全國(guó)高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題及答案

PAGEPAGE79全國(guó)2007年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．設(shè)A為3階方陣，且，則（D）A．-4 B．-1 C．1 D．．2．設(shè)矩陣A=（1，2），B=，C=，則下列矩陣運(yùn)算中有意義的是（B）A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA3．設(shè)A為任意n階矩陣，下列矩陣中為反對(duì)稱矩陣的是（B）A．A＋AT B．A－AT C．AAT D．ATA，所以A－AT為反對(duì)稱矩陣．4．設(shè)2階矩陣A=，則A*=（A）A． B． C． D．5．矩陣的逆矩陣是（C）A． B． C． D．6．設(shè)矩陣A=，則A中（D）A．所有2階子式都不為零 B．所有2階子式都為零C．所有3階子式都不為零 D．存在一個(gè)3階子式不為零7．設(shè)A為m×n矩陣，齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是（A）A．A的列向量組線性相關(guān) B．A的列向量組線性無(wú)關(guān)C．A的行向量組線性相關(guān) D．A的行向量組線性無(wú)關(guān)Ax=0有非零解A的列向量組線性相關(guān)．8．設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)解為，，且系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2，則對(duì)于任意常數(shù)k,k1,k2，方程組的通解可表為（C）A．k1(1,0,2)T+k2(1,-1,3)T B．(1,0,2)T+k(1,-1,3)TC．(1,0,2)T+k(0,1,-1)T D．(1,0,2)T+k(2,-1,5)T是Ax=b的特解，是Ax=0的基礎(chǔ)解系，所以Ax=b的通解可表為(1,0,2)T+k(0,1,-1)T．9．矩陣A=的非零特征值為（B）A．4 B．3 C．2 ，非零特征值為．10．4元二次型的秩為（C）A．4 B．3 C．2 ，秩為2．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．若則行列式=__0__．行成比例值為零．12．設(shè)矩陣A=，則行列式|ATA|=__4__．．13．若齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式的值為__0__．14．設(shè)矩陣A=，矩陣，則矩陣B的秩r(B)=__2__．=，r(B)=2．15．向量空間V={x=(x1,x2,0)|x1,x2為實(shí)數(shù)}的維數(shù)為__2__．16．設(shè)向量，，則向量，的內(nèi)積=__10__．17．設(shè)A是4×3矩陣，若齊次線性方程組Ax=0只有零解，則矩陣A的秩r(A)=__3__．18．已知某個(gè)3元非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為：，若方程組無(wú)解，則a的取值為__0__．時(shí)，，．19．設(shè)3元實(shí)二次型的秩為3，正慣性指數(shù)為2，則此二次型的規(guī)范形是．秩，正慣性指數(shù)，則負(fù)慣性指數(shù)．規(guī)范形是．20．設(shè)矩陣A=為正定矩陣，則a的取值范圍是．，，．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．計(jì)算3階行列式．解：．22．設(shè)A=，求．解：，．23．設(shè)向量組，，，．（1）求向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；（2）將其余向量表為該極大線性無(wú)關(guān)組的線性組合．解：．（1）是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；（2）．24．求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解．解：，， 基礎(chǔ)解系為，，通解為．25．設(shè)矩陣A=，求正交矩陣P，使為對(duì)角矩陣．解：，特征值，．對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，單位化為；對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，單位化為．令，則P是正交矩陣，使．26．利用施密特正交化方法，將下列向量組化為正交的單位向量組：，．解：正交化，得正交的向量組：，；單位化，得正交的單位向量組：，．四、證明題（本大題6分）27．證明：若A為3階可逆的上三角矩陣，則也是上三角矩陣．證：設(shè)，則，其中，，，所以是上三角矩陣．全國(guó)2007年10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．設(shè)行列式=1，=2，則=（D）A．-3 B．-1 C．1 =+=1+2=3．2．設(shè)A為3階方陣，且已知，則（B）A．-1 B． C． D．1，，．3．設(shè)矩陣A，B，C為同階方陣，則（B）A．ATBTCT B．CTBTAT C．CTATBT D．ATCTBT4．設(shè)A為2階可逆矩陣，且已知，則A=（D）A．2 B． C．2 D．，，．5．設(shè)向量組線性相關(guān)，則必可推出（C）A．中至少有一個(gè)向量為零向量B．中至少有兩個(gè)向量成比例C．中至少有一個(gè)向量可以表示為其余向量的線性組合D．中每一個(gè)向量都可以表示為其余向量的線性組合6．設(shè)A為m×n矩陣，則齊次線性方程組Ax=0僅有零解的充分必要條件是（A）A．A的列向量組線性無(wú)關(guān) B．A的列向量組線性相關(guān)C．A的行向量組線性無(wú)關(guān) D．A的行向量組線性相關(guān)Ax=0僅有零解A的列向量組線性無(wú)關(guān)．7．已知是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，為任意常數(shù)，則方程組Ax=b的通解可以表為（A）A． B．C． D．是Ax=b的特解，是Ax=0的基礎(chǔ)解系．8．設(shè)3階矩陣A與B相似，且已知A的特征值為2,2,3，則（A）A． B． C．7 D．12B相似于，，．9．設(shè)A為3階矩陣，且已知，則A必有一個(gè)特征值為（B）A． B． C． D．A必有一個(gè)特征值為．10．二次型的矩陣為（C）A． B． C． D．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．設(shè)矩陣A=，B=，則A+2B=．12．設(shè)3階矩陣A=，則．，．13．設(shè)3階矩陣A=，則A*A=．．14．設(shè)A為m×n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，則矩陣B=AC的秩為__r__．B=AC，其中C可逆，則A經(jīng)過有限次初等變換得到，它們的秩相等．15．設(shè)向量，則它的單位化向量為．16．設(shè)向量，，，，則由線性表出的表示式為．設(shè)，即，，．17．已知3元齊次線性方程組有非零解，則a=__2__．，．18．設(shè)A為n階可逆矩陣，已知A有一個(gè)特征值為2，則必有一個(gè)特征值為．是A的特征值，則是的特征值．19．若實(shí)對(duì)稱矩陣A=為正定矩陣，則a的取值應(yīng)滿足．，，．20．二次型的秩為__2__．，秩為2．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．求4階行列式的值．解：．22．設(shè)向量，，求（1）矩陣；（2）向量與的內(nèi)積．解：（1）；（2）．23．設(shè)2階矩陣A可逆，且，對(duì)于矩陣，，令，求．解：，，===．24．求向量組，，，的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組．解：，秩為3，是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組．25．給定線性方程組．（1）問a為何值時(shí)，方程組有無(wú)窮多個(gè)解；（2）當(dāng)方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出其通解（用一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）．