第五章-排隊論(Queuing-Theory)課件

第五章排隊論(QueuingTheory)

排隊論（queuing),也稱隨機服務系統(tǒng)理論，是運籌學的一個主要分支。1909年，丹麥哥本哈根電子公司電話工程師A.K.Erlang的開創(chuàng)性論文“概率論和電話通訊理論”標志此理論的誕生。排隊論的發(fā)展最早是與電話，通信中的問題相聯(lián)系的，并到現(xiàn)在是排隊論的傳統(tǒng)的應用領域。近年來在計算機通訊網(wǎng)絡系統(tǒng)、交通運輸、醫(yī)療衛(wèi)生系統(tǒng)、庫存管理、作戰(zhàn)指揮等各領域中均得到應用。1第五章排隊論(QueuingTheory)§1.1排隊系統(tǒng)的組成與特征排隊系統(tǒng)一般有三個基本組成部分：1.輸入過程；2.排隊規(guī)則；3.服務機構?，F(xiàn)分別說明：§1排隊論的基本概念2§1.1排隊系統(tǒng)的組成與特征§1排隊論的基本概念2輸入即為顧客的到達，可有下列3種情況：1）顧客來源。顧客總體(稱為顧客源)的組成可能是有限的，也可能是無限的。如，上游河水流入水庫可以認為總體是無限的，工廠內停機待修的機器顯然是有限的總體。2）顧客到達方式。顧客到來的方式可能是一個一個的，也可能是成批的。如，到餐廳就餐就有單個到來的顧客和受邀請來參加宴會的成批顧客。

1.輸入過程3輸入即為顧客的到達，可有下列3種情況：1.輸入過程33）顧客流的概率分布。顧客隨機一個(批)個(批)來到排隊系統(tǒng)，顧客流的概率分布用來描述相繼到達的顧客之間的間隔時間分布是確定的還是隨機的，分布參數(shù)是什么，到達的間隔時間是否獨立，分布是隨時間變化的還是平穩(wěn)的。43）顧客流的概率分布。顧客隨機一個(批)個(批)來到排隊系統(tǒng)

2.排隊規(guī)則

1）損失制。顧客到達時，如果所有的服務臺都被占用，且服務機構又不允許顧客等待，顧客只能離去，這種服務規(guī)則就是損失制。2）等待制。當顧客到達時，如果所有服務臺都被顧客占用而無空閑，這時該顧客自動加入隊列排隊等待服務，服務完才離開。

（1）先到先服務FCFS（2）后到先服務LCFS（3）隨機服務RAND（4）有優(yōu)先權服務PR。

52.排隊規(guī)則1）損失制。顧3.服務機構1）服務機構可以是單服務員和多服務員服務，這種服務形式與隊列規(guī)則聯(lián)合后形成了多種不同隊列，不同形式的排隊服務機構，如：63.服務機構1）服務機構可以是單服務員和多服務員服務上述特征中最主要的、影響最大的是：顧客相繼到達的間隔時間分布服務時間的分布服務臺數(shù)D.G.Kendall，1953提出了分類法，稱為Kendall記號(適用于并列服務臺)即：[X/Y/Z]:[A/B/C]2)服務方式分為單個顧客服務和成批顧客服務。3)服務時間分為確定型和隨機型。4)服務時間的分布在這里我們假定是平穩(wěn)的?！?.2排隊系統(tǒng)的模型分類7上述特征中最主要的、影響最大的是：2)服務方式分為單個顧式中：X——顧客相繼到達間隔時間分布。M—負指數(shù)分布Markov，D—確定型分布Deterministic，Ek—K階愛爾朗分布Erlang，GI—一般相互獨立隨機分布(GeneralIndependent)，G—一般隨機分布。Y——填寫服務時間分布（與上同）Z——填寫并列的服務臺數(shù)A——排隊系統(tǒng)的最大容量B——顧客源數(shù)量C——排隊規(guī)則如[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即為顧客到達為泊松過程，服務時間為負指數(shù)分布，單臺，無限容量，無限源，先到先服務的排隊系統(tǒng)模型。8式中：X——顧客相繼到達間隔時間分布。8系統(tǒng)指標隊長，指在系統(tǒng)中的顧客數(shù)，它的期望值記Ls；(2)排隊長，指在系統(tǒng)中排隊等待服務的顧客數(shù)，它的期望值記作Lq

系統(tǒng)中顧客數(shù)在隊列中等待服務的顧客數(shù)正被服務的顧客數(shù)+=一般情形，Ls(或Lq)越大，說明服務效率越低。9系統(tǒng)指標系統(tǒng)中顧客數(shù)在隊列中等待服務的顧客數(shù)正被服務的(3)逗留時間，指一個顧客在系統(tǒng)中的停留時間，它的期望值記作Ws；(4)等待時間，指一個顧客在系統(tǒng)中排隊等待的時間，它的期望值記作Wq；等待時間服務時間+逗留時間=10(3)逗留時間，指一個顧客在系統(tǒng)中的停留時等待時間服務時間1.3排隊論研究的基本問題

