鐵軍考研概率講義

2010年萬(wàn)學(xué)海文概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考研沖刺班講義主講鐵軍教授鐵軍教授簡(jiǎn)介：著名考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)專家，近幾年在北京、南京、天津、沈陽(yáng)、武漢、廣州、上海、廈門(mén)等各大城市聲名鵲起，成為與王式安、李永樂(lè)齊名的考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)“三駕馬車”之一。鐵軍教授從事考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)工作以來(lái)，以其高屋建箱;、大氣磅礴、睿智幽默的風(fēng)格，對(duì)考點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)全面、深刻、透徹的把握，關(guān)愛(ài)學(xué)生、高度負(fù)責(zé)的態(tài)度以及對(duì)考題的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，令考生受益無(wú)窮。特別是鐵軍老師的數(shù)學(xué)全程保過(guò)班，更是以無(wú)與倫比的連續(xù)性、系統(tǒng)性和考生的數(shù)學(xué)成績(jī)大面積高分而受到廣大莘莘學(xué)子的愛(ài)戴！2010年，考研競(jìng)爭(zhēng)空前激烈！我們邀請(qǐng)鐵軍老師親臨海文面授,為您考研成功指點(diǎn)迷津，保駕護(hù)航。大師風(fēng)范，品質(zhì)感人！2010年，我們將與您攜手并肩，您的理想將在您我的共同努力下實(shí)現(xiàn)。這是我們的信心，也將是您的信心！因?yàn)槲覀兊淖孕?，讓您更加自信！概率統(tǒng)計(jì)是考研數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，也是重點(diǎn).復(fù)習(xí)時(shí)必須抓住概率統(tǒng)計(jì)試題的三個(gè)特點(diǎn)：1.知識(shí)點(diǎn)較多，但題型單一，計(jì)算量也不大，主要考察基本題型的掌握情況。因此，必須突出重點(diǎn)，計(jì)算準(zhǔn)確，基本功扎實(shí)。2.難點(diǎn)在于應(yīng)用題多，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模能力。應(yīng)多思、多看、多練。3.針對(duì)概率統(tǒng)計(jì)考題難以入手、難以下筆的特點(diǎn)，應(yīng)有目的地記憶一些常見(jiàn)題型和重要公式，并能靈活運(yùn)用，舉一反三。第一章隨機(jī)事件與概率“隨機(jī)事件”是概率論中最基本的概念，概率的計(jì)算是概率統(tǒng)計(jì)的核心。本章涉及到大量公式，如：加法公式、乘法公式、全概、逆概公式和三個(gè)概型：古典概型、幾何概型和伯努利概型，必須熟練掌握。【考點(diǎn)一】隨機(jī)事件是樣本空間。的子集，是樣本點(diǎn)的某個(gè)集合。要學(xué)會(huì)正確地設(shè)事件、用字母表示事件、找出事件之間的關(guān)系并表示出來(lái)。.a+b=~abJab='a+~b(德?摩根律).隨機(jī)事件的概率含義：①Au8表示若A發(fā)生，則8必發(fā)生②4+8表示A和8至少有一個(gè)發(fā)生③AB表示A與8同時(shí)發(fā)生④A-8表示A發(fā)生，而8不發(fā)生且==【例1】設(shè)隨機(jī)事件A與8成立WU8=AU月則有I ](A)AU8=。 (B)AB-</> (C)A—B-(/> (D)ABAB=Q【詳解】應(yīng)選(C).因?yàn)閄U5=AU8,所以A=8,A\JB=A,AB=A,ABUAB=<l>>A—B—(/>.因此應(yīng)選(C).【考點(diǎn)二】古典概型：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間。=｛劭,。2,?，％｝，若(1)〃為有限的正整數(shù)。(2)每個(gè)樣本點(diǎn)電a=12…出現(xiàn)的可能性相等。則事件A發(fā)生的概率為P(A)="小。這樣定義的概率稱作古典型概率,樣本空I可樣本點(diǎn)總數(shù)"試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的概率模型稱為古典概型?！纠?】某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)概率為p,(O<p<l),此人在四次射擊中命中二次，且是連中的概率為(A)3p2(l-p)2(B)4P2(1—p)? (C)5p2(l-p)2(D)6P2(l-p)2【詳解】應(yīng)選(A).已知前兩封已放入不同信箱，則最后得到【例3】四封信等可能地分別投入三個(gè)信箱中去,不超過(guò)兩封信在同一信箱的概率為已知前兩封已放入不同信箱，則最后得到5-9\75-9\7

