分部積分法課件

第三節(jié)由導數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計算.分部積分法

第四章第三節(jié)由導數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;例1.

求解:

令則∴原式思考:

如何求提示:

令則原式例1.求解:令則∴原式思考:如何求提示:令則原例2.

求解:

令則原式=例2.求解:令則原式=例3.

求解:

令則∴原式例3.求解:令則∴原式例4.

求解:

令,則∴原式再令,則故原式=說明:

也可設(shè)為三角函數(shù),但兩次所設(shè)類型必須一致.例4.求解:令,則∴原式再令,則故解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”的順序,前者為后者為例5.

求解:

令,則原式=反:反三角函數(shù)對:對數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”例6.

求解:

令,則原式=例6.求解:令,則原式=例7.

求解:

令則原式令例7.求解:令則原式令例8.

求解:

令則∴原式=例8.求解:令則∴原式=例9.

求解:

令則得遞推公式例9.求解:令則得遞推公式說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,例10.

證明遞推公式證:注:或例10.證明遞推公式證:注:或說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,

解出積分后加

C)3)對含自然數(shù)n

的積分,通過分部積分建立遞推公式.說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)例11.

已知的一個原函數(shù)是求解:說明:

此題若先求出再求積分反而復雜.例11.已知的一個原函數(shù)是求解:說明:此題若先求出再求例12.

求解法1先換元后分部令即則故例12.求解法1先換元后分部令即則故解法2

用分部積分法解法2用分部積分法內(nèi)容小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.使用經(jīng)驗:“反對冪指三”,前u

后3.題目類型:分部化簡;循環(huán)解出;遞推公式4.計算格式:內(nèi)容小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.例13.

求解:令則可用表格法求多次分部積分例13.求解:令則可用表格法求例14.

求解:

令則原式原式

=例14.求解:令則原式原式=思考與練習1.下述運算錯在哪里?應(yīng)如何改正?得

0=1答:

不定積分是原函數(shù)族,相減不應(yīng)為0.求此積分的正確作法是用換元法.思考與練習1.下述運算錯在哪里?應(yīng)如何改正?得0=2.

求提示:2.求提示:備用題.求不定積分解：方法1(先分部,再換元)令則備用題.求不定積分解：方法1(先分部,再換元)令則方法2(先換元,再分部)令則故方法2(先換元,再分部)令則故第三節(jié)由導數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計算.分部積分法

第四章第三節(jié)由導數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;例1.

求解:

令則∴原式思考:

如何求提示:

令則原式例1.求解:令則∴原式思考:如何求提示:令則原例2.

求解:

令則原式=例2.求解:令則原式=例3.

求解:

令則∴原式例3.求解:令則∴原式例4.

求解:

令,則∴原式再令,則故原式=說明:

也可設(shè)為三角函數(shù),但兩次所設(shè)類型必須一致.例4.求解:令,則∴原式再令,則故解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”的順序,前者為后者為例5.

求解:

令,則原式=反:反三角函數(shù)對:對數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積,按“反對冪指三”例6.

求解:

令,則原式=例6.求解:令,則原式=例7.

求解:

令則原式令例7.求解:令則原式令例8.

求解:

令則∴原式=例8.求解:令則∴原式=例9.

求解:

令則得遞推公式例9.求解:令則得遞推公式說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,說明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,例10.

證明遞推公式證:注:或例10.證明遞推公式證:注:或說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,

解出積分后加

C)3)對含自然數(shù)n

的積分,通過分部積分建立遞推公式.說明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡積分;2)例11.

已知的一個原函數(shù)是求解:說明:

此題若先求出再求積分反而復雜.例11.已知的一個原函數(shù)是求解:說明:此題若先求出再求例12.

求解法1先換元后分部令即則故例12.求解法1先換元后分部令即則故解法2

用分部積分法解法2用分部積分法內(nèi)容小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.使用經(jīng)驗:“反對冪指三”,前u

后3.題目類型:分部化簡;循環(huán)解出;遞推公式4.計算格式:內(nèi)容小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.例13.

求解:令則可用表格法求多次分部積分例13.求解:令則可用表格法求例14.

求解:

令則原式原式

=例14.求解:令則原式原式=思考與練習1.下述運算錯在哪里?應(yīng)如何改正?得

0=1答:

不定積分是原函數(shù)族,相減不應(yīng)為0.求此積分的正確作法是用換