1.排隊系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷:即通過對排隊系統(tǒng)主要參數(shù)的統(tǒng)計推斷和對排隊系統(tǒng)的結構分析，判斷一個給定的排隊系統(tǒng)符合于哪種模型，以便根據(jù)排隊理論進行研究。2.系統(tǒng)性態(tài)問題:即研究各種排隊系統(tǒng)的概率規(guī)律性，主要研究隊長分布、等待時間分布和忙期分布等統(tǒng)計指標,包括了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩種情形。3.最優(yōu)化問題：即包括最優(yōu)設計(靜態(tài)優(yōu)化)，最優(yōu)運營（動態(tài)優(yōu)化）。111.3排隊論研究的基本問題111.4排隊問題求解(主要指性態(tài)問題)求解一般排隊系統(tǒng)問題的目的主要是通過研究排隊系統(tǒng)運行的效率指標，估計服務質量，確定系統(tǒng)的合理結構和系統(tǒng)參數(shù)的合理值，以便實現(xiàn)對現(xiàn)有系統(tǒng)合理改進和對新建系統(tǒng)的最優(yōu)設計等。排隊問題的一般步驟：1.確定或擬合排隊系統(tǒng)顧客到達的時間間隔分布和服務時間分布(可實測)。2.研究系統(tǒng)狀態(tài)的概率。系統(tǒng)狀態(tài)是指系統(tǒng)中顧客數(shù)。狀態(tài)概率用Pn(t)表示,即在t時刻系統(tǒng)中有n個顧客的概率，也稱瞬態(tài)概率。121.4排隊問題求解(主要指性態(tài)問題)求解一般排隊系統(tǒng)求解狀態(tài)概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差分方程，通過求解微分差分方程得到系統(tǒng)瞬態(tài)解，由于瞬態(tài)解一般求出確定值比較困難，即便求得一般也很難使用。因此我們常常使用它的極限(如果存在的話)：穩(wěn)態(tài)的物理意義見右圖，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)一般很快都能達到，但實際中達不到穩(wěn)態(tài)的現(xiàn)象也存在。值得注意的是求穩(wěn)態(tài)概率Pn并不一定求t→∞的極限,而只需求Pn’(t)=0即可。過渡狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)pnt圖3排隊系統(tǒng)狀態(tài)變化示意圖稱為穩(wěn)態(tài)(steadystate)解，或稱統(tǒng)計平衡狀態(tài)(StatisticalEquilibriumState)的解。13求解狀態(tài)概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差§2排隊論主要知識點排隊系統(tǒng)的組成與特征排隊系統(tǒng)的模型分類顧客到達間隔時間和服務時間的經(jīng)驗分布與理論分布穩(wěn)態(tài)概率Pn的計算標準的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS])系統(tǒng)容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS]顧客源有限模型[M/M/1][∞/M/FCFS]標準的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]14§2排隊論主要知識點排隊系統(tǒng)的組成與特征14M/M/C型系統(tǒng)和C個M/M/1型系統(tǒng)系統(tǒng)容量有限制的多服務臺模型(M/M/C/N/∞)顧客源為有限的多服務臺模型(M/M/C/∞/M)一般服務時間的（M/G/1）模型Pollaczek-Khintchine(P-K)公式定長服務時間M/D/1模型愛爾朗服務時間M/Ek/1模型排隊系統(tǒng)優(yōu)化M/M/1模型中的最優(yōu)服務率u標準的M/M/1Model系統(tǒng)容量為N的情形M/M/C模型中最優(yōu)服務臺數(shù)C15M/M/C型系統(tǒng)和C個M/M/1型系統(tǒng)15§3到達間隔時間分布和服務時間的分布一個排隊系統(tǒng)的最主要特征參數(shù)是顧客的到達間隔時間分布與服務時間分布。要研究到達間隔時間分布與服務時間分布需要首先根據(jù)現(xiàn)存系統(tǒng)原始資料統(tǒng)計出它們的經(jīng)驗分布（見P315—319），然后與理論分布擬合，若能照應，我們就可以得出上述的分布情況。16§3到達間隔時間分布和服務時間的分布一個排隊系統(tǒng)的§3.1經(jīng)驗分布經(jīng)驗分布是對排隊系統(tǒng)的某些時間參數(shù)根據(jù)經(jīng)驗數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，并依據(jù)統(tǒng)計分析結果假設其統(tǒng)計樣本的總體分布，選擇合適的檢驗方法進行檢驗，當通過檢驗時，我們認為時間參數(shù)的經(jīng)驗數(shù)據(jù)服從該假設分布。分布的擬合檢驗一般采用2檢驗。由數(shù)理統(tǒng)計的知識我們知：若樣本量n充分大(n≥50)，則當假設H0為真時，統(tǒng)計量總是近似地服從自由度為k-r-1的

2分布，其中k為分組數(shù)，r為檢驗分布中被估計的參數(shù)個數(shù)。17§3.1經(jīng)驗分布經(jīng)驗分布是對排隊系統(tǒng)的某些§3.2理論分布式中λ為常數(shù)(λ>0)，稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，若在上式中引入時間參數(shù)t，即令λt代替λ，則有：

