版高中數(shù)學(xué)基本不等式應(yīng)用創(chuàng)新演練新人教a版

第一部分第三章基本不等式應(yīng)用創(chuàng)新演練1．(2022·上海高考)若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2>2ab B．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab)\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) \f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析：對(duì)于A，當(dāng)a＝b時(shí)，有a2＋b2＝2ab，故A不正確；對(duì)于B，若a<0，b<0，則有a＋b<2eq\r(ab)，所以B也不正確，同理，C也不正確；對(duì)于D，∵ab>0，∴eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0.∴eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b時(shí)，取“＝”號(hào)，故D正確．答案：D2．下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B．當(dāng)x>0時(shí)，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2C．當(dāng)x≥2時(shí)，x＋eq\f(1,x)的最小值為2D．當(dāng)0<x≤2時(shí)，x－eq\f(1,x)無(wú)最大值解析：A錯(cuò)誤．若0＜x＜1，則lgx＜0，∴l(xiāng)gx＜0.∴l(xiāng)gx＋eq\f(1,lgx)≥2，不成立．C錯(cuò)誤．x＋eq\f(1,x)的最小值是2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)成立，當(dāng)x≥2時(shí)，x＋eq\f(1,x)的最小值是eq\f(5,2).D錯(cuò)誤．當(dāng)x＝2時(shí)，取到最大值．答案：B3．(2022·重慶高考)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()\f(7,2) B．4\f(9,2) D．5解析：依題意得eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,a)＋eq\f(4,b))(a＋b)＝eq\f(1,2)[5＋(eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b))]≥eq\f(1,2)(5＋2eq\r(\f(b,a)×\f(4a,b)))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,\f(b,a)＝\f(4a,b)，,a＞0，b＞0，))即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)時(shí)取等號(hào)，即eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是eq\f(9,2).答案：C4．若－4<x<1，則f(x)＝eq\f(x2－2x＋2,2x－2)()A．有最小值1 B．有最大值1C．有最小值－1 D．有最大值－1解析：f(x)＝eq\f(x2－2x＋2,2x－2)＝eq\f(1,2)[(x－1)＋eq\f(1,x－1)]，又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0.∴f(x)＝－eq\f(1,2)[－(x－1)＋eq\f(1,－x－1)]≤－1.當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(1,x－1)，即x＝0時(shí)等號(hào)成立．答案：D5．當(dāng)x>eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)y＝x＋eq\f(8,2x－1)的最小值為________．解析：∵x>eq\f(1,2)，∴x－eq\f(1,2)>0.∴y＝x＋eq\f(8,2x－1)＝(x－eq\f(1,2))＋eq\f(4,x－\f(1,2))＋eq\f(1,2)≥2eq\r(x－\f(1,2)·\f(4,x－\f(1,2)))＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)x－eq\f(1,2)＝eq\f(4,x－\f(1,2))，即x＝eq\f(5,2)時(shí)取“＝”號(hào)．答案：eq\f(9,2)6．若對(duì)任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是________．解析：因?yàn)閤>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2.當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，所以有eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2＋3)＝eq\f(1,5)，即eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值為eq\f(1,5)，故a≥eq\f(1,5).答案：[eq\f(1,5)，＋∞)7．已知a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，求證：a＋b＋c＞eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).證明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2eq\r(ab)，b＋c≥2eq\r(bc)，c＋a≥2eq\r(ac)，∴2(a＋b＋c)≥2eq\r(ab)＋2eq\r(bc)＋2eq\r(ca)，即a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca)，由于a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，等號(hào)不成立，∴a＋b＋c＞eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).8．(2022·泰安市高二檢測(cè))某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場(chǎng)，其總面積為3000平方米，其中場(chǎng)地四周(陰影部分)為通道，通道寬度均為2米，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地(其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同)，塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為S平方米．(1)分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式(寫出函數(shù)定義域)；(2)怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值，最大值為多少？解：(1)由已知xy＝3000,2a＋6＝y(tǒng)，則y＝eq\f(3000,x)(6≤x≤500)，S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·eq\f(y－6,2)＝(x－5)(y－6)＝3030－6x－eq\f(15000,x)(6≤x≤500)．(2)S＝3030－6x－eq\f(15000,x)≤3030－2eq\r(6x·\