高數(shù)期末試卷及答案

一、填空題(每小題3分,共15分)1、已知()2,[(1,且()0,則().fxexfxxxx答案：x)解：()21,ux),ux).fueux22x22、已知為常數(shù),lim(1,則.aaxx答案：111x11b2解：0limlim(xxa)1a.xx2xxxxf3x)fx)3、已知f2,則.xx0答案：4[f3x)f][fx)f]解：4xx04、函數(shù)f(x)(xx2)(xx4)的拐點(diǎn)數(shù)為答案：2.解：f(x)有3個(gè)零點(diǎn),,:1234,123123()有2個(gè)零點(diǎn):14,fx1211223())(),顯然()符號是：＋,－,＋,故有2個(gè)拐點(diǎn).fxfxxx12xx5、.22答案：xxCxsinsinxxsinxx22x解：xxC.xsinx222222二、選擇題(每小題3分,共15分)答案：1、2、3、4、5、。1、設(shè)f(x)為偶函數(shù),(x)為奇函數(shù),且f[(x有意義,則f[(x是(A)偶函數(shù)；(B)奇函數(shù)；(C)非奇非偶函數(shù)；(D)可能奇函數(shù)也可能偶函數(shù).答案：A1cosx,xx0.2、x0是函數(shù)()fxx2的(A)跳躍間斷點(diǎn)；(C)振蕩間斷點(diǎn)；(B)連續(xù)點(diǎn)；(D)可去間斷點(diǎn).答案：D3、若函數(shù)f(x)在x處不可導(dǎo)，則下列說法正確的是0(A)f(x)在x處一定不連續(xù)；0(B)f(x)在x處一定不可微；0(C)f(x)在x處的左極限與右極限必有一個(gè)不存在；0(D)f(x)在x處的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)必有一個(gè)不存在.0答案：B4、僅考慮收益與成本的情況下,獲得最大利潤的必要條件是：(A)()()；RQCQ(B)()()；RQCQ(C)()()；RQCQ(D)()().RQCQ答案：D5、若函數(shù)f(x)存在原函數(shù),下列錯(cuò)誤的等式是：d(A)f(x)f(x)；(B)f(x)dxf(x)；(C)df(x)dxf(x)dx；(D)df(x)f(x)C.答案：B三、計(jì)算題(每小題6分,共60分)1、設(shè)f(x2x24xx,求f(x2).答案：f(x2x24xx4解：令tx2,則ft)2(t2)24(t2)t2448t2t24t2,(3分)t24tt于是f(x2(x2)2(x2244x42x24xx4.(6分)4x24x2、計(jì)算n1n).n答案：11解：limcos(n1n)limcos(3分)(6分)n1nnn1.0limcosncos11101n11nnnn3、求極限().1n2nnn222n答案：1n2nnnn2解：由于()nnn1(3分)，nn1n2n22222n21n21而11,,11n2nn1211nnnnnn2nnn所以()1.(6分)1n2nnn222nx)24、求極限lim.xxx0答案：12xx)x)221x22sinxcosx解：limlimcoslimlim(4分)(6分)xsecxcosxsinx2x0x0x0x01xlimlim1.x)cosxsinx2x0x015、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).yxx11111答案：()yxxxx2xxx1解：((2分)yexx1111111111esinlnx()ln]xsin().(6分)xxxxxx2xxx2xxx6、求曲線ln21在點(diǎn)處的法線方程.xyyx答案：20xyy解：方程兩邊對求導(dǎo)得：ln20,yxyxy1將(,)代入得法線斜率xy1,(3分)ky從而法線方程為：y11(x,即：20.xy(6分)17、求曲線1的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).yxx432答案：曲線在區(qū)間(,0]和)是凹的,在區(qū)間是凸的．4拐點(diǎn)為(,)．3解：(1)()(,),fxC(2)()23,()666(,fxfxxxx3x2x2x4(3)()0,得0,1.(0)1,．(3分)fxx1x2ff3(4)列表如下：()x01f(x)4(5)曲線的拐點(diǎn)為(、)．3(6)曲線在區(qū)間(,0]和)是凹的,在區(qū)間是凸的．(6分)dx8、計(jì)算．x)x3答案：6x6arctanxC俞詩秋66dxdx(x)(x)]tdt5t6x解：(3分)x)xt)233662t3xt6t)1dtdt6dt626．1t21t2t6arctantC6x6arctanxC．(6分)669、計(jì)算ex2．41答案：e(2x2x)Cx2sin2xdx1121212解：cos2cos2excos2xdx(3分)exedxxexx1111e2xed2xe2xe2xe2,xxxxx2424441cos2xdxe(sin2xcos2x)C．(6分)exx10210、設(shè)某商品的需求函數(shù)為5,其中,分別表示需求量和價(jià)格,試求PQQP當(dāng)總收益達(dá)到最大時(shí),此時(shí)的需求彈性,并解釋其經(jīng)濟(jì)意義.答案：1當(dāng)總收益達(dá)到最大時(shí),價(jià)格上漲1%,需求則相應(yīng)減少1%.俞詩秋,解：總收益函數(shù)為()RPP5)5,2PPP令R(P)P0,得P3,而R50,可見,當(dāng)P10時(shí),總收益達(dá)到最大.(3分)(5分)PdQQdP5P此時(shí)需求彈性1,1005PP10P10說明,當(dāng)總收益達(dá)到最大時(shí),價(jià)格上漲1%,需求則相應(yīng)減少1%.(6分)四、證明題(每小題5分,共10分)1、證明方程1在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根.x證明：顯然()1,由于(0)10,fxx10,Cffe由零點(diǎn)定理知,(..()0,即e1；stf(3分)(5分)又因()(0,(,知(),fxxexfxx所以方程1在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根.x2()在閉區(qū)間連續(xù),在開區(qū)間2)可導(dǎo),且(2)8,證明在2)內(nèi)fxff必存在