B(D)32 7【詳解】應(yīng)選(。).p=\——=-.3.39【例4】設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在xOy平面上由x軸、y軸及直線x+y=l所圍成的三角形內(nèi)，而落在這三角形內(nèi)各點(diǎn)處的可能性相等，即落在這三角形內(nèi)任何區(qū)域上的概率與這區(qū)域的面積成正比，則此質(zhì)點(diǎn)落在直線兀=■!?的左邊的概率為.3【詳解】這是幾何概型，所求概率為【考點(diǎn)三】常用概率公式：1.加奇減偶定理：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC).P(A-B)=P(B)-P(AB)若BuA,則P(A—B)=P(A)-P(B).P(A)=P(AB)+P(AS).條件概率：若P(A)>0,則尸(814)=￡幽尸(A).條件概率性質(zhì)：條件概率也是一種概率，符合概率公理化定義。若P(A)>0,則有(1)對(duì)任意事件B,有P(B|A)20(2) IA)=1,P(</>IA)=0,P(A14)=1(3)若修々=。,則P(8]+4?A)=尸(B[IA)+P(B2IA)(4)P(B,+B2lA)=P(BtIA)+P(B2IA)-P(BtB2IA)(5)注意：下面兩個(gè)等式一般不成立，即P(AIA)+P(BIA)=1P(B\A)+P(B\A)=\.乘法公式：(1)設(shè)P(A)>0,則P(AB)=P(B|A)P(A)(2)設(shè)P(B)>0,貝!J(PAB)=P(A|B)P(B)(3)設(shè)P(AiA2“M)>0,n22,JiliJP(AiAi……A)=P(Ai)P(AaIAi)P(AiIA而…P(A.IAiAt……2.【例5】已知P(A)=0.6,P(AUB)=0.8,且P(A⑻+P(，B)=1,則尸(用A)=【詳解】P⑻A)=0.5因?yàn)镻(A|8)+P(XW)=1,所以A與8相互獨(dú)立，P(AB)=尸(A)P(8).又P(8)=0.5,P網(wǎng)A)=P(8)=0.5【例6】設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，P(AB)=P(AC)=P(8C)=b,且P(A)=a,P(8)=2a,P(C)=3a.證明：a<-,b<~.4 4【詳解】由P(A)=a,P(AB)=b,得aNb.又因?yàn)?>P(B+C)=P(B)+P(C)-P(BC)=5a-b>4a,所以得a<—.進(jìn)一步由。2匕，故84 4【考點(diǎn)四】1.全概公式(由原因求結(jié)果)：若事件組M,心…,人滿足A1,A2,…,An兩兩互不相容P(Ai)>0UA=。，1=1則稱M,4,???,人為一個(gè)完備事件組，且對(duì)任一事件B,有P(8)=￡P(guān)(A)尸⑻4)1=12.貝葉斯公式(由結(jié)果找原因)：若事件……人構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且P(B)>0,P(Ai)>0(i=l,2,…,n),則PR8)=尸⑷尸⑻4)=—⑻4)「⑻ 之尸…⑷/=1【例7】假設(shè)只考慮天氣的兩種情況：有雨或無(wú)雨.若已知今天的天氣情況，明天天氣保持不變的概率為p,變的概率為l-p.設(shè)第一天無(wú)雨，試求第〃天也無(wú)雨的概率.【詳解】設(shè)事件4="第i天無(wú)雨"，記Pj=p(a),i=i,2,….則有P1=1,且p(4.=p,p(A"J4)=i-p,所以由全概率公式得Pn=PPe+(l-p)(l-p“T)=(2p-l)Pi+l-p,n>2.得遞推公式P“_g=(2p_D(Pi_g)，n>2.所以 P“-；=(2p-l)"T(Pi,將Pi=1代入上式可得 p,—；=(2p-l)"T(g),因此 p“=；[l+(2p-l)"-[,〃=2,3門(mén)?.【考點(diǎn)五】獨(dú)立與互斥：.若A5=0,則A與8一片(互不相容).若P(AB)=P(A)P(8),則稱A98相互獨(dú)立..兩事件相互獨(dú)立與互斥之間沒(méi)有必然聯(lián)系?；コ獠荒芡瞥鱿嗷オ?dú)立，獨(dú)立也不能推出互斥。.若P(A)>0,則4與8相互獨(dú)立<=>P(BiA)=P(B)..若P(A)>0,尸(8)>0,則有①A與B相互獨(dú)立=>A與B相容即AB+。②AB=0=>A與B不獨(dú)立?.若P(AB)=P(4)尸(B),P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)同時(shí)獨(dú)立，則稱三事件A.B,C相互獨(dú)立；若A,8,C僅滿足前三個(gè)等式，則稱A,B,C兩兩獨(dú)立。注意：“〃個(gè)事件相互獨(dú)立”與“〃個(gè)事件兩兩獨(dú)立”并非一回事。.四對(duì)事件A與8)與8.A與瓦田與否之中有一對(duì)相互獨(dú)立，則另三對(duì)也相互獨(dú)立。.若A.反C相互獨(dú)立，則48,C中任何一個(gè)事件與另外兩事件的并、交或差(和、積或差)均分別獨(dú)立?！纠?】設(shè)A,8,C兩兩獨(dú)立，且ABC=。.如果P(A)=P(B)=P(C)=x,則x的最大值為.1 9如果P(A)=P(8)=P(C)<-,且P(A+B+C)=—，則P(A)=.2 16【詳解】依題意，A,B,C兩兩獨(dú)立，且A8C=。,于是尸(A+8+C)=尸(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(8)P(C)(1)因?yàn)镻(A)=P(8)=P(C)=尤，所以尸(A+8+C)=3x-3x2,而/(x)=3x—3/的最大值為己.所以由P(A+B+C)=3x—3x2=2得TOC\o"1-5"\h\z4 47 1(x——)2=0,即x=—.29 313(2)由一=P(A+8+C)=3x—3Y解得兩個(gè)解為一和一，而一不合題意舍去，所以16 44 4第二章一維隨機(jī)變量及其概率分布本章是復(fù)習(xí)備考的重點(diǎn)之一，也是后面其他重點(diǎn)內(nèi)容的基礎(chǔ)。隨機(jī)變量及其概率分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念，引進(jìn)隨機(jī)變量及其概率分布的概念，可以使隨機(jī)事件及其概率的研究數(shù)量化，能夠應(yīng)用微積分等方法研究隨機(jī)現(xiàn)象.【考點(diǎn)六】1.分布函數(shù)：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,稱尸(x)=P(X4x)為隨機(jī)變量X分布函數(shù)，又稱隨機(jī)變量X服從分布尸(x)。2.分布函數(shù)尸(x)具有如下性質(zhì)：0<F(x)<l,-oo<x<+oo9即F(x)的定義域?yàn)?-oo,+8),值域?yàn)閇0,1]oF(x)單調(diào)不減，即若/V-2,則尸(修)4尸即2)F(-oo)=limF(x)=09F(+oo)=limF(x)=1X—>-<X> X—>4-00F(x)是右連續(xù)的,即對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)“，有l(wèi)imF(x)=F(a)x-?a+0注意:連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)一定為連續(xù)函數(shù);離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)尸(X)如果有間斷點(diǎn)，則F(x)在間斷點(diǎn)處必右連續(xù)。X落入?yún)^(qū)間[a,句內(nèi)的概率尸{a<X46}=1@)-尸(a)X落在。點(diǎn)處的概率P{X=a}=F(a)-F(a-O)【例9]設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為'0,x<-l.(尤)=<5x+7 -1<x<1161,x>l則P(X2=1)=.【詳解】 P(X2=1)=P{X=1)+P(X=-1)=[尸(X41)一尸(X<1)]+[P(X<-l)-P(X<-1)]=[F(1)-F(1-O)]+[F(-1)-F(-1-O)]12 2=[1——+[——0]16 163二【考點(diǎn)七】二項(xiàng)分布：在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p,即P(A)=p,令X為n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則X服從參數(shù)為n,P的二項(xiàng)分布，記作X?B(n,p),其概率分布為P(X=k)=C^Pk[\-P)k,k=0,\,2,-,n,O<P<1.設(shè)X~B(n,p),則EX=nP,DX=nP(1-P).【例10】某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為2，則第k次命中目2標(biāo)恰在第〃次(〃2%)射擊時(shí)發(fā)生的概率為(C)C：(g尸 (D)明)"[【詳解】應(yīng)選(8).事件“笫k次命中目標(biāo)恰在第〃次(〃2k)射擊時(shí)”=“前〃-1次射擊中恰好命中k-1次且第n次(〃>k)射擊時(shí)恰好命中”.因此 P=*(J1(i-3”.1=c：二:(1)".【考點(diǎn)八】一維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布：.已知離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=xj=&次=1,2,….設(shè)丫是X的連續(xù)函數(shù)，即Y=g(X),則可用列舉法求X的函數(shù)Y=g(X)的分布律為P{Y=g(xk}=Pk(當(dāng)k*_/時(shí),g(x*)*g(Xj)).如果在g(x*)中有相同的數(shù)值，則將它們相應(yīng)的概率之和作為隨機(jī)變量丫=g(x)取該值的概率，就可以得到y(tǒng)=g(x)的概率分布。.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度力(幻。又已知y=g(X)連續(xù)，則求隨機(jī)變量函數(shù)y=g(x)的密度函數(shù)，方法如下：(1)設(shè)fx(x)在(。為)上取非零值，并求出產(chǎn)g(x)在(。力)上的最大值夕與最小值a(2)當(dāng)yWa時(shí),耳”)=0當(dāng)”網(wǎng),Fy(y)=l。(3)當(dāng)a<y<例寸,y=g(X)的分布函數(shù)

