等差數(shù)列等差數(shù)列答案

答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（共15小題）1、已知{an}為等差數(shù)列，且a7﹣2a4=﹣1，a3=0，則公差d=（）A、﹣2 B、﹣C、 D、2考點：等差數(shù)列。專題：計算題；方程思想。分析：利用等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于a1，d的方程組，求解即可．解答：解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由等差數(shù)列的通項公式以及已知條件得，即，解得d=﹣，故選B．點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵，同時注意方程思想的應(yīng)用．2、已知{an}為等差數(shù)列，a2+a8=12，則a5等于（）A、4 B、5C、6 D、7考點：等差數(shù)列。專題：計算題。分析：將a2+a8用a1和d表示，再將a5用a1和d表示，從中尋找關(guān)系解決，或結(jié)合已知，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)a2+a8=2a5求解．

解法2應(yīng)用了等差數(shù)列的性質(zhì)：{an}為等差數(shù)列，當(dāng)m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）時，am+an=ap+aq．特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），則am+an=2ap．3、已知等差數(shù)列{an}中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，則數(shù)列{bn}的前5項和等于（）A、30 B、45C、90 D、186考點：等差數(shù)列。分析：利用等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于a1，d的方程組，解出a1，d，可得an，進而得到bn，然后利用前n項和公式求解即可．解答：解：設(shè){an}的公差為d，首項為a1，由題意得，解得；∴an=3n，∴bn=a2n=6n，且b1=6，公差為6，∴S5=5×6+=90．故選C．點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵．4、已知等差數(shù)列{an}中，a7+a9=16，a4=1，則a12的值是（）A、15 B、30C、30 D、64

解法2應(yīng)用了等差數(shù)列的性質(zhì)：{an}為等差數(shù)列，當(dāng)m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）時，am+an=ap+aq．特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），則am+an=2ap．5、等差數(shù)列{an}中，已知，a2+a5=4，an=33，則n為（）A、48 B、49C、50 D、51考點：等差數(shù)列。專題：計算題；方程思想。分析：先由等差數(shù)列的通項公式和已知條件解出d，進而寫出an的表達式，然后令an=33，解方程即可．解答：解：設(shè){an}的公差為d，∵，a2+a5=4，∴+d++4d=4，即+5d=4，解得d=．∴an=+（n﹣1）=，令an=33，即=33，解得n=50．故選C．點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式an=a1+（n﹣1）d，注意方程思想的應(yīng)用．6、“點Pn（n，an）（n∈N*）都在直線y=x+1上”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的（）A、充分但不必要條件 B、必要但不充分條件C、充要條件 D、既不充分不必要條件7、一個首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前六項均為正數(shù)，第七項起為負(fù)數(shù)，則它的公差是（）A、﹣2 B、﹣3C、﹣4 D、﹣5考點：等差數(shù)列。專題：計算題。分析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為數(shù)列前六項均為正數(shù)，第七項起為負(fù)數(shù)，所以，結(jié)合公差為整數(shù)進而求出數(shù)列的公差．解答：解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，所以a6=23+5d，a7=23+6d，又因為數(shù)列前六項均為正數(shù)，第七項起為負(fù)數(shù)，所以，因為數(shù)列是公差為整數(shù)的等差數(shù)列，所以d=﹣4．故選C．點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的通項公式，并且結(jié)合正確的運算．8、在等差數(shù)列{an}中，a2=4，a6=12，則公差d=（）A、1 B、2C、±2 D、8考點：等差數(shù)列。專題：計算題。分析：由題設(shè)知，由此能求出公差d的值．解答：解：∵等差數(shù)列{an}中，a2=4，a6=12，∴，解得a1=2，d=2．故選B．點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意等差數(shù)列通項公式的合理運用．9、已知數(shù)列{an}的通項公式是an=2n+5，則此數(shù)列是（）A、以7為首項，公差為2的等差數(shù)列 B、以7為首項，公差為5的等差數(shù)列C、以5為首項，公差為2的等差數(shù)列 D、不是等差數(shù)列考點：等差數(shù)列。專題：計算題。分析：直接根據(jù)數(shù)列{an}的通項公式是an=2n+5求出首項，再把相鄰兩項作差求出公差即可得出結(jié)論．解答：解：因為an=2n+5，所以a1=2×1+5=7；an+1﹣an=2（n+1）+5﹣（2n+5）=2．故此數(shù)列是以7為首項，公差為2的等差數(shù)列．故選A．點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用．如果已知數(shù)列的通項公式，可以求出數(shù)列中的任意一項．10、在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1﹣an=2，則a51的值為（）A、101 B、49C、99 D、10211、某工廠生產(chǎn)化工產(chǎn)品210件，全部為三個批次的產(chǎn)品，其中A、B、C三個批次的產(chǎn)品數(shù)量成等差數(shù)列，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為60的樣本，則應(yīng)從B批次產(chǎn)品中抽取的數(shù)量為（）A、35 B、30C、25 D、20考點：等差數(shù)列；分層抽樣方法。專題：計算題。分析：由分層抽樣的定義知樣本中A、B、C三個批次的產(chǎn)品數(shù)量也成等差數(shù)列，故設(shè)抽取的數(shù)量分別為x﹣d，x，x+d；再由樣本容量為60求出x．解答：解：由題意知A、B、C三個批次的產(chǎn)品數(shù)量成等差數(shù)列，故設(shè)從A、B、C三個批次的產(chǎn)品抽取的數(shù)量分別為：x﹣d，x，x+d；∵抽取一容量為60的樣本，∴3x=60，解得x=20．故選D點評：題考查了分層抽樣的定義即樣本的結(jié)構(gòu)和總體的結(jié)構(gòu)一致，利用三個數(shù)成等差數(shù)列時的設(shè)法：x﹣d，x，x+d和樣本的容量為60求解．12、已知數(shù)列{an}，那么“對于任意的n∈N*，點Pn（n，an）都在直線y=3x+1上”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的（）A、充分不必要條件 B、必要不充分條件C、充要條件 D、既不充分也不必要條件考點：等差數(shù)列。專題：計算題。分析：對于任意的n∈N*，點Pn（n，an）都在直線y=3x+1上，得到an=3n+1，即數(shù)列{an}為等差數(shù)列，即前者可以推出后者，前者是后者的充分條件，反過來不成立．解答：解：∵對于任意的n∈N*，點Pn（n，an）都在直線y=3x+1上，∴an=3n+1，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列即前者可以推出后者，前者是后者的充分條件，數(shù)列{an}為等差數(shù)列不一定得到點Pn（n，an）都在直線y=3x+1上，∴后者不一定推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件．故選A．點評：本題考查等差數(shù)列的定義，是以條件問題為載體的，這種問題注意要從兩個方面入手，看是不是都能夠成立．13、在等差數(shù)列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，則n等于（）A、23 B、24C、25 D、26考點：等差數(shù)列。專題：綜合題。分析：根據(jù)a1=13，a3=12，利用等差數(shù)列的通項公式求得d的值，然后根據(jù)首項和公差寫出數(shù)列的通項公式，讓其等于2得到關(guān)于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．

