二次函數(shù)知識點總結(jié)計劃與典型例題講解

二次函數(shù)知識點總結(jié)計劃與典型例題解說二次函數(shù)知識點總結(jié)計劃與典型例題解說10/10二次函數(shù)知識點總結(jié)計劃與典型例題解說..二次函數(shù)知識點總結(jié)及典型例題解說一、二次函數(shù)的觀點和圖像、二次函數(shù)的觀點一般地，假如yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù)。yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條對于xb對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。2a拋物線的主要特點：①有張口方向；②有對稱軸；③有極點。3、二次函數(shù)圖像的畫法五點法：〔1〕先依據(jù)函數(shù)分析式，求出極點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出極點M，并用虛線畫出對稱軸〔2〕求拋物線yax2bxc與坐標(biāo)軸的交點：當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到C的對稱點D。將這五個點按從左到右的次序連結(jié)起來，并向上或向下延長，就獲得二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可大略地畫出二次函數(shù)的草圖。假如需要畫出比較精準(zhǔn)的圖像，可再描出一對對稱點A、B，而后按序連結(jié)五點，畫出二次函數(shù)的圖像。二、二次函數(shù)的分析式二次函數(shù)的分析式有三種形式：〔1〕一般式：yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)〔2〕極點式：ya(xh)2k(a,h,k是常數(shù)，a0)〔3〕當(dāng)拋物線yax2bxc與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程ax2bxc0有實根x1和x2存在時，依據(jù)二次三項式的分解因式ax2bxca(xx1)(xx2)，二次函數(shù)yax2bxc可轉(zhuǎn)變?yōu)閮筛統(tǒng)a(xx1)(xx2)。假如沒有交點，那么不可以這樣表示。三、二次函數(shù)的性質(zhì)..下載可編寫、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)函數(shù)ax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)y>0<0aayy圖像0x0x〔1〕拋物線張口向下，并向下無窮延長；〔2〕對稱軸是x=b，極點坐標(biāo)是〔1〕拋物線張口向上，并向上無窮延長；2ab，4acb2〔2〕對稱軸是x=b〔〕；，極點坐標(biāo)是2a4a2a〔3〕在對稱軸的左邊，即當(dāng)x<bb4acb2時，y隨x的增大〔〕；2a，4a2abb而增大；在對稱軸的右邊，即當(dāng)x>〔3〕在對稱軸的左邊，即當(dāng)x<時，y隨x時，y隨x的增2a性質(zhì)2ab的增大而減小，簡記左增右減；大而減??；在對稱軸的右邊，即當(dāng)x>時，yb隨x的增大而增大，簡記左減右增；2a〔4〕拋物線有最高點，當(dāng)x=時，2a〔4〕拋物線有最低點，當(dāng)x=b4acb2時，y有最大值，y最大值2a4a4acb2y有最小值，y最小值4a2、二次函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)中，a、b、c的含義：a表示張口方向：a>0時，拋物線張口向上a<0時，拋物線張口向下b與對稱軸相關(guān)：對稱軸為x=

b2ac表示拋物線與y軸的交點坐標(biāo)：〔0，c〕3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)。所以一元二次方程中的b24ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸能否有交點。..下載可編寫>0時，圖像與=0時，圖像與<0時，圖像與增補(bǔ)：

軸有兩個交點；軸有一個交點；軸沒有交點。1、兩點間距離公式〔當(dāng)碰到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以追求解題方法〕如圖：點A坐標(biāo)為〔x1，y1〕點B坐標(biāo)為〔x2，y2〕那么AB間的距離，即線段AB的長度為x1x22y1y22yAxB02、函數(shù)平移規(guī)律〔中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提升答題速度有很大幫助，能夠大大節(jié)儉做題的時間〕左加右減、上加下減四、二次函數(shù)的最值假如自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在極點處獲得最大值〔或最小值〕，即當(dāng)xb時，2ay最值4acb2。4a假如自變量的取值范圍是x1xx2，那么，第一要看b能否在自變量取值范圍x1xx2內(nèi)，假定在2a此范圍內(nèi)，那么當(dāng)x=b時，y最值4acb2；2a4a假定不在此范圍內(nèi)，那么需要考慮函數(shù)在x1xx2范圍內(nèi)的增減性，假如在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，那么當(dāng)xx2時，y最大ax22bx2c，當(dāng)xx1時，y最小ax12bx1c；假如在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，那么當(dāng)xx1時，y最大ax12bx1c，當(dāng)xx2時，y最小ax22bx2c。典型例題2x11.函數(shù)y2x5