FY(y)=P(Y<y)=P(g(X)<y).(4)求耳(y)的導(dǎo)數(shù)，即得到丫的密度函數(shù)4(y)。.定理：已知X的密度函數(shù)為fx(x),且/x(x)在(。，力內(nèi)取非零值。y=g(x)連續(xù),若y=g(x)在(a,?內(nèi)單調(diào)，可導(dǎo)且g'(x)KO,則y=g(X)的密度函數(shù)為f/x= ■'(y)]?|[?(y)]|,a<y<P"1o, 其他其中a=min{g(a),g(b)},夕=max{g(a),gS)}..設(shè)X?N(〃,cr2),則y=ax+b(aH0)也服從正態(tài)分布，且Y=aX+b~N(ap+b,a2a2))-X?，-l<xvl 」v、.2 ，求隨機(jī)變量y=e*的密度0，其他函數(shù).【詳解】y=，是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，y的取值范圍是eT<y<e,其反函數(shù)為x其反函數(shù)為x=lny,且￡=(lny)=—故可由定理直接求出Y的概率密度:,e~'<y<e,e~'<y<e其他【例12】設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為/(尤)，則隨機(jī)變量Y=2X+3的密度函數(shù)為()(A)?(F)⑻f(^~)(C)2f(2x+3) (D)f(2x+3)t詳解】y=2X+3的分布函數(shù)為Fy(y)=P(Y<y)=P(2X+3<y)=P(X<三)=#f(x)dx,