1.泊松分布在概率論中，我們曾學過泊松分布，設隨機變量為X，則有：n=0,1,2,…（1）與時間有關的隨機變量的概率，是一個隨機過程，即泊松過程。t>0，n=0,1,2,…（2）18§3.2理論分布式中λ為常數(shù)(λ>0)，（t2>t1，n≥0）若設N(t)表示在時間區(qū)間[0,t)內到達的顧客數(shù)(t>0),Pn(t1,t2)表示在時間區(qū)間[t1,t2)(t2>t1)內有n(≥0)個顧客到達的概率。即：在一定的假設條件下顧客的到達過程就是一個泊松過程。當Pn(t1,t2)符合下述三個條件時，顧客到達過程就是泊松過程(顧客到達形成普阿松流)。19（t2>t1，n≥0）若設N(t)表示在時間區(qū)間[0①無后效性：各區(qū)間的到達相互獨立,即Markov性。也就是說過程在t+Δt所處的狀態(tài)與t以前所處的狀態(tài)無關。②平穩(wěn)性：即對于足夠小的Δt，有：普阿松流具有如下特性：在[t,t+Δt]內有一個顧客到達的概率與t無關,而與Δt成正比。20①無后效性：各區(qū)間的到達相互獨立,即Markov性。也

③普通性：對充分小的Δt,在時間區(qū)間（t,t+Δt）內有2個或2個以上顧客到達的概率是一高階無窮小.由此知，在(t，t+Δt)區(qū)間內沒有顧客到達的概率為：令t1=0,t2=t,則P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)λ>0是常數(shù)，它表示單位時間到達的顧客數(shù)，稱為概率強度。即P0+P1+P≥2=1在上述假設下，t時刻系統(tǒng)中有n個顧客的概率pn(t)：

21③普通性：對充分小的Δt,在時間區(qū)間（t,t+Anpn(t)01-t+(t)pn(t)(1-t+(t)Bn-1pn-1(t)1tpn-1(t)t(t)(t)n-2Pn-2(t)2Cn-3Pn-3(t)30P0(t)n22Anpn(t)01-t+………(1)………(2)當n=0時，則∴……(3)（沒有顧客到達的概率）（n個顧客到達的概率）（4）瞬態(tài)方程（1）、（2）兩式求導并令導數(shù)為0，得穩(wěn)態(tài)概率：23………(1)………(2)當n=0時，則∴……(3)（沒有顧客級數(shù)∴令k=n-1，則：同理方差為：顧客到達過程是一個泊松過程(泊松流)。期望24級數(shù)∴令k=n-1，則：同理方差為：顧客到達過程是一個泊松過

λ表示單位時間內顧客平均到達數(shù)。1/λ表示顧客到達的平均間隔時間。對顧客的服務時間：系統(tǒng)處于忙期時兩顧客相繼離開系統(tǒng)的時間間隔，一般地也服從負指數(shù)分布，接受服務，然后離開服務時間的分布：2.負指數(shù)分布

可以證明當輸入過程是泊松流時，兩顧客相繼到達的時間間隔T獨立且服從負指數(shù)分布。（等價），則25λ表示單位時間內顧客平均到達數(shù)。對顧客的服務時間：其中：μ表示單位時間內能被服務的顧客數(shù)，即平均服務率。1/μ表示一個顧客的平均服務時間。

3.愛爾朗(Erlang)分布設v1,v2，…,vk是k個獨立的隨機變量，服從相同參數(shù)

k

的負指數(shù)分布，那么：，則令，則ρ稱為服務強度。26其中：μ表示單位時間內能被服務的顧客數(shù)，即平均3.愛

串聯(lián)的k個服務臺，每臺服務時間相互獨立，服從相同的負指數(shù)分布（參數(shù)k），那么一顧客走完k個服務臺總共所需要服務時間就服從上述的k階Erlang分布。則稱T服從k階愛爾朗分布。其特征值為：,其概率密度是1/kμ表示一個顧客的一個服務臺的平均服務時間。27串聯(lián)的k個服務臺，每臺服務時間相互獨立，服從相同的負指

例:有易碎物品500件,由甲地運往乙地,根據(jù)以往統(tǒng)計資料,在運輸過程中易碎物品按普阿松流發(fā)生破碎,其破損率為0.002,現(xiàn)求:1.破碎3件物品的概率;2.破碎少于3件的概率和多于3件的概率;3.至少有一件破損的概率.解:∵λ=0.002×500=11．破碎3件物品的概率為:P(k=3)=(3/3！)e-=(13/3！)e-1=0.0613即物品破碎3件的概率為6.132.破碎物品少于3件的概率:28例:有易碎物品500件,由甲地運往乙地,根據(jù)以往統(tǒng)計資∴破碎物品少于3件的概率為91.97破碎物品多于3件的概率為:3.至少有一件破碎的概率為P{k1}=1-(1k/k!)e-=1-(10/0!)e-1=0.63229∴破碎物品少于3件的概率為91.973.至少有一件破碎的對排隊模型，在給定輸入和服務條件下，主要研究系統(tǒng)的下述運行指標：(1)系統(tǒng)的平均隊長Ls(期望值)和平均隊列長Lq(期望值)；(2)系統(tǒng)中顧客平均逗留時間Ws與隊列中平均等待時間Wq；本節(jié)只研究M/M/1模型，下面分三種情況討論：§4.M/M/1模型30對排隊模型，在給定輸入和服務條件下，主要研究系統(tǒng)的下§4.1標準的M/M/1模型

系統(tǒng)中有n個顧客[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]模型1.穩(wěn)態(tài)概率Pn的計算

在任意時刻t，狀態(tài)為n的概率Pn(t)（瞬態(tài)概率），它決定了系統(tǒng)的運行特征。已知顧客到達服從參數(shù)為λ的泊松過程，服務時間服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布。現(xiàn)仍然通過研究區(qū)間[t，t+Δt）的變化來求解。在時刻t+Δt，系統(tǒng)中有n個顧客不外乎有下列四種情況（[t，t+Δt）內到達或離開2個以上沒列入）。？

