高考論壇新課標(biāo)數(shù)學(xué)理一輪教師備課練習(xí)61不等關(guān)系與不等式(含答案詳析)

第六章不等式及不等式選講第一節(jié)不等關(guān)系與不等式[考情展望]1.觀察相關(guān)不等式的命題真假及數(shù)式的大小比較.2.觀察與不等式相關(guān)的充分必要條件的判斷.3.觀察和函數(shù)、數(shù)列等知識的綜合應(yīng)用．一、實數(shù)的大小序次與運算性質(zhì)的關(guān)系a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0.二、不等式的性質(zhì)1．對稱性：a>b?b<a；(雙向性)2．傳達(dá)性：a>b，b>c?a>c；(單向性)3．可加性：a>b?a＋c>b＋c；(雙向性)a>b，c>d?a＋c>b＋d；(單向性)4．可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd；(單向性)5．乘方法規(guī)：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)；(單向性)nn6．開方法規(guī)：a>b>0?a>b(n∈N，n≥2)；(單向性)117．倒數(shù)性質(zhì)：設(shè)ab＞0，則a＜b?a＞b.(雙向性)真、假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a＞b＞0，m＞0，則(1)真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：ba＜

b＋m，b＞a＋ma

b－m(b－m＞0)a－m(2)假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：ab＞

a＋ma，＜b＋mb

a－m(b－m＞0)b－m．對于實數(shù)2＞bc2”的()1a，b，c，“a＞b”是“acA．充分不用要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件【剖析】a＞bD/?ac2＞bc2，如c＝0時，ac2＝bc2，但ac2＞bc2?a＞b，∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分條件．【答案】B2．在城區(qū)限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前面路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不高出40km/h，寫成不等式就是()A．v＜40km/hB．v＞40km/hC．v≠40km/hD．v≤40km/h【答案】D3．已知a，b為非零實數(shù)，且a＞b，則以下不等式必然建立的是()4411A．a(chǎn)＞bB.a＜bC．|a|＞|b|D．2a＞2b【剖析】當(dāng)a＝1，b＝－2時，A、B、C均不正確，由y＝2x的單調(diào)性知，D正確．【答案】D1與3＋1的大小關(guān)系為________．4.2－1【剖析】12＋1)－(3＋1)＝2－3＜0，－(3＋1)＝(2－11＜3＋1.2－1【答案】1＜3＋12－15．(2012·湖南高考)設(shè)a>b>1，c<0，給出以下三個結(jié)論：①ac>bc；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正確結(jié)論的序號是()A．①B．①②C．②③D．①②③【剖析】11∵a>b>1，∴a<b.又c<0，c>，故①正確．bc當(dāng)c＜0時，y＝x在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又a>b>1，∴ac<bc，故②正確．∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.∵a>b>1，∴l(xiāng)ogb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正確．【答案】D．·天津高考設(shè)，∈，則“－2＜0”是“a＜b”的()6(2013)abR(ab)·aA．充分而不用要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件【剖析】2建立，則＜建立；而當(dāng)＝，由不等式的性質(zhì)知(a－b)·a＜0aba02不行立，因此(a－b)2是a＜b的充分而不用要條a＜b成馬上，(a－b)·a＜0·a＜0件．【答案】A考向一[099]應(yīng)用不等式表示不等關(guān)系(1)某地規(guī)定當(dāng)?shù)刈畹蜕畋Ｕ辖鸩坏陀?00元，上述不等關(guān)系寫成不等式為________．(2)某汽車公司由于發(fā)展的需要需購進(jìn)一批汽車，計劃使用不高出1000萬元的資本購買單價分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車．依照需要，A型汽車最少買5輛，B型汽車最少買6輛，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．【思路點撥】(1)“不低于300元”的含義為“大于等于300元”．(2)“最少”及“不高出”的含義分別為“大于等于”和“小于等于”．【試一試解答】(1)設(shè)最低生活保障金為x元，則x≥300.【答案】x≥300(2)設(shè)購買A型汽車和B型汽車分別為x輛、y輛，則x、y滿足40x＋90y≤1000，x≥5，y≥6，x，y∈N*.規(guī)律方法11.本例2在求解時，常因忽略變量x，y∈N*致誤.2.求解此類問題必然要正確將題目中文字語言轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)符號語言如不等式等，特別是注意“不高出”、“最少”、“低于”表示的不等關(guān)系，同時還應(yīng)試慮變量的實質(zhì)意義.考向二[100]不等式的性質(zhì)及應(yīng)用ab(1)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則以下命題：①ad＞bc；②d＋c＜0；a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)中能建立的命題為________．2(2)已知函數(shù)f(x)＝ax＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范圍．(2)把f(－2)表示成mf(－1)＋nf(1)的形式是解題的要點．用待定系數(shù)法也許以a、b為橋梁，利用方程思想解題．【試一試解答】(1)∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，則ad＜bc，(1)錯誤．由a＞0＞b＞－a，知a＞－b＞0，又－c＞－d＞0，因此a·(－c)＞(－b)·(－d)，即ac＋bd＜0，bac＋bd＋＝＜0，故(2)正確．ccd顯然a－c＞b－d，∴(3)正確．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴(4)正確．【答案】②③④(2)法一設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.m＋n＝4，m＝3，于是得解得n－m＝－2，n＝1，∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.－1＝a－b，法二由于f1＝a＋b，∴a＝f－1＋f1，b＝f1－f－1.22∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.故5≤f(－2)≤10.規(guī)律方法21.解題時，易忽略不等式性質(zhì)建立的條件，或“招惹是非”自造性質(zhì)致使推理判斷失誤.2.由a＜fx，y＜b，c＜gx，y＜d，求Fx，y的取值范圍，可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)Fx，y＝mfx，y＋ngx，y，用恒等變形求得m，n，再利用不等式的性質(zhì)求得Fx，y的取值范圍.對點訓(xùn)練(1)設(shè)b＜a，d＜c，則以下不等式中必然建立的是()A．a(chǎn)－c＜b－dB．a(chǎn)c＜bdC．a(chǎn)＋c＞b＋dD．a(chǎn)＋d＞b＋c－1≤α＋β≤1，試求α＋3β的取值范圍．(2)若α，β滿足1≤α＋2β≤3，【剖析】(1)由不等式的同向可加性可知C正確．【答案】C(2)設(shè)α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.x＋y＝1，