解：（1），時(shí)，方程組有無(wú)窮多解；（2）時(shí)，，，通解為．26．求矩陣A=的全部特征值及對(duì)應(yīng)的全部特征向量．解：，特征值，．對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為（是任意非零常數(shù)）；對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為（是不全為零的任意常數(shù)）．四、證明題（本大題6分）27．設(shè)A是n階方陣，且，證明A可逆．證：由，得，，．所以A可逆，且．全國(guó)2007年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．設(shè)A是3階方陣，且|A|=，則|A-1|=（A）A．-2 B． C． D．22．設(shè)A為n階方陣，為實(shí)數(shù)，則（C）A． B． C． D．3．設(shè)A為n階方陣，令方陣B=A+AT，則必有（A）A．BT=B B．B=2A C． D．B=0．4．矩陣A=的伴隨矩陣A*=（D）A． B． C． D．5．下列矩陣中，是初等矩陣的為（C）A． B． C． D．6．若向量組，，線性相關(guān)，則實(shí)數(shù)t=（B）A．0 B．1 C．2 D．．7．設(shè)A是4×5矩陣，秩(A)=3，則（D）A．A中的4階子式都不為0 B．A中存在不為0的4階子式C．A中的3階子式都不為0 D．A中存在不為0的3階子式8．設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為，，則秩(A)=（B）A．0 B．1 C．2 D．相似于，秩(A)=秩(D)=1．9．設(shè)A為n階正交矩陣，則行列式（C）A．-2 B．-1 C．1 D．A為正交矩陣，則，．10．二次型的正慣性指數(shù)p為（B）A．0 B．1 C．2 D．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．設(shè)矩陣A=，則行列式__1__．．12．行列式中元素的代數(shù)余子式__-2__．．13．設(shè)矩陣A=，B=，則__5__．．14．已知，其中，，，則．15．矩陣A=的行向量組的秩=__2__．，秩=2．16．已知向量組，，是的一組基，則向量在這組基下的坐標(biāo)是．設(shè)，即，得，解得．17．已知方程組存在非零解，則常數(shù)t=__2__．，．18．已知3維向量，，則內(nèi)積__1__．19．已知矩陣A=的一個(gè)特征值為0，則=__1__．的一個(gè)特征值為0，則，即，．20．二次型的矩陣是．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．計(jì)算行列式D=的值．解：．22．設(shè)矩陣A=，B=，求矩陣方程XA=B的解X．解：，，．23．設(shè)矩陣A=，問a為何值時(shí)，（1）秩(A)=1；（2）秩(A)=2．解：．（1）時(shí)，秩(A)=1；（2）時(shí)，秩(A)=2．24．求向量組=，=，=，=的秩與一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組．解：，秩為2，,是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組．25．求線性方程組的通解．解：，，通解為．26．設(shè)矩陣，求可逆矩陣P及對(duì)角矩陣D，使得．解：，特征值，．對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為；對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，．令，，則P是可逆矩陣，使．四、證明題（本大題6分）27．設(shè)向量組,線性無(wú)關(guān)，證明向量組，也線性無(wú)關(guān)．證：設(shè)，即，．由,線性無(wú)關(guān)，得，因?yàn)椋匠探M只有零解，所以,線性無(wú)關(guān)．做試題,沒答案?上自考365,網(wǎng)校名師為你詳細(xì)解答!全國(guó)2008年1月自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.設(shè)A為三階方陣且則（D）A.-108 B.-12C.12 D.1082.如果方程組有非零解,則

k=（B）A.-2 B.-1C.1 D.23.設(shè)A、B為同階方陣，下列等式中恒正確的是（D）A.AB=BA B.C. D.4.設(shè)A為四階矩陣，且則（C）A.2 B.4C.8 D.125.設(shè)可由向量α1=（1，0，0）α2=（0，0，1）線性表示，則下列向量中只能是(B)A.（2，1，1） B.（-3，0，2）C.（1，1，0） D.（0,-1,0）6.向量組α1，α2，…，αs的秩不為s(s)的充分必要條件是（C）A.α1，α2，…，αs全是非零向量B.α1，α2，…，αs全是零向量C.α1，α2，…，αs中至少有一個(gè)向量可由其它向量線性表出D.α1，α2，…，αs中至少有一個(gè)零向量7.設(shè)A為m矩陣，方程AX=0僅有零解的充分必要條件是（C）A.A的行向量組線性無(wú)關(guān) B.A的行向量組線性相關(guān)C.A的列向量組線性無(wú)關(guān) D.A的列向量組線性相關(guān)8.設(shè)A與B是兩個(gè)相似n階矩陣，則下列說法錯(cuò)誤的是（D）A. B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆陣P，使P-1AP=B D.E-A=E-B9.與矩陣A=相似的是（A）A. B.C. D.10.設(shè)有二次型則（C）A.正定 B.負(fù)定C.不定 D.半正定二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.若則k=_______1/2____.12.設(shè)A=,B=則AB=___________.13.設(shè)A=,則A-1=14.設(shè)A為3矩陣,且方程組A

x=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)解向量,則秩(A)=_____1______.15.已知A有一個(gè)特征值-2,則B=A+2E必有一個(gè)特征值___6_________.16.方程組的通解是_______c1_+__c2__.17.向量組α1=(1,0,0)α2=(1,1,0),α3=(-5,2,0)的秩是_______2____.18.矩陣A=的全部特征向量是.19.設(shè)三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似,則=__-16_________.20.矩陣A=所對(duì)應(yīng)的二次型是.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計(jì)算四階行列式的值.=22.設(shè)A=,求A.A=23.設(shè)A=,B=,且A,B,X滿足(E-BA)求X,X(E-BA)X==X==24.求向量組α1=(1,-1,2,4)α2=(0,3,1,2),α3=(3,0,7,14),α4=(2,1,5,6),α5=(1,-1,2,0)的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.α1α2α4為極大無(wú)關(guān)組。25.求非齊次方程組的通解通解26.設(shè)A=,求P使為對(duì)角矩陣.=P==四、證明題（本大題共1小題,6分）27.設(shè)α1，α2，α3是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系.證明α1，α1+α2，α1+α2+α3也是Ax=0的基礎(chǔ)解系．略。全國(guó)2008年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．設(shè)行列式D==3，D1=，則D1的值為（C）A．-15 B．-6 C．6 D1=．2．設(shè)矩陣=，則（C）A． B．C． D．．3．設(shè)3階方陣A的秩為2，則與A等價(jià)的矩陣為（B）A． B． C． D．4．設(shè)A為n階方陣，，則（A）A． B． C． D．5．設(shè)A=，則（B）A．-4 B．-2 C．2 ．6．向量組（）線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（D）A．均不為零向量B．中任意兩個(gè)向量不成比例C．中任意個(gè)向量線性無(wú)關(guān)D．中任意一個(gè)向量均不能由其余個(gè)向量線性表示7．設(shè)3元線性方程組，A的秩為2，,,為方程組的解，，，則對(duì)任意常數(shù)k，方程組的通解為（D）A． B．