14、數(shù)列{an}滿足an+1=an﹣3（n≥1）且a1=7，則a3的值是（）A、1 B、4C、﹣3 D、6考點：等差數(shù)列。專題：計算題。分析：根據(jù)題意得到數(shù)列{an}是等差數(shù)列，結(jié)合公比與首項可得數(shù)列的通項公式，進而求出答案即可．解答：解：根據(jù)題意可得：數(shù)列{an}滿足an+1=﹣an﹣3，所以an+1﹣an=﹣3，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為﹣3，a1=7，所以數(shù)列的通項公式為：an=10﹣3n，則a3的值是1．故選A．點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的通項公式，此題屬于基礎(chǔ)題型在高考中一般以選擇題或填空題形式出現(xiàn)．15、已知數(shù)列{an}滿足an+1+an﹣1=2an，n＞2，點O是平面上不在L上的任意一點，L上有不重合的三點A、B、C，又知，則S2022=（）A、1004 B、2022C、2022 D、1005考點：等差數(shù)列；平行向量與共線向量。專題：計算題。分析：首先由三點共線可得a2+a2022=1，又因為an+1+an﹣1=2an，n＞2，所以{an}為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和公式求解即可．解答：解：∵A、B、C三點共線，∴，∴，∴，∵，∴a2+a2022=1，∵an+1+an﹣1=2an，n＞2，∴{an}為等差數(shù)列，∴s2022===1005．故選D．點評：本題在應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和公式的同時，還用到了共線向量基本定理，是一道綜合性題目．二、填空題（共5小題）16、在等差數(shù)列{an}中，若a5=8，a9=24，則公差d=4．