1x≤3，那么使y=k建立的x值恰巧有三個，那么k的值為〔〕1x＞3A．0B．1C．2D．3【答案】D2.如圖為拋物線yax2bxc的圖像，A、B、C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點，且OA=OC=1，..下載可編寫以下關(guān)系中正確的選項是．ba．a(chǎn)c．a(chǎn)＋b－1．a(chǎn)－b－D<0A=B=1C<2【答案】B3.二次函數(shù)yax2bxc的象如所示，反比率函數(shù)ya與一次函數(shù)ybxc在同一坐系中的〕.x大概象是〔【答案】D4.如，二次函數(shù)yx2bxc的象點〔－1，0〕，〔1，－2〕，當(dāng)y隨x的增大而增大，x的取范是．yyx2bxc1-1O1x1,-2〕【答案】x125.在平面直角坐系中，將拋物yx22x3著它與y的交點旋180°，所得拋物的分析式〔〕．A．y(x1)22B．y(x1)24C．y(x1)22D．y(x1)24【答案】B6.已知二次函數(shù)yax2bxc的像如，其稱x1，出以下果①b24ac②abc0③2ab0④abc0⑤abc0，正確的選項是〔〕A①②③④B②④⑤C②③④D①④⑤【答案】D7．拋物yax2bxc上局部點的橫坐x，坐y的以下表：x?－2－1012?y?04664?從上表可知，以下法中正確的選項是．〔填寫序號〕①拋物與x的一個交點〔3,0〕；②函數(shù)yax2bxc的最大6；..下載可編寫③拋物線的對稱軸是x1；④在對稱軸左邊，y隨x增大而增大．2【答案】①③④如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)是〔－2，4〕，過點AAB⊥y軸，垂足為B，連結(jié)OA．求△OAB的面積；假定拋物線yx22xc經(jīng)過點A．①求c的值；②將拋物線向下平移m個單位，使平移后獲得的拋物線極點落在△OAB的內(nèi)部〔不包含△OAB的界限〕，求m的取值范圍〔直接寫出答案即可〕．解：(1)∵點A的坐標(biāo)是〔－2，4〕，AB⊥y軸，∴AB，OB＝，∴SOAB114422(2)①把點A的坐標(biāo)〔－，〕代入yx22xc，24(2)22(2)c4，∴c＝4②∵yx22x4(x1)24，∴拋物線極點D的坐標(biāo)是(－1，5)，AB的中點E的坐標(biāo)是〔－1，4〕，OA的中點F的坐標(biāo)是〔－1，2〕，∴m的取值范圍為l<m<3．1239．二次函數(shù)y=4x+2x的圖像如圖．〔1〕求它的對稱軸與x軸交點D的坐標(biāo)；〔2〕將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸、y軸的交點分別為A、B、C三點，假定∠ACB=90°，求此時拋物線的分析式；〔3〕設(shè)〔2〕中平移后的拋物線的極點為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的地點關(guān)系，并說明原因．..下載可編寫123解：〔1〕二次函數(shù)y=-x+x的對稱軸為x=3，∴D〔3，0〕．42123〔2〕設(shè)拋物線向上平移h個單位〔h＞0〕，那么平移后的拋物線分析式為y=-4x+2x+h．ACB°，∴2∵∠OCOA·OB．=90=設(shè)點A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，那么h2=-x1·x2．∵x1、x2是一元二次方程123-xx+h的兩個根，4+2=0∴x1·x22h，∴h，∴拋物線的分析式為y123．h，∴h=-xx+=-4=4=44+24〔3〕CM與⊙D相切，原因以下：連結(jié)CD、CM，過點C作CN⊥DM于點D，如以以下圖所示：∵AB是⊙D的直徑，∠ACB=90°，∴點C在⊙D上．依據(jù)平移后的拋物線的分析式y(tǒng)123可得：25，CD．xx+4OD，OC，DM=-4+2=3=4=4=591515CD25CN，MN，∴CM．∵CM，，DM，∴=3=4=4=4=5=4∴△CDM是直角三角形且∠DCM°，∴CM與⊙D相切．=90..下載可編寫如圖10，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB在x軸上，AB＝10，以AB為直徑的⊙O′與y軸正半軸交于點C，連結(jié)BC，AC.CD是⊙O′的切線，AD⊥CD于點D，tan∠CAD＝1，拋物線yax2bxc過A，B，C2三點.〔1〕求證：∠CAD＝∠CAB；〔2〕①求拋物線的分析式；②判斷拋物線的極點E能否在直線CD上，并說明原因；〔3〕在拋物線上能否存在一點P，使四邊形PBCA是直角梯形.假定存在，直接寫出點P的坐標(biāo)〔不寫求解過程〕；假定不存在，請說明原因.〔1〕證明：連結(jié)O′C.CD是⊙O′的切線，∴O′C⊥CD．AD⊥CD，∴O′C∥AD，∴∠O′CA＝∠CAD．O′C＝O′A，∴∠O′CA＝∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB．〔2〕①∵AB是⊙O′的直徑，∴∠ACB＝90°∵OC⊥AB，∴∠CAB＝∠OCB，∴△CAO∽△BCO，∴OCOBOAOC即OC2OAOB．∵tan∠CAO＝tan∠CAD＝1，∴OA＝OC22又∵AB＝10，∴OC22OC(102OC)，∵＞OC0∴OC＝4，OA＝8，OB＝2．∴A〔－8，0〕，B〔2，0〕，C〔0，4〕．∵拋物線yax2bxc過A，B，C三點.∴c＝4由題意得4a2b4a11x23x4．0，解之得4，∴y64a8b40342b22○設(shè)直線DC交x軸于點F，易證△AOC≌△ADC，∴AD＝AO＝8.∵O′C∥AD，∴△FO′C∽△FAD，∴O'FO'CAFAD∴8(BF＋5)＝5(BF＋10)，∴BF10，∴F(16,0)．33,..下載可編寫設(shè)直線DC的分析式為ykxm4，即k3m，那么16m4k0m43∴y3x4．由y1x23x41(x3)225得44244極點E的坐標(biāo)為E(3,25)．將E(3,25)代入直線DC的分析式y(tǒng)3x4中，444右邊3(3)425左邊.∴拋物線的極點E在直線CD上．44ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD°，BC與y軸訂交11.以以下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形=90于點M，且M是BC的中點，A、B、D三點的坐標(biāo)分別是A〔-1，〕，B，2)，D，0)，連結(jié)DM，并0(-1(3把線段DM沿DA方向平移到ON，假定拋物線yax2bxc經(jīng)過點D、M、N．=++1〕求拋物線的分析式2〕拋物線上能否存在點P．使得PA=PC．假定存在，求出點P的坐標(biāo)；假定不存在．請說明原因?！病吃O(shè)拋物線與x軸的另—個交點為E．點Q是拋物線的對稱軸上的—個動點，當(dāng)點Q在什么地點時3有QEQC最大？并求出最大值。yNBMCEAODx圖〔1〕解：由題意可得M〔0，2〕，N〔-3，2〕1a2c91∴29a3bc解得：b09a3bc，3c2∴y=1x21x232〕∵PA=PC，∴P在AC的垂直均分線上，依題意，AC的垂直均分線經(jīng)過B〔-1，2〕，〔1，0〕，這條直線為y=－x+1．yx1y1x21x293x1332x2332解得：y1232，y2232∴P〔332,232〕，P〔332,232〕．12..下載可編寫3〕D為E對于對稱軸x=1．5對稱，CD所在的直線y=－x+3．yQ=4．5，∴Q〔-1．5，4．5〕．QEQC最大值為CD=2222=22．個單位/秒．〔〕〔〕,．3當(dāng)t9時，有最大值為121，此時P(11,93)．2422．如圖，拋物線y=1x2bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A〔一，〕．122+10⑴求拋物線的分析式及極點D的坐標(biāo)；⑵判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；⑶點M(m，0)是x軸上的一個動點，當(dāng)CM+DM的值最小時，求m的值．〔〕∵點〔，〕在拋物線y=1x2+bx上，∴1×(-1)2+b×(-1)–2=0，解得b=31A-102-222∴拋物線的分析式為y=1x2-3x-2.y=1x2-3x-2=1(x2-3x-4)=1(x-3)2-25,22222228∴極點D的坐標(biāo)為(3,-25).28〔2〕當(dāng)x=0時y=-2,∴C〔0，-2〕，OC=2．當(dāng)y=0時，1x2-3x-2=0，∴x1=-1,x2=4,∴B(4,0)22∴OA=1,OB=4,AB=5.222∴ACBCAB+=.〔3〕作出點C對于x軸的對稱點