C． D．取的特解：；的基礎(chǔ)解系含一個(gè)解向量：．8．設(shè)3階方陣A的特征值為，則下列矩陣中為可逆矩陣的是（D）A． B． C． D．不是A的特征值，所以，可逆．9．設(shè)=2是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣必有一個(gè)特征值等于（A）A． B． C．2 D．4是A的特征值，則是的特征值．10．二次型的秩為（C）A．1 B．2 C．3 D．，秩為3．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．行列式=__0__．行成比例值為零．12．設(shè)矩陣A=，P=，則．=．13．設(shè)矩陣A=，則．．14．設(shè)矩陣A=，若齊次線性方程組Ax=0有非零解，則數(shù)t=__2__．，．15．已知向量組，，的秩為2，則數(shù)t=__-2__．，秩為2，則．16．已知向量，，與的內(nèi)積為2，則數(shù)k=．，即，．17．設(shè)向量為單位向量，則數(shù)b=__0__．，．18．已知=0為矩陣A=的2重特征值，則A的另一特征值為__4__．，，所以．19．二次型的矩陣為．20．已知二次型正定，則數(shù)k的取值范圍為．，，．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．計(jì)算行列式D=的值．解：．22．已知矩陣A=，B=，（1）求A的逆矩陣；（2）解矩陣方程．解：（1），=；（2）=．23．設(shè)向量，，求（1）矩陣；（2）．解：（1）=；（2）==．24．設(shè)向量組，，，，求向量組的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示．解：，向量組的秩為3，是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，．25．已知線性方程組，（1）求當(dāng)為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有解；（2）當(dāng)方程組有解時(shí)，求出其全部解（要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）．解：．（1）時(shí)，方程組無(wú)解，時(shí)，方程組有解；（2）時(shí)，，，全部解為．26．設(shè)矩陣A=，（1）求矩陣A的特征值與對(duì)應(yīng)的全部特征向量；（2）判定A是否可以與對(duì)角陣相似，若可以，求可逆陣P和對(duì)角陣，使得．解：，特征值，．對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為（是任意非零常數(shù)）；對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為（是任意非零常數(shù)）．令，，則P是可逆矩陣，使得．四、證明題（本題6分）27．設(shè)n階矩陣A滿足，證明可逆，且．證：由，得，所以可逆，且．全國(guó)2008年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．設(shè)3階方陣，其中（）為A的列向量，且，則（C）A．-2 B．0 C．2 D．，．2．若方程組有非零解，則k=（A）A．-1 B．0 C．1 ，．3．設(shè)A，B為同階可逆方陣，則下列等式中錯(cuò)誤的是（C）A． B．C． D．反例：，．4．設(shè)A為三階矩陣，且，則（A）A． B．1 C．2 D．4．5．已知向量組A：中線性相關(guān)，那么（B）A．線性無(wú)關(guān) B．線性相關(guān)C．可由線性表示 D．線性無(wú)關(guān)部分相關(guān)全體相關(guān)．6．向量組的秩為，且，則（C）A．線性無(wú)關(guān) B．中任意個(gè)向量線性無(wú)關(guān)C．中任意+1個(gè)向量線性相關(guān) D．中任意-1個(gè)向量線性無(wú)關(guān)7．若與相似，則（D）A．,都和同一對(duì)角矩陣相似 B．,有相同的特征向量C． D．8．設(shè)是的解，是對(duì)應(yīng)齊次方程組的解，則（B）A．是的解 B．是的解C．是的解 D．是的解．9．下列向量中與正交的向量是（D）A． B． C． D．．10．設(shè)，則二次型是（B）A．正定 B．負(fù)定 C．半正定 D．不定，對(duì)應(yīng)的，，正定，負(fù)定．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．設(shè)A為三階方陣且，則__24__．．12．已知，則__0__．，．13．設(shè)，則．，，，，，，，，．14．設(shè)A為4×5的矩陣，且秩(A)=2，則齊次方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是__3__．基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是．15．設(shè)有向量，，，則的秩是__2__．，秩是2．16．方程組的通解是．，通解是．17．設(shè)A滿足，則．，，．18．設(shè)三階方陣A的三個(gè)特征值為，則__24__．A的特征值為，則的特征值為，．19．設(shè)與的內(nèi)積，，則內(nèi)積__-8__．．20．矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型是．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．計(jì)算6階行列式．解：．22．已知，，，滿足，求．解：，，=，=．23．求向量組，，的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組．解：，秩為2，是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組．24．當(dāng)為何值時(shí)，方程組有無(wú)窮多解？并求出其通解．解：，時(shí)，有無(wú)窮多解．此時(shí)，，通解為．25．已知，求其特征值與特征向量．解：，特征值，．對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為（是任意非零常數(shù)）；對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為（是任意非零常數(shù)）．26．設(shè)，求．解：，特征值，．對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為；對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為．令，，則，，，．四、證明題（本大題6分）27．設(shè)為的非零解，為（）的解，證明與線性無(wú)關(guān)．證：設(shè)，則，，，由此可得，從而，又，可得，所以與線性無(wú)關(guān)．全國(guó)2008年10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．設(shè)A為3階方陣，且，則（A）A．-9 B．-3 C．-1 ，，．2．設(shè)A、B為n階方陣，滿足，則必有（D）A． B． C． D．3．已知矩陣A=，B=，則（A）A． B． C． D．==．4．設(shè)A是2階可逆矩陣，則下列矩陣中與A等價(jià)的矩陣是（D）A． B． C． D．5．設(shè)向量，，下列命題中正確的是（B）A．若線性相關(guān)，則必有線性相關(guān)B．若線性無(wú)關(guān)，則必有線性無(wú)關(guān)C．若線性相關(guān)，則必有線性無(wú)關(guān)D．若線性無(wú)關(guān)，則必有線性相關(guān)6．已知是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)解，則矩陣A可為（A）A． B． C． D．，．7．設(shè)m×n矩陣A的秩r(A)=n-3（n>3），是齊次線性方程組Ax=0的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為（D）A． B． C． D．其中只有線性無(wú)關(guān)．8．已知矩陣A與對(duì)角矩陣D=相似，則（C）A．A B．D C．E D．存在，使，，．9．設(shè)矩陣A=，則A的特征值為（D）A．1，1，0 B．-1，1，1 C．1，1，1 ．10．設(shè)A為n（）階矩陣，且，則必有（C）A．A的行列式等于1 B．A的逆矩陣等于EC．A的秩等于n D．