1 v-3于是，y=2X+3的密度函數(shù)為4(y)=-/(——).應(yīng)選(A).【例13】設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布N(0,)，則隨機(jī)變量|Z|=|X-r|的概率密度f(wàn)(x)為( )/(x)=,-00<X<4-00⑻/(尤)=<—00<X<+00而f1" 2(2(C)/(x)==在，2,x>0(0/(X)He~T—x>010，x<00，X<0【詳解】應(yīng)選(。).因?yàn)閄與丫相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布N(0,；),所以

/W=0.Z=X—y?N(O,1).當(dāng)xWO時(shí)，|z|的分布函數(shù)尸(x)=P(|Z|?x)=O,當(dāng)x>0時(shí)，/(無(wú))=P(|z|4x)=P(rWZWx)=2/W=0.Xf(x)Xf(x)=2(p(x)=e2因此，應(yīng)選(O).第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布、獨(dú)立性等是概率論中的重要概念，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ).本章作為考試的重點(diǎn)、難點(diǎn)章節(jié)應(yīng)予以高度重視?！究键c(diǎn)九】.二維離散型隨機(jī)變量的條件分布函數(shù)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，若P(y=y)>0,則稱(xIy)=P(X4xIy=y)為在丫=y的條件下，X的條件分布函數(shù)。若P(X=x)>0,則稱Fy]x(yIx)=P(yWyIX=x)為在X=x的條件下，丫的條件分布函數(shù)。.二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為P(X=Xj,y=x)=&/,/=1,2,……，若尸(丫=力)>0(/=1,2「一)P{X=x,,r=y;)P,i則稱p(x=七|y=yj)=- : 衛(wèi)=上,'2丫=無(wú)) %稱為在r=無(wú)條件下x的條件分布律。同理，若P(X=Xj)>O,(i=l,2,…)，則稱「｛y=y/X=Xjp(x=x,,y=則稱「｛y=y/X=XjP(X=Xj)_—7為在X=尤,條件下隨機(jī)變量丫的條件分布律。.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為尸(x,y)。若存在F(x,y)NO,使對(duì)任x和y,都有F(x,y)=工: 則(X,Y)為二維連續(xù)隨機(jī)變量，函數(shù)/(x,y)稱為(X,Y)的概率密度或隨機(jī)變量X和丫的聯(lián)合概率密度。.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為/(x,y),則什8(1)關(guān)于X的邊緣概率密度為fx(x)=「f(x,y)dy(2)關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY(y)=[j(x,y)dx(3)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的邊緣分布函數(shù)分別為：fxm=1/x⑴公，&(y)=f：6(y".二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度(1)設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f{x,y),邊緣概率密度f(wàn)x(X)和/y(y)連續(xù)且恒大于0,則稱fx.(x\y)=①上為在Y=y條件下X的條件概率密度,

4(y)稱fYtx(yIx)=/叫為在X=x下丫的條件概率密度。JX(X)(2)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的條件分布函數(shù)FxirUly)=P(X<xir=y)=￡皚，dt,xJr(y)FYlx(yIx)=P(Y<yIX=x)=￡，；[dt°jfxM.二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性1)定義：若對(duì)任都有：P(X<x,Y<y)=P(X<x)P(Y<y)或F(x,y)=Fx(x)-耳(y)成立，稱隨機(jī)變量X和丫相互獨(dú)立。(2)離散型隨機(jī)變量：X和丫相互獨(dú)立的充要條件是P(X=Xi,Y=yj)=P(X=匕)P(y=力)，即P：j=Pj?Pj(i,j=1,2,…)(3)連續(xù)型隨機(jī)變量：X和丫相互獨(dú)立的充要條件是f(x,y)=fx(x)fY(y),x,yeR【例14】設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為[1,0<x<1,0<y<2x,/Uy)=lo,其他求：⑴。,丫)的邊緣概率密度力(外，力(丁)；(idz=2x-y的概率密度心仁).【分析】求邊緣概率密度直接用公式即可；而求二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度，一般用分

布函數(shù)法，即先用定義求出分布函數(shù)，再求導(dǎo)得到相應(yīng)的概率密度.【詳解】（I）關(guān)于X的邊緣概率密度<X<1,

其他.2x,0<x<1,=10,其他關(guān)于丫的邊緣概率密度力(1)=「/(蒼力(1)=「/(蒼y)dx<y<2,其他.1 0<y<1 0<y<2,J其他?(II)令Fz(z)=P{ZWz}=P{2X—y4z},1)當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)zU)=P{2X-y<z}=0；2)當(dāng)o?z<2時(shí)，F(xiàn)Z(Z)=P{2X-Y<z}3)當(dāng)z22時(shí)，F(xiàn)z(z)=P{2X-Y<z}=\.即分布函數(shù)為:°，z<即分布函數(shù)為:°，z<0,

1,Fz(z)=^~~?,0<z<2,故所求的概率密度為：_/z（Z）=1,zN2.b--Z,0<z<2,Io2其他【例15】設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為p（x+y）,O<y<x<l;〃蒼）‘）=[0，其他（1）求常數(shù)k；（2）求（X,Y）關(guān)于X和丫的邊緣概率密度；⑶求條件概率密度&xG'|x）和&y（x|v）；(4)求P(X+Y41)的值.