2222∵AB=25,AC=OA+OC=5,∴△ABC是直角三角形.C′，那么C′〔0，2〕，OC′=2，連結(jié)C′D交

222BC=OC+OB=20,x軸于點M，依據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最?。O(shè)直線C′D的分析式為y=kx+n,那么n2，解得n41.3kn25=2,k1228∴y41x2.∴當(dāng)y=0時，41x20，x24.∴m241212414113.〔2021浙江金華，10分〕在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，將n個邊長為1的正方形并排構(gòu)成矩形OABC，1相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設(shè)拋物線yax2bxca過矩形極點B、C=++(<0).1〕當(dāng)n＝1時，假如a=－1，試求b的值；2〕當(dāng)n＝2時，如圖2，在矩形OABC上方作一邊長為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，假如M，N..下載可編寫兩點也在拋物線上，求出此時拋物線的分析式；〔3〕將矩形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使得點B落到x軸的正半軸上，假如該拋物線同時經(jīng)過原點O，①試求出當(dāng)n=3時a的值；②直接寫出a對于n的關(guān)系式.yyCDy=1.1厘MNCBCBFE?

COAO?BxOAxxA121解：〔1〕由題意可知，拋物線對稱軸為直線x=，b1,得b=1；2a22〕設(shè)所求拋物線分析式為yax2bx1，1由對稱