二次函數(shù)壓軸題分類(lèi)精選-矩形

222222221．如圖，已知二次函數(shù)x﹣﹣（m是常數(shù)，＞0）的圖象x軸分別相交于點(diǎn)A、（點(diǎn)位于點(diǎn)B的左側(cè)y軸交于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)l．點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D連接AD．點(diǎn)E為該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，平分∠DAE（1）①線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為．②求點(diǎn)E的坐標(biāo)、②中的結(jié)論均用含的代數(shù)式表示）（2）M是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，N在l上．探索：是否存在點(diǎn)使得AE、MN為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？如果存在求出點(diǎn)坐標(biāo)如果不存在說(shuō)明理由．【分析①令y=0求出拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；②根據(jù)拋物線(xiàn)解析式確定出對(duì)稱(chēng)軸，和軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，分兩種情況計(jì)算，利用矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分來(lái)確定出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再用勾股定理計(jì)算即可．【解答】解①令y=0則（mx﹣3+1）=0∴x=﹣或x=，∴A（﹣，0（，0∴AB=，故答案為；②∵二次函數(shù)y=mx﹣2mx﹣∴（0，﹣3稱(chēng)軸l：x=，2222222222∴D，﹣3）∵AB平分∠DAE，∴點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q（，3）在直線(xiàn)AE上，∴直線(xiàn)AE的解析式為+1，∵點(diǎn)E是拋物線(xiàn)和直線(xiàn)AE的交點(diǎn)，∴E（，5（2）設(shè)M（，mx﹣2mx﹣3（，a）∵A（﹣，0（，5以A、E、M、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，①以AE，MN為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，AE，MN的中點(diǎn)重合，∴﹣+=x+，∴x=，∴M，﹣3∵M(jìn)A+ME=AE，∴+9++64=

+25∴m=﹣（舍m=，∴M4，﹣3②以ANME為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，ANME的中點(diǎn)重合，∴﹣+=x+，∴x=﹣，22222222∴M﹣，21∵AE

2

+AM

=ME

2

，∴+25+441=

+256，∴m=﹣∴

（舍）或m=，③以AM，NE為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，∴AM，NE的中點(diǎn)重合，∴x+（﹣）=+，∴x=，∴M，21∵AE+EM=AM，∴+25+256=

+441，此方程無(wú)解，即：存在，M4﹣3）或．【點(diǎn)評(píng)此題是二次函數(shù)綜合題主要考查了拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用角平分線(xiàn)得到直線(xiàn)AB解析式．2．如圖，拋物y=﹣x+2x+3與x軸交于A(yíng)B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)AD與y軸交于點(diǎn)E222222求直線(xiàn)AD的解析式；如圖1直線(xiàn)AD上方的拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)作⊥AD于點(diǎn)G，作FH平行于x軸交直線(xiàn)AD于點(diǎn)H，求△FGH周長(zhǎng)的最大值；點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，MPQ為頂點(diǎn)的四邊形是以AM為邊的矩形．若T和點(diǎn)Q關(guān)于A(yíng)M所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．【分析）先求出C（，（﹣1，（3，再利用配方法得y=﹣（﹣1）+則拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，于是可確定D23則可利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)AD的解析式；（2）由E0，1）可判斷△為等腰直角三角形，則∠EAO=45°，由于FH∥，則可得到△FGH為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)作FNx軸交AD于如圖，則FNH為等腰直角三角形，所以GH=NG，于是得到△周長(zhǎng)等于△的周長(zhǎng)，由于FG=GN=FN則△FGN周長(zhǎng)1+FN所以當(dāng)FN最大時(shí)eq\o\ac(△,，)FGN周長(zhǎng)的最大，設(shè)（x，x+2x+3N（，+1FN=﹣+2x+3x﹣利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題可得當(dāng)x=時(shí)，F(xiàn)N有最大值，于是△FGN周長(zhǎng)的最大值為；（3）直線(xiàn)AM交y軸于R，M（4利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AM的解析式為y=2x+2，則R（0，然后分類(lèi)討論：當(dāng)AQ為矩形AMPQ的對(duì)角線(xiàn)，如圖1，利用Rt△AOR∽POA，可計(jì)算出，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣著利用平移可得到Q（2于是由點(diǎn)和點(diǎn)Q關(guān)于所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)221222221222公式易得T點(diǎn)坐標(biāo)為0，AP為矩形APQM的對(duì)角線(xiàn)，反向延長(zhǎng)QA交y軸于S，如2，同理可得S點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣得點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，R點(diǎn)為PS的中點(diǎn)，所以PM=SA（0上PM=AQ，AQ=AS，于是可判斷Q關(guān)于A(yíng)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為S，即T點(diǎn)坐標(biāo)為（0﹣【解答】解當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x