17、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+1，則a1=2．考點：等差數(shù)列。專題：計算題。分析：令n=1，代入Sn計算即可．解答：解：a1=S1=12+1=2故答案為：2點評：對于任意數(shù)列{an}，Sn=a1+a2+…+an，特殊的，當(dāng)n=1時，S1=a1．18、在等差數(shù)列{an}中，若a3+a9+a27=12，則a13=4考點：等差數(shù)列。專題：計算題。分析：將a3+a9+a27用a1和d表示，再將a13用a1和d表示，從中尋找關(guān)系解決．解答：解：∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項為a1，公差為d，∴a3+a9+a27=a1+2d+a1+8d+a1+26d=3a1+36d=12；∴a1+12d=4；∴a13=a1+12d=4．故答案為4．點評：本題用到了基本量a1與d，還用到了整體代入思想，是簡單的基礎(chǔ)題．19、等差數(shù)列{an}中，a2=9，a5=33，{an}的公差為8．考點：等差數(shù)列。專題：計算題。分析：由題設(shè)知，由此能求出公差d的值．解答：解：∵等差數(shù)列{an}中，a2=9，a5=33，∴，解得a1=1，d=8．故答案為：8．點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意等差數(shù)列通項公式的合理運用．20、定義：如果一個向量列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常向量，那么這個向量列叫做等差向量列，這個常向量叫做等差向量列的公差．已知向量列是以為首項，公差的等差向量列．若向量與非零向量垂直，則=．考點：等差數(shù)列；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。專題：新定義；向量法。分析：根據(jù)題目中所給的定義，寫出向量列的表示式，可以橫標(biāo)和縱標(biāo)分別看成等差數(shù)列寫出通項，根據(jù)兩個向量垂直，數(shù)量積為零，寫出xn與xn+1之間的關(guān)系，根據(jù)要求的結(jié)論，本題需要用疊乘來解決．解答：解：∵向量列是以為首項，公差的等差向量列．∴=（n，3）∵向量與非零向量垂直，∴=0∴nxn+3xn+1=0，∴=﹣，∴=﹣，…=﹣把前面的式子相乘，得到=﹣=﹣．點評：本題是一個新定義問題，考查學(xué)生的理解能力，是一個綜合題，用到數(shù)列的通項，和求數(shù)列通項的方法，還有向量垂直的充要條件．解本題的關(guān)鍵是理解題意．三、解答題（共8小題）21、由大于0的自然數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列{an}，它的最大項為26，其所有項的和為70；（1）求數(shù)列{an}的項數(shù)n；（2）求此數(shù)列．考點：等差數(shù)列。專題：計算題。分析：不妨設(shè)最大項是ansn==70因為{an}是自然數(shù)序列，所以n（a1+an）=140，140可以被n整除，又an＜a1+an=140/n，an=26，所以n＜=5．又a1=a1+an﹣an=140/n﹣26＜an=26，所以n＞=3．d=（an﹣a1）/（n﹣1）=（52﹣140/n）/（n﹣1）當(dāng)n=4，5時對應(yīng)的d=17/3，6．故n=5，an=6n﹣4．當(dāng)最大項是a1時，同理可求得：n=5，an=32﹣6n，即可求出