31§4.1標準的M/M/1模型系統(tǒng)中有n個顧客[M/由于這四種情況是互不相容的，所以Pn(t+Δt)應是這四項之和，則有：所有的高階無窮小合并32由于這四種情況是互不相容的，所以Pn(t+Δt令Δt→0，得關于Pn(t)的微分差分方程：……(1)當n=0時，只有表中的（A）、（B）兩種情況，因為在較小的Δt內不可能發(fā)生（D）（到達后即離去），若發(fā)生可將Δt取小即可?！唷唷?2)生滅過程瞬態(tài)解33令Δt→0，得關于Pn(t)的微分差分方程：……(1)由此可得該排隊系統(tǒng)的狀態(tài)轉移圖：由（4）得：其中ρ——服務強度將其代入（3）式并令n=1,2,…(也可從狀態(tài)轉移圖中看出狀態(tài)平衡方程)得：關于Pn的差分方程n-1nn+1201……穩(wěn)態(tài)時，它對時間的導數(shù)為0，所以由(1)、(2)兩式得：Pn(t)與時間無關,可以寫成Pn,………(3)………(4)34由此可得該排隊系統(tǒng)的狀態(tài)轉移圖：由（4）得：其中ρ——服務強n=1∴n=2∴35n=1∴n=2∴35以此類推…，當n=n時，………(5)∵以及概率性質知：(數(shù)列的極限為)∴………(6)∴否則排隊無限遠系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率系統(tǒng)的運行指標36以此類推…，當n=n時，………(5)∵以及概率性質知：(數(shù)列2.系統(tǒng)的運行指標計算(1)系統(tǒng)中的隊長Ls（平均隊長）(0<ρ<1)即:………(7)期望372.系統(tǒng)的運行指標計算(0<ρ<1)即:………(7)期望3(2)隊列中等待的平均顧客數(shù)Lq………(8)(3)顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間Ws顧客在系統(tǒng)中的逗留時間是隨機變量，可以證明，它服從參數(shù)為μ-λ的負指數(shù)分布，分布函數(shù)38(2)隊列中等待的平均顧客數(shù)Lq………(8)(3)顧和密度函數(shù)為：（w≥0）∴(4)顧客在隊列中的平均逗留時間Wq

等待時間顧客在隊列中的平均逗留時間應為Ws減去平均服務時間?？紤]LS與WS的關系39和密度函數(shù)為：（w≥0）∴(4)顧客在隊列中的平均逗留四個指標的關系為(Little公式)：

3.系統(tǒng)的忙期與閑期系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率：系統(tǒng)處于繁忙狀態(tài)的概率：服務強度40四個指標的關系為(Little公式)：3.系統(tǒng)的忙期與在繁忙狀態(tài)下，隊列中的平均顧客數(shù)Lb：顧客平均等待時間:忙期的平均長度:(由來)一個忙期平均服務的顧客數(shù)為：Lb×P(N≥0)=Lq41在繁忙狀態(tài)下，隊列中的平均顧客數(shù)Lb：顧客平均等待時間:忙期例：

某醫(yī)院手術室根據(jù)病人來診和完成手術的時間記錄，任意抽查100個工作小時，每小時來就診的病人數(shù)n的出現(xiàn)次數(shù)如表9-4。又任意抽查了100個完成手術的病歷，所用時間v(小時)出現(xiàn)的次數(shù)如表9-5。計算手術室的各項指標。42例：

某醫(yī)院手術室根據(jù)病人來診和完成手術的時到達的病人數(shù)n出現(xiàn)次數(shù)fn010128229316410566以上1合計100為病人完成手術時間v(小時)出現(xiàn)次數(shù)fv0.0－0.2380.2－0.4250.4－0.6170.6－0.890.8－1.061.0－1.251.2以上0合計100表9-4表9-543到達的病人數(shù)n出現(xiàn)次數(shù)fn010128229316410561.參數(shù)的確定算出每小時病人平均到達率＝＝2.1(人/小時)每次手術平均時間＝＝0.4(小時/人)每小時完成手術人數(shù)(平均服務率)＝＝2.5(人/小時)2.取λ＝2.1，μ＝2.5，可以通過統(tǒng)計檢驗的方法(例如χ2檢驗法)，認為病人到達數(shù)服從參數(shù)為2.1的普阿松分布，手術時間服從參數(shù)為2.5的負指數(shù)分布。3.它說明服務機構(手術室)有84％的時間是繁忙(被利用)，有16％的時間是空閑的。441.參數(shù)的確定444.依次算出各指標：在病房中病人數(shù)(期望值)

排隊等待病人數(shù)(期望值)

病人在病房中逗留時間(期望值)

病人排隊等待時間(期望值)

454.依次算出各指標：45+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlX&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPgWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNelXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v1D4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I46+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7Ia第五章排隊論(QueuingTheory)