【詳解】(1)由于—=1,.*.k=2.2—=1,.*.k=2.2f(x,y)dxdy= ^(x+y)dy(2)當(dāng)0<x<l時(shí)，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為fx(x)=匚f(x,y)dy=[：2(x+y)dy=3x2,"x(X)=,3x2,0<x<10，其他當(dāng)0<y<l時(shí)，"x(X)=,3x2,0<x<10，其他當(dāng)0<y<l時(shí)，（X,Y）關(guān)于Y的邊緣概率密度為A(y)=￡/U,y)dx=[2(x+y)dx=l+2y-3y2；于是fY(y)=l+2y-3/,0<y<l其他(3)當(dāng)0<x<l時(shí)，加（亦）=隼斗Jx（X）2(x+y)1, ,0<y<x3x0,其他當(dāng)0<y<l當(dāng)0<y<l時(shí)，A|rUb)=J77T2(x+y)I--——,y<x<l={l+2y-3y20,其他(4)P(X+K<1)=JJf(x,y)dxdy(4)P(X+K<1)=JJf(x,y)dxdy=JJ2(x+y)dxdyx+yWl

0<y<x<l=W、2(x+y)dx=；.第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征包括數(shù)學(xué)期望、方差、矩、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)等?！究键c(diǎn)十】一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征一數(shù)學(xué)期望與方差：.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為P{X=x*}=6/=1,2,3,…。若無(wú)窮級(jí)數(shù)Zsp**=1絕對(duì)收斂，則X的數(shù)學(xué)期望EX=￡sp*。若y=g（x）,jWEy=￡g（s）pA。&=1.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),若廣義積分^xf(x)dx絕對(duì)收斂，則X的數(shù)學(xué)期望EX=fV(x)dx；若Y=g(X),則EY=「'g(x)/(x)dx..數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：(1)若C為常數(shù)，則E(C)=C(2)設(shè)a為常數(shù)，則E(aX)=aEX。E(X±Y)=EX±EY.(4)若X與Y相互獨(dú)立，則E(XY)=EX?EYo(5)若X|,X2,…,X”相互獨(dú)立，則E(XlX2-Xn)=EXlEX2-EXn。.設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若數(shù)學(xué)期望￡(X-￡X/存在，則稱DX=E(X-EX)2為X的方差，cr(X)=VB#為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。.計(jì)算方差的公式：DX^EX2-(EX)2.方差的性質(zhì)：(1)設(shè)C為常數(shù)，則D(C)=0(2)設(shè)C為常數(shù)，則D(X+€)=DXD(KX)=K2DX(4)設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，則D(X±Y)=DX+DY(5)DX=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C,即P{X=C}=1,其中EX=C7.常見(jiàn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差：(1)若X服從(0-1)分布，且P(X=l)=P,貝ijEX=P,DX=P(1-P)；(2)若X-B(n,p),^]EX=np,DX=nP(l-P)(3)若X服從參數(shù)為7的泊松分布，則EX=DX=2。(4)若X服從(a,b)上的均勻分布，則EX=±a,￡>X=2 12(5)若X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布(2>0),則EX=；,QX=5?！纠?6】設(shè)一臺(tái)機(jī)器上有3個(gè)部件，在某一時(shí)刻需要對(duì)部件進(jìn)行調(diào)整，3個(gè)部件需要調(diào)整的概率分別為0.1,0.2,0.3,且相互獨(dú)立，任一部件需要調(diào)整即為機(jī)器需要調(diào)整。求機(jī)器需要調(diào)整的概率；記X為需要調(diào)整的部件數(shù)，求期望E(X)、方差0(X)?！驹斀狻吭O(shè)事件A為機(jī)器要調(diào)整，記從為第i個(gè)部件需要調(diào)整，i=1,2,3.（1）顯然a=a+a，2+4,則P(A)=1-P(X)=1-P(A,+A2+A3)=1-P(X?月?4)(根據(jù)事件的獨(dú)立性知)=1-P(4)尸(耳)尸(耳)=l-0.9x0.8x0.7=0.496.(2)求期望E(X)、方差￡>(X)有兩種解法：解法一：先求X的分布律，根據(jù)分布律再求數(shù)學(xué)期望和方差.根據(jù)X的意義，顯然有X=0,1,2,3.事件的記法如(1),并注意到事件之間的獨(dú)立性，有P(X=0)=P(《?用?《)=0.9x0.8x0.7=0.504;P(X=1)=P(A?耳?工)+P?.4?4)+p(4.天?&)=P(A,)P(再)P(4)+P(4)P(4)P(無(wú))+P(《)P(耳)P(4)=0.1x0.8x0.7+0.9x0.2x0.7+0.9x0.8x0.3=0.398；P(X=2)=P(A,A2A^)+P(A, )+P(\A2A3)=P(A,)P(A2)P(應(yīng))+P(A)P(月)P(A3)+P(A^)P(A2)p(a3)=0.1x0.2x0.7+0.1x0.8x0.3+0.9x0.2x0.3=0.092；P(X=3)=P(&42A3)=P(A)P(A2)P(4)=0.1x0.2x0.3=0.006.〃，f0 1 2 3)所以，X~I 1(0.5040.3980.0920.006)E(X)=0x0.504+1x0.398+2x0.092+3x0.006=0.6,D(X)=E(X2)-(EX『=『x0.398+22x0.092+32x0.006-(0.6)2=0.46解法二：可以不求X的分布律，引進(jìn)新的隨機(jī)變量，利用期望、方差的性質(zhì)求出期望E(X)、方差。(X)?，F(xiàn)引進(jìn)新的隨機(jī)變量X,.定義如下：[1,第，個(gè)部件需要調(diào)整，即事件4發(fā)生

