幾何與代數(shù)：lec17-向量的內(nèi)積

教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配第四章n維向量教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)數(shù)§4.1n維向量空間2§4.2向量組的線性相關(guān)性4§4.3子空間的基和維數(shù)2§4.4向量的內(nèi)積2§4.5線性方程組的解的結(jié)構(gòu)2§4.7用Matlab解題

1問(wèn)題式預(yù)習(xí)及思考題1.什么是向量空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基？2.如何由向量空間的一組基得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基？3.正交矩陣有哪些性質(zhì)？思考題設(shè)ARmn,稱

A的m個(gè)行向量生成的子空間為A的行空間，請(qǐng)給出兩種方法計(jì)算A的行空間的基，并給出其維數(shù)。設(shè)ARmn,稱

A的m個(gè)行向量生成的子空間為A的行空間，請(qǐng)給出兩種方法計(jì)算A的行空間的基，其維數(shù)：法1：按列向量組構(gòu)成矩陣

初等行變換階梯陣階梯陣的主列對(duì)應(yīng)的原矩陣的列的轉(zhuǎn)置是行空間的一組基；法2：按行向量組構(gòu)成矩陣

初等行變換階梯陣階梯陣的非零行是行空間的一組基.建議方法：法1，和列向量組的極大無(wú)關(guān)組一致A的行空間即為AT的列空間dim(L(1,…,s))=r(1,…,s).§4.4向量的內(nèi)積向量空間·基和維數(shù)一.內(nèi)積和正交性二.標(biāo)準(zhǔn)正交基和Schmidt正交化方法R3Rn線性相關(guān)共線共面基？直角坐標(biāo)系？標(biāo)準(zhǔn)正交基維數(shù)仿射坐標(biāo)系三.正交矩陣維數(shù)1.設(shè)

=(a1,a2,…,an)T,=(b1,b2,…,bn)T,則

與的內(nèi)積為

2.內(nèi)積的基本性質(zhì),=aibi

=T

n

i=1

對(duì)稱性:,=,;

線性性:k11+k22,=k11,+k22,;正定性:,0;且,=0=.3.n維實(shí)向量的長(zhǎng)度或模為

,||||==ai2

n

i=1§4.4向量的內(nèi)積

一.內(nèi)積和正交性第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積5.長(zhǎng)度的基本性質(zhì)

正定性:||||0;且||||=0=;

齊次性:||k||=|k|·||||(kR);Cauchy不等式:|,|||||·||||.

三角不等式：||+||2=+,+=(||||+||||)2

=,+2,+,||||2+2||||||||+||||2

||+||||||+||||4.單位向量:||||=1的向量.非零向量單位化或標(biāo)準(zhǔn)化:

0=||||1第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積5.長(zhǎng)度的基本性質(zhì)

正定性:||||0;且||||=0=;

齊次性:||k||=|k|·||||(kR);

Cauchy不等式:|,|||||·||||.

三角不等式：||+||2=+,+=,+2,+,||+||||||+||||4.單位向量:||||=1的向量.非零向量單位化或標(biāo)準(zhǔn)化:

0=||||1若,=0,

即

=/2,則稱與正交.||+||2=||||2+||||2

(5)勾股定理

時(shí),第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積5.長(zhǎng)度的基本性質(zhì)

正定性:||||0;且||||=0=;

齊次性:||k||=|k|·||||(kR);

Cauchy不等式:|,|||||·||||.

三角不等式：||+||||||+||||4.單位向量:||||=1的向量.非零向量單位化或標(biāo)準(zhǔn)化:

0=||||1若,=0,

即

=/2,則稱與正交.(5)勾股定理

時(shí),=arccos,||||·||||,0

6.若,,則定義,的夾角第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積||+||2=||||2+||||2

例1.設(shè),<,>=1+61=4第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積||||,

||||,0,0

計(jì)算<,>,<,>,<,>=1+01=0

||||

=0=||||

=0=問(wèn)題：如何由仿射坐標(biāo)系{,,}得到與其等價(jià)的直角坐標(biāo)系？例1.設(shè),第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積計(jì)算<,>,<,>,<,>=1+01=0

0=0=問(wèn)題：如何由仿射坐標(biāo)系{,,}得到與其等價(jià)的直角坐標(biāo)系？因?yàn)?問(wèn)題：求向量,使得,？設(shè)=,因?yàn)?{,,}例1.設(shè),第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積計(jì)算<,>,<,>,<,>=0

0=0=問(wèn)題：如何由仿射坐標(biāo)系{,,}得到與其等價(jià)的直角坐標(biāo)系？,,{,,},,為一個(gè)正交向量組

R3的一組基：,,，R3的一組正交基：,,0=0,0,0

為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組

R3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基：0,0,0二.標(biāo)準(zhǔn)正交基和施密特(Schmidt)方法1.正交向量組:非零向量組兩兩正交