排隊論（queuing),也稱隨機服務系統(tǒng)理論，是運籌學的一個主要分支。1909年，丹麥哥本哈根電子公司電話工程師A.K.Erlang的開創(chuàng)性論文“概率論和電話通訊理論”標志此理論的誕生。排隊論的發(fā)展最早是與電話，通信中的問題相聯(lián)系的，并到現(xiàn)在是排隊論的傳統(tǒng)的應用領域。近年來在計算機通訊網(wǎng)絡系統(tǒng)、交通運輸、醫(yī)療衛(wèi)生系統(tǒng)、庫存管理、作戰(zhàn)指揮等各領域中均得到應用。47第五章排隊論(QueuingTheory)§1.1排隊系統(tǒng)的組成與特征排隊系統(tǒng)一般有三個基本組成部分：1.輸入過程；2.排隊規(guī)則；3.服務機構。現(xiàn)分別說明：§1排隊論的基本概念48§1.1排隊系統(tǒng)的組成與特征§1排隊論的基本概念2輸入即為顧客的到達，可有下列3種情況：1）顧客來源。顧客總體(稱為顧客源)的組成可能是有限的，也可能是無限的。如，上游河水流入水庫可以認為總體是無限的，工廠內停機待修的機器顯然是有限的總體。2）顧客到達方式。顧客到來的方式可能是一個一個的，也可能是成批的。如，到餐廳就餐就有單個到來的顧客和受邀請來參加宴會的成批顧客。

1.輸入過程49輸入即為顧客的到達，可有下列3種情況：1.輸入過程33）顧客流的概率分布。顧客隨機一個(批)個(批)來到排隊系統(tǒng)，顧客流的概率分布用來描述相繼到達的顧客之間的間隔時間分布是確定的還是隨機的，分布參數(shù)是什么，到達的間隔時間是否獨立，分布是隨時間變化的還是平穩(wěn)的。503）顧客流的概率分布。顧客隨機一個(批)個(批)來到排隊系統(tǒng)

2.排隊規(guī)則

1）損失制。顧客到達時，如果所有的服務臺都被占用，且服務機構又不允許顧客等待，顧客只能離去，這種服務規(guī)則就是損失制。2）等待制。當顧客到達時，如果所有服務臺都被顧客占用而無空閑，這時該顧客自動加入隊列排隊等待服務，服務完才離開。

（1）先到先服務FCFS（2）后到先服務LCFS（3）隨機服務RAND（4）有優(yōu)先權服務PR。

512.排隊規(guī)則1）損失制。顧3.服務機構1）服務機構可以是單服務員和多服務員服務，這種服務形式與隊列規(guī)則聯(lián)合后形成了多種不同隊列，不同形式的排隊服務機構，如：523.服務機構1）服務機構可以是單服務員和多服務員服務上述特征中最主要的、影響最大的是：顧客相繼到達的間隔時間分布服務時間的分布服務臺數(shù)D.G.Kendall，1953提出了分類法，稱為Kendall記號(適用于并列服務臺)即：[X/Y/Z]:[A/B/C]2)服務方式分為單個顧客服務和成批顧客服務。3)服務時間分為確定型和隨機型。4)服務時間的分布在這里我們假定是平穩(wěn)的?！?.2排隊系統(tǒng)的模型分類53上述特征中最主要的、影響最大的是：2)服務方式分為單個顧式中：X——顧客相繼到達間隔時間分布。M—負指數(shù)分布Markov，D—確定型分布Deterministic，Ek—K階愛爾朗分布Erlang，GI—一般相互獨立隨機分布(GeneralIndependent)，G—一般隨機分布。Y——填寫服務時間分布（與上同）Z——填寫并列的服務臺數(shù)A——排隊系統(tǒng)的最大容量B——顧客源數(shù)量C——排隊規(guī)則如[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即為顧客到達為泊松過程，服務時間為負指數(shù)分布，單臺，無限容量，無限源，先到先服務的排隊系統(tǒng)模型。54式中：X——顧客相繼到達間隔時間分布。8系統(tǒng)指標隊長，指在系統(tǒng)中的顧客數(shù)，它的期望值記Ls；(2)排隊長，指在系統(tǒng)中排隊等待服務的顧客數(shù)，它的期望值記作Lq

系統(tǒng)中顧客數(shù)在隊列中等待服務的顧客數(shù)正被服務的顧客數(shù)+=一般情形，Ls(或Lq)越大，說明服務效率越低。55系統(tǒng)指標系統(tǒng)中顧客數(shù)在隊列中等待服務的顧客數(shù)正被服務的(3)逗留時間，指一個顧客在系統(tǒng)中的停留時間，它的期望值記作Ws；(4)等待時間，指一個顧客在系統(tǒng)中排隊等待的時間，它的期望值記作Wq；等待時間服務時間+逗留時間=56(3)逗留時間，指一個顧客在系統(tǒng)中的停留時等待時間服務時間1.3排隊論研究的基本問題