x＝－1，由

解得x＋2y＝3，

y＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，∴兩式相加，得1≤α＋3β≤7.考向三[101]比較大小m2x(1)已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝x－1，試比較f(a)與f(b)的大小；(2)比較aabb與abba(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)的大?。舅悸伏c撥】(1)計算出f(a)與f(b)，用作差法或綜合法比較大??；(2)冪式比較大小，用作商法比較大小．【試一試解答】(1)法一∵f(a)＝m2a，f(b)＝m2b，a－1b－122ab∴f(a)－f(b)＝ma－mb＝m2－a－1b－1a－1b－12ab－1－ba－12b－a，＝m·＝m·a－1b－1a－1b－1當(dāng)m＝0時，f(a)＝f(b)；當(dāng)m≠0時，m2＞0，又a＞b＞1，∴f(a)＜f(b)，即f(a)≤f(b)．法二∵f(x)＝m2x＝m21＋1，x－1x－1∴f(a)＝m21＋1，f(b)＝m21＋1，a－1b－1由于a＞b＞1，∴a－1＞b－1＞0，∴1＋11＜1＋，a－1b－11＝m21當(dāng)m＝0時，m21＋1＋，a－1b－1即f(a)＝f(b)；21211＋1＋，當(dāng)m≠0時，m＜mb－1a－1即f(a)＜f(b)，∴f(a)≤f(b)．(2)依照同底數(shù)冪的運算法規(guī)，采用作商法，aabbabbaaababba＝a－b－＝b－，a當(dāng)a＞b＞0時，b＞1，a－b＞0，則