+2x+3=3，則（0，3當(dāng)y=0時(shí)，﹣x+2x3=0，解得x=﹣1，x=3則A（﹣10（，0∵y=﹣x+2x+3=（x﹣1）+∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1而點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，∴D2，3設(shè)直線(xiàn)AD的解析式為y=kx+b把A（﹣102，分別代入得，解得，∴直線(xiàn)AD的解析式為y=x+1；（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=x+1=1，則E（，1∵∴△OAE為等腰直角三角形，∴∠EAO=45°，∵FH∥OA，∴△FGH為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)F作FNx軸交AD于N如圖，∴FNFH，∴△FNH為等腰直角三角形，而FGHN，∴GH=NG，∴△FGH周長(zhǎng)等于△FGN的周長(zhǎng)，2222222222∵FG=GN=FN，∴△FGN周長(zhǎng)=（1+

）FN∴當(dāng)FN最大時(shí)，△FGN周長(zhǎng)的最大，設(shè)F（x，﹣x+2x+3則Nx，+1∴FN=x+2x+3﹣x﹣1=﹣（x﹣）+，當(dāng)x=時(shí)，F(xiàn)N有最大值，∴△FGN周長(zhǎng)的最大值為（+即△FGH周長(zhǎng)的最大值為

）×=；

，（3）直線(xiàn)AM交y軸于，y=﹣x設(shè)直線(xiàn)AM的解析式為+n

+2x+3=（x﹣）

+4則M（，4）把A（﹣10（，4）分別代入得

，解得，∴直線(xiàn)AM的解析式為y=2x+當(dāng)x=0時(shí)，y=2x+2=2，則（0，2當(dāng)AQ為矩形APQM的對(duì)角線(xiàn)，如圖1，∵∠RAP=90°，而⊥PR，∴Rt△AOR∽POA，∴：OP=OR：OA，即1：OP=2：1，解得OP=，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0﹣∵點(diǎn)A（﹣10向上平移個(gè)單位，向右平移2個(gè)單位得到M（，4∴點(diǎn)P（0，﹣）向上平移個(gè)單位，向右平移2個(gè)單位得到Q（2，∵點(diǎn)T和點(diǎn)Q關(guān)于A(yíng)M所在直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，∴T點(diǎn)坐標(biāo)為（0當(dāng)AP為矩形AMPQ的對(duì)角線(xiàn)，反向延長(zhǎng)交y軸于S，如圖，同理可得S點(diǎn)坐標(biāo)為（0﹣∵R點(diǎn)為AM的中點(diǎn)，∴R點(diǎn)為PS的中點(diǎn)，∴PM=SA，P（∵PM=AQ，∴，∴點(diǎn)Q關(guān)于A(yíng)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為S即T點(diǎn)坐標(biāo)為（0﹣綜上所述，點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0）或（0﹣【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題和矩形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算線(xiàn)段的長(zhǎng)；記住坐標(biāo)系中點(diǎn)平移的規(guī)律．2212△212212△2123如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線(xiàn)y=ax﹣2ax﹣（a＜與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l：y=kxb與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為D且CD=4AC．直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式（其中，b用含a的式子表示點(diǎn)E是直線(xiàn)上方的拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；設(shè)P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，以點(diǎn)A，DP，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析）由拋物y=ax﹣﹣（a＜0與軸交于兩點(diǎn)A、，求A點(diǎn)的坐標(biāo)，作x軸于F，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理求得的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法法即可求得直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式．（2）設(shè)點(diǎn)E（m，a（m+1﹣3=kx+，利用待定系數(shù)法確定y=a（m﹣3x+（m﹣3而確S

=（m+1[（m﹣3a]=（m﹣）

﹣

a，根據(jù)最值確定a的值即可；（3）分以AD為對(duì)角線(xiàn)、以AC為邊，AP為對(duì)角線(xiàn)、以為邊AQ為對(duì)角線(xiàn)三種情況利用矩形的性質(zhì)確定點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【解答】解令y=0則ax﹣2ax﹣3a=0，解得x=﹣1x=321=S21=S∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A（﹣10如圖1，作DF⊥軸于F，∴DF∥，∴

=

，∵CD=4AC，∴

==4∵∴OF=4∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，代入y=ax﹣﹣3a得，y=5a，∴D4，5a把A、D坐標(biāo)代入y=kx+得

，解得，∴直線(xiàn)l的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+．（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥軸于點(diǎn)N設(shè)點(diǎn)E（m，am1﹣3=kx+b，則，解得：，∴y=a（m﹣3）x+a（﹣30，a（m﹣∵M(jìn)C=am﹣3﹣a，∴S