A的特征值均為1，，A的秩等于n．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．已知行列式，則數(shù)a=__3__．，．12．設(shè)方程組有非零解，則數(shù)k=__4__．，．13．設(shè)矩陣A=，B=，則．=．14．已知向量組的秩為2，則數(shù)t=__3__．，秩為2，則．15．設(shè)向量，則的長(zhǎng)度為__5/2__．16．設(shè)向量組，，與向量組等價(jià)，則向量組的秩為__2__．，秩為2．17．已知3階矩陣A的3個(gè)特征值為，則__36__．．18．設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為，則r(A)=__2__．A相似于，r(A)=2．19．矩陣A=對(duì)應(yīng)的二次型f=．20．設(shè)矩陣A=，則二次型的規(guī)范形是．，其中，．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．計(jì)算行列式D=的值．解：．22．已知A=，B=，C=，矩陣X滿足AXB=C，求解X．解：，；，．====．23．，，下的坐標(biāo)，并將用此基線性表示．解：設(shè)，即，得，，，，．下的坐標(biāo)是，．24．設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，令，，，試確定向量組的線性相關(guān)性．解：設(shè)，即，，由線性無(wú)關(guān)，得，，有非零解，線性相關(guān)．25．已知線性方程組，（1）討論為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有惟一解、有無(wú)窮多個(gè)解．（2）在方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解（用一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）．解：．（1）時(shí)無(wú)解，且時(shí)惟一解，時(shí)有無(wú)窮多個(gè)解．（2）時(shí)，，，通解為．26．已知矩陣A=，求正交矩陣P和對(duì)角矩陣，使．解：，特征值，．對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，，正交化：令，，單位化：令，；對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，單位化：令．令，，則P是正交矩陣，使．四、證明題（本題6分）27．設(shè)為非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)解，是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．證明線性無(wú)關(guān)．證：設(shè)，則，，，，由，得（1）從而，由線性無(wú)關(guān)，得（2）由（1）（2）可知線性無(wú)關(guān)．全國(guó)2009年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．線性方程組的解為（A）A． B．C． D．．2．設(shè)矩陣，則矩陣的伴隨矩陣（B）A． B． C． D．3．設(shè)為矩陣，若秩（）=4，則秩（）為（C）A．2 B．3 C．4 4．設(shè)分別為和矩陣，向量組（I）是由的列向量構(gòu)成的向量組，向量組（Ⅱ）是由的列向量構(gòu)成的向量組，則必有（C）A．若（I）線性無(wú)關(guān)，則（Ⅱ）線性無(wú)關(guān) B．若（I）線性無(wú)關(guān)，則（Ⅱ）線性相關(guān)C．若（Ⅱ）線性無(wú)關(guān)，則（I）線性無(wú)關(guān) D．若（Ⅱ）線性無(wú)關(guān)，則（I）線性相關(guān)（I）是（Ⅱ）的部分組，整體無(wú)關(guān)部分無(wú)關(guān)．5．設(shè)為5階方陣，若秩（）=3，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中包含的解向量的個(gè)數(shù)是（A）A．2 B．3 C．4 未知量個(gè)數(shù)，的秩，基礎(chǔ)解系包含個(gè)解向量．6．設(shè)矩陣的秩為，且是齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，則的通解為（D）A．， B．， C．， D．，的基礎(chǔ)解系包含1個(gè)解向量．是不同的解，是非零解，可以作為基礎(chǔ)解系，通解為，．7．對(duì)非齊次線性方程組，設(shè)秩（）=r，則（）A．r=m時(shí)，方程組有解 B．r=n時(shí)，方程組有唯一解C．m=n時(shí)，方程組有唯一解 D．r<n時(shí)，方程組有無(wú)窮多解r=m時(shí)，，有解 ．8．設(shè)矩陣，則的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是（C）A．1 B．2 C．3 特征值為，，．和各有1個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；對(duì)于，解：，，有1個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．9．設(shè)向量，則下列向量是單位向量的是（B）A． B． C． D．，．10．二次型的規(guī)范形是（D）A． B． C． D．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．3階行列式_______________．．12．設(shè)，，則_______________．．13．設(shè)為3階方陣，若，則_______________．．14．已知向量，，如果，則_______________．．．15．設(shè)為3階非奇異矩陣，則齊次方程組的解為_______________．，只有零解：．16．設(shè)方程組的增廣矩陣為，則其通解為_______________．，，通解為．17．已知3階方陣的特征值為，則_______________．．18．已知向量與向量正交，則_______________．，，．19．二次型的正慣性指數(shù)為_______________．正慣性指數(shù)為3．20．若為正定二次型，則的取值應(yīng)滿足_______________．，；，，，，．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．計(jì)算行列式．解：．22．設(shè)，，又，求矩陣．解：，，．23．設(shè)矩陣，，求矩陣的秩．解：，可逆，而的秩為3，所以的秩為3．24．求向量組，，的秩．解：，的秩為2．25．求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．解：，，基礎(chǔ)解系為，．26．設(shè)矩陣，求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣．解：A的特征多項(xiàng)式為，特征值為，．對(duì)于，解齊次方程組：，，取，．對(duì)于，解齊次方程組：，，?。?，則是可逆矩陣，使．四、證明題（本大題共1小題，6分）27．設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，，，，證明：向量組線性無(wú)關(guān)．證：設(shè)，即，，因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，必有，，方程組只有零解：，所以線性無(wú)關(guān)．全國(guó)2009年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．3階行列式中元素的代數(shù)余子式（C）A． B． C．1 D．2．2．設(shè)，，，，則（A）A． B． C． D．．3．設(shè)階可逆矩陣、、滿足，則（D）A． B． C． D．由，得，．4．設(shè)3階矩陣，則的秩為（B）A．0 B．1 C．2 ，的秩為1．5．設(shè)是一個(gè)4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為（C）A．1 B．2 C．3 是的極大無(wú)關(guān)組，的秩為3．6．設(shè)向量組線性相關(guān)，則向量組中（A）A．必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合B．必有兩個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合C．