i=[o,第i個(gè)部件不需要調(diào)整3 3因此我們有ZXj,E(X)=￡EXj,i=l i=l而X,服從(0-1)分布，E(Xj)=P(Xj=1)=P(AJ,所以E(X)=￡EXj= )+P(A2)+P(A3)=0.1+0.2+0.3=0.6,/=1又因?yàn)閛(xj=p(x,=i)p(x,.=o)=p(a)p(Q,且x,之間相互獨(dú)立，3 3所以 D(X)=ZD(X,)=Z玖A)P(Qi=l i-\=p(a)p(4)+p(4)P(工)+P(.)尸(4)=0.1x0.9+0.2X0.8+0.3x0.7=0.46.【評(píng)注】本題中解法二比解法一簡(jiǎn)單得多，這就是引進(jìn)新的隨機(jī)變量的好處，但如何引進(jìn)新的隨機(jī)變量是一個(gè)難點(diǎn)。一般在考研試題中，總是引進(jìn)X,服從(0-1)分布，用獨(dú)立性和Ex,來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。i【考點(diǎn)十一】二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征：.二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望⑴設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為P{X=x,.,r=y.}=P『i,j=1,2,…，則隨機(jī)變量Z=g(X,y)的數(shù)學(xué)期望為E(Z)=E[g(X,y)]=￡￡(Xj,yj)號(hào)。7=11=1(2)設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(XJ)的概率密度為〃x,y),則隨機(jī)變量Z=g(X,y)的數(shù)學(xué)期望為E(Z)=￡lg(X,r)]=rrgUy)f(x,y)dxdy.J-COJ-00.矩⑴設(shè)X是隨機(jī)變量，若&*?)?=1,2,.-存在，則稱以X")為X的左階原點(diǎn)矩。(2)若以X-E(X)]*,k=2,…存在，則稱之為X的人階中心矩。(3)設(shè)X和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，如果E(X?叫,—=1,2,…存在，則稱之為X和Y的k+/階混合(原點(diǎn))矩。(4)若反X-E(X)Wy-E(y)Y/,/=l,2,…存在，則稱之為X和Y的k+/階混合中心矩。*3.協(xié)方差(D定義：對(duì)于隨機(jī)變量X和Y,如果仇X-E(X)]W-E(y)]存在，則稱之為X和丫的協(xié)方差，記作cov(x,y)=E[x-E(x)ny-E(y)]。事實(shí)上，協(xié)方差為X和丫的1+1階混合中心矩。(2)公式：對(duì)于任意兩個(gè)隨便機(jī)變量X和Y,有cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),D(X+Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)(3)協(xié)方差的性質(zhì)：1°cov(x,y)=cov(r,x)2°cov(aX,bY)=abcov(X,Y),其中a力是常數(shù)。3°cov(X1+x2,r)=cov(x1,y)+cov(x2,y),*4.相關(guān)系數(shù)(1)定義：對(duì)于隨機(jī)變量X和Y,如果。(*-0,。(丫)#0,則稱一2^^=為*和丫的ylD(X)y[D(Y)相關(guān)系數(shù)，記為Pxy，即cov(x,y)pw=-I —―/ 二Jo(x)V5而:.pXY=cov(X,,/*),其中X?和Y*分別是X和Y的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。(2)如果隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)pxy=O,則稱X和Y不相關(guān)。(3)如果隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，則X和Y不相關(guān)；但X和Y不相關(guān)時(shí)，X和Y卻不一定相互獨(dú)立。(4)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：1°|0*3<1?當(dāng)夕=1時(shí)，X與Y正相關(guān)，Y=aX+b(a>0),當(dāng)0=-1時(shí),X與丫負(fù)相關(guān)J=aX+b(a<0)2°|「xy|=1的充要條件是存在常數(shù)"和人,使得叩=a+6X}=l(5)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布(X,Y) 仁登,p),則X和Y相互獨(dú)立的充要條件是p=0.即X和Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)?！纠?7】設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，其中O={(x,y)：k|+|y|41},又設(shè)Z=X+Y。試求(1)X的概率密度/x(x)和Z的概率密度f(wàn)z(Z);(H)X與Y的相關(guān)系數(shù)pXY；(in)在x=o條件下，y的條件密度為x(yk)。【詳解】區(qū)域D實(shí)際上是以(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1)為頂點(diǎn)的正方形區(qū)域，I)的面積為2.二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度/(x,y)=12 ，(%，,)w口0 ,其它(1)設(shè)2='+丫，4(z)=P(ZWz)=P(X+yWz)=fjf(x,y)dxdy.(1)X的概率密度f(wàn)x(x)=「*/(x,y)dy,在區(qū)域D上，—14x41.當(dāng)一IWxVO時(shí)，fx(x)=￡-Jy=1+x當(dāng)0vxW1時(shí)，/x(x)=f]gdy=l-x當(dāng)xv-l或x>l時(shí)，fx(x)=0.1+x,—IWxVO于是X的概率密度為 人(幻=1-x,0<x?l0,其它⑵在區(qū)域D上，國(guó)+3W1,所以-l<z=x+y<l.當(dāng)zW-l時(shí)，B(z)=O；當(dāng)z?l時(shí)，%(z)=l；當(dāng)-1<Z<1時(shí)，巳⑺=jjf(x,y)dxdy=^--y/2~=^^.O,z<-11+7則 ^U)=I2，-1<Z<1l,z>l于是Z的概率密度為/z(z)={2' ' .0,其它(II)cov(X,Y)=E(XY)-EXEY1+x,-1WxWO因?yàn)閄的概率密度%(x)=<l-x，0<xWl為偶函數(shù)，所以0,其它EX=￡xfx(x)dx=0,E(XY)=￡￡xyf(x,y)dxdy=j|-xydxdy=0,所以cov(X,Y)=E(XY)-EXEY^O,pXY^0.(Ill)九八田口=史必，人(幻#0,所以，在X=Q條件下，丫的條件密度