1.排隊系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷:即通過對排隊系統(tǒng)主要參數(shù)的統(tǒng)計推斷和對排隊系統(tǒng)的結構分析，判斷一個給定的排隊系統(tǒng)符合于哪種模型，以便根據(jù)排隊理論進行研究。2.系統(tǒng)性態(tài)問題:即研究各種排隊系統(tǒng)的概率規(guī)律性，主要研究隊長分布、等待時間分布和忙期分布等統(tǒng)計指標,包括了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩種情形。3.最優(yōu)化問題：即包括最優(yōu)設計(靜態(tài)優(yōu)化)，最優(yōu)運營（動態(tài)優(yōu)化）。571.3排隊論研究的基本問題111.4排隊問題求解(主要指性態(tài)問題)求解一般排隊系統(tǒng)問題的目的主要是通過研究排隊系統(tǒng)運行的效率指標，估計服務質量，確定系統(tǒng)的合理結構和系統(tǒng)參數(shù)的合理值，以便實現(xiàn)對現(xiàn)有系統(tǒng)合理改進和對新建系統(tǒng)的最優(yōu)設計等。排隊問題的一般步驟：1.確定或擬合排隊系統(tǒng)顧客到達的時間間隔分布和服務時間分布(可實測)。2.研究系統(tǒng)狀態(tài)的概率。系統(tǒng)狀態(tài)是指系統(tǒng)中顧客數(shù)。狀態(tài)概率用Pn(t)表示,即在t時刻系統(tǒng)中有n個顧客的概率，也稱瞬態(tài)概率。581.4排隊問題求解(主要指性態(tài)問題)求解一般排隊系統(tǒng)求解狀態(tài)概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差分方程，通過求解微分差分方程得到系統(tǒng)瞬態(tài)解，由于瞬態(tài)解一般求出確定值比較困難，即便求得一般也很難使用。因此我們常常使用它的極限(如果存在的話)：穩(wěn)態(tài)的物理意義見右圖，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)一般很快都能達到，但實際中達不到穩(wěn)態(tài)的現(xiàn)象也存在。值得注意的是求穩(wěn)態(tài)概率Pn并不一定求t→∞的極限,而只需求Pn’(t)=0即可。過渡狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)pnt圖3排隊系統(tǒng)狀態(tài)變化示意圖稱為穩(wěn)態(tài)(steadystate)解，或稱統(tǒng)計平衡狀態(tài)(StatisticalEquilibriumState)的解。59求解狀態(tài)概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差§2排隊論主要知識點排隊系統(tǒng)的組成與特征排隊系統(tǒng)的模型分類顧客到達間隔時間和服務時間的經(jīng)驗分布與理論分布穩(wěn)態(tài)概率Pn的計算標準的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS])系統(tǒng)容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS]顧客源有限模型[M/M/1][∞/M/FCFS]標準的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]60§2排隊論主要知識點排隊系統(tǒng)的組成與特征14M/M/C型系統(tǒng)和C個M/M/1型系統(tǒng)系統(tǒng)容量有限制的多服務臺模型(M/M/C/N/∞)顧客源為有限的多服務臺模型(M/M/C/∞/M)一般服務時間的（M/G/1）模型Pollaczek-Khintchine(P-K)公式定長服務時間M/D/1模型愛爾朗服務時間M/Ek/1模型排隊系統(tǒng)優(yōu)化M/M/1模型中的最優(yōu)服務率u標準的M/M/1Model系統(tǒng)容量為N的情形M/M/C模型中最優(yōu)服務臺數(shù)C61M/M/C型系統(tǒng)和C個M/M/1型系統(tǒng)15§3到達間隔時間分布和服務時間的分布一個排隊系統(tǒng)的最主要特征參數(shù)是顧客的到達間隔時間分布與服務時間分布。要研究到達間隔時間分布與服務時間分布需要首先根據(jù)現(xiàn)存系統(tǒng)原始資料統(tǒng)計出它們的經(jīng)驗分布（見P315—319），然后與理論分布擬合，若能照應，我們就可以得出上述的分布情況。62§3到達間隔時間分布和服務時間的分布一個排隊系統(tǒng)的§3.1經(jīng)驗分布經(jīng)驗分布是對排隊系統(tǒng)的某些時間參數(shù)根據(jù)經(jīng)驗數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，并依據(jù)統(tǒng)計分析結果假設其統(tǒng)計樣本的總體分布，選擇合適的檢驗方法進行檢驗，當通過檢驗時，我們認為時間參數(shù)的經(jīng)驗數(shù)據(jù)服從該假設分布。分布的擬合檢驗一般采用2檢驗。由數(shù)理統(tǒng)計的知識我們知：若樣本量n充分大(n≥50)，則當假設H0為真時，統(tǒng)計量總是近似地服從自由度為k-r-1的

2分布，其中k為分組數(shù)，r為檢驗分布中被估計的參數(shù)個數(shù)。63§3.1經(jīng)驗分布經(jīng)驗分布是對排隊系統(tǒng)的某些§3.2理論分布式中λ為常數(shù)(λ>0)，稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，若在上式中引入時間參數(shù)t，即令λt代替λ，則有：

1.泊松分布在概率論中，我們曾學過泊松分布，設隨機變量為X，則有：n=0,1,2,…（1）與時間有關的隨機變量的概率，是一個隨機過程，即泊松過程。t>0，n=0,1,2,…（2）64§3.2理論分布式中λ為常數(shù)(λ>0)，（t2>t1，n≥0）若設N(t)表示在時間區(qū)間[0,t)內到達的顧客數(shù)(t>0),Pn(t1,t2)表示在時間區(qū)間[t1,t2)(t2>t1)內有n(≥0)個顧客到達的概率。即：在一定的假設條件下顧客的到達過程就是一個泊松過程。當Pn(t1,t2)符合下述三個條件時，顧客到達過程就是泊松過程(顧客到達形成普阿松流)。65（t2>t1，n≥0）若設N(t)表示在時間區(qū)間[0①無后效性：各區(qū)間的到達相互獨立,即Markov性。也就是說過程在t+Δt所處的狀態(tài)與t以前所處的狀態(tài)無關。②平穩(wěn)性：即對于足夠小的Δt，有：普阿松流具有如下特性：在[t,t+Δt]內有一個顧客到達的概率與t無關,而與Δt成正比。66①無后效性：各區(qū)間的到達相互獨立,即Markov性。也