必有三個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合D．每一個(gè)向量都可以表為其余向量的線性組合7．設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎(chǔ)解系的是（B）A． B．C． D．只有線性無(wú)關(guān)，可以作為基礎(chǔ)解系．8．若2階矩陣相似于，為2階單位矩陣，則與相似的是（C）A． B． C． D．與相似，則，，即與相似．9．設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣，則3元二次型的規(guī)范形為（D）A． B． C． D．，規(guī)范形為．10．若3階實(shí)對(duì)稱矩陣是正定矩陣，則的正慣性指數(shù)為（D）A．0 B．1 C．2 D．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．已知3階行列式，則_______________．，．12．設(shè)3階行列式的第2列元素分別為，對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為，則_______________．．13．設(shè)，則_______________．．14．設(shè)為2階矩陣，將的第2列的（）倍加到第1列得到，則_____．將的第2列的2倍加到第1列可得．15．設(shè)3階矩陣，則_______________．，．16．設(shè)向量組，，線性相關(guān)，則數(shù)___________．，．17．已知，是3元非齊次線性方程組的兩個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)齊次線性方程組有一個(gè)非零解向量_______________．（或它的非零倍數(shù)）．18．設(shè)2階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，，則數(shù)______________．和屬于不同的特征值，所以它們是正交的，即，即，．19．已知3階矩陣的特征值為，且矩陣與相似，則_______________．的特征值為，．20．二次型的矩陣_______________．，．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．已知3階行列式中元素的代數(shù)余子式，求元素的代數(shù)余子式的值．解：由，得，所以．22．已知矩陣，，矩陣滿足，求．解：由，得，于是．23．求向量組，，，的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表出．解：，是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，．24．設(shè)3元齊次線性方程組，（1）確定當(dāng)為何值時(shí)，方程組有非零解；（2）當(dāng)方程組有非零解時(shí)，求出它的基礎(chǔ)解系和全部解．解：（1），或時(shí)，方程組有非零解；（2）時(shí)，，，基礎(chǔ)解系為，全部解為，為任意實(shí)數(shù)；時(shí)，，，基礎(chǔ)解系為，，全部解為，為任意實(shí)數(shù)．25．設(shè)矩陣，（1）判定是否可與對(duì)角矩陣相似，說明理由；（2）若可與對(duì)角矩陣相似，求對(duì)角矩陣和可逆矩陣，使．解：（1），特征值，．對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，；對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為．3階矩陣有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以相似于對(duì)角陣；（2）令，，則是可逆矩陣，使得．26．設(shè)3元二次型，求正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．解：二次型的矩陣為．，特征值，，．對(duì)于，解齊次線性方程組：，，，單位化為；對(duì)于，解齊次線性方程組：，，，單位化為；對(duì)于，解齊次線性方程組：，，，單位化為．令，則P是正交矩陣，使得，經(jīng)正交變換后，原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．四、證明題（本題6分）27．已知是階矩陣，且滿足方程，證明的特征值只能是0或．證：設(shè)是的特征值，則滿足方程，只能是或．全國(guó)2009年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．設(shè)，，為同階方陣，下面矩陣的運(yùn)算中不成立的是（C）A． B．C． D．，未必等于．2．已知，那么（B）A． B． C． D．12．3．若矩陣可逆，則下列等式成立的是（C）A． B． C． D．，所以．4．若，，，則下列為矩陣的是（D）A． B． C． D．與都是矩陣，由此可以將前三個(gè)選項(xiàng)排除．5．設(shè)有向量組：，其中線性無(wú)關(guān)，則（A）A．線性無(wú)關(guān) B．線性無(wú)關(guān)C．線性相關(guān) D．線性相關(guān)整體無(wú)關(guān)部分無(wú)關(guān)．6．若四階方陣的秩為3，則（B）A．為可逆陣 B．齊次方程組有非零解C．齊次方程組只有零解 D．非齊次方程組必有解，，，有非零解．7．設(shè)為矩陣，則元齊次線性方程存在非零解的充要條件是（B）A．的行向量組線性相關(guān) B．的列向量組線性相關(guān)C．的行向量組線性無(wú)關(guān) D．的列向量組線性無(wú)關(guān)存在非零解的充要條件是，即的列向量組線性相關(guān)．8．下列矩陣是正交矩陣的是（A）A． B．C． D．．9．二次型（為實(shí)對(duì)稱陣）正定的充要條件是（D）A．可逆 B．C．的特征值之和大于0 D．的特征值全部大于010．設(shè)矩陣正定，則（C）A． B． C． D．，，．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．設(shè)，，則_____________．．12．若，則_____________．，．13．設(shè)，則_____________．，，，，，，，，，．14．已知，則_____________．由，得，，，所以．15．向量組的秩為_____________．，秩為2．16．設(shè)齊次線性方程組有解，而非齊次線性方程組有解，則是方程組_____________的解．由，，可得，即是的解．17．方程組的基礎(chǔ)解系為_____________．，，基礎(chǔ)解系為．18．向量正交，則_____________．由，即，．19．若矩陣與矩陣相似，則_____________．相似矩陣有相同的跡，所以，2．20．二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣是_____________．．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．求行列式的值．解：．22．已知，，，，矩陣滿足方程，求．解：由，得，于是．23．設(shè)向量組為，，，，求向量組的秩，并給出一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組．解：，向量組的秩為2，是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組．24．取何值時(shí)，方程組有非零解？有非零解時(shí)求出方程組的通解．解：，或時(shí)，方程組有非零解；時(shí)，，，通解為，為任意實(shí)數(shù)；時(shí)，，，通解為，為任意實(shí)數(shù)．25．設(shè)矩陣，求矩陣的全部特征值和特征向量．解：，特征值，．對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，全部特征向量為，是任意非零常數(shù)；對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，是任意不全為零的常數(shù)．26．用配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的線性變換．解：作可逆線性變換，得標(biāo)準(zhǔn)形．四、證明題（本大題共1小題，6分）27．證明：若向量組線性無(wú)關(guān)，而，則向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是為奇數(shù)．