ab

a－babba＞1，∴ab＞ab，a當(dāng)b＞a＞0時，0＜b＜1，a－b＜0，aababba則b－＞1，∴ab＞ab，當(dāng)a＝b＞0時，aa－b＝1，b∴aabb＝abba，綜上知aabb≥abba(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)．規(guī)律方法31.第(1)中，若注意到m2≥0，亦可構(gòu)造函數(shù)φ(x)＝x(x＞1)，x－1判斷出φ(x)是減函數(shù)，f(a)≤f(b)．2．(1)“作差比較法”的過程可分為四步：①作差；②變形；③判斷差的符號；④作出結(jié)論．其中要點一步是變形，手段可以有通分、因式分解、配方a等．(2)“作商比較法”的依照是“b＞1，b＞0?a＞b”，在數(shù)式構(gòu)造含有冪或根式時，常采用比商法．對點訓(xùn)練若a＞b＞0，試比較aa＋bb與ab＋ba的大?。窘狻?aa＋bb)－(ab＋ba)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(ab)＝(a－b)2(a＋b)，a＋b＞0，(a－b)2＞0，∴(aa＋bb)－(ab＋ba)＞0，∴aa＋bb＞ab＋ba.易錯易誤之十一不等式變形中盲目擴(kuò)大范圍————[1個示模范]————[1個防錯練]—————(2012·陜西高考改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝xn＋bx＋c(n∈N*，b，c∈R)．1(1)設(shè)n≥2，b＝1，c＝－1，證明f(x)在區(qū)間2，1內(nèi)存在唯一零點；(2)設(shè)n為偶數(shù)，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最大值和最小值．【解】(1)當(dāng)b＝1，c＝－1，n≥2時，f(x)＝xn＋－，x1111×1＜0，f2f(1)＝2n－21∴f(x)在區(qū)間2，1內(nèi)有零點，又當(dāng)x∈12，1時，f′(x)＝n·xn－1＋1＞0，1∴f(x)在2，1上是單調(diào)遞加的，1∴f(x)在2，1內(nèi)存在唯一零點．(2)法一由n為偶數(shù)，且|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，1≤f－1≤1，∴1≤f1≤1.0≤b－c≤2，即－2≤b＋c≤0.本例2在求解中常犯以下錯誤：,∵n為偶數(shù)，且|f－1|≤1，|f1|≤1，0≤b－c≤2，∴2≤b＋c≤0.因此－1≤b≤1，且－2≤c≤0.,∴－7≤b＋3c≤1，,故b＋3c的最大值為1，最小值為－7.出錯原因為：1忽略字母b、c相互限制的條件，片面將b，c切割開來致使字母范圍發(fā)生變化.多次運用同向不等式相加這一性質(zhì)，不是等價變形，擴(kuò)大變量的取值范圍，致使最值求解錯誤.作上述不等式組表示的可行域，以下列圖．b令t＝b＋3c，則c＝3－3.平移b＋3c＝0，知直線過原點O時截距最大，過點A時截距最小，∴t＝b＋3c的最大值為0＋3×0＝0；最小值為0＋3×(－2)＝－6.f－1＝1－b＋c，法二由題意知f1＝1＋b＋c，解得b＝f1－f－1，c＝f1＋f－1－222，∴b＋3c＝2f(1)＋f(－1)－3.又∵－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，∴－6≤b＋3c≤0.當(dāng)b＝0，c＝－2時，b＋3c＝－6；當(dāng)b＝c＝0時，b＋3c＝0，∴b＋3c的最小值為－6，最大值為0.【防范措施】辦理該類問題的方式常有兩種：利用待定系數(shù)法先建立待求整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后經(jīng)過“一次性”使用不等式的運算求得待求整體的范圍.運用線性規(guī)劃，依照t＝b＋3c的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求t的最值.已知函數(shù)f(x)＝ax2－c，且f(1)∈[－4，－1]，f(2)∈[－1,5]，求f(3)的取值范圍．【解】法一(以a、c為橋梁，方程組思想)