fX⑴而(小)={2k10,其它【例18】設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)在區(qū)域。上服從均勻分布，其中。={1,>)：兇+|小1}.又設(shè)。=乂+丫,丫=乂一丫.試求(I)U與V的概率密度九(N)與。(V)；(II)。與V的協(xié)方差cov(U,V)；(III)U與V的相關(guān)系數(shù)月內(nèi).【詳解】區(qū)域D實(shí)際上是以(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1)為頂點(diǎn)的正方形區(qū)域，D的面積為2.—V)GD二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度/(x,y)={20，其它(I)設(shè)U=X+y,Fu(u)=P(U<u)=P(X+Y<u)=f(x,y)dxdy.在區(qū)域D上，W+b，|§,所以一14“=x+yWl.當(dāng)時(shí)，F(xiàn)[}(u)=0；當(dāng)以之1時(shí)，F(xiàn)u(u)=l；當(dāng)一時(shí)，F(xiàn)v(w)=JJf(x,y)dxdy=~j=~'~= jr+y5w 7乙O,M<-1則 Fu(u)=<^-^-,-1<M<11,M>11,1——1<w<1于是 u的概率密度為 。(“)=?2'0,其它設(shè)丫=乂—Y,Fv(v)=P(V<v)=P(X-Y<v)=jjf(x,y)dxdy.x-y<v在區(qū)域D上，+所以TWv=x-yWl.

當(dāng)vV-l時(shí)，&3)=0；當(dāng)vNl時(shí)，入")=1;當(dāng)T<v<l時(shí)，6(v)=JJ/(x,y)dxdy = .x-y<v 74O,v<-1貝U R(v)=<^^-,-1<v<12l,v>l[1tf——1<v<1于是V的概率密度為 4(v)=12'0,其它(11)cov(f/,V)=E(UV)-EUEV,顯然，EU=EV=0.E(UV)=E(X+Y)(X-Y)=E(X2-Y2)=EX2-EY2=0.所以cov(X,r)=0.(Ill)U與(Ill)U與V的相關(guān)系數(shù)4Vcov(x,y)

y[DUy/DV【例19】設(shè)X,y相互獨(dú)立，同服從正態(tài)分布N(0,cr2),又百=aX+bY,〃=aX—bY.(1)求J與〃的相關(guān)系數(shù)「；(2)問(wèn)《、〃是否相關(guān)？是否獨(dú)立？(3)當(dāng)J、〃相互獨(dú)立時(shí)，求(乙？)的聯(lián)合密度函數(shù).【詳解】(1)根據(jù)已知條件，X1同服從正態(tài)分布N(0,cr2),所以E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=a2,EC)=E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)=0,E(rj)=E(aX-bY)=aE(X)-bE(Y)=0.已知x,y相互獨(dú)立，所以ax與by也相互獨(dú)立，故有￡>(4)=D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)=(a2+b2)cr2.