標(biāo)準(zhǔn)正交向量組:向量空間的正交基:標(biāo)準(zhǔn)正交基:e1,e2,,en例2.設(shè)為任一Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則任一標(biāo)準(zhǔn)正交基與自然基作用同由單位向量組成的正交向量組.一組基是正交向量組;一組基是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積定理4.10.設(shè)1,2,…,s是正交向量組,則1,2,…,s線性無(wú)關(guān).問(wèn)題的提出：線性無(wú)關(guān)1,2,…,s的向量組不一定是正交向量組，那么如何得到與1,2,…,s等價(jià)的正交向量組1,2,…,s呢？第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積當(dāng)s=2,1,2線性無(wú)關(guān),求2使12,1,2與1,2等價(jià)1

2

2

2,1||1||1||1||1

2,11,11

=

=2=21

2,11,1幾何:代數(shù):2+k1,1

2,1

+k1,1

==0引理.設(shè)1,2,…,s線性無(wú)關(guān)(s2),則存在一個(gè)正交向量組1,2,…,s,滿足1,2,…,t與1,2,…,t等價(jià)(1ts).問(wèn)題的提出：線性無(wú)關(guān)1,2,…,s的向量組不一定是正交向量組，那么如何得到與1,2,…,s等價(jià)的正交向量組1,2,…,s呢？第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積當(dāng)s=2,1,2線性無(wú)關(guān),求2使12,1,2與1,2等價(jià)2=21

2,11,1設(shè)s=t時(shí)正交向量組1,…,t與1,…,t等價(jià),證

s=t+1時(shí)成立.引理.設(shè)1,2,…,s線性無(wú)關(guān)(s2),則存在一個(gè)正交向量組1,2,…,s,滿足1,2,…,t與1,2,…,t等價(jià)(1ts).第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積當(dāng)s=2,1,2線性無(wú)關(guān),求2使12,1,2與1,2等價(jià)2=21

2,11,1設(shè)s=t時(shí)正交向量組1,…,t與1,…,t等價(jià),證

s=t+1時(shí)成立.設(shè)t+1=t+1+k11+…+ktt使<t+1,i>=0,i=1,…,t則t+1=t+1t+1,11,11…t+1,tt,tt0=<t+1,i>=<t+1,i>+ki<i,i>,i=1,…,t1=1,………施密特正交化:將一組l.i.的向量化為正交向量組2=22,11,11,s=ss,11,11…s,s1s1,s1s1再將1,2,…,s單位化得:1=1

||1||,2=2

||2||,…,s=s

||s||.施密特正交化方法

標(biāo)準(zhǔn)化得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組也可求向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積1=A1,2=A2A2,A1A1,A1A1=A2A11=1

||1||2=2

||2||求L(A1,A2,A3,A4)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.例3.設(shè)A=(A1,A2,A3,A4)=101210111111,解：A1,A2是L(A1,A2,A3,A4)的一組基.31,32

1,2為L(zhǎng)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,1,2,3為R3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基并將其擴(kuò)展到R3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.Dürer空間的子空間(1)7維Dürer魔方空間D：R=C=D=SR=C=H=N(2)5維泛對(duì)角方的向量空間B:(3)要求所有數(shù)都相等:一維向量空間G={rE,r∈R}.(4)特別的，當(dāng)r=0:0維向量空間{O}{O}

G

B

D魔方空間

維數(shù)

0

1

5

7(5)8維魔方空間Q：R=C=D(6)10維魔方空間U：R=C(7)16維數(shù)字空間M：數(shù)字可任意取值

Q

U

M

8

10

16和擴(kuò)張能否將Dürer魔方“和相等”的限制再放寬嗎？三.正交矩陣1.滿足QTQ=E(即Q1=QT)的實(shí)方陣Q稱為正交矩陣,簡(jiǎn)稱為正交陣.定理4.12.設(shè)Q為n階實(shí)方陣,則Q是正交矩陣Q的列向量組構(gòu)成Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.推論.設(shè)Q為n階實(shí)方陣,則Q是正交矩陣QT=Q1也是正交矩陣

Q的行向量組(轉(zhuǎn)置)構(gòu)成Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基

Q是從自然基到標(biāo)準(zhǔn)正交基q1,q2,,qn的過(guò)渡矩陣EC=Q第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積問(wèn)題：Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基構(gòu)成的矩陣的性質(zhì)？第四章n維向量§4.4向量的內(nèi)積n階實(shí)方陣Q為正交陣

Q的列(行)向量組構(gòu)成Rn的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

QT=Q1也是正交矩陣

Q是從自然基到標(biāo)準(zhǔn)正交基q1,q2,,qn的過(guò)渡矩陣注:正交陣還具有以下性質(zhì)：(1)Q為正交陣|Q|=1.|QTQ|=|E||Q|2=|Q||Q|=|QT||Q|==1.QTQ=E

(2)A,B為正交陣AB為正交陣.四.Rn上的可逆線性變換和正交變換設(shè)ARnn,映射f:RnRn,y=f(x)=Ax,稱為Rn的線性變換.若ARnn,且可逆,則y=Ax

稱為Rn的可逆線性變換.若Q為n階正交陣,則

y=Qx稱為Rn的正交變換.定理.Rn的正交變換y=Qx不改變向量的內(nèi)積,即

,

Rn,<Q,Q>=<,>.因而也不改變向量的長(zhǎng)度和夾角.正交變換是保持原點(diǎn)不動(dòng)的直角坐標(biāo)變換,對(duì)應(yīng)的是直角坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn).每一個(gè)直角坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.第四章n維向量§4.4