平面向量的線性運(yùn)算課件

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平面向量的線性運(yùn)算平面向量的線性運(yùn)算1.向量、平行向量、相等向量的含義分別是什么？2.用有向線段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和單位向量？1.向量、平行向量、相等向量的含義分別是什么？2.用有向線段3.兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相加，從而給數(shù)賦予了新的內(nèi)涵.如果向量僅停留在概念的層面上，那是沒有多大意義的.我們希望兩個(gè)向量也能相加，拓展向量的數(shù)學(xué)意義，提升向量的理論價(jià)值，這就需要建立相關(guān)的原理和法則.3.兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相加，從而給數(shù)賦予了新的內(nèi)涵.如果向量僅停留探究一：向量加法的幾何運(yùn)算法則

思考1：如圖，某人從點(diǎn)A到點(diǎn)B，再從點(diǎn)B按原方向到點(diǎn)C，則兩次位移的和可用哪個(gè)向量表示？由此可得什么結(jié)論？ABC思考2：如圖，某人從點(diǎn)A到點(diǎn)B，再從點(diǎn)B按反方向到點(diǎn)C，則兩次位移的和可用哪個(gè)向量表示？由此可得什么結(jié)論？ABC探究一：向量加法的幾何運(yùn)算法則思考1：如圖，某人從點(diǎn)A到點(diǎn)探究二：向量減法的含義思考1：兩個(gè)相反向量的和向量是什么？向量a的相反向量可以怎樣表示？思考2：－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.－（－a）=a－a探究二：向量減法的含義思考1：兩個(gè)相反向量的和向量是什么？向在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).據(jù)此原理，向量a－b可以怎樣理解？兩個(gè)向量的差還是一個(gè)向量嗎？向量a加上向量b的相反向量，叫做a與b的差向量，求兩個(gè)向量的差的運(yùn)算叫做向量的減法，對(duì)于向量a，b，c，若a+c＝b，則c等于什么？定義：a－b＝a＋（－b）.a+c＝b

c=b－a在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).據(jù)此原理，探究三：向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）？a－a－a－aOMNP（－a）＋（－a）＋（－a）探究三：向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義已知非零向量a，如何求作向向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）分別如何簡化其表示形式？

a＋a＋a記為3a，（－a）＋（－a）＋（－a）記為－3a.向量3a和－3a與向量a的大小和方向有什么關(guān)系？aaOaaABC－a－a－aOMNP向量a＋a＋a和（－a）＋a＋a＋a記為3a，向量3a和設(shè)a為非零向量，那么a和a還是向量嗎？它們分別與向量a有什么關(guān)系？aaa設(shè)a為非零向量，那么a和a還是向量嗎？它們分別與向量一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作λa，該向量的長度與方向與向量a有什么關(guān)系？（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時(shí),λa與a方向相同；

λ<0時(shí),λa與a方向相反；

λ=0時(shí),λa

=0.一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做探究四:向量的數(shù)乘運(yùn)算性質(zhì)

你認(rèn)為－2×（5a），2a＋2b，

a可分別轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？-2×

(5a)=-10a

；2a

＋2b=2(a+b)；(3＋)a=3a＋a.探究四:向量的數(shù)乘運(yùn)算性質(zhì)你認(rèn)為－2×（5a），2a＋2b一般地，設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則λ(μa)，(λ＋μ)

a，λ(a＋b)分別等于什么？λ(μa)=(λμ)

a

；(λ＋μ)

a=λa

＋μa；λ(a＋

b)=λa＋λb.一般地，設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則λ(μa)，(λ＋μ)a，λ(a對(duì)于向量a（a≠0）和b，若存在實(shí)數(shù)λ，使b=λa，則向量a與b的方向有什么關(guān)系？若向量a（a≠0）與b共線，則一定存在實(shí)數(shù)λ，使b=λa成立嗎？綜上可得向量共線定理：向量a（a≠0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.若a＝0，上述定理成立嗎？對(duì)于向量a（a≠0）和b，若存在實(shí)數(shù)λ，使b=λa，則向量a若存在實(shí)數(shù)λ，使，則A、B、C三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？如圖，若P為AB的中點(diǎn)，則與、的關(guān)系如何？ABPO若存在實(shí)數(shù)λ，使，則A、B、C三點(diǎn)的位置關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)λ、x、y，λ(xa±yb）可轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？

λ(xa±yb）=λxa±λyb.向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、理論遷移

例1計(jì)算（1）（－3）×4a；（2）3（a＋b）－2（a－b）－a；（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.理論遷移例1計(jì)算2b3babO例2

如圖，已知任意兩個(gè)非零向量a，b，試作=a＋b，=a＋2b，

=a＋3b.你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？abABC2b3babO例2如圖，已知任意兩個(gè)非零向量a，b，試作小結(jié)作業(yè)1.實(shí)數(shù)與向量可以相乘，其積仍是向量，但實(shí)數(shù)與向量不能相加、相減.實(shí)數(shù)除以向量沒有意義，向量除以非零實(shí)數(shù)就是數(shù)乘向量.2.若λa=0，則可能有λ=0，也可能有a=0.3.向量的數(shù)乘運(yùn)算律，不是規(guī)定，而是可以證明的結(jié)論.向量共線定理是平面幾何中證明三點(diǎn)共線，直線平行，線段數(shù)量關(guān)系的理論依據(jù).小結(jié)作業(yè)1.實(shí)數(shù)與向量可以相乘，其積仍是向量，但實(shí)數(shù)與向量不歡迎大家！歡迎大家！