（2）由（1）知當(dāng)an=26，n=5時，an=6n﹣4，數(shù)列為2，8，14，20，26當(dāng)a1=26，n=5時，an=32﹣6n，數(shù)列為26，20，14，8，2所以答案為2，8，14，20，26或26，20，14，8，2點評：解答本題的關(guān)鍵在于自然數(shù)列的首項，公差，通項都是正整數(shù)，然后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解，希望學(xué)生在作此題前要熟練掌握等差數(shù)列的求和公式和通項公式22、已知整數(shù)數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=2，且2an﹣1＜an﹣1+an+1＜2an+1（n∈N，n≥2）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）將數(shù)列{an}中的所有項依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表：…依次計算各個三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來行的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，求b5+b100的值；（3）令（b為大于等于3的正整數(shù)），問數(shù)列{cn}中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項；若不存在，請說明理由．考點：等差數(shù)列；數(shù)列的應(yīng)用。專題：規(guī)律型。分析：（1）由數(shù)列{an}是整數(shù)數(shù)列，結(jié)合2an﹣1＜an﹣1+an+1＜2an+1，可得2an=an﹣1+an+1，根據(jù)等差數(shù)列的定義，推出{an}是等差數(shù)列，進而求出其通項公式；（2）仔細(xì)讀題，找到其循環(huán)規(guī)律，確定bn是第幾個循環(huán)中的第幾行中各數(shù)之和是解題的關(guān)鍵．（3）由（1）（2）的結(jié)論，求出cn的表達式，利用等比數(shù)列的定義，得到關(guān)于b、n的關(guān)系式，然后分n=1，n=2，n≥3分別討論，即可得出結(jié)論．解答：解：（1）因為數(shù)列{an}是整數(shù)數(shù)列，所以an是整數(shù)，所以2an﹣1，an﹣1+an+1，2an+1都是整數(shù)．又2an﹣1＜an﹣1+an+1＜2an+1（n∈N，n≥2），所以2an=an﹣1+an+1，即數(shù)列{an}是首項為1，公差d=a2﹣a1=1的等差數(shù)列，所以an=n．（2）設(shè)每一個循環(huán)（4行）記為一組，由于每一個循環(huán)含有4行，故b100是第25個循環(huán)中的第4行中各數(shù)之和．由循環(huán)分組規(guī)律知，每個循環(huán)共有10項，故第25個循環(huán)中的第4行內(nèi)的4個數(shù)分別為數(shù)列{an}中的第247項至第250項，又an=n．所以b100=247+248+249+250=994．b5=a11=11，所以b5+b100=11+994=1005．（3）因為，設(shè)數(shù)列{cn}中，cn，cn+1，cn+2成等比數(shù)列，即cn+12=cn?cn+2，所以（2+nb+b+b?2n）2=（2+nb+b?2n﹣1）（2+nb+2b+b?2n+1）化簡得b=2n+（n﹣2）?b?2n﹣1（*）當(dāng)n=1時，b=1，等式（*）成立，而b≥3，故等式（*）不成立；當(dāng)n=2時，b=4，等式（*）成立；當(dāng)n≥3時，b=2n+（n﹣2）?b?2n﹣1＞（n﹣2）?b?2n﹣1≥4b，這與b≥3矛盾，故等式（*）不成立．綜上所述，當(dāng)b≠4時，數(shù)列{cn}中不存在連續(xù)三項等等比數(shù)列；當(dāng)b=4時，數(shù)列{cn}中存在連續(xù)三項等等比數(shù)列，這三項依次是18，30，50．點評：本題在應(yīng)用等差數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式的同時，還考查了學(xué)生的邏輯推理能力，運算能力以及對公式的靈活運用能力，是一道綜合性很強的題目．23、在數(shù)列{an}中，已知a1=p＞0且log2（an+1an）=2n+1．（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求的p值．（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn．考點：數(shù)列的求和；等差數(shù)列。專題：計算題。分析：由已知可知an?an+1=22n+1，a1=p，代入可求a2，a3（1）若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則2a2=a1+a3，可求p（2）由已知可知數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別為等比數(shù)列，分類討論求和即可（2），∴Sn=（n=2k，k∈N+）Sn=（n=2k﹣1，k∈N+）點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式的求解，等比數(shù)列的前n項和的求解，求和時體現(xiàn)了分類討論的基本思想，這是高中數(shù)學(xué)的重要思想．24、在數(shù)列{an}中a1=1，當(dāng)n≥2時，an，Sn，Sn﹣成等比數(shù)列．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列前n項的和Tn．

解答：解：（1）∵成等比數(shù)列，∴，∴又∴是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．（4分）又（2）由（1）知，∴，當(dāng)n≥2時，又∴又當(dāng)n≥2時，又當(dāng)n=1時，Tn=﹣1滿足上式，∴（14分）點評：等差數(shù)列與等比數(shù)列是高考中所考查的數(shù)列試題的基本類型，此試題主要考查利用等差數(shù)列的定義證明等差數(shù)列，還要注意構(gòu)造特殊數(shù)列的方法；另外，由遞推公式求通項的應(yīng)用也是本題的一個重點，求解中要注意應(yīng)用定義，靈活構(gòu)造．25、數(shù)列{an}中，an=32，sn=63，（1）若數(shù)列{an}為公差為11的等差數(shù)列，求a1；（2）若數(shù)列{an}為以a1=1為首項的等比數(shù)列，求數(shù)列{am2}的前m項和sm′．考點：數(shù)列的求和；等差數(shù)列。專題：計算題；方程思想。分析：（1）由數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)條件，用首項和公差分別表示通項和前n項和建立方程組求解．（2）由數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)條件，用首項和公比分別表示通項和前n項和建立方程組求解．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，這里用的首項和公差，公比，應(yīng)用了方程思想．26、設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn2﹣2Sn﹣ansn+1=0，n=1，2，3…（1）求a1，a2；（2）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求Sn的表達式．考點：數(shù)列遞推式；等差數(shù)列。專題：綜合題。分析：（1）當(dāng)n=1時，由已知得a12﹣2a1﹣a12+1=0，解得．同理，可解得．（2）由題設(shè)Sn2﹣2Sn+1﹣anSn=0．a(chǎn)n=Sn﹣Sn﹣1，所以Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0.，，由此能夠證明數(shù)列{}是等差數(shù)列，并能求出Sn的表達式．解答：解：（1）當(dāng)n=1時，由已知得a12﹣2a1﹣a12+1=0，解得．同理，可解得．（4分）

點評：第（1）題考查數(shù)列中第1項和第2項的求法，解題時要注意函2數(shù)題考查等差數(shù)列的證明和數(shù)列前n項和的求法，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．27、函數(shù)的最小值為an，最大值為bn，且，數(shù)列{Cn}的前n項和為Sn．（1）求數(shù)列{cn}的通項公式；（2）若數(shù)列{dn}是等差