證：設(shè)，即，由線性無(wú)關(guān)，可得齊次方程組，其系數(shù)行列式， 當(dāng)且僅當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，齊次方程組只有零解，線性無(wú)關(guān)．全國(guó)2009年10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．行列式第二行第一列元素的代數(shù)余子式（B）A． B． C．1 D．2．2．設(shè)為2階矩陣，若，則（C）A． B．1 C． D．2，，，．3．設(shè)階矩陣、、滿足，則（A）A． B． C． D．由，得．4．已知2階矩陣的行列式，則（A）A． B． C． D．因?yàn)?，所以，?．向量組（）的秩不為零的充分必要條件是（B）A．中沒有線性相關(guān)的部分組 B．中至少有一個(gè)非零向量C．全是非零向量 D．全是零向量6．設(shè)為矩陣，則元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是（C）A． B． C． D．7．已知3階矩陣的特征值為，則下列矩陣中可逆的是（D）A． B． C． D．的特征值為，，可逆．8．下列矩陣中不是初等矩陣的為（D）A． B． C． D．第1行加到第3行得A，第1行的（）倍加到第3行得B，第2行乘以2得C，以上都是初等矩陣．而的第1行分別加到第2、3兩行得D，D不是初等矩陣．9．4元二次型的秩為（B）A．1 B．2 C．3 二次型的矩陣，秩為2．10．設(shè)矩陣，則二次型的規(guī)范形為（D）A． B． C． D．令，則．解法二：，存在正交矩陣，使得，即的規(guī)范形為．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．已知行列式，則_________．，．12．已知矩陣，且，則_________．，所以．解法二：注意到，所以．13．設(shè)矩陣，則_________．，，．14．已知矩陣方程，其中，，則_________．，．15．已知向量組線性相關(guān)，則數(shù)_________．由，得1．16．設(shè)，且，則的秩為_________．線性無(wú)關(guān)，秩為2．17．設(shè)3元方程組增廣矩陣為，若方程組無(wú)解，則的取值為_______．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，，，方程組無(wú)解．18．已知3階矩陣的特征值分別為，則_________．特征值分別為，．19．已知向量與正交，則數(shù)_________．由，即，得．20．已知正定，則數(shù)的取值范圍是_________．，，．三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)21．計(jì)算行列式的值．解：．22．設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，求．解：由，得，，其中，，．23．已知線性方程組，（1）討論常數(shù)滿足什么條件時(shí)，方程組有解．（2）當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)，求出其通解（要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）．解：（1），時(shí)，方程組有解．（2），，通解為．24．設(shè)向量組，求該向量組的秩及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用此極大無(wú)關(guān)組線性表示．解：，向量組的秩為3，是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，．25．設(shè)矩陣，，存在，使得；存在，使得．試求可逆矩陣，使得．解：由題意，的特征值為，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量為；的特征值為，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量為．令，則是可逆矩陣，使得；令，則是可逆矩陣，使得．由上可得，從而，即，令，則是可逆矩陣，使得．26．已知，求正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．解：原二次型的矩陣為．，的特征值為，．對(duì)于，解齊次方程組：，，取，，先正交化：，．再單位化：，．對(duì)于，解齊次方程組：，，取，單位化為．令，則P是正交矩陣，經(jīng)過正交變換后，原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．四、證明題(本題6分)27．設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，且．證明：若，則向量組也線性無(wú)關(guān)．證：設(shè)，即．由線性無(wú)關(guān)，可得．若，則方程組的系數(shù)行列式，只有，所以線性無(wú)關(guān)．全國(guó)2010年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．設(shè)行列式，則行列式（A）A． B．1 C．2 D．．2．設(shè)為同階可逆方陣，則（B）A． B． C． D．3．設(shè)是4維列向量，矩陣．如果，則（D）A． B． C．4 D．32．4．設(shè)是三維實(shí)向量，則（C）A．一定線性無(wú)關(guān) B．一定可由線性表出C．一定線性相關(guān) D．一定線性無(wú)關(guān)5．向量組，，的秩為（C）A．1 B．2 C．3 D．6．設(shè)是矩陣，，則方程組的基礎(chǔ)解系中所含向量的個(gè)數(shù)是（D）A．1 B．2 C．3 D．A．1 B．2 C．3 D．．7．設(shè)是矩陣，已知只有零解，則以下結(jié)論正確的是（A）A． B．（其中是維實(shí)向量）必有唯一解C． D．存在基礎(chǔ)解系若，即方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，則必有非零解．8．設(shè)矩陣，則以下向量中是的特征向量的是（A）A． B． C． D．設(shè)是的特征向量，則，，，將各備選答案代入驗(yàn)證，可知是的特征向量．9．設(shè)矩陣的三個(gè)特征值分別為，則（B）A．4 B．5 C．6 D．．10．三元二次型的矩陣為（A）A． B． C． D．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．行列式_________．．12．設(shè)，則_________．，．解法二：令，，則，，．13．設(shè)方陣滿足，則_________．，，，，．14．實(shí)數(shù)向量空間的維數(shù)是_________．就是齊次方程組的解向量組，它的基礎(chǔ)解系（即極大無(wú)關(guān)組）含有個(gè)向量，所以的維數(shù)是2．15．設(shè)是非齊次線性方程組的解．則_________．．16．設(shè)是實(shí)矩陣，若，則_________．利用P.115例7的結(jié)論：．17．設(shè)線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解，則_________．，方程組有無(wú)窮多個(gè)解，則．18．設(shè)階矩陣有一個(gè)特征值3，則_________．0是的特征值，所以．19．設(shè)向量，，且與正交，則_________．由，即，得2．20．二次型的秩為_________．，秩為3．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．計(jì)算4階行列式．解：（標(biāo)準(zhǔn)答案）．22．設(shè)，判斷是否可逆，若可逆，求其逆矩陣．解：，所以可逆，且（標(biāo)準(zhǔn)答案）．23．設(shè)向量，求．解：，由于，所以（標(biāo)準(zhǔn)答案）．24．設(shè)向量組（1）求該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組；（2）將其余向量表示為該極大無(wú)關(guān)組的線性組合．解：（1），是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；（2）（標(biāo)準(zhǔn)答案）．25．求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及其通解．解：，，基礎(chǔ)解系為，通解為．26．設(shè)矩陣，求可逆方陣，使為對(duì)角矩陣．解：，的特征值為，．對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為，；對(duì)于，解齊次線性方程組：，，基礎(chǔ)解系為．令，則是可逆方陣，使得．四、證明題（本大題6分）27．已知線性無(wú)關(guān)，證明：,,,線性無(wú)關(guān)．證：設(shè)，即，因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，必有，，只有，所以，，，線性無(wú)關(guān)．全國(guó)2010年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．已知2階行列式，，則（B）A． B． C． D．．2．設(shè)A,B,C均為n階方陣，，，則（D）A．ACB B．CAB C．CBA D．BCA．3．設(shè)A為3階方陣，B為4階方陣，且，，則行列式之值為（A）A． B． C．2 D．8．4．，，，，則（B）A．PA B．AP C．QA D．AQ．5．已知A是一個(gè)矩陣，下列命題中正確的是（C）A．若矩陣A中所有3階子式都為0，則秩(A)=2B．若A中存在2階子式不為0，則秩(A)=2C．若秩(A)=2，則A中所有3階子式都為0D．若秩(A)=2，則A中所有2階子式都不為06．下列命題中錯(cuò)誤的是（C）A．只含有1個(gè)零向量的向量組線性相關(guān) B．由3個(gè)2維向量組成的向量組線性相關(guān)C．由1個(gè)非零向量組成的向量組線性相關(guān) D．2個(gè)成比例的向量組成的向量組線性相關(guān)7．已知向量組線性無(wú)關(guān)，線性相關(guān)，則（D）A．必能由線性表出 B．必能由線性表出C．必能由線性表出 D．必能由線性表出注：是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組．8．設(shè)A為矩陣，，則方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是A的秩（D）A．小于m B．等于m C．小于n D．等于n注：方程組Ax=0有n個(gè)未知量．9．設(shè)A為可逆矩陣，則與A必有相同特征值的矩陣為（A）A． B． C． D．，所以A與有相同的特征值．10．二次型的正慣性指數(shù)為（C）A．0 B．1 C．2 ，正慣性指數(shù)為2．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．行列式的值為_____________．．12．設(shè)矩陣，，則_____________．．13．設(shè)，，若向量滿足，則__________．．14．設(shè)A為n階可逆矩陣，且，則|_____________．．15．設(shè)A為n階矩陣，B為n階非零矩陣，若B的每一個(gè)列向量都是齊次線性方程組Ax=0的解，則_____________．個(gè)方程、個(gè)未知量的Ax=0有非零解，則0．16．齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為_____________．，基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為．17．設(shè)n階可逆矩陣A的一個(gè)特征值是，則矩陣必有一個(gè)特征值為_________．A有特征值，則有特征值，有特征值．18．設(shè)矩陣的特征值為，則數(shù)_____________．由，得2．19．已知是正交矩陣，則_____________．由第1、2列正交，即它們的內(nèi)積，得0．20．二次型的矩陣是_____________．．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．計(jì)算行列式的值．解：．22．已知矩陣，，求（1）；（2）．解：（1）；（2）注意到，所以．23．設(shè)向量組，求向量組的秩及一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并用該極大線性無(wú)關(guān)組表示向量組中的其余向量．解：，向量組的秩為3，是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，．24．已知矩陣，．（1）求；（2）解矩陣方程．解：（1），；（2）．25．問a為何值時(shí)，線性方程組有惟一解？有無(wú)窮多解？并在有解時(shí)求出其解（在有無(wú)窮多解時(shí)，要求用一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解）．解： ．時(shí)，，有惟一解，此時(shí)，；時(shí)，，有無(wú)窮多解，此時(shí)，，通解為，其中為任意常數(shù)．26．設(shè)矩陣的三個(gè)特征值分別為，求正的常數(shù)a的值及可逆矩陣P，使．解：由，得，．．對(duì)于，解：，，取；對(duì)于，解：，，?。粚?duì)于，解：，，?。?，則P是可逆矩陣，使．四、證明題（本題6分）27．設(shè)A，B，均為n階正交矩陣，證明．證：A，B，均為n階正交陣，則，，，所以．全國(guó)2010年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．設(shè)3階方陣，其中（）為A的列向量，若，則（C）．A． B． C．6 D．122．計(jì)算行列式（A）A． B． C．120 D．180．3．若A為3階方陣且，則（C）A． B．2 C．4 D．8，．4．設(shè)都是3維向量，則必有（B）A．線性無(wú)關(guān) B．線性相關(guān)C．可由線性表示 D．不可由線性表示5．若A為6階方陣，齊次方程組Ax=0基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)為2，則（C）A．2 B．3 C．4 由，得4．6．設(shè)A、B為同階方陣，且，則（C）A．A與B相似 B． C．A與B等價(jià) D．A與B合同注：A與B有相同的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形．7．設(shè)A為3階方陣，其特征值分別為，則（D）A．0 B．2 C．3 的特征值分別為，所以．8．若A、B相似，則下列說法錯(cuò)誤的是（B）A．A與B等價(jià) B．A與B合同 C． D．A與B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的．9．若向量與正交，則（D）A． B．0 C．2 D．4由內(nèi)積，得4．10．設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值分別為，則（B）A．A正定 B．A半正定 C．A負(fù)定 D．A半負(fù)定對(duì)應(yīng)的規(guī)范型，是半正定的．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．設(shè)，，則______________．．12．設(shè)A為3階方陣，且，則______________．．13．三元方程的通解是______________．，通解是．14．設(shè)，則與反方向的單位向量是______________．．15．設(shè)A為5階方陣，且，則線性空間的維數(shù)是______________．的維數(shù)等于基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)：．16．設(shè)A為3階方陣，特征值分別為，則______________．．17．若A、B為5階方陣，且只有零解，且，則______________．只有零解，所以可逆，從而．18．實(shí)對(duì)稱矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型______________．．19．設(shè)3元非齊次線性方程組有解，，且，則的通解是______________．是的基礎(chǔ)解系，的通解是．20．設(shè)，則的非零特征值是______________．由，可得，設(shè)的非零特征值是，則，．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．計(jì)算5階行列式．解：連續(xù)3次按第2行展開，．22．設(shè)矩陣X滿足方程，求X．解：記，，，則， ，，．23．求非齊次線性方程組的通解．解：，，通解為，都是任意常數(shù)．24．求向量組，，的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組．解：，向量組的秩為2，是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組．