《常微分方程》教學(xué)大綱

教學(xué)大綱一、教學(xué)目的、任務(wù)天體力學(xué)、電路振蕩分析、工業(yè)自動(dòng)控制以及化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.通過本課程學(xué)習(xí)，不僅為后行課程打下基礎(chǔ)，而且以穿插其中的在歷史上成功利用微分方程解釋實(shí)際現(xiàn)象的著名范例來培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際問題的意識(shí)和初步能力.實(shí)行中英雙語教學(xué)，適時(shí)穿插工程實(shí)踐背景的應(yīng)用分析，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)新意識(shí).二、教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)分為六章內(nèi)容講解，具體地：微分方程建模（8學(xué)時(shí)）;初等積分法(12學(xué)時(shí));線性系統(tǒng)(8學(xué)時(shí));常系數(shù)線性系統(tǒng)(124學(xué)時(shí));一般理論(12學(xué)時(shí));定性理論初步(12學(xué)時(shí)).三、單元教學(xué)目標(biāo)與任務(wù)第一章緒論1、基本內(nèi)容常微分方程模型（Duffing機(jī)械振動(dòng)、VandePol文二體問題、生態(tài)種群競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)、物理化學(xué)系統(tǒng)）;微分方程求解思想（微分方程的幾何解釋，包括等傾線與方向場(chǎng)分析等）;（線性”與“非線性”微分方程2、基本要求了解微分方程的背景和建模過程;理解微分方程的定解條件，尤其是初值條件;掌握高階方程與一階方程組的互化;理解等傾線與方向場(chǎng)與解的關(guān)系3、建議課時(shí)（8學(xué)時(shí)）常微分方程模型(2學(xué)時(shí));微分方程求解思想(4學(xué)時(shí));基本問題(1學(xué)時(shí));習(xí)題課(1學(xué)時(shí)第二章初等積分法1、基本內(nèi)容變量分離形式（齊次方程和線性分式方程求解）;恰當(dāng)方程形式（對(duì)恰當(dāng)方程求通積分，以及積分因子法）;隱式方程（微分法與參數(shù)法）;初等積分法的一些應(yīng)用（奇解與包絡(luò)并引伸出解的存在唯一性問Clairaut方程2、基本要求掌握分離變量法和積分因子法;理解恰當(dāng)方程的條件;分法與參數(shù)法;了解奇解與包絡(luò).3、建議課時(shí)（12學(xué)時(shí)變量分離形式及習(xí)題課(4學(xué)時(shí));恰當(dāng)方程形式及習(xí)題課(3學(xué)時(shí));隱式方程(2學(xué)時(shí));初等積分法的一些應(yīng)用及習(xí)題課(3學(xué)時(shí)第三章線性方程1、基本內(nèi)容存在性與唯一性;齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)（含疊加原理、Wronsky行列式及Liouville定理）;非齊次線性方程組的通解（公式）;高階線性方程;復(fù)值解和級(jí)數(shù)解法（為常系數(shù)問題的特征理論打基礎(chǔ)2、基本要求掌握疊加原理、WronskyLiouville定理;掌握非齊次線性方程組通解結(jié)構(gòu)、常數(shù)變易法和常數(shù)變易公式;理解線性方程組的復(fù)值解和高階線性方程線性理論;了解級(jí)數(shù)解法.3、建議課時(shí)（8學(xué)時(shí)）存在性與唯一性(2學(xué)時(shí));齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)(2學(xué)時(shí));非齊次線性方程組的通解及習(xí)題課(2學(xué)時(shí));高階線性方程(1學(xué)時(shí));復(fù)值解和級(jí)數(shù)解法(1學(xué)時(shí)第四章常系數(shù)線性方程1、基本內(nèi)容齊次問題（系）;非齊次問題（非齊次方程特解算子解法、算子與逆算子思想）;常系數(shù)線性方程組根情形的基本解矩陣，矩陣指數(shù)函數(shù)exp(At)、Jordan標(biāo)準(zhǔn)型）;應(yīng)用:機(jī)械振動(dòng)（現(xiàn)象）.2、基本要求Euler待定指數(shù)函數(shù)法;理解重特征根情形的基本解矩陣的計(jì)算思想并掌握計(jì)算方法;掌握常系數(shù)高階線性方程的算子解法;了解機(jī)械振動(dòng)問題3、建議課時(shí)（12學(xué)時(shí)）齊次問題(2學(xué)時(shí));非齊次問題(2學(xué)時(shí));習(xí)題課(1學(xué)時(shí));常系數(shù)線性方程組(3學(xué)時(shí));應(yīng)用:機(jī)械振動(dòng)及習(xí)題課（4學(xué)時(shí)第五章一般理論1、基本內(nèi)容Picard存在唯一性定理（含LipschitzPicard壓縮計(jì)算實(shí)驗(yàn)）;Peano（EulerAscoli-Arzela引理）;解的延拓（含延拓基本定理、整體存在性條件、有限時(shí)間爆破微分不等式與比較定理;解對(duì)初值和參數(shù)的依賴性（的導(dǎo)數(shù)滿足的微分方程）;微分方程數(shù)值解（數(shù)值計(jì)算和仿真實(shí)驗(yàn)2、基本要求Picard存在唯一性定理的結(jié)論及證明;理解解的延拓定理和解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性和可微性;Peano存在性定理;了解解的數(shù)值逼近3、建議課時(shí)（12學(xué)時(shí)）Picard存在唯一性定理（2學(xué)時(shí)）;Peano存在性定理（2學(xué)時(shí)）;解的延拓及習(xí)題課（2學(xué)時(shí)）;微分不等式與比較定理（2學(xué)時(shí)）;解對(duì)初值和參數(shù)的依賴性（2學(xué)時(shí)）;微分方程數(shù)值解及習(xí)題課（2學(xué)時(shí)第六章定性理論初步1、基本內(nèi)容動(dòng)力系統(tǒng)概念（含自治系統(tǒng)軌道基本性質(zhì)、極限點(diǎn)集）;Liapunov穩(wěn)定性（LiapunovGronwall不等式判斷）;Liapunov直接法（Liapunov函數(shù)）;平面平衡點(diǎn)分析;Poincare映射（含離散周期現(xiàn)象介紹）;Hamilton系統(tǒng)2、基本要求了解動(dòng)力系統(tǒng)概念;掌握穩(wěn)定性概念和特征值判定;理解李雅普諾夫直接法和軌道基本性質(zhì)及極限點(diǎn)集性質(zhì);掌握平面初等奇點(diǎn)判定;了解極限環(huán)與周期現(xiàn)象;Hamilton系統(tǒng)3、建議課時(shí)（12學(xué)時(shí)）動(dòng)力系統(tǒng)概念（2學(xué)時(shí)）;Liapunov穩(wěn)定性（2學(xué)時(shí)）;Liapunov直接法及習(xí)題課（2學(xué)時(shí)）;平面平衡點(diǎn)分析（2學(xué)時(shí)）;Poincare映射（2學(xué)時(shí)）;Hamilton系統(tǒng)及習(xí)題課（2學(xué)時(shí)）.四、教學(xué)活動(dòng)以及教學(xué)方法上的基本要求“雙語教學(xué)”尋找，更快捷地走進(jìn)國際學(xué)術(shù)發(fā)展的潮流；將過去單一的作業(yè)考試（Assignmen（Presentation、咨詢(Inquiry)(Discussion)(Essay)的全方位開放APIDET教學(xué)模式。增強(qiáng)師生互動(dòng)，把學(xué)生從應(yīng)考能手培養(yǎng)成具有創(chuàng)新意識(shí)和動(dòng)手能力的科研好手；結(jié)合制定本科生“小火花”科研項(xiàng)目的實(shí)施。數(shù)學(xué)是一門以思維為主的學(xué)科，其教學(xué)的一個(gè)突出特點(diǎn)是在課堂上展現(xiàn)思維過程。要讓學(xué)生懂得推理的指導(dǎo)思想、思維線索、推理技術(shù)，懂得“是怎么想出來的”，而不是對(duì)圖片、實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的可視信息的展示。根據(jù)