平面向量的線性運(yùn)算平面向量的線性運(yùn)算1.向量、平行向量、相等向量的含義分別是什么？2.用有向線段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和單位向量？1.向量、平行向量、相等向量的含義分別是什么？2.用有向線段3.兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相加，從而給數(shù)賦予了新的內(nèi)涵.如果向量僅停留在概念的層面上，那是沒有多大意義的.我們希望兩個(gè)向量也能相加，拓展向量的數(shù)學(xué)意義，提升向量的理論價(jià)值，這就需要建立相關(guān)的原理和法則.3.兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相加，從而給數(shù)賦予了新的內(nèi)涵.如果向量僅停留探究一：向量加法的幾何運(yùn)算法則

思考1：如圖，某人從點(diǎn)A到點(diǎn)B，再從點(diǎn)B按原方向到點(diǎn)C，則兩次位移的和可用哪個(gè)向量表示？由此可得什么結(jié)論？ABC思考2：如圖，某人從點(diǎn)A到點(diǎn)B，再從點(diǎn)B按反方向到點(diǎn)C，則兩次位移的和可用哪個(gè)向量表示？由此可得什么結(jié)論？ABC探究一：向量加法的幾何運(yùn)算法則思考1：如圖，某人從點(diǎn)A到點(diǎn)探究二：向量減法的含義思考1：兩個(gè)相反向量的和向量是什么？向量a的相反向量可以怎樣表示？思考2：－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.－（－a）=a－a探究二：向量減法的含義思考1：兩個(gè)相反向量的和向量是什么？向在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).據(jù)此原理，向量a－b可以怎樣理解？兩個(gè)向量的差還是一個(gè)向量嗎？向量a加上向量b的相反向量，叫做a與b的差向量，求兩個(gè)向量的差的運(yùn)算叫做向量的減法，對(duì)于向量a，b，c，若a+c＝b，則c等于什么？定義：a－b＝a＋（－b）.a+c＝b

c=b－a在實(shí)數(shù)的運(yùn)算中，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).據(jù)此原理，探究三：向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義已知非零向量a，如何求作向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）？a－a－a－aOMNP（－a）＋（－a）＋（－a）探究三：向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義已知非零向量a，如何求作向向量a＋a＋a和（－a）＋（－a）＋（－a）分別如何簡化其表示形式？

a＋a＋a記為3a，（－a）＋（－a）＋（－a）記為－3a.向量3a和－3a與向量a的大小和方向有什么關(guān)系？aaOaaABC－a－a－aOMNP向量a＋a＋a和（－a）＋a＋a＋a記為3a，向量3a和設(shè)a為非零向量，那么a和a還是向量嗎？它們分別與向量a有什么關(guān)系？aaa設(shè)a為非零向量，那么a和a還是向量嗎？它們分別與向量一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作λa，該向量的長度與方向與向量a有什么關(guān)系？（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時(shí),λa與a方向相同；

λ<0時(shí),λa與a方向相反；

λ=0時(shí),λa

=0.一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做探究四:向量的數(shù)乘運(yùn)算性質(zhì)

你認(rèn)為－2×（5a），2a＋2b，

a可分別轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？-2×

(5a)=-10a

；2a

＋2b=2(a+b)；(3＋)a=3a＋a.探究四:向量的數(shù)乘運(yùn)算性質(zhì)你認(rèn)為－2×（5a），2a＋2b一般地，設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則λ(μa)，(λ＋μ)

a，λ(a＋b)分別等于什么？λ(μa)=(λμ)

a

；(λ＋μ)

a=λa

＋μa；λ(a＋

b)=λa＋λb.一般地，設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則λ(μa)，(λ＋μ)a，λ(a對(duì)于向量a（a≠0）和b，若存在實(shí)數(shù)λ，使b=λa，則向量a與b的方向有什么關(guān)系？若向量a（a≠0）與b共線，則一定存在實(shí)數(shù)λ，使b=λa成立嗎？綜上可得向量共線定理：向量a（a≠0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b=λa.若a＝0，上述定理成立嗎？對(duì)于向量a（a≠0）和b，若存在實(shí)數(shù)λ，使b=λa，則向量a若存在實(shí)數(shù)λ，使，則A、B、C三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？如圖，若P為AB的中點(diǎn)，則與、的關(guān)系如何？ABPO若存在實(shí)數(shù)λ，使，則A、B、C三點(diǎn)的位置關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)λ、x、y，λ(xa±yb）可轉(zhuǎn)化為什么運(yùn)算？

λ(xa±yb）=λxa±λyb.向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、理論遷移

例1計(jì)算（1）（－3）×4a；（2）3（a＋b）－2（a－b）－a；（3）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）.理論遷移例1計(jì)算2b3babO例2

如圖，已知任意兩個(gè)非零向量a，b，試作=a＋b，=a＋2b，

=