25．已知的一個(gè)特征向量，求及所對(duì)應(yīng)的特征值，并寫出對(duì)應(yīng)于這個(gè)特征值的全部特征向量．解：設(shè)是所對(duì)應(yīng)的特征值，則，即，從而，可得，，；對(duì)于，解齊次方程組：，，基礎(chǔ)解系為，屬于的全部特征向量為，為任意非零實(shí)數(shù)．26．設(shè)，試確定使．解：，時(shí)．四、證明題（本大題共1小題，6分）27．若是（）的線性無(wú)關(guān)解，證明是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的線性無(wú)關(guān)解．證：因?yàn)槭堑慕猓?，是的解；設(shè)，即，由線性無(wú)關(guān)，得，只有零解，所以線性無(wú)關(guān)．2010年10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1．設(shè)為3階矩陣，，則（A）A． B． C．2 D．8．2．設(shè)矩陣，，則（D）A．0 B． C． D．．3．設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣，B為n階反對(duì)稱矩陣，則下列矩陣中為反對(duì)稱矩陣的是（B）A． B． C． D．，，所以．4．設(shè)矩陣A的伴隨矩陣，則（C）A． B． C． D．．5．下列矩陣中不是初等矩陣的是（A）A． B． C． D．不可逆，所以不是初等矩陣．6．設(shè)A，B均為n階可逆矩陣，則必有（）A．可逆 B．可逆 C．可逆 D．可逆．7．設(shè)向量組，，，則（D）A．線性無(wú)關(guān) B．不能由線性表示C．可由線性表示，但表法不惟一 D．可由線性表示，且表法惟一是的極大無(wú)關(guān)組，可由線性表示，且表法惟一．8．設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，A的全部特征值為，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為（C）A．0 B．1 C．2 D．31是實(shí)對(duì)稱矩陣A的2重特征值，必有2個(gè)無(wú)關(guān)特征向量，即的基礎(chǔ)解系含2個(gè)解向量．9．設(shè)齊次線性方程組有非零解，則為（A）A． B．0 C．1 D．2，．10．設(shè)二次型正定，則下列結(jié)論中正確的是（C）A．對(duì)任意n維列向量，都大于零 B．的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)都大于或等于零C．A的特征值都大于零 D．A的所有子式都大于零二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11．行列式的值為_________．．12．已知，則中第一行第二列元素的代數(shù)余子式為_________．．13．設(shè)矩陣，，則_________．，．14．設(shè)A，B都是3階矩陣，且，，則_________．．15．已知向量組，，線性相關(guān)，則數(shù)_________．，．16．已知為4元線性方程組，，為該方程組的3個(gè)解，且，，則該線性方程組的通解是_________．的基礎(chǔ)解系為，通解是．17．已知P是3階正交矩，向量，，則內(nèi)積_________．．18．設(shè)2是矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣必有一個(gè)特征值為_________．2是A的特征值，必有特征值為．19．與矩陣相似的對(duì)角矩陣為_________．A的特征值為1和3，與A相似的對(duì)角矩陣為．20．設(shè)矩陣，若二次型正定，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．，．三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21．求行列式的值．解：．22．設(shè)矩陣，，求滿足矩陣方程的矩陣X．解：，，，．23．若向量組的秩為2，求的值．解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量組的秩為2．24．設(shè)矩陣，．（1）求；（2）求解線性方程組，并將b用A的列向量組線性表出．解：（1），；（2），．25．已知3階矩陣A的特征值為，設(shè)，求（1）矩陣A的行列式及A的秩；（2）矩陣B的特征值及與B相似的對(duì)角矩陣．解：（1），A是滿秩的3階矩陣，；（2）B的特征值為，B相似的對(duì)角矩陣為．26．求二次型經(jīng)可逆線性變換所得的標(biāo)準(zhǔn)形．解：的矩陣．，，經(jīng)可逆線性變換后，．四、證明題（本題6分）27．設(shè)n階矩陣A滿足，證明A的特征值只能是．證：設(shè)是A的特征值，則，或．全國(guó)2011年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題課程代碼：04184說明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，（）表示向量與的內(nèi)積，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.設(shè)行列式=4，則行列式=（）A.12 B.24C.36 D.482.設(shè)矩陣A，B，C，X為同階方陣，且A，B可逆，AXB=C，則矩陣X=（）A.A-1CB-1 B.CA-1B-1C.B-1A-1C D.CB-1A-13.已知A2+A-E=0，則矩陣A-1=（）A.A-E B.-A-EC.A+E D.-A+E4.設(shè)是四維向量，則（）A.一定線性無(wú)關(guān) B.一定線性相關(guān)C.一定可以由線性表示 D.一定可以由線性表出5.設(shè)A是n階方陣，若對(duì)任意的n維向量x均滿足Ax=0,則（）A.A=0 B.A=EC.r(A)=n D.0<r(A)<(n)6.設(shè)A為n階方陣，r(A)<n，下列關(guān)于齊次線性方程組Ax=0的敘述正確的是（）A.Ax=0只有零解 B.Ax=0的基礎(chǔ)解系含r(A)個(gè)解向量C.Ax=0的基礎(chǔ)解系含n-r(A)個(gè)解向量 D.Ax=0沒有解7.設(shè)是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，則（）A.是Ax=b的解 B.是Ax=b的解C.是Ax=b的解 D.是Ax=b的解8.設(shè)，，為矩陣A=的三個(gè)特征值，則=（）A.20 B.24C.28 D.309.設(shè)P為正交矩陣，向量的內(nèi)積為（）=2，則（）=（）A. B.1C. D.210.二次型f(x1,x2,x3)=的秩為（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.行列式=0，則k=_________________________.12.設(shè)A=，k為正整數(shù)，則Ak=_________________________.13.設(shè)2階可逆矩陣A的逆矩陣A-1=，則矩陣A=_________________________.14.設(shè)向量=（6，-2，0，4），=（-3，1，5，7），向量滿足，則=_________________________.15.設(shè)A是m×n矩陣，Ax=0,只有零解，則r(A)=_________________________.16.設(shè)是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)解，則A（3）=________.17.實(shí)數(shù)向量空間V={（x1,x2,x3）|x1-x2+x3=0}的維數(shù)是______________________.18.設(shè)方陣A有一個(gè)特征值為0，則|A3|=________________________.19.設(shè)向量（-1，1，-3），（2，-1，）正交，則=__________________.20.設(shè)f(x1,x2,x3)=是正定二次型，則t滿足_________.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計(jì)算行列式22.設(shè)矩陣A=，對(duì)參數(shù)討論矩陣A的秩.23.求解矩陣方程X=24.求向量組：，，，的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量通過該極大線性無(wú)關(guān)組表示出來.25.求齊次線性方程組的一個(gè)