D(")=D(aX-bY)=a2D(X)+b2D(Y)=(a2+b2)cr2.E(切)=E(a2X2-b2Y2)=a2E(X2)-b2E(Y2)=a2D(X)-b2D(Y)=(a2-b')cr2,二E?j)-E8ES)= a-b?PlJocm.)一d+/)/_/+/?⑵當(dāng)|《=網(wǎng)時(shí)，夕初=o看，〃不相關(guān);當(dāng)時(shí)#網(wǎng)時(shí)，0%/0,4〃相關(guān).由于x,y同服從正態(tài)分布n(o,<t2),且相互獨(dú)立，都是x,y的線性組合，所以577都服從正態(tài)分布N(0,(a2+b2)(r2)。而在正態(tài)分布中，不相關(guān)與獨(dú)立是等價(jià)的，所以當(dāng)時(shí)=例時(shí)，或〃是相互獨(dú)立的;當(dāng)卜卜例時(shí)，以〃相互獨(dú)立。當(dāng)77是相互獨(dú)立時(shí)，即。2=匕2時(shí)，^~^(o,2a2(T2),r]~N(0,2a2a2),1 524⑸=后.四山匕(一了五寧)'1 產(chǎn)=后再而ex"-石嚏’所以,加所以,加(s/)=X(s)￡Q)=【考點(diǎn)十二】切比雪夫不等式：1.設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=/z,方差O(X)=，，則對(duì)任￡>0,總有2 2P(lX-Wr或P(lX-〃l<e)21--r.￡￡2.意義：切比雪夫不等式的重要意義在于，不管X服從什么分布，只要知道它的期望〃和方差。2,就能給出概率值的界限?！纠?0】設(shè)隨機(jī)變量X和丫分別服從正態(tài)分布N(l,l)和N(0,l),￡(%/)=-0.1,則根據(jù)切比雪夫不等式，有P(—4<X+2Y<6)2.【詳解】由題設(shè)條件知E(X)=D(X)=D(Y)=1,E(Y)=O,E(XY)=-0.1,因此E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=l,Cov(X,Y)=C(xy)-E(X)￡(r)=-0.1,D(X+2Y)=D(X)+4D(r)+4coy(X,/)=1+4+4x(-0.1)=4.6,由切比雪夫不等式有P(-4<X+2K<6)=P(|X+2r-l|<5)>l-0(，；2丫)=0.816.【考點(diǎn)十三】獨(dú)立同分布的中心極限定理（列維——林德伯格中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量X”X2,…X,,……相互獨(dú)立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期望和方差EXn=p,D（Xn）=（r2^0,〃=1,2,…。f 、ZX*-〃"則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有「 4X：=◎（%）,"T8y/n<j其中①（X）是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。注：該中心極限定理告訴我們，當(dāng)n充分大時(shí)，XXj=X1+X2+…X“近似地服從正態(tài)分布即對(duì)任a〈b,當(dāng)n充分大時(shí)，有【例21】設(shè)隨機(jī)變量X”X2…,X”相互獨(dú)立，S=Xt+X2+???+%?,則根據(jù)列維―林德伯格中心極限定理，當(dāng)n充分大時(shí)，S,近似服從正態(tài)分布，只要X1,X2…,X“，（ ）（A）有相同期望和方差 （B）服從同一離散型分布（C）服從同一指數(shù)分布 （D）服從同一連續(xù)型分布【詳解】由定理知：隨機(jī)變量X1,X2,…X”相互獨(dú)立同分布，且其數(shù)學(xué)期望和方差存在。

由于有相同的數(shù)學(xué)期望未必有相同分布，可見(jiàn)（A）不滿足定理?xiàng)l件。滿足（B）和（D）的隨機(jī)變量X,的數(shù)學(xué)期望或方差未必存在，只有（C）成立。（因?yàn)橹笖?shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，且方差不為0）?！纠?2】一生產(chǎn)線上源源不斷地生產(chǎn)成箱的零件，假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn),試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車最多可以裝多少箱,才能保證不超載的概率大于0.977?（0（2）=0.977）?【詳解】以Xj（i=l,2,…〃）表示裝運(yùn)的第i箱產(chǎn)品的實(shí)際重量，n為所求箱數(shù)。由條件Xx,X2,-Xn是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量（但具體分布未知），因而總重量為T(mén)=Xj+X2+---+Xn。由條件知EX,=50千克,cr=75無(wú)7=5千克?！?=50〃千克,叫=/DX~=5幾千克。又；隨機(jī)變量X1,X2,…X,,獨(dú)立同分布且數(shù)學(xué)期望和方差都存在，故根據(jù)列維―林德伯格中心極限定理，只要n充分大，隨機(jī)變量T就近似服從正態(tài)分布N（50n,25n）。由題意知，所求n應(yīng)滿足條件：當(dāng)n充分大時(shí)變量。=（7-50〃）//?近似服從N（0,1）,可見(jiàn)網(wǎng)。42}=0.977.?.nW98即最多只能裝98箱。??—1000.?.nW98即最多只能裝98箱。從而有 ———>2yjn第五章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)本章必須掌握基本概念：總體，統(tǒng)計(jì)量。特別要掌握常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量的分布。統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，統(tǒng)計(jì)量的選擇和運(yùn)用在本章統(tǒng)計(jì)推斷中占據(jù)核心地位?！纠?3】設(shè)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為/*）,從該總體抽取容量為"的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1,X2,…,X,,。試求在曲線〃x）下方，統(tǒng)計(jì)量M=max{XJ對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)值1在〃m=max{xj的右方的（曲邊形）面積S的數(shù)學(xué)期望。\<i<n【詳解】設(shè)/1）為總體X的分布函數(shù)，貝IJS= /（x）dx=1-1:f（x）dx=1-F（ni）先求M=max{XJ的分布函數(shù)G(m)的概率密度g(m)。vM的分布函數(shù)G(m)=P(M<m)=P(max{XJ</n)=P(X,<m,X2<m,---Xn<m)=P(X,<m)P(X2<m)--P(X?</n)=F"(m)M的概率密度g(w)=G'(m)=[r"(/n)]=nF"~'(m)f(m)因此，計(jì)算S的數(shù)學(xué)期望：ES=E(1-F(M))=l-EF(M)1-rF(m)?g(m)dm=1-「nFn(x)-g(x)dxJ-x J-X=1-rnF'\x)f{x}dx=\-CnF'1(x)dF(x)令f=F(x)l-(ntndt=1-=---" n+1 71+1[1-A