③普通性：對充分小的Δt,在時間區(qū)間（t,t+Δt）內有2個或2個以上顧客到達的概率是一高階無窮小.由此知，在(t，t+Δt)區(qū)間內沒有顧客到達的概率為：令t1=0,t2=t,則P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)λ>0是常數(shù)，它表示單位時間到達的顧客數(shù)，稱為概率強度。即P0+P1+P≥2=1在上述假設下，t時刻系統(tǒng)中有n個顧客的概率pn(t)：

67③普通性：對充分小的Δt,在時間區(qū)間（t,t+Anpn(t)01-t+(t)pn(t)(1-t+(t)Bn-1pn-1(t)1tpn-1(t)t(t)(t)n-2Pn-2(t)2Cn-3Pn-3(t)30P0(t)n68Anpn(t)01-t+………(1)………(2)當n=0時，則∴……(3)（沒有顧客到達的概率）（n個顧客到達的概率）（4）瞬態(tài)方程（1）、（2）兩式求導并令導數(shù)為0，得穩(wěn)態(tài)概率：69………(1)………(2)當n=0時，則∴……(3)（沒有顧客級數(shù)∴令k=n-1，則：同理方差為：顧客到達過程是一個泊松過程(泊松流)。期望70級數(shù)∴令k=n-1，則：同理方差為：顧客到達過程是一個泊松過

λ表示單位時間內顧客平均到達數(shù)。1/λ表示顧客到達的平均間隔時間。對顧客的服務時間：系統(tǒng)處于忙期時兩顧客相繼離開系統(tǒng)的時間間隔，一般地也服從負指數(shù)分布，接受服務，然后離開服務時間的分布：2.負指數(shù)分布

可以證明當輸入過程是泊松流時，兩顧客相繼到達的時間間隔T獨立且服從負指數(shù)分布。（等價），則71λ表示單位時間內顧客平均到達數(shù)。對顧客的服務時間：其中：μ表示單位時間內能被服務的顧客數(shù)，即平均服務率。1/μ表示一個顧客的平均服務時間。

3.愛爾朗(Erlang)分布設v1,v2，…,vk是k個獨立的隨機變量，服從相同參數(shù)

k

的負指數(shù)分布，那么：，則令，則ρ稱為服務強度。72其中：μ表示單位時間內能被服務的顧客數(shù)，即平均3.愛

串聯(lián)的k個服務臺，每臺服務時間相互獨立，服從相同的負指數(shù)分布（參數(shù)k），那么一顧客走完k個服務臺總共所需要服務時間就服從上述的k階Erlang分布。則稱T服從k階愛爾朗分布。其特征值為：,其概率密度是1/kμ表示一個顧客的一個服務臺的平均服務時間。73串聯(lián)的k個服務臺，每臺服務時間相互獨立，服從相同的負指

例:有易碎物品500件,由甲地運往乙地,根據(jù)以往統(tǒng)計資料,在運輸過程中易碎物品按普阿松流發(fā)生破碎,其破損率為0.002,現(xiàn)求:1.破碎3件物品的概率;2.破碎少于3件的概率和多于3件的概率;3.至少有一件破損的概率.解:∵λ=0.002×500=11．破碎3件物品的概率為:P(k=3)=(3/3！)e-=(13/3！)e-1=0.0613即物品破碎3件的概率為6.132.破碎物品少于3件的概率:74例:有易碎物品500件,由甲地運往乙地,根據(jù)以往統(tǒng)計資∴破碎物品少于3件的概率為91.97破碎物品多于3件的概率為:3.至少有一件破碎的概率為P{k1}=1-(1k/k!)e-=1-(10/0!)e-1=0.63275∴破碎物品少于3件的概率為91.973.至少有一件破碎的對排隊模型，在給定輸入和服務條件下，主要研究系統(tǒng)的下述運行指標：(1)系統(tǒng)的平均隊長Ls(期望值)和平均隊列長Lq(期望值)；(2)系統(tǒng)中顧客平均逗留時間Ws與隊列中平均等待時間Wq；本節(jié)只研究M/M/1模型，下面分三種情況討論：§4.M/M/1模型76對排隊模型，在給定輸入和服務條件下，主要研究系統(tǒng)的下§4.1標準的M/M/1模型

系統(tǒng)中有n個顧客[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]模型1.穩(wěn)態(tài)概率Pn的計算

在任意時刻t，狀態(tài)為n的概率Pn(t)（瞬態(tài)概率），它決定了系統(tǒng)的運行特征。已知顧客到達服從參數(shù)為λ的泊松過程，服務時間服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布?，F(xiàn)仍然通過研究區(qū)間[t，t+Δt）的變化來求解。在時刻t+Δt，系統(tǒng)中有n個顧客不外乎有下列四種情況（[t，t+Δt）內到達或離開2個以上沒列入）。？

