高考數(shù)學(文數(shù))一輪復習習題 課時跟蹤檢測 （五十二）　古典概型 (含解析)

課時跟蹤檢測(五十二)古典概型一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1．(2017·山西省第二次四校聯(lián)考)甲、乙兩人有三個不同的學習小組A，B，C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：選A∵甲、乙兩人參加學習小組的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9個，其中兩人參加同一個小組的事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3個，∴兩人參加同一個小組的概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).2．(2016·河北省三市第二次聯(lián)考)袋子中裝有大小相同的5個小球，分別有2個紅球、3個白球．現(xiàn)從中隨機抽取2個小球，則這2個小球中既有紅球也有白球的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,10)C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,5)解析：選D設2個紅球分別為a，b,3個白球分別為A，B，C，從中隨機抽取2個，則有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10個基本事件，其中既有紅球也有白球的基本事件有6個，則所求概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).3．從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,12)解析：選A設2名男生記為A1，A2,2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B112種情況，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B24種情況，則發(fā)生的概率為P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，故選A.4．(2016·四川高考)從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是________．解析：從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)字，分別記為a，b，則(a，b)的所有可能結果為(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12種取法，其中l(wèi)ogab為整數(shù)的有(2,8)，(3,9)兩種，故P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)5．投擲兩顆骰子，得到其向上的點數(shù)分別為m和n，則復數(shù)(m＋ni)(n－mi)為實數(shù)的概率為________．解析：因為(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，所以要使其為實數(shù)，須n2＝m2，即m＝n.由已知得，事件的總數(shù)為36，m＝n，有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6個，所以所求的概率為P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)二保高考，全練題型做到高考達標1.（2017·開封模擬）一個質地均勻的正四面體玩具的四個面上分別標有1，2，3，4這四個數(shù)字，若連續(xù)兩次拋擲這個玩具，則兩次向下的面上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是（）A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選D拋擲兩次該玩具共有16種情況：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），…，（4，4）.其中乘積是偶數(shù)的有12種情況：（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.所以兩次向下的面上的數(shù)字之積為偶數(shù)的概率是P=eq\f(12,16)=eq\f(3,4).2．在正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則構成的四邊形是梯形的概率為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)解析：選B如圖，在正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選擇4個頂點，共有15種選法，其中構成的四邊形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6種情況，故構成的四邊形是梯形的概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).3．已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b|a∈M，b∈M))，A是集合N中任意一點，O為坐標原點，則直線OA與y＝x2＋1有交點的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)解析：選C易知過點(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使直線OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個，故所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).4．(2017·東北四市聯(lián)考)從3雙不同的鞋中任取2只，則取出的2只鞋不能成雙的概率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(8,15)C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,15)解析：選C設這3雙鞋分別為(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)，則任取2只鞋的可能為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)，共15種情況，其中2只鞋不能成雙的有12種情況，故所求概率為P＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5)，故選C.5．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)解析：選D對函數(shù)f(x)求導可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩個不等實根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.又(a，b)的取法共有9種，其中滿足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6種，故所求的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).6．(2017·重慶適應性測試)從2,3,4,5,6這5個數(shù)字中任取3個，則所取3個數(shù)之和為偶數(shù)的概率為________．解析：依題意，從2,3,4,5,6這5個數(shù)字中任取3個，共有10種不同的取法，其中所取3個數(shù)之和為偶數(shù)的取法共有1＋3＝4種(包含兩種情形：一種情形是所取的3個數(shù)均為偶數(shù)，有1種取法；另一種情形是所取的3個數(shù)中2個是奇數(shù)，另一個是偶數(shù)，有3種取法)，因此所求的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)7．(2016·江蘇高考)將一顆質地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是________．解析：將一顆質地均勻的骰子先后拋擲2次，所有等可能的結果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36種情況．設事件A＝“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10”，其對立事件eq\x\to(A)＝“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和大于或等于10”，eq\x\to(A)包含的可能結果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6種情況．所以由古典概型的概率公式，得P(eq\x\to(A))＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)8．現(xiàn)有7名數(shù)理化成績優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數(shù)學成績優(yōu)秀，B1，B2的物理成績優(yōu)秀，C1，C2的化學成績優(yōu)秀．從中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名，組成一個小組代表學校參加競賽，則A1和B1不全被選中的概率為________．解析：從這7人中選出數(shù)學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名，所有可能的結果組成的12個基本事件為：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．設“A1和B1不全被選中”為事件N，則其對立事件eq\x\to(N)表示“A1和B1全被選中”，由于eq\x\to(N)＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由對立事件的概率計算公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)9．一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取一張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．解：(1)由題意，(a，b，c)所有可能的結果為：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種．設“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A，則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種，所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為eq\f(1,9).(2)設“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種，所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9)，因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為eq\f(8,9).10．移動公司在國慶期間推出4G套餐，對國慶節(jié)當日辦理套餐的客戶進行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐2的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐3的客戶可獲得優(yōu)惠300元．國慶節(jié)當天參與活動的人數(shù)統(tǒng)計結果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率．(1)求從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元的概率；(2)若采用分層抽樣的方式從參加活動的客戶中選出6人，再從該6人中隨機選出2人，求這2人獲得相等優(yōu)惠金額的概率．解：(1)設事件A為“從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元”，則P(A)＝eq\f(150＋100,50＋150＋100)＝eq\f(5,6).(2)設事件B為“從這6人中選出2人，他們獲得相等優(yōu)惠金額”，由題意按分層抽樣方式選出的6人中，獲得優(yōu)惠200元的有1人，獲得優(yōu)惠500元的有3人，獲得優(yōu)惠300元的有2人，分別記為a1，b1，b2，b3，c1，c2，從中選出2人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2則P(B)＝eq\f(4,15).三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．(2017·長沙四校聯(lián)考)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4)).定義映射f：M→N，則從中任取一個映射滿足由點A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構成△ABC且AB＝BC的概率為()A.eq\f(3,32) B.eq\f(5,32)C.eq\f(3,16) D.eq\f(1,4)解析：選C∵集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，4))，∴映射f：M→N有43＝64種，∵由點A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構成△ABC且AB＝BC，∴f(1)＝f(3)≠f(2)，∵f(1)＝f(3)有4種選擇，f(2)有3種選擇，∴從中任取一個映射滿足由點A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構成△ABC且AB＝BC的事件有4×3＝12種，∴所求概率為eq\f(12,64)＝eq\f(3,16).2．已知關于x的一元二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)設集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率；(2)設點(a，b)是區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(