△

+S

△

=[（m﹣3﹣]+[（m﹣﹣]m=（m+1）（m﹣32221221DPADQ2222222221221DPADQ222222222222222221﹣a]=（m﹣）﹣

a，∴有最大值﹣

a=，∴a=﹣；（3）令ax﹣﹣+a，即ax﹣﹣4a=0，解得x=﹣1x=4，∴D4，5a∵y=ax﹣﹣3a∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1設(shè)P（1，m①若AD是矩形的一條邊，由AQ∥DP知x﹣x=x﹣x可知點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣4將﹣4帶入拋物線(xiàn)方程得（﹣4，21am=y+y=21a+5a=26a，P1，26a∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP=90°，∴AD+PD=AP，∵AD=[4（﹣]（5a=5+（）PD=（4+（26a﹣）=5+（，∴[4﹣（﹣1）

+（）

+（1﹣4）

2

+（26a5a

2

=（﹣11）

+（26a）

2

，即a=，∵a＜0∴a=﹣∴P（1，﹣

，222222222222222222222222222222222222212②若AD是矩形的一條對(duì)角線(xiàn)，則線(xiàn)段AD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，（2，﹣3am=5a（﹣3a=8a，P（18a∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠APD=90°，∴AP+PD=AD，∵AP

2

=[1（﹣1）]

+（）

2

=2

2

+（）

2

，PD=（1+（8a﹣）=3+（，AD=[4（﹣]+（5a）=5+（）∴2+（8a+3+）=5+（5a，解得a=，∵a＜0∴a=﹣，∴P（1，﹣4綜上可得，P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（1﹣4（，﹣2222【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及矩形的判定，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理求得D的坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．4如圖在平面直角坐標(biāo)系中拋物線(xiàn)

+bx+（＜0與x軸交于（﹣0B（0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且試求拋物線(xiàn)的解析式；直線(xiàn)y=kx+1k＞）與y軸交于點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)M記m=

，試求m的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（）的條件下，Q是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q、N，使得以P、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y=ax+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣2，0（40）兩點(diǎn)，所以可以假設(shè)y=a（x+﹣4出點(diǎn)C坐標(biāo)代入求出a即可；222222（2）由△CMD∽△FMP，可m=

=

，根據(jù)關(guān)于m關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）存在這樣的點(diǎn)Q、N使得以P、、Q、N四點(diǎn)組成的四邊形是矩形．分兩種情形分別求解即可：①當(dāng)DP是矩形的邊時(shí)，有兩種情形；②當(dāng)DP是對(duì)角線(xiàn)時(shí)；【解答】解因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y=ax+bx+經(jīng)過(guò)A（﹣20（，0）兩點(diǎn)，所以可以假設(shè)y=a（x+2﹣4∵OA=2，∴（0，4入拋物線(xiàn)的解析式得到﹣，∴y=﹣（x+2﹣4或y=﹣x

+x+4或y=﹣（x﹣）

2

+．（2）如圖1中，作PE⊥軸于E，交BC于F．∵CD∥PE∴△CMD△FMP，∴m==

，∵直線(xiàn)y=kx+k＞0）與y軸交于點(diǎn)D則D（1∵BC的解析式為y=﹣x+4，設(shè)P（n，﹣n+4F（n，﹣+422222222∴PF=﹣n+n+﹣（﹣n+4=﹣（n2+∴m==﹣（n﹣）+，∵﹣＜0，∴當(dāng)n=2時(shí)，m有最大值，最大值為，此時(shí)P（2，4（3）存在這樣的點(diǎn)Q、N使得以PDQ、四點(diǎn)組成的四邊形是矩形．①當(dāng)DP是矩形的邊時(shí)，有兩種情形，a、如圖21中，四邊形是矩形時(shí)，有（2）可知P（2，入y=kx1中，得到，∴直線(xiàn)DP的解析式為y=x+1可得D01（﹣，0由△DOEQOD可得

=

，∴OD=OE?OQ，∴1=?OQ，∴OQ=，∴Q（，0根據(jù)矩形的性質(zhì)，將點(diǎn)P向右平移個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位得到點(diǎn)N，2222222222222222∴N2，41（，3b如圖2﹣2中，四邊形是矩形時(shí)，∵直線(xiàn)PD的解析式為y=x+1PQ⊥PD，∴直線(xiàn)PQ的解析式為y=﹣x+

，∴Q（0根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，將點(diǎn)D向右平移6個(gè)單位，向下平4個(gè)單位得到點(diǎn)N，∴N06，1﹣N6﹣3②當(dāng)DP是對(duì)角線(xiàn)時(shí)，設(shè)（x，QD=x+1，QP=（x﹣2+，PD=13，∵Q是直角頂點(diǎn)，∴QD+QP=PD，∴x

+1+（﹣2）

2

+16=13，整理得x﹣2x+4=0，方程無(wú)解，此種情形不存在，綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為（，3或（﹣3【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、平行線(xiàn)的性質(zhì)．相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．5．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=﹣x+bx+（c＞0）的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)C作CA∥軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A，在延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)B，使AC，連接OA，OB，和AD222222（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，求bc的值；試判斷四邊形AOBD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）是否存在這樣的A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出一個(gè)符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析①將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)即可求出、c的