77§4.1標準的M/M/1模型系統(tǒng)中有n個顧客[M/由于這四種情況是互不相容的，所以Pn(t+Δt)應是這四項之和，則有：所有的高階無窮小合并78由于這四種情況是互不相容的，所以Pn(t+Δt令Δt→0，得關于Pn(t)的微分差分方程：……(1)當n=0時，只有表中的（A）、（B）兩種情況，因為在較小的Δt內不可能發(fā)生（D）（到達后即離去），若發(fā)生可將Δt取小即可?！唷唷?2)生滅過程瞬態(tài)解79令Δt→0，得關于Pn(t)的微分差分方程：……(1)由此可得該排隊系統(tǒng)的狀態(tài)轉移圖：由（4）得：其中ρ——服務強度將其代入（3）式并令n=1,2,…(也可從狀態(tài)轉移圖中看出狀態(tài)平衡方程)得：關于Pn的差分方程n-1nn+1201……穩(wěn)態(tài)時，它對時間的導數(shù)為0，所以由(1)、(2)兩式得：Pn(t)與時間無關,可以寫成Pn,………(3)………(4)80由此可得該排隊系統(tǒng)的狀態(tài)轉移圖：由（4）得：其中ρ——服務強n=1∴n=2∴81n=1∴n=2∴35以此類推…，當n=n時，………(5)∵以及概率性質知：(數(shù)列的極限為)∴………(6)∴否則排隊無限遠系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率系統(tǒng)的運行指標82以此類推…，當n=n時，………(5)∵以及概率性質知：(數(shù)列2.系統(tǒng)的運行指標計算(1)系統(tǒng)中的隊長Ls（平均隊長）(0<ρ<1)即:………(7)期望832.系統(tǒng)的運行指標計算(0<ρ<1)即:………(7)期望3(2)隊列中等待的平均顧客數(shù)Lq………(8)(3)顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間Ws顧客在系統(tǒng)中的逗留時間是隨機變量，可以證明，它服從參數(shù)為μ-λ的負指數(shù)分布，分布函數(shù)84(2)隊列中等待的平均顧客數(shù)Lq………(8)(3)顧和密度函數(shù)為：（w≥0）∴(4)顧客在隊列中的平均逗留時間Wq

等待時間顧客在隊列中的平均逗留時間應為Ws減去平均服務時間?？紤]LS與WS的關系85和密度函數(shù)為：（w≥0）∴(4)顧客在隊列中的平均逗留四個指標的關系為(Little公式)：

3.系統(tǒng)的忙期與閑期系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率：系統(tǒng)處于繁忙狀態(tài)的概率：服務強度86四個指標的關系為(Little公式)：3.系統(tǒng)的忙期與在繁忙狀態(tài)下，隊列中的平均顧客數(shù)Lb：顧客平均等待時間:忙期的平均長度:(由來)一個忙期平均服務的顧客數(shù)為：Lb×P(N≥0)=Lq87在繁忙狀態(tài)下，隊列中的平均顧客數(shù)Lb：顧客平均等待時間:忙期例：

某醫(yī)院手術室根據(jù)病人來診和完成手術的時間記錄，任意抽查100個工作小時，每小時來就診的病人數(shù)n的出現(xiàn)次數(shù)如表9-4。又任意抽查了100個完成手術的病歷，所用時間v(小時)出現(xiàn)的次數(shù)如表9-5。計算手術室的各項指標。88例：

某醫(yī)院手術室根據(jù)病人來診和完成手術的時到達的病人數(shù)n出現(xiàn)次數(shù)fn010128229316410566以上1合計100為病人完成手術時間v(小時)出現(xiàn)次數(shù)fv0.0－0.2380.2－0.4250.4－0.6170.6－0.890.8－1.061.0－1.251.2以上0合計100表9-4表9-589到達的病人數(shù)n出現(xiàn)次數(shù)fn010128229316410561.參數(shù)的確定算出每小時病人平均到達率＝＝2.1(人/小時)每次手術平均時間＝＝0.4(小時/人)每小時完成手術人數(shù)(平均服務率)＝＝2.5(人/小時)2.取λ＝2.1，μ＝2.5，可以通過統(tǒng)計檢驗的方法(例如χ2檢驗法)，認為病人到達數(shù)服從參數(shù)為2.1的普阿松分布，手術時間服從參數(shù)為2.5的負指數(shù)分布。3.它說明服務機構(手術室)有84％的時間是繁忙(被利用)，有16％的時間是空閑的。901.參數(shù)的確定444.依次算出各指標：在病房中病人數(shù)(期望值)

排隊等待病人數(shù)(期望值)

病人在病房中逗留時間(期望值)

病人排隊等待時間(期望值)

914.依次算出各指標：45+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhTkWnZr$u*x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s&v)y0C3F6IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSjVnYq$t*w-A1D4G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%u(y+B3E6H9LcOfRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x-A2D5G8KbNfQiTlXo#r%v(y0B3E6I9LcOgRjVmYp!t&w)z1C4G7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfRiUlX&w)z1C4F7JaMePhSkWnZq$u*x+A2D5H8KbNfQiUlXo#s%v(y0B3F6I9LdOgRjVmYq!t&w-z1C4G7JbMePhTkWnZr$u(x+A2E5H8KcNfQiUlXp#s%v)y0B3F6IaLdOgSjVmYq!t*w-z1D4G7JbMeQhTkWoZr$u(x+B2E5H9KcNfRiUmXp#s&v)y0C3F7IaLdPgSjVnYq!t*w-A1D4G8JbMeQhTlWoZr%u(x+B2E6H9KcOfRiUmXp!s&v)z0C3F7IaMdPgSkVnYq$t*x-A1D5G8JbNeQiTlWo#r%u(y+B2E6H9LcOfRjUmXp!s&w)z0C4F7IaMdPhSkVnZq$t*x-A2D5G8KbNeQiTlXo#r%v(y+B3E6I9LcOgRjUmYp!t&w)z