求其第三邊長(zhǎng)（2）已知直角三角形的一邊，確定其另兩邊長(zhǎng)之間的關(guān)系（3）證明含有平方關(guān)系的幾何關(guān)系（4）解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題新課講解知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的應(yīng)用勾股定理87新課講解例

2

典例分析我方偵察員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾馳.他趕緊拿出紅外測(cè)距儀，測(cè)得汽車與他相距400m，10s后，汽車與他相距500m,你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎？分析：根據(jù)題意，可以畫出右圖，其中點(diǎn)A表示小王所在位置，點(diǎn)C、點(diǎn)B表示兩個(gè)時(shí)刻敵方汽車的位置.新課講解例2典例分析我方偵察員小王在距離東西向公路88由于小王距離公路400m，因此∠C是直角，這樣就可以由勾股定理來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題了.解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，

也就是5002=BC2+4002,

所以BC=300.敵方汽車10s行駛了300m，

那么它1h行駛的距離為300×6×60=108000（m）,

即它行駛的速度為108km/h.新課講解由于小王距離公路400m，因此∠C是直角，這樣就可以由勾解89課堂小結(jié)勾股定理驗(yàn)證應(yīng)用課堂小結(jié)勾股定理驗(yàn)證應(yīng)用90當(dāng)堂小練1.用四個(gè)邊長(zhǎng)均為a，b，c的直角三角板，拼成如

圖所示的圖形，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．c2＝a2＋b2B．c2＝a2＋2ab＋b2C．c2＝a2－2ab＋b2D．c2＝(a＋b)2A當(dāng)堂小練1.用四個(gè)邊長(zhǎng)均為a，b，c的直角三角板，拼成如圖91當(dāng)堂小練2.兩棵樹之間的距離為8m，兩棵樹的高度分別是8m，2m，一只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂，這只小鳥至少要飛多少米？分析：先根據(jù)題意畫出圖形，然后添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理求解．當(dāng)堂小練2.兩棵樹之間的距離為8m，兩棵樹的高度分別是892解：根據(jù)題意畫出示意圖，如圖所示，

兩棵樹的高度分別為AB＝8m，CD＝2m，

兩棵樹之間的距離BD＝8m，

過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，連接AC.

則BE＝CD＝2m，EC＝BD＝8m，AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)．

在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2，

即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10m.

答：這只小鳥至少要飛10m．當(dāng)堂小練解：根據(jù)題意畫出示意圖，如圖所示，當(dāng)堂小練93拓展與延伸用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法：首先通過(guò)拼圖找出面積之間的相等關(guān)系，再由面積之間的相等關(guān)系結(jié)合圖形進(jìn)行代數(shù)變形即可推導(dǎo)出勾股定理．它一般都經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)步驟：拼出圖形→寫出圖形面積的表達(dá)式→找出相等關(guān)系→恒等變形→導(dǎo)出勾股定理．拓展與延伸用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法：首先通過(guò)拼圖找94第一章勾股定理2一定是直角三角形嗎第一章勾股定理95目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標(biāo)2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)目CONTENTS1學(xué)習(xí)目標(biāo)2新課導(dǎo)入396學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直角三角形的判別條件，并哪個(gè)那個(gè)進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算.（重點(diǎn)）2.掌握勾股定理的概念，探索常用勾股數(shù)的規(guī)律.（重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直角三角形的判別條件，并哪個(gè)那個(gè)進(jìn)行簡(jiǎn)單97新課導(dǎo)入問(wèn)題1在一個(gè)直角三角形中三條邊滿足什么樣的關(guān)系呢？問(wèn)題2如果一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是否就是直角三角形呢？答：在一個(gè)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方新課導(dǎo)入問(wèn)題1在一個(gè)直角三角形中三條邊滿足什么樣的關(guān)系呢98新課講解

知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的判定

合作探究

下面有三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.回答這樣兩個(gè)問(wèn)題:1.這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？2.分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？新課講解知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的判定合作探究99①5,12,13滿足a2+b2=c2,可以構(gòu)成直角三角形;②7,24,25滿足a2+b2=c2,可以構(gòu)成直角三角形;③8,15,17滿足a2+b2=c2,可以構(gòu)成直角三角形.新課講解①5,12,13滿足a2+b2=c2,可以構(gòu)成直角三角形;100新課講解討論

如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.結(jié)論從剛才的分組實(shí)驗(yàn)，有什么樣的結(jié)論發(fā)現(xiàn)嗎？新課講解討論如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2101新課講解例

1

典例分析一個(gè)零件的形狀如圖（a）所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角，工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖（b）所示，這個(gè)零件合格嗎？ABCDABCD3451213(a)(b)新課講解例1典例分析一個(gè)零件的形狀如圖（a）所示，按規(guī)102新課講解解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，

所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。

在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角。因此這個(gè)零件符合要求。新課講解解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=B103新課講解討論

滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù),稱為勾股數(shù).結(jié)論如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形嗎？知識(shí)點(diǎn)2勾股數(shù)新課講解討論滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù),稱為1042.如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，圖中有幾個(gè)直角三角形，你是如何判斷的？與你的同伴交流。412243解:△ABE，△DEF，△FCB均為直角三角形由勾股定理知

BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25∴BE2+EF2=BF2∴△BEF是直角三角形新課講解例典例分析2.如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF105課堂小結(jié)一直是直角三角形嗎直角三角想的判定勾股數(shù)課堂小結(jié)一直是直角三角形嗎直角三角想的判定勾股數(shù)106當(dāng)堂小練1.一艘在海上朝正北方向航行的輪船，在航行240海里時(shí)方位儀壞了，憑經(jīng)驗(yàn)，船長(zhǎng)指揮船左傳90°，繼續(xù)航行70海里，則距出發(fā)地250海里，你能判斷船轉(zhuǎn)彎后，是否沿正西方向航行？解:由題意畫出相應(yīng)的圖形AB=240海里,BC=70海里,AC=250海里;在△ABC中AC2-AB2=2502-2402=4900=702=BC2即AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△答:船轉(zhuǎn)彎后,是沿正西方向航行的。ABC北當(dāng)堂小練1.一艘在海上朝正北方向航行的輪船，在航行240海里1072.如圖，哪些是直角三角形，哪些不是，說(shuō)說(shuō)你的理由？①②③④⑤⑥解：④⑤是直角三角形①②③⑥不是直角三角形當(dāng)堂小練2.如圖，哪些是直角三角形，哪些不是，說(shuō)說(shuō)你的理由？①②③④108拓展與延伸同學(xué)們還能找出哪些勾股數(shù)呢？拓展與延伸同學(xué)們還能找出哪些勾股數(shù)呢？109第一章勾股定理3勾股定理的應(yīng)用第一章勾股定理110目錄CONTENTS2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸7

布置作業(yè)1

學(xué)習(xí)目標(biāo)目CONTENTS2新課導(dǎo)入3新課講解4111學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用勾股定理求解立體圖形上兩點(diǎn)之間的最短距離.（重點(diǎn)）2.應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用勾股定理求解立體圖形上兩點(diǎn)之間的最短距離.112新課導(dǎo)入兩點(diǎn)之間,線段最短．

從二教樓到綜合樓怎樣走最近？說(shuō)明理由．新課導(dǎo)入兩點(diǎn)之間,線段最短．從二教樓到綜合樓怎樣走最近？說(shuō)113新課講解

知識(shí)點(diǎn)1勾股定理

合作探究

問(wèn)題：在一個(gè)圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？BA新課講解知識(shí)點(diǎn)1勾股定理合作探究問(wèn)題：在114

螞蟻A→B的路線BAA’dABA’ABBAO新課講解